Mobius chizig'i - Möbius strip - Wikipedia

A nurli Mobius polosasining parametrik chizmasi.

Mobius tasmasi qog'oz va lenta bilan yasalgan. Agar uning butun uzunligi chumoli tomonidan sudralib yurilgan bo'lsa, chumoli qog'ozning ikkala tomonini hech qachon chetidan o'tmasdan boshlagan joyiga qaytgan bo'lar edi.

Mobius tasmasi o'zaro kesishmaydi, lekin uning proektsiyasi 2 o'lchovda bo'ladi.

Yilda matematika, a Mobius chizig'i, guruh, yoki pastadir (BIZ: /ˈmoʊbmenəs,ˈmeɪ-/ Sog'liqni saqlash-bee-as, MAY-, Buyuk Britaniya: /ˈmɜːbmenəs/;^[1] Nemischa: [ːMøːbi̯ʊs]), shuningdek, yozilgan Mobius yoki Moebius, a sirt faqat bitta tomoni bilan (uch o'lchovli ichiga o'rnatilganida) Evklid fazosi ) va faqat bitta chegara egri chizig'i. Mobius chizig'i eng sodda yo'naltirilmagan sirt. Buni amalga oshirish mumkin boshqariladigan sirt. Uning kashfiyoti mustaqil ravishda nemis matematiklariga tegishli Johann Benedict Listing va Avgust Ferdinand Mobius 1858 yilda,^[2][3][4][5] shunga o'xshash tuzilmalarni Rim mozaikasida ko'rish mumkin v. Milodiy 200-250 yillar.^[6][7] Mobius o'zining natijalarini "Theorie der elementaren Verwandtschaft" (1863) va "Ueber die Bestimmung des Inhaltes eines Polyëders" (1865) maqolalarida e'lon qildi.^[8]

Mobius tasmasiga misol qilib qog'oz chizig'ini olib, bir uchini yarim burama qilib, so'ng uchlarini birlashtirib halqa hosil qilish orqali yaratish mumkin; uning chegarasi bitta yopiq egri chiziq bo'lib, uni bitta orqali ko'rish mumkin tugunsiz mag'lubiyat. Har qanday topologik makon Ushbu misolga gomeomorfik, shuningdek, Mobius chizig'i deb ham ataladi, bu geometrik realizatsiyaning juda xilma-xilligi yuzalar aniq hajmi va shakli. Masalan, har qanday to'rtburchak yo'nalishni teskari yo'naltirish bilan chapdan o'ngga chetga yopishtirilishi mumkin. Ulardan ba'zilari, ammo barchasi hammasi emas, ular sirt sifatida silliq ravishda modellashtirilishi mumkin Evklid fazosi. Yaqindan bog'liq, ammo gomomorf bo'lmagan sirt to'liqdir Möbius guruhini oching, tasma kengligi cheksiz uzaytirilib, Evklid chizig'iga aylanadi.

Yarim burilish soat yo'nalishi bo'yicha Mobius chizig'ining ko'milishini beradi, uni siljitish yoki cho'zish mumkin emas, aksincha yarim burilishni soat sohasi farqli o'laroq berish; Shunday qilib, Evklid fazosiga o'rnatilgan Mobius chizig'i a chiral o'ng yoki chap qo'l bilan ob'ekt. Mobius tasmasi, shuningdek, tasmani istalgan toq sonda burab yoki uchlarini birlashtirmasdan oldin tugunlash va burama qilish orqali singdirilishi mumkin.

Topish algebraik tenglamalar Mobius chizig'ini kesib olish to'g'ri, ammo bu tenglamalar yuqoridagi o'ralgan qog'oz modeli bilan bir xil geometrik shaklni tasvirlamaydi. Bunday qog'oz modellari rivojlanadigan yuzalar nolga ega Gauss egriligi, va tomonidan tavsiflanishi mumkin differentsial-algebraik tenglamalar.^[9]

The Eyler xarakteristikasi Mobius chizig'ining nol.

Mobius polosasining interaktiv 3D modeli

Xususiyatlari

Möbius ipi kesilganidan so'ng: bitta Mobius bo'lmagan chiziq

Möbius ipi ikki marta kesilgan: bitta Mobiyus tasmasi (binafsha rang), bitta Mobius bo'lmagan chiziq

Mobius chizig'i bir nechta qiziq xususiyatlarga ega. Chekka bo'ylab chizilgan chiziq to'liq aylana bo'ylab boshlang'ich nuqtaga qarama-qarshi nuqtaga o'tadi. Agar davom ettirilsa, chiziq boshlang'ich nuqtaga qaytadi va dastlabki chiziq uzunligidan ikki baravar ko'p: bu bitta uzluksiz egri chiziq butun chegarani kesib o'tadi.

Mobius chizig'ini markaziy chiziq bo'ylab qaychi bilan kesib olsak, ikkita alohida chiziq emas, balki ikkita to'liq burilish bilan bitta uzun chiziq hosil bo'ladi; natijada Mobius chizig'i emas, balki silindrga gomomorf bo'ladi. Bu shunday bo'ladi, chunki asl chiziq faqat bitta qirraga ega, bu asl chiziqdan ikki baravar uzunroq. Chiqib ketish qaychining har ikki tomonida bir xil uzunlikdagi ikkinchi mustaqil qirrani hosil qiladi. Ushbu yangi, uzunroq va o'rtasini kesib, bir-biriga o'ralgan ikkita chiziq hosil bo'ladi, ularning har biri ikkita to'liq burilishga ega.

Agar chiziq chetidan uchdan bir qism bo'ylab kesilgan bo'lsa, u ikkita chiziq hosil qiladi: markazning uchinchisi ingichka Mobius chizig'i bo'lib, uning uzunligi asl chiziq bilan bir xil bo'ladi. Ikkinchisi ikkita to'liq burilishli ingichka chiziq, a Turar joy dahasi asl ipning uzunligidan ikki baravar uzunlikdagi^[2]

Xuddi shunday boshqa chiziqlarni ham bir xil o'rniga ularning ichida ikki yoki undan ortiq yarim burilishli chiziqlarni birlashtirib olish mumkin. Masalan, uchta yarim burama chiziq, uzunasiga bo'linib, a ga bog'langan burama chiziqqa aylanadi trefoil tuguni. (Agar bu tugun ochilgan bo'lsa, chiziq sakkizta yarim burilishga ega.) Bilan chiziq N yarim burilish, ikkiga bo'linib, chiziqqa aylanadi N + 1 to'liq burilish.^[2] Unga qo'shimcha burilishlar va uchlarini qayta ulash natijasida raqamlar hosil bo'ladi paradromik uzuklar.

Geometriya va topologiya

Mobius chizig'i shaklidagi olamda mavjud bo'lgan ob'ektni o'zining ko'zgu tasviridan ajratib bo'lmaydi - bu mittilar qisqichbaqasining kattaroq tirnoqlari har bir tirajda chapdan o'ngga o'zgarib turadi. Koinotning bu xususiyatga ega bo'lishi mumkin emas; qarang yo'naltirilmaydigan chuvalchang teshigi

Uch o'lchovli Evklid fazosiga kiritilgan Mobius chizig'ini aks ettirishning usullaridan biri bu parametrlashdir:

${ displaystyle x (u, v) = left (1 + { frac {v} {2}} cos { frac {u} {2}} right) cos u}$

${ displaystyle y (u, v) = left (1 + { frac {v} {2}} cos { frac {u} {2}} right) sin u}$

${ displaystyle z (u, v) = { frac {v} {2}} sin { frac {u} {2}}}$

uchun ${ displaystyle 0 leq u <2 pi}$ va ${ displaystyle -1 leq v leq 1}$. Bunda kengligi 1 bo'lgan Mobius chizig'i hosil bo'ladi, uning markaziy doirasi radiusi 1 ga teng ${ displaystyle xy}$- samolyot va markazda joylashgan ${ displaystyle (0,0,0)}$. Parametr siz shu bilan birga chiziq bo'ylab harakat qiladi v bir chetidan ikkinchisiga o'tadi.

Yilda silindrsimon qutb koordinatalari ${ displaystyle (r, theta, z)}$, Mobius chizig'ining cheksiz versiyasini quyidagi tenglama bilan ifodalash mumkin:

${ displaystyle log (r) sin chap ({ tfrac {1} {2}} theta right) = z cos chap ({ tfrac {1} {2}} theta right) .}$

3 bo'shliqqa eng keng izometrik joylashish

Agar uchta bo'shliqdagi tekis Mobiyus chizig'i to'rtburchaklar bo'lsa, ya'ni geometrik to'rtburchakning ikki qarama-qarshi tomonini egilib, lekin sirtini cho'zmasdan aniqlash natijasida hosil qilingan bo'lsa, unda bunday ko'milish mumkin bo'lsa, agar tomonlarning nisbati to'rtburchak kattaroq ${ displaystyle { sqrt {3}}}$, qisqaroq tomonlari aniqlangan holda. (Kichikroq tomonlar nisbati uchun, silliq ko'mish mumkinmi yoki yo'qmi noma'lum.) Tomonlar nisbati pasayganda ${ displaystyle { sqrt {3}}}$, har qanday bunday ko'milish, teng qirrali uchburchakni egallash uchun bir-birining ustiga o'ralgan uchta teng qirrali uchburchakning tasmasi deb o'ylash mumkin bo'lgan shaklga yaqinlashgandek tuyuladi.

Agar uch fazodagi Mobius chizig'i faqat bir marta doimiy ravishda farqlanadigan bo'lsa (S sinf)¹), ammo Nash-Kuiper teoremasi pastki chegara mavjud emasligini ko'rsatadi.

Mobius chizig'ini to'rtburchaklar chiziqdan shunchaki burish va qo'shilish uchun juda keng qilish usuli (masalan, faqat bitta birlik uzunlikdagi va bitta birlik kenglikdagi to'rtburchak) avval keng yo'nalishni oldinga va orqaga juft sonli burmalar yordamida burishdir. "akkordeon katlama" - shunday qilib, buklangan lenta tor bo'ladiki, uni burab, birlashtiradigan darajada, xuddi etarlicha uzun lentani birlashtirishi mumkin.^[10] Ikki burma bilan, masalan, a 1 × 1 Ip bo'lar edi 1 × ⅓ buklangan ip kimniki ko'ndalang kesim "N" shaklida va yarim burilishdan keyin "N" bo'lib qoladi. Kengligi uch baravar uzun bo'lgan bu o'ralgan chiziq uzunroq bo'ladi, so'ngra uchlari birlashtiriladi. Ushbu usul printsipial jihatdan ishlaydi, ammo agar qog'oz ishlatilsa, etarlicha ko'p katlamalardan keyin amaliy bo'lmaydi. Oddiy qog'ozdan foydalanib, ushbu qurilish bo'lishi mumkin tekis buklangan, qog'ozning barcha qatlamlarini bitta tekislikda, lekin matematik jihatdan to'rtburchakning sirtini cho'zmasdan mumkinmi, aniq emas.^[11]

Topologiya

Qaytish uchun to'rtburchak Möbius chizig'iga, belgilangan qirralarni ulang A shunday qilib o'qlarning yo'nalishlari mos keladi.

Topologik jihatdan, Mobius chizig'ini quyidagicha aniqlash mumkin kvadrat ${ displaystyle [0,1] marta [0,1]}$ uning yuqori va pastki tomonlari bilan aniqlangan munosabat bilan ${ displaystyle (x, 0) sim (1-x, 1)}$ uchun ${ displaystyle 0 leq x leq 1}$, diagrammada bo'lgani kabi.

Mobius ipining kamroq qo'llanilgan taqdimoti torusning topologik ko'rsatkichi hisoblanadi.^[12] Torus kvadrat sifatida qurilishi mumkin ${ displaystyle [0,1] marta [0,1]}$ sifatida belgilangan qirralar bilan ${ displaystyle (0, y) sim (1, y)}$ (chapdan o'ngga yopishtiruvchi) va ${ displaystyle (x, 0) sim (x, 1)}$ (pastdan tepaga yopishtiring). Agar u ham aniqlangan bo'lsa (x, y) ~ (y, x), keyin Mobius chizig'ini oladi. Kvadratning diagonali (nuqtalar) (x, x) bu erda ikkala koordinatalar kelishiladi) Mobius chizig'ining chegarasiga aylanadi va geometrik jihatdan "aks ettirish" ga to'g'ri keladigan orbifold tuzilishga ega - geodeziya Mobius tasmasidagi (to'g'ri chiziqlar) chetga qaytib chiziqqa aks etadi. Notatsion ravishda, bu T deb yozilgan²/ S₂ - tomonidan keltirilgan 2-torus guruh harakati ning nosimmetrik guruh ikkita harfda (koordinatalarni almashtirish) va uni quyidagicha o'ylash mumkin konfiguratsiya maydoni aylana ustidagi tartibsiz ikkita nuqtaning, ehtimol bir xil (chekka bir xil bo'lgan nuqtalarga to'g'ri keladi), torus aylananing ikkita tartiblangan nuqtalariga to'g'ri keladi.

Möbius chizig'i ikki o'lchovli ixcham manifold (ya'ni a sirt ) chegara bilan. Bu shunday bo'lmagan sirtning standart namunasidir yo'naltirilgan. Aslida, Mobius chizig'i topologik hodisaning timsolidir noo'rinish. Buning sababi shundaki, ikki o'lchovli shakllar (yuzalar) eng past o'lchovli shakllar bo'lib, ular uchun yo'naltirilmaslik mumkin va Mobiyus chizig'i bu faqat topologik jihatdan subspace bo'lgan sirt har bir yo'naltirilmagan sirt. Natijada, har qanday sirt, agar u subspace sifatida Mobius tasmasini o'z ichiga olgan bo'lsa, yo'naltirilmaydi.

Mobius chizig'i ham a ning matematik kontseptsiyasini tasvirlash uchun ishlatiladigan standart namunadir tola to'plami. Xususan, bu aylana ustidagi noan'anaviy to'plamdir S¹ uning tolasi bilan teng birlik oralig'i, Men = [0, 1]. Faqat Möbius chizig'ining chetiga qarab, noan'anaviy ikki nuqta (yoki) bo'ladi Z₂) to'plami tugadi S¹.

Kompyuter grafikasi

Mobius tasmasini kompyuter grafikasida yoki modellashtirish paketlarida tasvirlash uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan oddiy qurilish:

• To'rtburchak chiziqni oling. Uni tekisligida emas, balki sobit nuqta atrofida aylantiring. Har bir qadamda, shuningdek, chiziqni o'z tekisligidagi chiziq bo'ylab (chiziqni ikkiga bo'ladigan chiziq) va asosiy orbital radiusga perpendikulyar ravishda aylantiring. To'liq inqilobda hosil bo'lgan sirt Mobius chizig'idir.
• Mobius tasmasini oling va uni ipning o'rtasi bo'ylab kesib oling. Bu yangi uchastkani hosil qiladi, ya'ni to'rtburchaklar bir uchini butun burilish bilan birlashtirgan. Yana o'rtasini kesib, bu ikkita o'zaro bog'langan butun burilish chizig'ini hosil qiladi.

Ochiq Mobius bandining geometriyasi

The Möbius guruhini oching ni o'chirish orqali hosil bo'ladi chegara standart Möbius guruhining. U to'plamdan qurilgan S = { (x, y) ∈ R² : 0 ≤ x ≤ 1 va 0 < y < 1 } nuqtalarni aniqlash (yopishtirish) bilan (0, y) va (1, 1 − y) Barcha uchun 0 < y < 1.

U doimiy ijobiy, manfiy yoki nol (Gauss) yuzasi sifatida qurilishi mumkin egrilik. Salbiy va nolga egrilik holatlarida Mobius tasmasini (geodezik) to'liq sirt sifatida qurish mumkin, demak barcha geodeziyalar (sirtdagi "to'g'ri chiziqlar") har ikki yo'nalishda ham cheksiz ravishda uzaytirilishi mumkin.

Doimiy salbiy egrilik:Samolyot va ochiq silindr singari, ochiq Möbius tasmasi ham doimiy egrilik 0 ning to'liq metrikasini emas, balki doimiy salbiy egrilikning to'liq metrikasini ham tan oladi, deylik -1. Buni ko'rishning bir usuli - dan boshlashdir yuqori yarim tekislik (Puankare) modeli ning giperbolik tekislik ℍ, ya'ni B = {(x, y) ∈ ℝ² | y > 0} bilan Riemann metrikasi tomonidan berilgan (dx² + dy²) / y². Ushbu metrikaning yo'nalishini saqlovchi izometriyalari xaritalardir f : ℍ → ℍ shaklning f(z) := (az + b) / (cz + d), qayerda a, b, v, d haqiqiy sonlar qoniqtiradi reklama − mil = 1. Bu yerda z bilan murakkab son Men (z) > 0va biz aniqladik ℍ bilan {z ∈ ℂ | Men (z) > 0} aytib o'tilgan Riemann metrikasi bilan ta'minlangan. Keyin bitta yo'naltirilganlikni qaytaruvchi izometriya g ning ℍ tomonidan berilgan g(z) := −z, qayerda z ning murakkab konjugatini bildiradi z. Ushbu dalillar xaritalashni anglatadi h : ℍ → ℍ tomonidan berilgan h(z) := −2⋅z yo'nalishini qaytaruvchi izometriyadir ℍ cheksiz tsiklik guruh hosil qiladi G izometriya. (Buni quyidagicha ifodalash mumkin h(z) = (√2men z + 0) / (0z − Men/√2), va uning kvadrati izometriyadir h(h(z)) := 4⋅zsifatida ifodalanishi mumkin (2z + 0) / (0z + ​¹⁄₂).) Miqdor ℍ / G Ushbu guruh harakatlarining topologik jihatdan Mobius guruhi ekanligi bemalol ko'rish mumkin. Ammo uning to'liq va ixcham emasligini, doimiy salbiy egrilik -1 ga tengligini tekshirish ham oson.

Ushbu Mobius bandining izometriya guruhi 1 o'lchovli va SO (2) maxsus ortogonal guruhiga izomorfdir.

(Doimiy) nol egrilik:Bu shuningdek tekislikning bir qismidan boshlab to'liq sirt sifatida qurilishi mumkin R² tomonidan belgilanadi 0 ≤ y ≤ 1 va aniqlash (x, 0) bilan (−x, 1) Barcha uchun x yilda R (real). Olingan metrik ochiq Möbius tasmasini (geodezik) to'liq tekis yuzaga aylantiradi (ya'ni hamma joyda 0 ga teng bo'lgan Gauss egriligiga ega). Bu Mobius tasmasidagi yagona metrik, bir xil masshtabgacha, ham tekis, ham to'liq.

Ushbu Mobius bandining izometriyalari guruhi 1 o'lchovli va SO (2) ortogonal guruhiga izomorfdir.

Doimiy ijobiy egrilik:Doimiy musbat egrilikning Mobius tasmasi to'liq bo'lolmaydi, chunki doimiy musbat egrilikning yagona to'liq sirtlari shar va proektsion tekislik. Proektiv tekislik P² doimiy egrilik +1 birlik sharasining ulushi sifatida qurilishi mumkin S² yilda R³ antipodal xarita bo'yicha A: S² → S²tomonidan belgilanadi A(x, y, z) = (−x, −y, −z). Ochiq Mobius tasmasi bir marta teshilgan proektsion tekislikka nisbatan gomomorfdir, ya'ni P² har qanday nuqta olib tashlangan holda. Buni doimiy ijobiy egrilikdagi Mobius tasmasi to'liq sirtga aylanishi mumkin bo'lgan eng yaqin deb o'ylashi mumkin: atigi bir nuqta.

Ushbu Mobius bandining izometriyalari guruhi ham 1 o'lchovli va O (2) ortogonal guruhiga nisbatan izomorfdir.

Tekislikdagi yo'naltirilmagan chiziqlar maydoni diffeomorfik ochiq Möbius guruhiga.^[13] Buning sababini bilish uchun ruxsat bering L(θ) chiziqni kelib chiqishi orqali burchak ostida belgilang θ musbat x o'qiga. Har biriga L(θ) oila bor P(θ) tekislikdagi perpendikulyar bo'lgan barcha chiziqlarning L(θ). Topologik jihatdan, oila P(θ) shunchaki chiziq (chunki har bir satr P(θ) chiziqni kesib o'tadi L(θ) faqat bitta nuqtada). Shu tarzda, sifatida θ oralig'ida ortadi 0° ≤ θ < 180°, chiziq L(θ) tekislikning aniq chiziqlarini qiymatini ifodalaydi. Ammo qachon θ 180 ° ga etadi, L(180 °) bilan bir xil L(0) va shuning uchun oilalar P(0 °) va P(180 °) perpendikulyar chiziqlar ham bir xil oilalardir. Chiziq L(0 °) esa o'z-o'ziga qaytdi L(180°) teskari tomonga ishora qildi. Samolyotdagi har bir chiziq ba'zi bir oilada to'liq bitta chiziqqa to'g'ri keladi P(θ), to'liq bitta uchun θ, uchun 0° ≤ θ < 180°va P(180 °) bilan bir xil P(0 °), lekin teskari tomonga ishora qiladi. Bu tekislikdagi barcha chiziqlarning bo'sh joyini - hamma birlashishini ta'minlaydi L(θ) uchun 0° ≤ θ ≤ 180° - bu ochiq Mobius guruhi.

Ikki tomonlama chiziqli transformatsiyalar guruhi GL (2, R) samolyotning o'zi (haqiqiy) 2 × 2 nolga teng bo'lmagan determinantli matritsalar) ning biektsiyalarini tabiiy ravishda keltirib chiqaradi tekislikdagi chiziqlar oralig'i o'zi uchun, bu chiziqlar makonining o'z-o'zini gomomorfizmlari guruhini tashkil qiladi. Demak, xuddi shu guruh oldingi xatboshida tasvirlangan Mobius bandining o'z-o'zini gomomorfizmlari guruhini tashkil qiladi. Ammo tekislikdagi chiziqlar makonida ushbu gomomorfizmlar guruhi ta'sirida o'zgarmas metrik mavjud emas. Shu ma'noda, tekislikdagi chiziqlar makonida uning tabiiy metrikasi yo'q.

Demak, Mobius guruhi tabiiy 4 o'lchovli xususiyatga ega Yolg'on guruh tomonidan berilgan o'z-o'zini gomomorfizmlari GL (2, R), ammo bu yuqori simmetriya darajasi har qanday metrikaning izometriyalari guruhi sifatida namoyish etilishi mumkin emas.

Dumaloq chegara bilan Mobius guruhi

Chegarasi yoki chegara, Mobius chizig'ining gomeomorfik (topologik jihatdan teng) a doira. Yuqoridagi kabi Evklid kosmosidagi chiziqning odatiy ko'milgan joylari ostida chegara haqiqiy aylana emas. Biroq, mumkin joylashtirilgan chegara bir tekislikda yotgan mukammal aylana bo'lishi uchun uchta o'lchamdagi Mobius chizig'i. Masalan, "Geometriya va tasavvur" ning 307, 308 va 309-rasmlariga qarang.^[14]

Ko'proq geometrik ko'milish minimaldan boshlanadi Klein shishasi Bleyn Louson tomonidan kashf etilganidek, 3-sohaga botirilgan. Keyin biz ushbu Klein shishasining yarmini 3-sferaga (4 bo'shliqdagi birlik shar) o'rnatilgan Mobius tasmasini olish uchun olamiz. Natijada ba'zida "Sudan Mobius Band" deb nomlanadi,^[15] bu erda "sudanese" mamlakatga tegishli emas Sudan ammo ikkita topologning ismlariga, Syu Gudman va Daniel Asimov. Sudan guruhiga stereografik proektsiyani qo'llash uni uch o'lchovli makonga joylashtiradi, quyida ko'rib turganimizdek - Jorj Frensisga tegishli versiyani topish mumkin Bu yerga.

Lousonning minimal "Klein" shishasidan biz tasmachani ichiga joylashtiramiz 3-shar S³, ning pastki qismi sifatida qaraladi C², bu geometrik jihatdan xuddi shunday R⁴. Biz burchaklarni xaritalaymiz η, φ murakkab sonlarga z₁, z₂ orqali

${ displaystyle z_ {1} = sin eta , e ^ {i varphi}}$

${ displaystyle z_ {2} = cos eta , e ^ {i varphi / 2}.}$

Bu erda parametr η 0 dan ishlaydi π va φ 0 dan 2 gacha ishlaydiπ. Beri |z₁|² + |z₂|² = 1, ko'milgan sirt butunlay yotadi S³. Ip chegarasi tomonidan berilgan |z₂| = 1 (mos keladigan η = 0, π), bu aniq 3-sharga doiradir.

Möbius chizig'ining ichki qismini olish uchun R³ bitta xarita S³ ga R³ orqali stereografik proektsiya. Proyeksiya nuqtasi istalgan nuqta bo'lishi mumkin S³ o'rnatilgan Möbius chizig'ida yotmaydi (bu odatdagi barcha proektsion nuqtalarni istisno qiladi). Mumkin bo'lgan variantlardan biri ${ displaystyle left {1 / { sqrt {2}}, i / { sqrt {2}} right }}$. Stereografik proektsiyalar doiralarni doiralarga xaritada aks ettiradi va chiziqning aylana chegarasini saqlaydi. Natijada Mobius chizig'ining silliq joylashtirilishi R³ dumaloq qirrali va o'z-o'zidan kesishmasiz.

Uch sohada sudanlik Mobius guruhi S³ geometrik jihatdan tolalar to'plami katta doira ustida joylashgan bo'lib, uning tolalari ajoyib yarim doira hisoblanadi. Ushbu tasmaning stereografik proektsiyasining eng nosimmetrik tasviri R³ yarim doira har birining o'rta nuqtasi bo'ylab o'tadigan katta aylanada yotadigan proyeksiya nuqtasi yordamida olinadi. Bunday proektsion nuqtaning har bir tanlovi boshqasiga mos keladigan tasvirni keltirib chiqaradi. Ammo bunday proyeksiya nuqtasi Mobius bandining o'zida joylashganligi sababli, tasvirning ikki tomoni nuqta bandda bo'lmagan holatdan (yuqorida ko'rsatilgan) sezilarli darajada farq qiladi: 1) R³ to'liq Mobius bandi emas, aksincha bitta nuqta olib tashlangan (markaz chizig'idan); va 2) tasvir cheklanmagan - va u kelib chiqish joyidan tobora uzoqlashganda R³, u tobora tekislikka yaqinlashmoqda. Shunga qaramay, stereografik tasvirning ushbu versiyasida 4 ta simmetriya guruhi mavjud R³ (bu izomorfik Klein 4-guruh ), yuqorida ko'rsatilgan chegara versiyasi bilan taqqoslaganda uning simmetriya guruhi noyob tartib guruhiga ega. (Agar barcha simmetriyalar va nafaqat yo'nalishni saqlaydigan izometriyalar bo'lsa R³ har bir holatda simmetriya soni ikki baravar ko'payadi.)

Ammo barchaning eng geometrik nosimmetrik versiyasi - bu uch sohadagi asl Sudanning Mobius guruhidir S³, bu erda uning simmetriya to'liq guruhi Lie guruhi O (2) bilan izomorfdir. Cheksiz kardinallikka ega bo'lish ( doimiylik ), bu Möbius bandining har qanday joylashtirilishining simmetriya guruhidan ancha katta R³.

Proektiv geometriya

Foydalanish proektsion geometriya, ochiq Mobius tasmasini polinom tenglamasining echimlari to'plami deb ta'riflash mumkin. Polinom tengsizligini qo'shsak, yopiq Mobius bandi paydo bo'ladi. Bular Mobius tasmalarini geometriyasi bilan bog'laydi chiziqli to'plamlar va ishlashi portlatish yilda algebraik geometriya.

Haqiqiy proektiv chiziq ${ displaystyle mathbf {RP} ^ {1}}$ to'plam ${ displaystyle mathbf {R} ^ {2} setminus {(0,0) }}$ modul miqyosi. Ya'ni, bir nuqta ${ displaystyle mathbf {RP} ^ {1}}$ shaklning ekvivalentlik sinfi

${ displaystyle [A: B] = {( lambda A, lambda B): lambda in mathbf {R} setminus {0 } }.}$

Har qanday ekvivalentlik sinfi ${ displaystyle [A: B]}$ bilan ${ displaystyle B neq 0}$ noyob vakili bor, uning ikkinchi koordinatasi 1 ga teng, ya'ni ${ displaystyle (A / B, 1)}$. Ushbu fikrlar Evklid chizig'ining nusxasini tashkil qiladi ${ displaystyle mathbf {R} ^ {1}}$. Biroq, ning ekvivalentlik sinfi ${ displaystyle [1: 0]}$ bunday vakili yo'q. Ushbu qo'shimcha nuqta o'z imzosiz cheksizlik kabi o'zini tutadi ${ displaystyle mathbf {RP} ^ {1}}$ topologik jihatdan aylana bilan bir xil ${ displaystyle S ^ {1}}$. Ning afzalligi ${ displaystyle mathbf {RP} ^ {1}}$ doira ustida ba'zi geometrik ob'ektlar jihatidan sodda tenglamalarga ega bo'lishidir A va B. Bu Mobius guruhiga tegishli.

Ochiq Mobius guruhini amalga oshirish to'plam orqali berilgan

${ displaystyle M = {((x, y), [A: B]) in mathbf {R} ^ {2} times mathbf {RP} ^ {1}: Ax = By }.}$

Agar biz qatorni o'chirib tashlasak ${ displaystyle x = 0}$ dan M (yoki aslida har qanday satr), keyin hosil bo'lgan to'plam Evklid fazosiga joylashtirilishi mumkin ${ displaystyle mathbf {R} ^ {3}}$. Ushbu qatorni o'chirish to'plamni beradi

${ displaystyle { begin {aligned} M '& = {((x, y), [A: B]) in mathbf {R} ^ {2} times mathbf {RP} ^ {1} : Ax = By, B neq 0 } & = {(x, y, m) in mathbf {R} ^ {3}: mx = y }, end {aligned}}}$

qayerda m ga mos keladi ${ displaystyle A / B}$.

Yopiq Mobius guruhining o'xshash to'plami sifatida amalga oshiriladi, ammo chegara yaratish uchun qo'shimcha tengsizlik mavjud:

${ displaystyle N = {((x, y), [A: B]) in mathbf {R} ^ {2} times mathbf {RP} ^ {1}: Ax = By, x ^ {2} + y ^ {2} leq 1 }.}$

Ning chegarasi N bilan barcha nuqtalarning to'plami ${ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 1}$. Ning geometriyasi N bilan juda o'xshash M, shuning uchun biz diqqatni jamlaymiz M bundan keyin nima bo'ladi.

Ning geometriyasi M kelib chiqishi orqali chiziqlar bo'yicha tavsiflanishi mumkin. Kelib chiqishi orqali har bir satr ${ displaystyle mathbf {R} ^ {2}}$ tenglamaning echimlar to'plamidir ${ displaystyle ax + by = 0}$. Eritma to'plami qachon o'zgarmaydi ${ displaystyle (a, b)}$ kattalashtirilgan, shuning uchun chiziq faqat ekvivalentlik sinfiga bog'liq ${ displaystyle [A: B]}$. Ya'ni, kelib chiqishi orqali chiziqlar parametrlangan ${ displaystyle mathbf {RP} ^ {1}}$. Bundan tashqari, har bir nuqta ${ displaystyle (x, y)}$ yilda ${ displaystyle mathbf {R} ^ {2}}$, dan tashqari ${ displaystyle (0,0)}$, kelib chiqishi orqali noyob chiziqda, xususan, tomonidan belgilangan chiziqda yotadi ${ displaystyle [-y: x]}$. Gap shundaki ${ displaystyle (x, y) = (0,0)}$ammo, kelib chiqishi orqali har bir satrda yotadi. Ushbu nuqta uchun tenglama ${ displaystyle Ax + By = 0}$ tanazzulga uchraydi ${ displaystyle 0 = 0}$. Bu har doim ham to'g'ri, shuning uchun har biri ${ displaystyle [A: B]}$ bu yechim. Natijada to'plam M deb ta'riflanishi mumkin uyushmagan birlashma kelib chiqishi orqali chiziqlar to'plamining. Bu chiziqlarning kelib chiqishi orqali birlashishi bilan bir xil, faqat unda har bir satr uchun bitta nusxaning nusxasi mavjud. Ushbu kelib chiqishning qo'shimcha nusxalari nusxasi ${ displaystyle mathbf {RP} ^ {1}}$ va Mobius guruhining markaziy doirasini tashkil qiladi. Bu chiziqlarning o'zi Mobius guruhining hukmronligini tasvirlaydi. Ushbu nuqtai nazar M uni ikkala maydonning umumiy maydoni sifatida namoyish etadi tavtologik chiziq to'plami ${ displaystyle { mathcal {O}} (- 1)}$ kuni ${ displaystyle mathbf {RP} ^ {1}}$ shuningdek portlatib kelib chiqishi ${ displaystyle mathbf {R} ^ {2}}$.

Yarim burilishni ko'rish uchun M, nuqta bilan boshlang ${ displaystyle (1,0)}$ yilda ${ displaystyle mathbf {R} ^ {2}}$. Bu noyob nuqtaga to'g'ri keladi M, ya'ni ${ displaystyle P = ((1,0), [0: 1])}$. Yo'lni yaratish uchun soat sohasi farqli ravishda yarim doira chizilgan M tomonidan berilgan ${ displaystyle gamma (t) = (( cos (2 pi t), sin (2 pi t)), [- sin (2 pi t), cos (2 pi t)] )}$. Yo'l to'xtaydi ${ displaystyle t = 1/2}$, qaerda u nuqta beradi ${ displaystyle Q = ((- 1,0), [0: 1])}$. Dan tashqari P va Q, yo'lning har bir nuqtasi kelib chiqishi orqali boshqa chiziqda yotadi. Shuning uchun ${ displaystyle gamma (t)}$ ning markaziy aylanasi atrofida bir marta aylanadi M. Ammo, ammo P va Q hukmning bir qatorida yotadi, ular kelib chiqish tomonining qarama-qarshi tomonlarida joylashgan. Belgidagi bu o'zgarish yarim burilishning algebraik namoyonidir.

Tegishli ob'ektlar

Yaqindan bog'liq bo'lgan "g'alati" geometrik ob'ekt bu Klein shishasi. Nazariy jihatdan Klein butilkasini ikkita Mobiyus tasmasini qirralari bo'ylab yopishtirib ishlab chiqarish mumkin; ammo buni oddiy uch o'lchovli qilish mumkin emas Evklid fazosi o'zaro kesishmalar yaratmasdan.^[16]

Yaqindan bog'liq bo'lgan yana bir manifold bu haqiqiy proektsion tekislik. Agar haqiqiy proektsion tekislikdan dumaloq disk kesilgan bo'lsa, Mobius chizig'i qoladi.^[17] Boshqa tomonga o'tish, agar kimdir Mobiys chizig'iga ularning chegaralarini aniqlash orqali diskni yopishtirsa, natijada proektsion tekislik bo'ladi. Buni tasavvur qilish uchun Mobius chizig'ini uning chegarasi oddiy doira shaklida deformatsiya qilish foydalidir (yuqoriga qarang). Haqiqiy proektsion samolyot, Klein shishasi singari, o'z-o'zidan kesishmasdan uch o'lchovga o'rnatilishi mumkin emas.

Yilda grafik nazariyasi, Mobius narvoni a kubik grafik Mobius ipi bilan chambarchas bog'liq.

1968 yilda Gonzalo Velez Jahn (UCV, Karakas, Venesuela) Mobian xususiyatlariga ega bo'lgan uch o'lchovli jismlarni kashf etdi;^[18] keyinchalik ular tomonidan tasvirlangan Martin Gardner 1978 yil avgustida toroidal ko'pburchakka aylangan prizmatik halqalar sifatida Matematik o'yinlar ustuni Scientific American-da.^[19]

Ilovalar

Matematik san'at: a sharf Möbius chizig'i sifatida yaratilgan

Möbius chizig'i uchun bir nechta texnik dasturlar mavjud. Sifatida ulkan Mobius chiziqlari ishlatilgan konveyer lentalari Bu uzoqroq davom etadi, chunki kamarning butun yuzasi bir xil miqdordagi aşınmaya va uzluksiz ko'chadan yozish lentalariga o'xshab (o'ynash vaqtini ikki baravar oshirish uchun). Mobius chiziqlari mato kompyuterini ishlab chiqarishda keng tarqalgan va yozuv mashinalari lentalari, chunki ular ikkala yarmini bir tekis ishlatganda lenta bosib chiqarish boshidan ikki baravar kengroq bo'lishiga imkon beradi.^[20]

A Mobius qarshiligi o'z induktiv reaktansini bekor qiladigan elektron elektron elementdir. Nikola Tesla 1894 yilda patentlangan shunga o'xshash texnologiya:^[21] "Elektromagnitlar uchun lasan" uning elektr energiyasini simsiz global uzatish tizimida ishlatilishi uchun mo'ljallangan edi.

Mobius chizig'i bu konfiguratsiya maydoni doiradagi tartibsiz ikkita nuqta. Binobarin, ichida musiqa nazariyasi, sifatida tanilgan barcha ikkita notali akkordlarning maydoni dyadlar, Möbius tasmasi shaklini oladi; bu va ko'proq fikrlarni umumlashtirish muhim ahamiyatga ega orbifoldlarning musiqa nazariyasiga tatbiq etilishi.^[22][23]

Yilda fizika / elektrotexnika quyidagicha:

• Rezonans chastotasiga ega ixcham rezonator, bir xil tuzilgan chiziqli sariqlarning yarmiga teng^[24]
• Induksiyasiz qarshilik^[25]
• Supero'tkazuvchilar yuqori o'tish harorati bilan^[26]
• Mobius rezonatori^[27]

Yilda kimyo / nano-texnologiya quyidagicha:

• Molekulyar tugunlar maxsus xususiyatlarga ega (Knotane [2], Chirality)
• Molekulyar dvigatellar^[28]
• Grafen hajmi (nano-grafit) spiral magnetizm kabi yangi elektron xususiyatlarga ega^[29]
• Aromatiklikning maxsus turi: Mobiusning xushbo'yligi
• Mobiyus tasmasi bo'ylab harakatlana oladigan Yerning magnit maydoniga tushgan zaryadlangan zarralar
• The siklotid (tsiklik oqsil) kalata B1, o'simlikning faol moddasi Oldenlandia affinis, peptid magistrali uchun Mobius topologiyasini o'z ichiga oladi.

San'at va ko'ngil ochish

Mobius chizig'i tasvirlangan qadimgi Rim mozaikasi

Mobius ipi printsipi yaratish usuli sifatida ishlatilgan sehr-jodu illyusi. Afg'on guruhlari deb nomlangan hiyla-nayrang, yigirmanchi asrning birinchi yarmida juda mashhur bo'lgan. Ushbu hiyla-nayrangning ko'plab versiyalari mavjud va mashhur illyuzionistlar tomonidan amalga oshirilgan Garri Blekston Sr. va Tomas Nelson Dauns.^[30][31]

Ijodiy ishlarda

The universal qayta ishlash belgisi (♲) dizayni uchta o'qga ega bo'lib, Mobius tsiklini hosil qiladi. Uning dizayneriga ko'ra Gari Anderson, "bu raqam cheklangan mavjudot ichida uzluksizlik ramzi sifatida Mobius chizig'i sifatida ishlab chiqilgan".^[32]

Shuningdek qarang

• Kalabi-Yau ko'p qirrali
• Qopqoq
• Umbilik torusi
• Tasma nazariyasi

Adabiyotlar

Tashqi havolalar

• Möbius Gear - funktsional sayyora mexanizmining modeli, unda bitta tishli quti Mobius chizig'i
• Vayshteyn, Erik V. "Mobius Strip". MathWorld.