Sferoid - Spheroid

Vertikal aylanish o'qlari bo'lgan sferoidlar
oblat		prolat

A sferoid, yoki inqilob ellipsoidi, a to'rtburchak sirt tomonidan olingan aylanuvchi an ellips uning asosiy o'qlaridan biri haqida; boshqacha qilib aytganda, an ellipsoid ikkitasi teng yarim diametrlar. Sferoid bor dumaloq simmetriya.

Agar ellips katta o'qi atrofida aylantirilsa, natijada a bo'ladi prolat (cho'zilgan) sferoid, shakli an Amerika futboli yoki regbi to'p. Agar ellips kichik o'qi atrofida aylantirilsa, natija oblat (yassilangan) sferoid, shakli a yasmiq. Agar hosil qiluvchi ellips aylana bo'lsa, natija a bo'ladi soha.

Ning birgalikdagi ta'siri tufayli tortishish kuchi va aylanish, Yerning shakli (va barchasidan sayyoralar ) bu shunchaki shar emas, aksincha biroz yassilangan uning aylanish o'qi yo'nalishi bo'yicha. Shu sababli, ichida kartografiya va geodeziya Yerni tez-tez oblat sferoid, ya'ni mos yozuvlar ellipsoid, shar o'rniga. Joriy Jahon geodezik tizimi modelida radiusi 6,378,137 km (3,963,191 mi) bo'lgan sferoid ishlatiladi Ekvator va 6 356,752 km (3,949.903 mil) da qutblar.

So'z sferoid dastlab "taxminan sferik tana" degan ma'noni anglatadi, ikki yoki uch eksenel ellipsoidal shakldan tashqarida ham qonunbuzarliklarni tan oladi va bu atama geodeziya bo'yicha ba'zi eski hujjatlarda (masalan, Yerning kesilgan sferik garmonik kengayishlariga ishora qiladi) ).^[1]

Tenglama

Sferoidda yarim o'qlarni tayinlash. Agar oblat bo'lsa

v < a

(chapda) va agar prolat bo'lsa

v > a

(o'ngda).

Yarim o'qlar bilan boshida markazlashtirilgan uch eksenel ellipsoid tenglamasi $a$ , $b$ va $v$ koordinata o'qlari bo'ylab hizalanadi

{ displaystyle { frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + { frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} + { frac {z ^ {2} } {c ^ {2}}} = 1.}

Sferoid tenglamasi $z$ sifatida simmetriya o'qi sozlash orqali beriladi $a = b$ :

{ displaystyle { frac {x ^ {2} + y ^ {2}} {a ^ {2}}} + { frac {z ^ {2}} {c ^ {2}}} = 1.}

Yarim o'q $a$ sferoidning ekvatorial radiusi va $v$ simmetriya o'qi bo'ylab markazdan qutbgacha bo'lgan masofa. Ikkita mumkin bo'lgan holatlar mavjud:

$v < a$ : oblat sferoid
$v > a$ : prolate spheroid

Ishi $a = v$ kichraytiradi.

Xususiyatlari

Maydon

Oblat sferoid $v < a$ bor sirt maydoni

{ displaystyle S _ { rm {oblate}} = 2 pi a ^ {2} chap (1 + { frac {1-e ^ {2}} {e}} { text {artanh}} , e o'ng) = 2 pi a ^ {2} + pi { frac {c ^ {2}} {e}} ln chap ({ frac {1 + e} {1-e}} o'ng) quad { mbox {qaerda}} quad e ^ {2} = 1 - { frac {c ^ {2}} {a ^ {2}}}.}

Oblat sferoid atrofida aylanish orqali hosil bo'ladi $z$ - yarim katta o'qi bo'lgan ellipsning o'qi $a$ va yarim kichik o'q $v$ , shuning uchun $e$ sifatida aniqlanishi mumkin ekssentriklik. (Qarang ellips.)^[2]

Prolat sferoid $v > a$ yuzasiga ega

{ displaystyle S _ { rm {prolate}} = 2 pi a ^ {2} chap (1 + { frac {c} {ae}} arcsin , e right) qquad { mbox {qaerda }} qquad e ^ {2} = 1 - { frac {a ^ {2}} {c ^ {2}}}.}

Prolat sferoid atrofida aylanish orqali hosil bo'ladi $z$ - yarim katta o'qi bo'lgan ellipsning o'qi $v$ va yarim kichik o'q $a$ ; shu sababli, $e$ deb yana aniqlanishi mumkin ekssentriklik. (Qarang ellips.) ^[3]

Ushbu formulalar formulasi ma'nosida bir xil $S oblat$ prolat sferoidning sirtini hisoblash uchun ishlatilishi mumkin va aksincha. Biroq, $e$ keyin bo'ladi xayoliy va endi to'g'ridan-to'g'ri ekssentriklik bilan aniqlanishi mumkin emas. Ushbu natijalarning ikkalasi ham standart matematik identifikatsiyadan va ellips parametrlari o'rtasidagi aloqalardan foydalangan holda boshqa ko'plab shakllarga kiritilishi mumkin.

Tovush

Sferoid ichidagi tovush (har qanday turdagi) ${ displaystyle { frac {4 pi} {3}} a ^ {2} c taxminan 4.19a ^ {2} c}$ . Agar ${ displaystyle A = 2a}$ ekvatorial diametri va ${ displaystyle C = 2c}$ qutb diametri, hajmi ${ displaystyle { frac { pi} {6}} A ^ {2} C taxminan 0,523A ^ {2} C}$ .

Egrilik

Agar sferoid sifatida parametrlangan bo'lsa

{ displaystyle { vec { sigma}} ( beta, lambda) = (a cos beta cos lambda, a cos beta sin lambda, c sin beta); , !}

qayerda $β$ bo'ladi kamaytirilgan yoki parametrik kenglik, $λ$ bo'ladi uzunlik va $- π / 2 < β < + π / 2$ va $-π < λ <+ π$ , keyin uning Gauss egriligi bu

{ displaystyle K ( beta, lambda) = {c ^ {2} over left (a ^ {2} + left (c ^ {2} -a ^ {2} right) cos ^ { 2} beta right) ^ {2}}; , !}

va uning egrilik degani bu

{ displaystyle H ( beta, lambda) = {c chap (2a ^ {2} + chap (c ^ {2} -a ^ {2} right) cos ^ {2} beta right ) over 2a chap (a ^ {2} + chap (c ^ {2} -a ^ {2} right) cos ^ {2} beta right) ^ { frac {3} {2 }}}. , !}

Ushbu ikkala egrilik har doim ijobiydir, shuning uchun sferoiddagi har bir nuqta elliptik bo'ladi.

Tomonlarning nisbati

The tomonlar nisbati oblat sferoid / ellipsning, $v : a$ , qutbning ekvatorial uzunliklarga nisbati, esa tekislash (oblateness deb ham ataladi) $f$ , ekvatorial-qutb uzunlik farqining ekvatorial uzunlikka nisbati:

{ displaystyle f = { frac {a-c} {a}} = 1 - { frac {c} {a}}.}

Birinchi ekssentriklik (odatda yuqoridagi kabi oddiygina ekssentriklik) ko'pincha tekislash o'rniga ishlatiladi.^[4] U quyidagicha belgilanadi:

{ displaystyle e = { sqrt {1 - { frac {c ^ {2}} {a ^ {2}}}}}}

Eksantriklik va tekislik o'rtasidagi munosabatlar:

{ displaystyle e = { sqrt {2f-f ^ {2}}}}

,

{ displaystyle f = 1 - { sqrt {1-e ^ {2}}}}

Barcha zamonaviy geodezik ellipsoidlar yarim katta o'q va ortiqcha yarim minalar o'qi (tomonlar nisbatini beradigan), tekislash yoki birinchi eksantriklik bilan belgilanadi. Ushbu ta'riflar matematik jihatdan bir-birining o'rnini bosadigan bo'lsa-da, haqiqiy hisob-kitoblar aniqligini yo'qotishi kerak. Chalkashliklarni oldini olish uchun ellipsoid ta'rifi o'z qiymatlarini u beradigan shaklda aniq deb hisoblaydi.

Ilovalar

Proton va neytronlarning zichligini taqsimlash uchun eng keng tarqalgan shakllar atom yadrosi bor sferik, qutb o'qi spin o'qi (yoki aylanish yo'nalishi) deb qabul qilingan prolat va oblate sferoidal burchak momentum vektor). Deformatsiyalangan yadro shakllari o'rtasidagi raqobat natijasida paydo bo'ladi elektromagnit protonlar orasidagi tortishish, sirt tarangligi va kvant qobiq effektlari.

Shilliq pardalar

Sayyora Yupiter a bilan oblat sferoiddir tekislash 0.06487 dan

Oblat sferoid - bu aylananing taxminiy shakli sayyoralar va boshqalar osmon jismlari, shu jumladan Yer, Saturn, Yupiter va tezda aylanayotgan yulduz Altair. Saturn - bu eng oblat sayyora Quyosh sistemasi, bilan tekislash 0.09796 dan. Ma'rifat olim Isaak Nyuton, dan ishlaydigan Jan Rixer sarkaç tajribalari va Kristiya Gyuygens ularning talqini uchun nazariyalar, Yupiter va Yer ular tufayli oblat sferoidlardir markazdan qochiradigan kuch.^[5]^[6] Yerning turli xil kartografik va geodezik tizimlari asoslanadi mos yozuvlar ellipsoidlari, barchasi oblat.

A ilmiy fantastika nihoyatda oblat sayyoraning misoli Mesklin dan Hal Klement roman Gravitatsiya missiyasi.

Prolate sferoidlari

Avstraliya qoidalari futbol.

Prolat sferoid - bu kabi bir nechta sport turlarida to'pning taxminiy shakli regbi futboli.

Bir nechta oylar Quyosh tizimining shakli taxminan prolat sferoidlar, aslida ular bo'lsa ham triaksial ellipsoidlar. Misollar Saturn sun'iy yo'ldoshlar Mimalar, Enceladus va Tetis va Uran sun'iy yo'ldosh Miranda.

Oblat sferoidlarga tez aylanish orqali buzilishidan farqli o'laroq, osmon jismlari prolat sferoidlarga bir oz buziladi gelgit kuchlari ular ulkan jismni yaqin orbitada aylanayotganda. Eng yorqin misol - Yupiterning oyidir Io, bu ozgina ekssentriklik tufayli o'z orbitasida biroz ko'proq yoki kamroq prolatga aylanib, shiddatni keltirib chiqaradi vulkanizm. Sferoid prolatning asosiy o'qi bu holda sun'iy yo'ldosh qutblari orqali emas, balki uning ekvatoridagi birlamchi tomon to'g'ridan-to'g'ri va undan uzoqda joylashgan ikkita nuqta orqali o'tadi.

Bu atama ba'zilarning shaklini tavsiflash uchun ham ishlatiladi tumanliklar kabi Qisqichbaqa tumanligi.^[7] Frenel zonalari, kosmosdagi to'lqinlarning tarqalishini va aralashuvini tahlil qilish uchun ishlatiladigan, transmitter va qabul qilgich o'rtasida to'g'ridan-to'g'ri ko'rish chizig'i bo'ylab tekislangan asosiy o'qlari bo'lgan bir qator konsentrik prolat sferoidlardir.

The atom yadrolari ning aktinid va lantanid elementlar prolat sferoidlar kabi shakllangan.^[8] Anatomiyada, sferoidga yaqin organlar kabi moyak ular bilan o'lchanishi mumkin uzun va qisqa o'qlar.^[9]

Ko'plab dengiz osti kemalari shaklga ega bo'lib, ularni prolat sferoid deb atash mumkin.^[10]

Dinamik xususiyatlar

Bir xil zichlikka ega bo'lgan sferoid uchun harakatsizlik momenti qo'shimcha simmetriya o'qiga ega bo'lgan ellipsoidnikidir. A ga ega bo'lgan sferoidning tavsifi berilgan katta o'q $v$ va kichik o'qlar $a$ va $b$ , ushbu asosiy o'qlar bo'ylab inersiya momentlari $C$ , $A$ va $B$ . Biroq, sferoidda kichik o'qlar nosimmetrikdir. Shuning uchun bizning asosiy o'qlar bo'yicha inertsional atamalarimiz:^[11]

{ displaystyle A = B = { frac {1} {5}} M (a ^ {2} + c ^ {2}),}

{ displaystyle C = { frac {1} {5}} M (a ^ {2} + a ^ {2}) = { frac {2} {5}} M (a ^ {2}),}

qayerda $M$ deb belgilangan tana massasi

{ displaystyle M = { frac {4} {3}} pi rho ca ^ {2}.}

Shuningdek qarang

Adabiyotlar

^ Torge, Volfgang (2001). Geodeziya (3-nashr). Valter de Gruyter. p. 104. ISBN 9783110170726.
^ Ushbu natijadan kelib chiqadigan manzilni topish mumkin "Oblate Spheroid - Wolfram MathWorld-dan". Mathworld.wolfram.com. Olingan 24 iyun 2014.
^ Ushbu natijadan kelib chiqadigan manzilni topish mumkin "Prolate Spheroid - Wolfram MathWorld-dan". Mathworld.wolfram.com. 2003 yil 7 oktyabr. Olingan 24 iyun 2014.
^ Brial P., Shaalan C. (2009), Kirish à la Géodésie et au geopositionnement par sun'iy yo'ldoshlar, s.8
^ Greenburg, Jon L. (1995). "Isaak Nyuton va Yer shaklidagi muammo". Aniq fanlar tarixi. Springer. 49 (4): 371–391. doi:10.1007 / BF00374704. JSTOR 41134011. S2CID 121268606.
^ Durant, iroda; Durant, Ariel (1997 yil 28-iyul). Sivilizatsiya tarixi: Lyudovik XIV asr. MJF kitoblari. ISBN 1567310192.
^ Trimble, Virjiniya Luiz (1973 yil oktyabr), "Qisqichbaqa tumanligi va NP 0532 gacha bo'lgan masofa", Tinch okeanining astronomik jamiyati nashrlari, 85 (507): 579, Bibcode:1973PASP ... 85..579T, doi:10.1086/129507
^ "Yadro bo'linishi - bo'linish nazariyasi". Britannica entsiklopediyasi.
^ Sahifa 559 ichida: Jon Pellerito, Jozef F Polak (2012). Qon tomirlari ultratovush tekshiruviga kirish (6 nashr). Elsevier sog'liqni saqlash fanlari. ISBN 9781455737666.
^ "Dengiz osti kemasi, raketa va futbolning umumiy jihatlari nimada?". Ilmiy Amerika. 2010 yil 8-noyabr. Olingan 13 iyun 2015.
^ Vayshteyn, Erik V. "Sferoid". MathWorld - Wolfram veb-resursi. Olingan 16 may 2018.

[1] Torge, Volfgang (2001). Geodeziya (3-nashr). Valter de Gruyter. p. 104. ISBN 9783110170726.

[2] Ushbu natijadan kelib chiqadigan manzilni topish mumkin "Oblate Spheroid - Wolfram MathWorld-dan". Mathworld.wolfram.com. Olingan 24 iyun 2014.

[3] Ushbu natijadan kelib chiqadigan manzilni topish mumkin "Prolate Spheroid - Wolfram MathWorld-dan". Mathworld.wolfram.com. 2003 yil 7 oktyabr. Olingan 24 iyun 2014.

[4] Brial P., Shaalan C. (2009), Kirish à la Géodésie et au geopositionnement par sun'iy yo'ldoshlar, s.8

[5] Greenburg, Jon L. (1995). "Isaak Nyuton va Yer shaklidagi muammo". Aniq fanlar tarixi. Springer. 49 (4): 371–391. doi:10.1007 / BF00374704. JSTOR 41134011. S2CID 121268606.

[6] Durant, iroda; Durant, Ariel (1997 yil 28-iyul). Sivilizatsiya tarixi: Lyudovik XIV asr. MJF kitoblari. ISBN 1567310192.

[Trimble1973-7] Trimble, Virjiniya Luiz (1973 yil oktyabr), "Qisqichbaqa tumanligi va NP 0532 gacha bo'lgan masofa", Tinch okeanining astronomik jamiyati nashrlari, 85 (507): 579, Bibcode:1973PASP ... 85..579T, doi:10.1086/129507

[8] "Yadro bo'linishi - bo'linish nazariyasi". Britannica entsiklopediyasi.

[9] Sahifa 559 ichida: Jon Pellerito, Jozef F Polak (2012). Qon tomirlari ultratovush tekshiruviga kirish (6 nashr). Elsevier sog'liqni saqlash fanlari. ISBN 9781455737666.

[scientific_american-10] "Dengiz osti kemasi, raketa va futbolning umumiy jihatlari nimada?". Ilmiy Amerika. 2010 yil 8-noyabr. Olingan 13 iyun 2015.

[11] Vayshteyn, Erik V. "Sferoid". MathWorld - Wolfram veb-resursi. Olingan 16 may 2018.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]