Valds tenglamasi - Walds equation - Wikipedia

Yilda ehtimollik nazariyasi, Vald tenglamasi, Waldning shaxsiyati[1] yoki Wald lemmasi[2] muhim ahamiyatga ega shaxsiyat hisoblashni soddalashtiradigan kutilayotgan qiymat tasodifiy miqdorlarning tasodifiy sonining yig'indisi. Oddiy shaklda, bu tasodifiy ko'p sonli o'rtacha miqdorni kutish bilan bog'liq, mustaqil va bir xil taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchilar yig'indagi atamalarning kutilgan soniga va tasodifiy o'zgaruvchilarning umumiy kutishlariga mustaqil chaqiriqlarning.

Tenglama nomi bilan nomlangan matematik Ibrohim Uold. Ikkinchi lahzaning o'ziga xosligi Blekuell - Girshik tenglamasi.[3]

Asosiy versiya

Ruxsat bering (Xn)n∈ℕ bo'lishi a ketma-ketlik haqiqiy qiymatga ega, mustaqil va bir xil taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchilar N ketma-ketlikka bog'liq bo'lmagan manfiy bo'lmagan butun sonli tasodifiy o'zgaruvchi bo'ling (Xn)n∈ℕ. Aytaylik N va Xn cheklangan umidlarga ega. Keyin

Misol

Olti tomonni aylantiring zar. O'lgan raqamni oling (qo'ng'iroq qiling) N) va raqamlarni olish uchun olti qirrali zarlarning sonini aylantiring X1, . . . , XNva ularning qiymatlarini qo'shing. Vold tenglamasi bo'yicha o'rtacha qiymat hosil bo'ladi

Umumiy versiya

Ruxsat bering (Xn)n∈ℕ haqiqiy qiymatdagi tasodifiy o'zgaruvchilarning cheksiz ketma-ketligi bo'lsin va bo'lsin N manfiy bo'lmagan tamsayıli tasodifiy o'zgaruvchi bo'ling.

Faraz qiling:

1. (Xn)n∈ℕ hammasi integral (cheklangan o'rtacha) tasodifiy o'zgaruvchilar,
2. E [Xn1{Nn}] = E [Xn] P (Nn) har bir kishi uchun tabiiy son nva
3. cheksiz qator qondiradi

Keyin tasodifiy yig'indilar

yaxlit va

Agar qo'shimcha ravishda,

4. (Xn)n∈ℕ barchasi bir xil umidga ega va
5. N cheklangan umidga ega,

keyin

Izoh: Odatda, ism Vald tenglamasi bu oxirgi tenglikka ishora qiladi.

Taxminlarni muhokama qilish

Shubhasiz, taxmin (1) taxminni shakllantirish uchun kerak (2) va Uold tenglamasi. Taxmin (2) ketma-ketlik o'rtasida ruxsat etilgan bog'liqlik miqdorini boshqaradi (Xn)n∈ℕ va raqam N atamalar; ga qarang qarshi misol uchun quyida zaruriyat. Ushbu taxminga e'tibor bering (2) qachon qoniqadi N a to'xtash vaqti ketma-ketlik uchun (Xn)n∈ℕ.[iqtibos kerak ] Taxmin (3) ko'proq texnik xususiyatga ega, nazarda tutilgan mutlaq yaqinlashish va shuning uchun o'zboshimchalik bilan qayta tartibga solishga imkon beradi isbotida cheksiz qator.

Agar taxmin (5) qoniqtirildi, keyin taxmin (3) oddiyroq holatga keltirish mumkin

6. haqiqiy doimiy mavjud C shu kabi E [|Xn| 1{Nn}] ≤ C P (Nn) barcha natural sonlar uchun n.

Darhaqiqat, taxminlardan foydalanib (6),

va oxirgi qator kutilganga teng N [Isbot ], taxmin bilan cheklangan (5). Shuning uchun, (5) va (6) taxminni nazarda tutadi (3).

Ga qo'shimcha sifatida qabul qiling (1) va (5) bu

7. N ketma-ketlikka bog'liq emas (Xn)n∈ℕ va
8. doimiy mavjud C shu kabi E [|Xn|] ≤ C barcha natural sonlar uchun n.

Keyin barcha taxminlar (1), (2), (5) va (6), shuning uchun ham (3) mamnun. Xususan, shartlar (4) va (8), agar qondirilsa

9. tasodifiy o'zgaruvchilar (Xn)n∈ℕ barchasi bir xil taqsimotga ega.

E'tibor bering, ketma-ketlikning tasodifiy o'zgaruvchilari (Xn)n∈ℕ mustaqil bo'lish shart emas.

Qizig'i shundaki, tasodifiy son o'rtasidagi bog'liqlikni tan olish N atamalar va ketma-ketlik (Xn)n∈ℕ. Standart versiya (1), (5), (8) va mavjudligi filtrlash (Fn)n∈ℕ0 shu kabi

10. N a to'xtash vaqti filtrlashga nisbatan va
11. Xn va Fn–1 har bir kishi uchun mustaqil n ∈ ℕ.

Keyin (10) hodisani nazarda tutadi {Nn} = {Nn – 1}v ichida Fn–1, shuning uchun (11) mustaqil Xn. Bu shuni anglatadiki (2) va (bilan)8) bu shuni anglatadi (6).

Qulaylik uchun (ixtiyoriy to'xtash teoremasidan foydalangan holda quyidagi dalillarni ko'ring) va ketma-ketlikning aloqasini aniqlang (Xn)n∈ℕ va filtrlash (Fn)n∈ℕ0, quyidagi qo'shimcha taxminlar ko'pincha qo'yiladi:

12. ketma-ketlik (Xn)n∈ℕ bu moslashtirilgan filtrlashga (Fn)n∈ℕ, ma'nosini anglatadi Xn bu Fn- har bir kishi uchun o'lchanadi n ∈ ℕ.

Yozib oling (11) va (12) birgalikda tasodifiy o'zgaruvchilarni nazarda tutadi (Xn)n∈ℕ mustaqil.

Ilova

Ilova mavjud aktuar fan da'voning umumiy miqdori ko'rib chiqilganda a aralash Poisson jarayoni

ma'lum bir vaqt oralig'ida, masalan, bir yil, tasodifiy sondan kelib chiqadi N o'lchamlari tasodifiy o'zgaruvchilar tomonidan tavsiflangan individual sug'urta da'volarining (Xn)n∈ℕ. Yuqoridagi taxminlarga ko'ra, Voldning tenglamasidan yiliga o'rtacha da'vo soni va o'rtacha da'vo hajmi to'g'risida ma'lumot mavjud bo'lganda kutilgan da'vo miqdorini hisoblash uchun foydalanish mumkin. Kuchli taxminlar asosida va asosiy taqsimotlar haqida ko'proq ma'lumotga ega bo'lgan holda, Panjerning rekursiyasi ning taqsimlanishini hisoblash uchun foydalanish mumkin SN.

Misollar

Bog'liq atamalar bilan misol

Ruxsat bering N ajralmas bo'ling, 0-birlashtiriladigan, real qiymatli tasodifiy o'zgaruvchidan mustaqil bo'lgan, tasodifiy o'zgaruvchi Z bilan E [Z] = 0. Aniqlang Xn = (–1)nZ Barcha uchun n ∈ ℕ. Keyin taxminlar (1), (5), (7), va (8) bilan C : = E [|Z|] mamnun, shuning uchun ham (2) va (6) va Voldning tenglamasi qo'llaniladi. Agar taqsimot bo'lsa Z nosimmetrik emas, keyin (9) ushlamaydi. E'tibor bering, qachon Z deyarli nol tasodifiy o'zgaruvchiga teng emas, keyin (11) va (12) har qanday filtrlash uchun bir vaqtning o'zida ushlab turolmaydi (Fn)n∈ℕ, chunki Z kabi mustaqil bo'la olmaydi E [Z2] = (E [Z])2 = 0 mumkin emas.

Atamalar soni ketma-ketlikka bog'liq bo'lgan misol

Ruxsat bering (Xn)n∈ℕ mustaqil, nosimmetrik va {–1, +1} - tasodifiy o'zgaruvchilar. Har bir kishi uchun n ∈ ℕ ruxsat bering Fn bo'lishi b-algebra tomonidan yaratilgan X1, . . . , Xn va aniqlang N = n qachon Xn qiymatni oladigan birinchi tasodifiy o'zgaruvchidir +1. Yozib oling P (N = n) = 1/2n, demak E [N] < ∞ tomonidan nisbati sinovi. Taxminlar (1), (5) va (9), shuning uchun (4) va (8) bilan C = 1, (10), (11), va (12) ushlab turing, shuning uchun ham (2), va (6) va Uoldning tenglamasi qo'llaniladi. Biroq, (7) tutmaydi, chunki N ketma-ketligi bo'yicha aniqlanadi (Xn)n∈ℕ. Intuitiv ravishda, bunga umid qilish mumkin E [SN] > 0 Ushbu misolda, chunki summa birdan keyin to'xtaydi va shu bilan ijobiy tarafkashlikni keltirib chiqaradi. Biroq, Valdning tenglamasi bu sezgi noto'g'ri ekanligini ko'rsatadi.

Qarama-qarshi misollar

Taxmin qilish zarurligini ko'rsatuvchi qarshi misol (2)

Ketma-ketlikni ko'rib chiqing (Xn)n∈ℕ ning i.i.d. 0 va 1 qiymatlarining har birini ½ ehtimolligi bilan qabul qiladigan tasodifiy o'zgaruvchilar (aslida, faqat) X1 quyidagi narsalarga kerak). Aniqlang N = 1 – X1. Keyin SN xuddi shunday nolga teng, shuning uchun E [SN] = 0, lekin E [X1] = ½ va E [N] = ½ va shuning uchun Uoldning tenglamasi bajarilmaydi. Darhaqiqat, taxminlar (1), (3), (4) va (5) qondirilgan, ammo taxmindagi tenglama (2) hamma uchun amal qiladi n ∈ ℕ dan tashqari n = 1.

Taxmin qilish zarurligini ko'rsatuvchi qarshi misol (3)

Yuqoridagi ikkinchi misolga juda o'xshash, ruxsat bering (Xn)n∈ℕ mustaqil, nosimmetrik tasodifiy o'zgaruvchilar ketma-ketligi bo'lsin, bu erda Xn qadriyatlarning har birini oladi 2n va –2n ehtimollik bilan ½. Ruxsat bering N birinchi bo'ling n ∈ ℕ shu kabi Xn = 2n. Keyin, yuqoridagi kabi, N cheklangan kutishga ega, shuning uchun taxmin (5) ushlab turadi. Beri E [Xn] = 0 Barcha uchun n ∈ ℕ, taxminlar (1) va (4) tutmoq. Biroq, beri SN = 1 deyarli aniq, Uoldning tenglamasini ushlab bo'lmaydi.

Beri N hosil bo'lgan filtrlashga nisbatan to'xtash vaqti (Xn)n∈ℕ, taxmin (2) ushlab turadi, yuqoriga qarang. Shuning uchun, faqat taxmin (3) muvaffaqiyatsiz bo'lishi mumkin va haqiqatan ham

va shuning uchun P (Nn) = 1/2n–1 har bir kishi uchun n ∈ ℕ, bundan kelib chiqadiki

Ixtiyoriy to'xtash teoremasidan foydalangan holda isbot

Faraz qiling (1), (5), (8), (10), (11) va (12). Taxminlardan foydalanish (1), tasodifiy o'zgaruvchilar ketma-ketligini aniqlang

Taxmin (11) shartli kutishni anglatadi Xn berilgan Fn–1 teng E [Xn] deyarli har bir kishi uchun n ∈ ℕ, demak (Mn)n∈ℕ0 a martingale filtrlashga nisbatan (Fn)n∈ℕ0 taxmin bilan (12). Taxminlar (5), (8) va (10) ni qo'llashimiz mumkinligiga ishonch hosil qiling ixtiyoriy ravishda to'xtatish teoremasi, demak MN = SNTN ajralmas va

 

 

 

 

(13)

Taxmin tufayli (8),

va taxmin tufayli (5) bu yuqori chegara integraldir. Shuning uchun biz kutishni qo'shishimiz mumkin TN tenglamaning ikkala tomoniga (13) va chiziqli ravishda olish

Izoh: E'tibor bering, ushbu dalil quyidagilarni qamrab olmaydi yuqoridagi misol, bog'liq atamalar bilan.

Umumiy dalil

Ushbu dalil faqat foydalanadi Lebesguning bir xilligi va ustunlik qiluvchi konvergentsiya teoremalari.Biz ushbu bayonotni uch bosqichda isbotlaymiz.

1-qadam: tasodifiy yig'indining yaxlitligi SN

Dastlab biz tasodifiy summani ko'rsatamiz SN integraldir. Qisman summalarni aniqlang

 

 

 

 

(14)

Beri N uning qiymatlarini qabul qiladi 0 va beri S0 = 0, bundan kelib chiqadiki

The Lebesg monotonli yaqinlik teoremasi shuni anglatadiki

Uchburchak tengsizligi bilan,

Ushbu yuqori bahodan foydalanib va ​​yig'indining tartibini o'zgartirib (barcha atamalar salbiy bo'lmaganligi sababli bunga yo'l qo'yiladi) biz olamiz

 

 

 

 

(15)

bu erda ikkinchi tengsizlik monoton konvergentsiya teoremasi yordamida yuzaga keladi. Taxmin bo'yicha (3), o'ng tomonidagi cheksiz ketma-ketlik15) yaqinlashadi, demak SN integraldir.

2-qadam: tasodifiy yig'indining yaxlitligi TN

Endi biz tasodifiy summani ko'rsatamiz TN integraldir. Qisman summalarni aniqlang

 

 

 

 

(16)

haqiqiy sonlar. Beri N uning qiymatlarini qabul qiladi 0 va beri T0 = 0, bundan kelib chiqadiki

1-bosqichda bo'lgani kabi Lebesg monotonli yaqinlik teoremasi shuni anglatadiki

Uchburchak tengsizligi bilan,

Ushbu yuqori bahodan foydalanib va ​​yig'indining tartibini o'zgartirib (barcha atamalar salbiy bo'lmaganligi sababli bunga yo'l qo'yiladi) biz olamiz

 

 

 

 

(17)

Taxmin bo'yicha (2),

Buning o'rnini (17) hosil beradi

taxmin bilan cheklangan (3), shuning uchun TN integraldir.

3-qadam: shaxsni tasdiqlovchi hujjat

Vold tenglamasini isbotlash uchun biz tasodifiy yig'indilarning integralliligidan foydalanib, yana bir xil qadamlarni mutlaq qiymatsiz o'tamiz. SN va TN ular bir xil umidda ekanligini ko'rsatish uchun.

Dan foydalanish ustunlik qiluvchi konvergentsiya teoremasi dominant tasodifiy o'zgaruvchiga ega |SN| va qisman yig'indining ta'rifi Smen berilgan (14), bundan kelib chiqadi

Mutlaq yaqinlashish tufayli (15) yuqorida faraz yordamida (3), biz yig'indini qayta tuzishimiz va bunga erishishimiz mumkin

biz taxminni ishlatgan joyda (1) va dominant tasodifiy o'zgaruvchiga ega bo'lgan yaqinlashuvchi teorema |Xn| ikkinchi tenglik uchun. Taxmin tufayli (2) va ehtimollik o'lchovining σ-qo'shilishi,

Ushbu natijani oldingi tenglamaga almashtirish, summani qayta tashkil etish (bu mutlaq yaqinlashish tufayli ruxsat etiladi, qarang (15kutishning lineerligi va qisman yig'indisi ta'rifidan foydalanib) Tmen kutilgan umidlar (16),

Dominant tasodifiy o'zgaruvchiga yana dominant konvergentsiya yordamida |TN|,

Agar taxminlar (4) va (5), keyin kutishning lineerligi bilan qondiriladi,

Bu dalilni to'ldiradi.

Keyinchalik umumlashtirish

  • Uold tenglamasiga o'tkazilishi mumkin Rd-tasodifiy o'zgaruvchilar (Xn)n∈ℕ har bir komponent uchun bir o'lchovli versiyani qo'llash orqali.
  • Agar (Xn)n∈ℕ bor Bochner-integratsiyalashgan a qiymatlarini qabul qiladigan tasodifiy o'zgaruvchilar Banach maydoni, keyin yuqoridagi umumiy dalil mos ravishda sozlanishi mumkin.

Shuningdek qarang

Izohlar

  1. ^ Yanssen, Jak; Manca, Raimondo (2006). "Yangilanish nazariyasi". Amaliy yarim Markov jarayonlari. Springer. pp.45 –104. doi:10.1007/0-387-29548-8_2. ISBN  0-387-29547-X.
  2. ^ Tomas Bryuss, F.; Robertson, J. B. (1991). "'Valdning Lemma 'i.i.d. buyurtma summasi uchun. Tasodifiy o'zgaruvchilar ". Amaliy ehtimollikdagi yutuqlar. 23 (3): 612–623. doi:10.2307/1427625. JSTOR  1427625.
  3. ^ Blekuell, D.; Girshik, M. A. (1946). "K o'lchamdagi" tasodifiy yurish "muammosiga qo'llaniladigan mustaqil tasodifiy vektorlar ketma-ketligining funktsiyalari to'g'risida". Ann. Matematika. Statist. 17: 310–317. doi:10.1214 / aoms / 1177730943.

Adabiyotlar

Tashqi havolalar