Ruxsat etilgan effektlar modeli - Fixed effects model

Yilda statistika, a sobit effektlar modeli a statistik model unda model parametrlar sobit yoki tasodifiy bo'lmagan miqdorlar. Bu farqli o'laroq tasodifiy effektlar modellari va aralash modellar unda model parametrlarining barchasi yoki ba'zilari tasodifiy o'zgaruvchilar. Ko'pgina dasturlarda, shu jumladan ekonometriya^[1] va biostatistika^[2]^[3]^[4]^[5] sobit effektlar modeli a ga ishora qiladi regressiya modeli bunda guruh vositalari populyatsiyaning tasodifiy tanlovi bo'lgan tasodifiy effektlar modelidan farqli o'laroq sobit (tasodifiy bo'lmagan).^[6] Odatda, ma'lumotlar bir necha kuzatilgan omillar bo'yicha guruhlanishi mumkin. Guruh vositalari har bir guruhlash uchun qat'iy yoki tasodifiy effektlar sifatida modellashtirilishi mumkin. Ruxsat etilgan effektlar modelida har bir guruh o'rtacha guruhga xos sobit miqdorni anglatadi.

Yilda panel ma'lumotlari xuddi shu mavzu bo'yicha uzunlamasına kuzatuvlar mavjud bo'lsa, sobit ta'sirlar predmetga xos vositalarni anglatadi. Yilda panel ma'lumotlarini tahlil qilish atama sobit effektlarni baholovchi (shuningdek,. nomi bilan ham tanilgan taxminchi ichida) ga murojaat qilish uchun ishlatiladi taxminchi uchun koeffitsientlar regressiya modelida shu sobit effektlarni o'z ichiga oladi (har bir mavzu uchun bir martalik o'zgarmas tutilish).

Sifatli tavsif

Bunday modellar nazorat qilishda yordam beradi o'tkazib yuborilgan o'zgaruvchan tarafkashlik vaqt o'tishi bilan bu heterojenlik doimiy bo'lganda kuzatilmagan heterojenlik tufayli. Ushbu xilma-xillikni ma'lumotlardan farqlash yo'li bilan olib tashlash mumkin, masalan, vaqt o'tishi bilan guruh darajasidagi o'rtacha qiymatni olib tashlash yoki birinchi farq bu modelning istalgan vaqt o'zgarmas qismlarini olib tashlaydi.

Shaxsiy o'ziga xos effekt to'g'risida ikkita umumiy taxmin mavjud: tasodifiy effektlar va sobit ta'sirlar haqidagi taxmin. The tasodifiy effektlar faraz shundan iboratki, individual o'ziga xos effektlar mustaqil o'zgaruvchilar bilan o'zaro bog'liq emas. Ruxsat etilgan effekt taxminlari shundan iboratki, individual o'ziga xos effektlar mustaqil o'zgaruvchilar bilan o'zaro bog'liqdir. Agar tasodifiy effektlar taxminlari mavjud bo'lsa, tasodifiy effektlarni baholovchi ko'proq samarali sobit effektlarni baholovchiga qaraganda. Ammo, agar bu taxmin bajarilmasa, tasodifiy effektlarni baholovchi emas izchil. The Durbin-Vu-Xausman testi tez-tez sobit va tasodifiy effektlar modellarini ajratish uchun ishlatiladi.^[7]^[8]

Rasmiy model va taxminlar

Uchun chiziqli kuzatilmagan effektlar modelini ko'rib chiqing ${displaystyle N}$ kuzatuvlar va ${displaystyle T}$ vaqt oralig'i:

{displaystyle y_ {it} = X_ {it} mathbf {eta} + alfa _ {i} + u_ {it}}

uchun

{displaystyle t = 1, nuqta, T}

va

{displaystyle i = 1, nuqta, N}

Qaerda:

${displaystyle y_ {it}}$ individual uchun kuzatiladigan qaram o'zgaruvchidir ${displaystyle i}$ vaqtida ${displaystyle t}$ .
${displaystyle X_ {it}}$ vaqt variantidir ${displaystyle 1 imes k}$ (mustaqil o'zgaruvchilar soni) regressor vektori.
${displaystyle eta}$ bo'ladi ${displaystyle k imes 1}$ parametrlar matritsasi.
${displaystyle alfa _ {i}}$ kuzatilmagan vaqt o'zgarmas individual ta'siri. Masalan, shaxslar uchun tug'ma qobiliyat yoki mamlakatlar uchun tarixiy va institutsional omillar.
${displaystyle u_ {it}}$ bo'ladi xato muddati.

Aksincha ${displaystyle X_ {it}}$ , ${displaystyle alfa _ {i}}$ to'g'ridan-to'g'ri kuzatib bo'lmaydi.

Dan farqli o'laroq tasodifiy effektlar modeli qaerda kuzatilmagan ${displaystyle alfa _ {i}}$ dan mustaqildir ${displaystyle X_ {it}}$ Barcha uchun ${displaystyle t = 1, ..., T}$ , belgilangan effektlar (FE) modeli imkon beradi ${displaystyle alfa _ {i}}$ regressor matritsasi bilan o'zaro bog'liq bo'lish ${displaystyle X_ {it}}$ . Qattiq ekzogenlik o'ziga xos xato muddatiga nisbatan ${displaystyle u_ {it}}$ hali ham talab qilinadi.

Statistik baho

Ruxsat etilgan effektlarni baholovchi

Beri ${displaystyle alfa _ {i}}$ kuzatilishi mumkin emas, to'g'ridan-to'g'ri bo'lishi mumkin emas boshqariladigan uchun. FE modeli yo'q qiladi ${displaystyle alfa _ {i}}$ yordamida o'zgaruvchilarni pasaytirish orqali ichida o'zgartirish:

{displaystyle y_ {it} - {overline {y}} _ {i} = left (X_ {it} - {overline {X}} _ {i} ight) eta + left (alfa _ {i} - {overline { alfa}} _ {i} ight) + chap (u_ {it} - {overline {u}} _ {i} ight) {ddot {y}} _ {it} = {ddot {X}} _ {it } eta + {ddot {u}} _ {it}}

qayerda ${displaystyle {overline {y}} _ {i} = {frac {1} {T}} sum limitlari _ {t = 1} ^ {T} y_ {it}}$ , ${displaystyle {overline {X}} _ {i} = {frac {1} {T}} sum limitlari _ {t = 1} ^ {T} X_ {it}}$ va ${displaystyle {overline {u}} _ {i} = {frac {1} {T}} sum limitlari _ {t = 1} ^ {T} u_ {it}}$ .

Beri ${displaystyle alfa _ {i}}$ doimiy, ${displaystyle {overline {alfa _ {i}}} = alfa _ {i}}$ va shuning uchun ta'sir yo'q qilinadi. FE tahminchisi ${displaystyle {hat {eta}} _ {FE}}$ keyin ning OLS regressiyasi bilan olinadi ${displaystyle {ddot {y}}}$ kuni ${displaystyle {ddot {X}}}$ .

Ga kamida uchta alternativa ichida konvertatsiya o'zgarishlar bilan mavjud.

Ulardan biri har bir shaxs uchun qo'g'irchoq o'zgaruvchini qo'shishdir ${displaystyle i> 1}$ (birinchi shaxsni tashlab ketish sababli multikollinearlik ). Bu raqamli, ammo hisoblashda emas, belgilangan effekt modeliga teng va faqat qatorlar soni va global parametrlar sonining yig'indisi kuzatuvlar sonidan kichik bo'lsa ishlaydi.^[9] Dummy o'zgaruvchan yondashuv, ayniqsa, kompyuter xotirasidan foydalanishda juda talabchan va mavjud bo'lgan RAMdan kattaroq muammolar uchun tavsiya etilmaydi va qo'llaniladigan dastur kompilyatsiyasi o'z ichiga olishi mumkin.

Ikkinchi alternativa - mahalliy va global baholarga ketma-ket takrorlash yondashuvidan foydalanish.^[10] Ushbu yondashuv qo'pol o'zgaruvchan yondashuvga qaraganda ancha samarali bo'lgan past xotira tizimlari uchun juda mos keladi.

Uchinchi yondashuv - bu uyali taxmin, bunda individual seriyalar uchun mahalliy baho model ta'rifining bir qismi sifatida dasturlashtiriladi.^[11] Ushbu yondashuv eng hisoblash va xotira samaradorligi bilan ajralib turadi, ammo u dasturlashning malakali ko'nikmalarini va model dasturlash kodiga kirishni talab qiladi; garchi uni SAS da ham dasturlash mumkin.^[12]^[13]

Va nihoyat, agar ketma-ket baholash chiziqli bo'lsa (chiziqli bo'lmagan model ichida) bo'lsa, yuqorida keltirilgan alternativalarning har biri yaxshilanishi mumkin, bu holda individual qatorlar uchun to'g'ridan-to'g'ri chiziqli echim chiziqli bo'lmagan model ta'rifining bir qismi sifatida dasturlashtirilishi mumkin.^[14]

Birinchi farqni baholovchi

Ichki o'zgarishga alternativa bu birinchi farq o'zgarishi, bu boshqa taxminchi ishlab chiqaradi. Uchun ${displaystyle t = 2, nuqta, T}$ :

{displaystyle y_ {it} -y_ {i, t-1} = chap (X_ {it} -X_ {i, t-1} ight) va + chap (alfa _ {i} -alpha _ {i} ight) + chap (u_ {it} -u_ {i, t-1} ight) Delta y_ {it} = Delta X_ {it} eta + Delta u_ {it}.} degan ma'noni anglatadi.

FD tahminchisi ${displaystyle {hat {eta}} _ {FD}}$ keyin OLS regressiyasi bilan olinadi ${displaystyle Delta y_ {it}}$ kuni ${displaystyle Delta X_ {it}}$ .

Qachon ${displaystyle T = 2}$ , birinchi farq va sobit effektlarni baholovchilari son jihatdan tengdir. Uchun ${displaystyle T> 2}$ , ular emas. Agar xato shartlari bo'lsa ${displaystyle u_ {it}}$ bor gomoskedastik yo'q bilan ketma-ket korrelyatsiya, belgilangan effektlarni baholovchi ko'proq samarali birinchi farqni taxmin qiluvchiga qaraganda. Agar ${displaystyle u_ {it}}$ quyidagilar: tasodifiy yurish ammo, birinchi farqni baholash samaraliroq.^[15]

T = 2 bo'lganda sobit effektlarning tengligi va birinchi farqni baholovchi

Ikki davrga oid maxsus ish uchun ( ${displaystyle T = 2}$ ), sobit effektlar (FE) va birinchi farqni (FD) baholovchi son jihatdan tengdir. Buning sababi shundaki, FE taxminchisi FD taxminida ishlatiladigan "ma'lumotlar to'plamini ikki baravar ko'paytiradi". Buni ko'rish uchun belgilangan effektlarni baholash vositasi: ${displaystyle {FE} _ {T = 2} = chap [(x_ {i1} - {ar {x}} _ {i}) (x_ {i1} - {ar {x}} _ {i}) '+ (x_ {i2} - {ar {x}} _ {i}) (x_ {i2} - {ar {x}} _ {i}) 'ight] ^ {- 1} chap [(x_ {i1} - {ar {x}} _ {i}) (y_ {i1} - {ar {y}} _ {i}) + (x_ {i2} - {ar {x}} _ {i}) (y_ {i2) } - {ar {y}} _ {i}) ight]}$

Har biridan beri ${displaystyle (x_ {i1} - {ar {x}} _ {i})}$ deb qayta yozish mumkin ${displaystyle (x_ {i1} - {dfrac {x_ {i1} + x_ {i2}} {2}}) = {dfrac {x_ {i1} -x_ {i2}} {2}}}$ , biz satrni quyidagicha qayta yozamiz:

${displaystyle {FE} _ {T = 2} = chap [sum _ {i = 1} ^ {N} {dfrac {x_ {i1} -x_ {i2}} {2}} {dfrac {x_ {i1} - x_ {i2}} {2}} '+ {dfrac {x_ {i2} -x_ {i1}} {2}} {dfrac {x_ {i2} -x_ {i1}} {2}}' ight] ^ { -1} chap [sum _ {i = 1} ^ {N} {dfrac {x_ {i1} -x_ {i2}} {2}} {dfrac {y_ {i1} -y_ {i2}} {2}} + {dfrac {x_ {i2} -x_ {i1}} {2}} {dfrac {y_ {i2} -y_ {i1}} {2}} ight]}$

{displaystyle = left [sum _ {i = 1} ^ {N} 2 {dfrac {x_ {i2} -x_ {i1}} {2}} {dfrac {x_ {i2} -x_ {i1}} {2} } 'ight] ^ {- 1} chapda [sum _ {i = 1} ^ {N} 2 {dfrac {x_ {i2} -x_ {i1}} {2}} {dfrac {y_ {i2} -y_ { i1}} {2}} kun]}

{displaystyle = 2left [sum _ {i = 1} ^ {N} (x_ {i2} -x_ {i1}) (x_ {i2} -x_ {i1}) 'ight] ^ {- 1} chap [sum _ {i = 1} ^ {N} {frac {1} {2}} (x_ {i2} -x_ {i1}) (y_ {i2} -y_ {i1}) kechasi]}

{displaystyle = left [sum _ {i = 1} ^ {N} (x_ {i2} -x_ {i1}) (x_ {i2} -x_ {i1}) 'ight] ^ {- 1} sum _ {i = 1} ^ {N} (x_ {i2} -x_ {i1}) (y_ {i2} -y_ {i1}) = {FD} _ {T = 2}}

Chemberlen usuli

Gari Chemberlen usuli, taxminiy baholashning umumlashtirilishi o'rnini bosadi ${displaystyle alfa _ {i}}$ uning bilan chiziqli proektsiya tushuntirish o'zgaruvchilariga. Lineer proektsiyani quyidagicha yozish:

{displaystyle alfa _ {i} = lambda _ {0} + X_ {i1} lambda _ {1} + X_ {i2} lambda _ {2} + nuqta + X_ {iT} lambda _ {T} + e_ {i} }

bu quyidagi tenglamani keltirib chiqaradi:

{displaystyle y_ {it} = lambda _ {0} + X_ {i1} lambda _ {1} + X_ {i2} lambda _ {2} + nuqta + X_ {it} (lambda _ {t} + mathbf {eta} ) + nuqta + X_ {iT} lambda _ {T} + e_ {i} + u_ {it}}

tomonidan taxmin qilinishi mumkin minimal masofani taxmin qilish.^[16]

Hausman-Teylor usuli

Bir nechta vaqt variantli regressorga ega bo'lish kerak ( ${displaystyle X}$ ) va vaqt-invariantregressor ( ${displaystyle Z}$ ) va kamida bitta ${displaystyle X}$ va bitta ${displaystyle Z}$ bilan bog'liq bo'lmagan ${displaystyle alfa _ {i}}$ .

Bo'lim ${displaystyle X}$ va ${displaystyle Z}$ o'zgaruvchilar shunday ${displaystyle {egin {array} {c} X = [{underset {TN imes K1} {X_ {1it}}} vdots {underset {TN imes K2} {X_ {2it}}}] Z = [{underset { TN imes G1} {Z_ {1it}}} vdots {underset {TN imes G2} {Z_ {2it}}}] end {array}}}$ qayerda ${displaystyle X_ {1}}$ va ${displaystyle Z_ {1}}$ bilan bog'liq emas ${displaystyle alfa _ {i}}$ . Kerak ${displaystyle K1> G2}$ .

Hisoblash ${displaystyle gamma}$ OLS orqali ${displaystyle {widehat {di}} = Z_ {i} gamma + varphi _ {it}}$ foydalanish ${displaystyle X_ {1}}$ va ${displaystyle Z_ {1}}$ chunki asboblar izchil baho beradi.

Kirish noaniqligi bilan umumlashtirish

Uchun kirish noaniqligi mavjud bo'lganda ${displaystyle y}$ ma'lumotlar, ${displaystyle delta y}$ , keyin ${displaystyle chi ^ {2}}$ kvadrat qoldiqlari yig'indisi o'rniga qiymatini minimallashtirish kerak.^[17] Bunga to'g'ridan-to'g'ri almashtirish qoidalari orqali erishish mumkin:

{displaystyle {frac {y_ {it}} {delta y_ {it}}} = mathbf {eta} {frac {X_ {it}} {delta y_ {it}}} + alfa _ {i} {frac {1} {delta y_ {it}}} + {frac {u_ {it}} {delta y_ {it}}}}

,

keyin uchun qiymatlar va standart og'ishlar ${displaystyle mathbf {eta}}$ va ${displaystyle alfa _ {i}}$ klassik orqali aniqlanishi mumkin oddiy kichkina kvadratchalar tahlil va dispersiya-kovaryans matritsasi.

Tasdiqlangan effektlarni (FE) va tasodifiy effektlarni (RE) sinab ko'rish

A yordamida sobit yoki tasodifiy effektlar modeli mos kelishini tekshirib ko'rishimiz mumkin Durbin-Vu-Xausman testi.

{displaystyle H_ {0}}

:

{displaystyle alfa _ {i} perp X_ {it}, Z_ {i}}

{displaystyle H_ {a}}

:

{displaystyle alfa _ {i} ot perp X_ {it}, Z_ {i}}

Agar ${displaystyle H_ {0}}$ ikkalasi ham to'g'ri ${displaystyle {widehat {eta}} _ {RE}}$ va ${displaystyle {widehat {eta}} _ {FE}}$ izchil, ammo faqat ${displaystyle {widehat {eta}} _ {RE}}$ samarali. Agar ${displaystyle H_ {a}}$ haqiqat, ${displaystyle {widehat {eta}} _ {FE}}$ izchil va ${displaystyle {widehat {eta}} _ {RE}}$ emas.

{displaystyle {widehat {Q}} =}

{displaystyle {widehat {eta}} _ {RE} - {widehat {eta}} _ {FE}}

{displaystyle {widehat {HT}} = T {widehat {Q}} ^ {prime} [Var ({widehat {eta}} _ {FE}) - Var ({widehat {eta}} _ {RE})] ^ {-1} {widehat {Q}} sim chi _ {K} ^ {2}}

qayerda

{displaystyle K = dim (Q)}

Hausman testi spetsifikatsiya testidir, shuning uchun katta test statistikasi bo'lishi mumkinligiga ishora qilishi mumkin o'zgaruvchan xatolar (EIV) yoki bizning modelimiz noto'g'ri ko'rsatilgan. Agar FE taxminlari to'g'ri bo'lsa, biz buni topishimiz kerak ${displaystyle {widehat {eta}} _ {LD} taxminan {widehat {eta}} _ {FD} taxminan {widehat {eta}} _ {FE}}$ .

Oddiy evristik, agar shunday bo'lsa ${displaystyle leftvert {widehat {eta}} _ {LD} ightvert> leftvert {widehat {eta}} _ {FE} ightvert> leftvert {widehat {eta}} _ {FD} ightvert}$ EIV bo'lishi mumkin.

Shuningdek qarang

Ruxsat etilgan effektli Poisson modeli

Izohlar

^ Grin, VH, 2011 yil. Ekonometrik tahlil, 7-nashr, Prentice Hall
^ Diggle, Piter J.; Heagerty, Patrik; Liang, Kung-Yi; Zeger, Skott L. (2002). Uzunlamasına ma'lumotlarni tahlil qilish (2-nashr). Oksford universiteti matbuoti. 169–171 betlar. ISBN 0-19-852484-6.
^ Fitsmauris, Garret M.; Laird, Nan M.; Ware, Jeyms H. (2004). Amaliy uzunlamasına tahlil. Xoboken: John Wiley & Sons. 326-328-betlar. ISBN 0-471-21487-6.
^ Laird, Nan M.; Ware, Jeyms H. (1982). "Uzunlamasına ma'lumotlar uchun tasodifiy effektli modellar". Biometriya. 38 (4): 963–974. JSTOR 2529876.
^ Gardiner, Jozef S.; Luo, Chxey; Roman, Li Anne (2009). "Ruxsat etilgan effektlar, tasodifiy effektlar va GEE: qanday farqlar bor?". Tibbiyotdagi statistika. 28: 221–239. doi:10.1002 / sim.3478.
^ Ramsey, F., Schafer, D., 2002. Statistik Sleuth: Ma'lumotlarni tahlil qilish metodikasi kursi, 2-nashr. Duxbury Press
^ Kemeron, A. Kolin; Trivedi, Pravin K. (2005). Mikroiqtisodiyot: usullari va qo'llanilishi. Kembrij universiteti matbuoti. 717-19 betlar.
^ Nerlove, Mark (2005). Panel Data Econometrics-dagi insholar. Kembrij universiteti matbuoti. 36-39 betlar.
^ Garsiya, Oskar. (1983). "O'rmon daraxtlari balandligining o'sishi uchun stoxastik differentsial tenglama modeli". Biometriya: 1059–1072.
^ Tait, Devid; Cieszewski, Kris J.; Bella, Imre E. (1986). "Lodgepol qarag'ayining stend dinamikasi". Mumkin. J. uchun. Res. 18: 1255–1260.
^ Strub, Mayk; Cieszewski, Kris J. (2006). "Sayt indekslari modellarining parametrlarini baholash uchun ikkita texnikaning asosiy yoshi o'zgarmasligi xususiyatlari". O'rmon fanlari. 52 (2): 182–186.
^ Strub, Mayk; Cieszewski, Kris J. (2003). "Uchastka yoki daraxt maydonchalari indekslari mahalliy noqulay parametr sifatida ko'rib chiqilganda global sayt indekslari parametrlarini o'rnatish In: Burkhart HA, muharriri. O'rmon xo'jaligida statistika va axborot texnologiyalari bo'yicha simpozium materiallari; 2002 yil 8–12 sentyabr; Virjiniya shtati, Blacksburg: Virjiniya politexnika Institut va davlat universiteti ": 97–107. Iqtibos jurnali talab qiladi | jurnal = (Yordam bering)
^ Cieszewski, Kris J.; Xarrison, Mayk; Martin, Steysi V. (2000). "O'z-o'ziga yo'naltirilgan o'sish va rentabellik modellarida noaniq parametrlarni baholashning amaliy usullari" (PDF). PMRC texnik hisoboti. 2000 (7): 12.
^ Shnute, Jon; McKinnell, Skip (1984). "Javob sirtini tahlil qilish uchun biologik mazmunli yondashuv". Mumkin. J. Baliq. Suv. Ilmiy ish. 41: 936–953.
^ Wooldridge, Jeffri M. (2001). Kesma va panel ma'lumotlarini ekonometrik tahlil qilish. MIT Press. pp.279 –291. ISBN 978-0-262-23219-7.
^ Chemberlen, Gari (1984). "22-bob Panel ma'lumotlari". 2: 1247–1318. doi:10.1016 / S1573-4412 (84) 02014-6. ISSN 1573-4412. Iqtibos jurnali talab qiladi | jurnal = (Yordam bering)
^ Ren, Bin; Dong, Ruobing; Esposito, Tomas M.; Pueyo, Loran; Debes, Jon X.; Poteet, Charlz A.; Choquet, Elodi; Benisti, Myriam; Chiang, Yevgeniya; Grady, Kerol A.; Xayns, dekan C .; Shnayder, Glenn; Soummer, Rémi (2018). "MWC 758 diskdagi o'n yillik tasvirlar: Spiral-bilakni boshqaradigan sayyoralar qayerda?". Astrofizik jurnal xatlari. 857: L9. arXiv:1803.06776. Bibcode:2018ApJ ... 857L ... 9R. doi:10.3847 / 2041-8213 / aab7f5.

Adabiyotlar

Kristensen, Ronald (2002). Murakkab savollarga samolyot javoblari: Chiziqli modellar nazariyasi (Uchinchi nashr). Nyu-York: Springer. ISBN 0-387-95361-2.
Gujarati, Damodar N .; Porter, Dawn C. (2009). "Panel ma'lumotlarini regressiya qilish modellari". Asosiy ekonometriya (Beshinchi xalqaro nashr). Boston: McGraw-Hill. 591-616 betlar. ISBN 978-007-127625-2.
Hsiao, Cheng (2003). "Ruxsat etilgan effektli modellar". Panel ma'lumotlarini tahlil qilish (2-nashr). Nyu-York: Kembrij universiteti matbuoti. 95-103 betlar. ISBN 0-521-52271-4.
Wooldridge, Jeffri M. (2013). "Ruxsat etilgan effektlarni baholash". Kirish ekonometri: zamonaviy yondashuv (Beshinchi xalqaro nashr). Meyson, OH: Janubi-g'arbiy. 466-474 betlar. ISBN 978-1-111-53439-4.

Tashqi havolalar

[1] Grin, VH, 2011 yil. Ekonometrik tahlil, 7-nashr, Prentice Hall

[2] Diggle, Piter J.; Heagerty, Patrik; Liang, Kung-Yi; Zeger, Skott L. (2002). Uzunlamasına ma'lumotlarni tahlil qilish (2-nashr). Oksford universiteti matbuoti. 169–171 betlar. ISBN 0-19-852484-6.

[3] Fitsmauris, Garret M.; Laird, Nan M.; Ware, Jeyms H. (2004). Amaliy uzunlamasına tahlil. Xoboken: John Wiley & Sons. 326-328-betlar. ISBN 0-471-21487-6.

[4] Laird, Nan M.; Ware, Jeyms H. (1982). "Uzunlamasına ma'lumotlar uchun tasodifiy effektli modellar". Biometriya. 38 (4): 963–974. JSTOR 2529876.

[5] Gardiner, Jozef S.; Luo, Chxey; Roman, Li Anne (2009). "Ruxsat etilgan effektlar, tasodifiy effektlar va GEE: qanday farqlar bor?". Tibbiyotdagi statistika. 28: 221–239. doi:10.1002 / sim.3478.

[6] Ramsey, F., Schafer, D., 2002. Statistik Sleuth: Ma'lumotlarni tahlil qilish metodikasi kursi, 2-nashr. Duxbury Press

[7] Kemeron, A. Kolin; Trivedi, Pravin K. (2005). Mikroiqtisodiyot: usullari va qo'llanilishi. Kembrij universiteti matbuoti. 717-19 betlar.

[8] Nerlove, Mark (2005). Panel Data Econometrics-dagi insholar. Kembrij universiteti matbuoti. 36-39 betlar.

[9] Garsiya, Oskar. (1983). "O'rmon daraxtlari balandligining o'sishi uchun stoxastik differentsial tenglama modeli". Biometriya: 1059–1072.

[10] Tait, Devid; Cieszewski, Kris J.; Bella, Imre E. (1986). "Lodgepol qarag'ayining stend dinamikasi". Mumkin. J. uchun. Res. 18: 1255–1260.

[11] Strub, Mayk; Cieszewski, Kris J. (2006). "Sayt indekslari modellarining parametrlarini baholash uchun ikkita texnikaning asosiy yoshi o'zgarmasligi xususiyatlari". O'rmon fanlari. 52 (2): 182–186.

[12] Strub, Mayk; Cieszewski, Kris J. (2003). "Uchastka yoki daraxt maydonchalari indekslari mahalliy noqulay parametr sifatida ko'rib chiqilganda global sayt indekslari parametrlarini o'rnatish In: Burkhart HA, muharriri. O'rmon xo'jaligida statistika va axborot texnologiyalari bo'yicha simpozium materiallari; 2002 yil 8–12 sentyabr; Virjiniya shtati, Blacksburg: Virjiniya politexnika Institut va davlat universiteti ": 97–107. Iqtibos jurnali talab qiladi | jurnal = (Yordam bering)

[13] Cieszewski, Kris J.; Xarrison, Mayk; Martin, Steysi V. (2000). "O'z-o'ziga yo'naltirilgan o'sish va rentabellik modellarida noaniq parametrlarni baholashning amaliy usullari" (PDF). PMRC texnik hisoboti. 2000 (7): 12.

[14] Shnute, Jon; McKinnell, Skip (1984). "Javob sirtini tahlil qilish uchun biologik mazmunli yondashuv". Mumkin. J. Baliq. Suv. Ilmiy ish. 41: 936–953.

[15] Wooldridge, Jeffri M. (2001). Kesma va panel ma'lumotlarini ekonometrik tahlil qilish. MIT Press. pp.279 –291. ISBN 978-0-262-23219-7.

[Chamberlain1984-16] Chemberlen, Gari (1984). "22-bob Panel ma'lumotlari". 2: 1247–1318. doi:10.1016 / S1573-4412 (84) 02014-6. ISSN 1573-4412. Iqtibos jurnali talab qiladi | jurnal = (Yordam bering)

[ren18-17] Ren, Bin; Dong, Ruobing; Esposito, Tomas M.; Pueyo, Loran; Debes, Jon X.; Poteet, Charlz A.; Choquet, Elodi; Benisti, Myriam; Chiang, Yevgeniya; Grady, Kerol A.; Xayns, dekan C .; Shnayder, Glenn; Soummer, Rémi (2018). "MWC 758 diskdagi o'n yillik tasvirlar: Spiral-bilakni boshqaradigan sayyoralar qayerda?". Astrofizik jurnal xatlari. 857: L9. arXiv:1803.06776. Bibcode:2018ApJ ... 857L ... 9R. doi:10.3847 / 2041-8213 / aab7f5.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]