Talabalar qoldiqlari - Studentized residual

Ushbu maqolada bir nechta muammolar mavjud. Iltimos yordam bering uni yaxshilang yoki ushbu masalalarni muhokama qiling munozara sahifasi. (Ushbu shablon xabarlarini qanday va qachon olib tashlashni bilib oling) Bu maqola uchun qo'shimcha iqtiboslar kerak tekshirish. Iltimos yordam bering ushbu maqolani yaxshilang tomonidan ishonchli manbalarga iqtiboslarni qo'shish. Ma'lumot manbasi bo'lmagan material shubha ostiga olinishi va olib tashlanishi mumkin. Manbalarni toping: "Talabalar qoldiqlari"  – Yangiliklar  · gazetalar  · kitoblar  · olim  · JSTOR (2015 yil may) (Ushbu shablon xabarini qanday va qachon olib tashlashni bilib oling) Ushbu maqola haqiqat aniqligi bahsli. Tegishli munozarani munozara sahifasi. Iltimos, bahsli bayonotlar mavjudligini ta'minlashga yordam bering ishonchli manbalar. (2014 yil fevral) (Ushbu shablon xabarini qanday va qachon olib tashlashni bilib oling) (Ushbu shablon xabarini qanday va qachon olib tashlashni bilib oling)

Serialning bir qismi
Regressiya tahlili
Modellar
Lineer regressiya Oddiy regressiya Polinomial regressiya Umumiy chiziqli model
Umumlashtirilgan chiziqli model Alohida tanlov Binomial regressiya Ikkilik regressiya Logistik regressiya Multinomial logit Aralash logit Probit Multinomial probit Buyurtma qilingan logit Buyurtma qilingan probit Poisson
Ko'p darajali model Ruxsat etilgan effektlar Tasodifiy effektlar Lineer aralash effektlar modeli Lineer bo'lmagan aralash effektlar modeli
Lineer bo'lmagan regressiya Parametrik bo'lmagan Semiparametrik Sog'lom Quantile Izotonik Asosiy tarkibiy qismlar Eng kam burchak Mahalliy Segmentlangan
O'zgaruvchan xatolar
Bashorat
Eng kam kvadratchalar Lineer Lineer bo'lmagan
Oddiy Og'irligi Umumlashtirildi
Qisman Jami Salbiy emas Ridge regression Muntazam ravishda
Eng kam absolyutlar Takroriy qayta vazn Bayesiyalik Bayesiyalik ko'p o'zgaruvchan
Fon
Regressiyani tasdiqlash O'rtacha va taxmin qilingan javob Xatolar va qoldiqlar Yaxshilik yaxshi Talabalar qoldiqlari Gauss-Markov teoremasi
Matematik portal

Yilda statistika, a talabalar qoldig'i ning bo'linishi natijasida hosil bo'lgan miqdor qoldiq tomonidan smeta uning standart og'ish. Bu a shaklidir Talaba t-statistik, xatolarni baholash nuqtalari orasida o'zgarib turishi bilan.

Bu aniqlashda muhim usuldir chetga chiquvchilar. Bu sharafiga nomlangan bir nechta orasida Uilyam Sili Gosset, taxallus ostida yozgan Talaba. Statistikani a ga bo'lish namunaviy standart og'ish deyiladi talaba bo'lish, bilan o'xshashlikda standartlashtirish va normallashtirish.

Motivatsiya

Talaba bo'lishining asosiy sababi shundaki, regressiya tahlili a ko'p o'zgaruvchan tarqatish, ning farqlari qoldiqlar turli xil kirishlarda o'zgaruvchilar qiymatlari farq qilishi mumkin xatolar bu har xil kirish o'zgaruvchan qiymatlari teng. Muammo orasidagi farq statistikadagi xatolar va qoldiqlar, xususan, regressiyalardagi qoldiqlarning xatti-harakatlari.

Ni ko'rib chiqing oddiy chiziqli regressiya model

${ displaystyle Y = alpha _ {0} + alpha _ {1} X + varepsilon. ,}$

Tasodifiy tanlov berilgan (X_men, Y_men), men = 1, ..., n, har bir juftlik (X_men, Y_men) qondiradi

${ displaystyle Y_ {i} = alfa _ {0} + alfa _ {1} X_ {i} + varepsilon _ {i}, ,}$

qaerda xatolar ${ displaystyle varepsilon _ {i}}$, bor mustaqil va barchasi bir xil farqga ega ${ displaystyle sigma ^ {2}}$. The qoldiqlar haqiqiy xatolar emas, lekin taxminlar, kuzatiladigan ma'lumotlarga asoslanib. Baholash uchun eng kichik kvadratlar usuli qo'llanilganda ${ displaystyle alpha _ {0}}$ va ${ displaystyle alpha _ {1}}$, keyin qoldiqlar ${ displaystyle { widehat { varepsilon ,}}}$, xatolardan farqli o'laroq ${ displaystyle varepsilon}$, mustaqil bo'lishi mumkin emas, chunki ular ikkita cheklovni qondiradi

${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} { widehat { varepsilon ,}} _ {i} = 0}$

va

${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} { widehat { varepsilon ,}} _ {i} x_ {i} = 0.}$

(Bu yerda ε_men bo'ladi menth xato va ${ displaystyle scriptstyle { widehat { varepsilon ,}} _ {i}}$ bo'ladi menqoldiq.)

Qoldiqlar, xatolardan farqli o'laroq, barchasi bir xil farqga ega emas: dispersiya mos ravishda kamayadi x- qiymat o'rtacha qiymatdan uzoqlashadi x- qiymat. Bu ma'lumotlarning o'ziga xos xususiyati emas, balki domening uchlarida joylashgan regressiya qiymatlari. Shuningdek, u ta'sir funktsiyalari bo'yicha turli xil ma'lumotlar punktlari regressiya koeffitsientlari: so'nggi nuqtalar ko'proq ta'sirga ega. Buni ham ko'rish mumkin, chunki so'nggi nuqtalardagi qoldiqlar o'rnatilgan chiziq chizig'iga juda bog'liq, o'rtadagi qoldiqlar esa qiyalikka nisbatan sezgir emas. Haqiqat qoldiqlarning farqlari farq qiladi, Garchi; .. bo'lsa ham haqiqiy xatolarning farqlari barchasi tengdir bir-biriga, bu asosiy sabab talaba talabasi uchun.

Bu shunchaki populyatsiya parametrlari (o'rtacha va standart og'ish) noma'lum emasligi haqida emas - aynan shu regressiyalar Yo'l bering turli xil qoldiq taqsimotlari da turli xil ma'lumotlar punktlari, farqli o'laroq nuqta taxminchilar ning bitta o'zgaruvchan tarqatish, ulanish a umumiy taqsimot qoldiqlar uchun.

Fon

Ushbu oddiy model uchun dizayn matritsasi bu

${ displaystyle X = left [{ begin {matrix} 1 & x_ {1} vdots & vdots 1 & x_ {n} end {matrix}} right]}$

va shapka matritsasi H ning matritsasi ortogonal proektsiya dizayn matritsasining ustun maydoniga:

${ displaystyle H = X (X ^ {T} X) ^ {- 1} X ^ {T}. ,}$

The kaldıraç h_II bo'ladi menshapka matritsasida diagonali kirish. Ning o'zgarishi menqoldiq

${ displaystyle operator nomi {var} ({ widehat { varepsilon ,}} _ {i}) = sigma ^ {2} (1-h_ {ii}).}$

Agar dizayn matritsasi bo'lsa X faqat ikkita ustunga ega (yuqoridagi misolda bo'lgani kabi), bu tengdir

${ displaystyle operatorname {var} ({ widehat { varepsilon ,}} _ {i}) = sigma ^ {2} left (1 - { frac {1} {n}} - { frac {(x_ {i} - { bar {x}}) ^ {2}} { sum _ {j = 1} ^ {n} (x_ {j} - { bar {x}}) ^ {2 }}} o'ng).}$

Agar vaziyatda o'rtacha arifmetik, dizayn matritsasi X faqat bitta ustunga ega (a ularning vektori ) va bu shunchaki:

${ displaystyle operator nomi {var} ({ widehat { varepsilon ,}} _ {i}) = sigma ^ {2} chap (1 - { frac {1} {n}} o'ng). }$

Hisoblash

Yuqoridagi ta'riflarni hisobga olgan holda Talabalar qoldiqlari keyin

${ displaystyle t_ {i} = {{ widehat { varepsilon ,}} _ {i} over { widehat { sigma}} { sqrt {1-h_ {ii} }}}}$

qayerda ${ displaystyle { widehat { sigma}}}$ ning tegishli bahosi σ (pastga qarang).

O'rtacha bo'lsa, bu quyidagilarga teng:

${ displaystyle t_ {i} = {{ widehat { varepsilon ,}} _ {i} over { widehat { sigma}} { sqrt {(n-1) / n}}}}$

Ichki va tashqi talabalarni o'qitish

Ning odatiy bahosi σ² bo'ladi ichki talaba qoldiq

${ displaystyle { widehat { sigma}} ^ {2} = {1 nm} sum _ {j = 1} ^ {n} { widehat { varepsilon ,}} _ {j} ^ { , 2}.}$

qayerda m bu modeldagi parametrlar soni (bizning misolimizda 2 ta).

Ammo agar men Ushbu holat shubhali darajada katta deb gumon qilinmoqda, u holda u odatda tarqatilmaydi. Shuning uchun .ni chiqarib tashlash oqilona men -ni inobatga oladigan bo'lsak, dispersiyani taxmin qilish jarayonidan kuzatish men th holat tashqarida bo'lishi mumkin va buning o'rniga foydalaning tashqi talabalar qoldiq, ya'ni

${ displaystyle { widehat { sigma}} _ {(i)} ^ {2} = {1 over nm-1} sum _ { begin {smallmatrix} j = 1 j neq i end {smallmatrix}} ^ {n} { widehat { varepsilon ,}} _ {j} ^ {, 2},}$

barcha qoldiqlarga asoslangan bundan mustasno gumonlanuvchi men qoldiq. Shuni ta'kidlash kerak ${ displaystyle { widehat { varepsilon ,}} _ {j} ^ {, 2} (j neq i)}$ gumondor uchun men bilan hisoblanadi men th ish chiqarib tashlandi.

Agar taxmin bo'lsa σ² o'z ichiga oladi The men bu holda, u deyiladi ichki talaba qoldiq, ${ displaystyle t_ {i}}$ (shuningdek,. nomi bilan ham tanilgan standartlashtirilgan qoldiq ^[1]Agar taxmin bo'lsa ${ displaystyle { widehat { sigma}} _ {(i)} ^ {2}}$ o'rniga ishlatiladi, bundan mustasno The men bu holda, u deyiladi tashqi talabalar, ${ displaystyle t_ {i (i)}}$.

Tarqatish

Agar xatolar mustaqil bo'lsa va odatda taqsimlanadi bilan kutilayotgan qiymat 0 va dispersiya σ², keyin ehtimollik taqsimoti ning mentashqi talabalar qoldiqlari ${ displaystyle t_ {i (i)}}$ a Talabalarning t-taqsimoti bilan n − m − 1 erkinlik darajasi va dan o'zgarishi mumkin ${ displaystyle scriptstyle - infty}$ ga ${ displaystyle scriptstyle + infty}$.

Boshqa tomondan, ichki talabalar qoldiqlari oralig'ida ${ displaystyle scriptstyle 0 , pm , { sqrt { nu}}}$, qayerda ν = n − m qoldiq darajalar soni. Agar t_men ichki talabalar qoldig'ini ifodalaydi va yana xatolar mustaqil ravishda taqsimlangan Gauss o'zgaruvchilari deb taxmin qiladi, keyin:^[2]

${ displaystyle t_ {i} sim { sqrt { nu}} {t over { sqrt {t ^ {2} + nu -1}}}}$

qayerda t sifatida taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchidir Talabalarning t-taqsimoti bilan ν - 1 daraja erkinlik. Aslida, bu shuni anglatadi t_men² /ν quyidagicha beta-tarqatish B(1/2,(ν - 1) / 2) .Yuqoridagi taqsimot ba'zan tau taqsimoti;^[2] birinchi bo'lib 1935 yilda Tompson tomonidan olingan.^[3]

Qachon ν = 3, ichki talabalar qoldiqlari bir xil taqsimlangan o'rtasida ${ displaystyle scriptstyle - { sqrt {3}}}$ va ${ displaystyle scriptstyle + { sqrt {3}}}$.Agar bitta qoldiq erkinlik darajasi bo'lsa, ichki talabalar qoldiqlarini taqsimlash uchun yuqoridagi formula qo'llanilmaydi. Bu holda t_men barchasi +1 yoki -1, har biri uchun 50% imkoniyat mavjud.

Ichki talabalar qoldig'ini taqsimlashning standart og'ishi har doim 1 ga teng, ammo bu barcha standart og'ish degani emas. t_men Masalan, (0, 0) dan o'tgan to'g'ri chiziqni (1, 4), (2, -1), (2, -1) nuqtalarga o'rnatishda ichki talabalar qoldiqlari. ${ displaystyle { sqrt {2}}, - { sqrt {5}} / 5, - { sqrt {5}} / 5}$, va ularning standart og'ishi 1 emas.

Talaba qilingan har qanday juftlik qoldig'iga e'tibor bering t_men va t_j (qayerda ${ displaystyle i neq j}$), i.i.d. EMAS Ular bir xil taqsimotga ega, ammo qoldiqlarning cheklovlari 0 ga teng bo'lishi va ularni dizayn matritsasiga ortogonal bo'lishlari sababli mustaqil emaslar.

Dasturiy ta'minotni amalga oshirish

Kabi ko'plab dasturlar va statistika paketlari R, Python va boshqalar, Studentized qoldiqni amalga oshirishni o'z ichiga oladi.

Shuningdek qarang

• Kukning masofasi - kuzatish o'chirilganda regressiya koeffitsientlarining o'zgarishi o'lchovi
• Grubbsning sinovi
• Normallashtirish (statistika)
• Samuelsonning tengsizligi
• Standart ball
• Uilyam Seali Gosset

Adabiyotlar

Qo'shimcha o'qish

• Kuk, R. Dennis; Vaysberg, Sanford (1982). Qoldiqlar va regressiyadagi ta'sir (Repr. Tahr.). Nyu York: Chapman va Xoll. ISBN  041224280X. Olingan 23 fevral 2013.