Topologiyaning lug'ati - Glossary of topology

Bu filialda ishlatiladigan ba'zi atamalarning lug'ati matematika sifatida tanilgan topologiya. Garchi topologiyaning turli sohalari o'rtasida mutlaq farq yo'q bo'lsa-da, bu erda diqqat markazida umumiy topologiya. Quyidagi ta'riflar ham muhimdir algebraik topologiya, differentsial topologiya va geometrik topologiya.

Ushbu lug'atdagi barcha bo'shliqlar taxmin qilingan topologik bo'shliqlar agar boshqacha ko'rsatilmagan bo'lsa.

A

Mutlaqo yopiq: Qarang H yopiq

Kirish mumkin: Qarang ${displaystyle T_ {1}}$ .

Yig'ish nuqtasi: Qarang chegara nuqtasi.

Aleksandrov topologiyasi: Fazo topologiyasi X bu Aleksandrov topologiyasi (yoki shunday nihoyatda hosil bo'lgan) agar ochiq to'plamlarning o'zboshimchalik bilan kesishishi X yopiq to'plamlarning o'zboshimchalik birlashmalari yopiq bo'lsa, yoki yana ekvivalent bo'lib, agar ochiq to'plamlar yuqori to'plamlar a poset.^[1]

Deyarli diskret: Agar har bir ochiq to'plam yopiq bo'lsa (shuning uchun klopen), bo'sh joy deyarli alohida bo'ladi. Deyarli diskret bo'shliqlar aniq bir nol o'lchovli bo'shliqlardir.

a-yopiq, a-ochiq: Ichki to‘plam A topologik makon X a-ochiq, agar ${displaystyle Asubseteq operator nomi {Int} _ {X} chap (operator nomi {Cl} _ {X} chap (operator nomi {Int} _ {X} chap (Aight) ight) ight)}$ , va bunday to'plamning to'ldiruvchisi a-yopiq.^[2]

Joy yaqinlashmoqda: An kosmosga yaqinlashish metrik makonni nuqta-nuqta o'rniga belgilangan masofaga asoslangan holda umumlashtirishdir.

B

Baire maydoni

Buning ikkita umumiy ma'nosi bor:

Bo'shliq a Baire maydoni agar biron birining kesishishi bo'lsa hisoblanadigan zich ochiq to'plamlarning to'plami zich; qarang Baire maydoni.
Baire maydoni - bu natural sonlardan natural sonlargacha bo'lgan barcha funktsiyalar to'plami, nuqta bo'yicha yaqinlashish topologiyasi bilan; qarang Baire maydoni (to'plam nazariyasi).

Asosiy: To'plam B ochiq to'plamlarning bir qismi tayanch (yoki asos) topologiya uchun ${displaystyle au}$ agar har bir ochiq o'rnatilgan bo'lsa ${displaystyle au}$ bu to'plamlarning birlashmasi ${displaystyle B}$ . Topologiya ${displaystyle au}$ eng kichik topologiya ${displaystyle X}$ o'z ichiga olgan ${displaystyle B}$ tomonidan ishlab chiqarilgan deb aytiladi ${displaystyle B}$ .

Asos: Qarang Asosiy.

β-ochiq: Qarang Yarim oldindan ochish.

b-ochiq, b-yopiq: Ichki to‘plam A topologik makon X agar b bo'lsa ochiq ${displaystyle Asubseteq operator nomi {Int} _ {X} chap (operator nomi {Cl} _ {X} chap (Aight) ight) kubok operatori nomi {Int} _ {X} chap (operator nomi {Cl} _ {X} chap (Aight)) yaxshi)}$ . B-ochiq to'plamning to'ldiruvchisi b-yopiq.^[2]

Borel algebra: The Borel algebra topologik makonda ${displaystyle (X, au)}$ eng kichigi ${displaystyle sigma}$ -algebra barcha ochiq to'plamlarni o'z ichiga olgan. U hamma kesishgan holda olinadi ${displaystyle sigma}$ - algebralar yoqilgan ${displaystyle X}$ o'z ichiga olgan ${displaystyle au}$ .

Borel o'rnatdi: Borel to'plami Borel algebra elementidir.

Chegara: The chegara (yoki chegara) to'plamning ichki qismidan minus to'plamning yopilishi. Bunga teng ravishda, to'plam chegarasi uning yopilishining to'ldiruvchisi bilan kesishishi hisoblanadi. To'plam chegarasi ${displaystyle A}$ bilan belgilanadi ${displaystyle qisman A}$ yoki ${displaystyle bd}$ ${displaystyle A}$ .

Cheklangan: Metrik bo'shliqdagi to'plam chegaralangan agar bo'lsa cheklangan diametri. Bunga teng ravishda, agar u cheklangan radiusning ba'zi bir ochiq to'pida bo'lsa, cheklangan bo'ladi. A funktsiya metrik bo'shliqda qiymatlarni olish chegaralangan agar u bo'lsa rasm cheklangan to'plamdir.

C

Topologik bo'shliqlar toifasi: The toifasi Yuqori bor topologik bo'shliqlar kabi ob'ektlar va doimiy xaritalar kabi morfizmlar.

Koshi ketma-ketligi: A ketma-ketlik {x_n} metrik bo'shliqda (M, d) a Koshi ketma-ketligi agar, har bir kishi uchun ijobiy haqiqiy raqam r, bor tamsayı N shuning uchun barcha butun sonlar uchun m, n > N, bizda ... bor d(x_m, x_n) < r.

Klopen o'rnatildi: To'plam klopen agar u ham ochiq, ham yopiq bo'lsa.

Yopiq to'p: Agar (M, d) a metrik bo'shliq, yopiq to'p - bu shaklning to'plami D.(x; r) := {y yilda M : d(x, y) ≤ r}, qaerda x ichida M va r a ijobiy haqiqiy raqam, radius to'pning. Radiusning yopiq to'pi r a yopiq r-bol. Har qanday yopiq to'p - bu topologiyada yopiq to'plam M tomonidan d. Yopiq to'pga e'tibor bering D.(x; r) ga teng bo'lmasligi mumkin yopilish ochiq to'p B(x; r).

Yopiq to'plam: To'plam yopiq agar uning komplementi topologiyaning a'zosi bo'lsa.

Yopiq funktsiya: Agar bo'shliqdan boshqasiga funktsiya yopilgan bo'lsa, agar rasm har bir yopiq to'plam yopiq.

Yopish: The yopilish to'plamning asl to'plamini o'z ichiga olgan eng kichik yopiq to'plam. U o'z ichiga olgan barcha yopiq to'plamlarning kesishmasiga teng. To'plamni yopish elementi S a yopilish nuqtasi ning S.

Yopish operatori: Qarang Kuratovskiyni yopish aksiomalari.

Kattaroq topologiya: Agar X to'plam va agar bo'lsa T₁ va T₂ topologiyalar mavjud X, keyin T₁ bu qo'polroq (yoki kichikroq, kuchsizroq) dan T₂ agar T₁ tarkibida mavjud T₂. Ehtiyot bo'ling, ayniqsa ba'zi mualliflar tahlilchilar, atamadan foydalaning kuchliroq.

Keling: Ichki to‘plam A bo'shliq X bu kelishuv (sayg'oq) agar u bo'lsa to'ldiruvchi XA bu ozgina. Shuningdek, chaqirildi qoldiq.

Yilni: Bo'sh joy ixcham agar har bir ochiq qopqoqda a bo'lsa cheklangan subcover. Har qanday ixcham joy Lindelöf va parakompaktdir. Shuning uchun har bir ixcham Hausdorff maydoni normal holat. Shuningdek qarang kvazikompakt.

Yilni ixcham topologiya: The ixcham-ochiq topologiya to'plamda C(X, Y) ikki bo'shliq orasidagi barcha doimiy xaritalarning X va Y quyidagicha aniqlanadi: ixcham ichki to'plam berilgan K ning X va ochiq ichki qism U ning Y, ruxsat bering V(K, U) barcha xaritalar to'plamini belgilang f yilda C(X, Y) shu kabi f(K) tarkibida mavjud U. Keyin bularning barchasi to'plami V(K, U) ixcham ochiq topologiyaning pastki asosidir.

Bajarildi: Metrik bo'shliq to'liq agar har bir Koshi ketma-ketligi yaqinlashsa.

To'liq o'lchovli / to'liq o'lchovli: Qarang to'liq joy.

To'liq normal: Agar har qanday ikkita ajratilgan to'plam bo'lsa, bo'shliq butunlay normaldir ajratish mahallalar.

To'liq normal Hausdorff: To'liq normal Hausdorff maydoni (yoki T₅ bo'sh joy ) bu butunlay normal T₁ bo'sh joy. (To'liq normal bo'shliq Hausdorff agar va faqat agar bu T₁, shuning uchun terminologiya izchil.) Har bir normal Hausdorff maydoni normal Hausdorff.

To'liq muntazam: Bo'sh joy butunlay muntazam agar, qachon bo'lsa C yopiq to'plam va x nuqta emas C, keyin C va {x} funktsional jihatdan ajratilgan.

To'liq T₃: Qarang Tixonof.

Komponent: Qarang Ulangan komponent/Yo'lga ulangan komponent.

Ulangan: Bo'sh joy ulangan agar bu juftlikning birlashmasi bo'lmasa ajratish bo'sh bo'lmagan to'plamlar. Bunga teng ravishda bo'shliq ulanadi, agar faqatgina klopen to'plamlari butun bo'shliq va bo'sh to'plam bo'lsa.

Ulangan komponent: A ulangan komponent bo'shliq a maksimal bo'sh bo'lmagan ulangan pastki bo'shliq. Har bir bog'langan komponent yopiladi va bo'shliqning bog'langan tarkibiy qismlari to'plami a bo'lim bu makon.

Davomiy: Bir bo'shliqdan ikkinchisiga o'tish vazifasi davomiy agar oldindan tasvirlash har bir ochiq to'plam ochiq.

Davom etish: Bo'shliq, agar u ixcham, bog'langan Xausdorf maydoni bo'lsa, doimiylik deb ataladi.

Shartnoma: Bo'sh joy X agar bo'lsa hisobga olish xaritasi kuni X doimiy xaritaga homotopik hisoblanadi. Har qanday kontrakt maydoni oddiygina bog'langan.

Qo'shma mahsulot topologiyasi: Agar {X_men} - bu bo'shliqlar to'plami va X (nazariy) uyushmagan birlashma ning {X_men}, keyin qo'shma mahsulot topologiyasi (yoki ajratilgan kasaba uyushmasi topologiyasi, topologik summa ning X_men) ustida X barcha qarshi xaritalari uzluksiz bo'lgan eng yaxshi topologiyadir.

Kosmik makon: A davomiy rasm ba'zilari ajratiladigan metrik bo'shliq.^[3]

Hisoblanadigan zanjirning holati: Bo'sh joy X agar bo'sh bo'lmagan, juftlik bilan bo'linadigan ochiq to'plamlarning har bir oilasi hisoblanadigan bo'lsa, hisoblanadigan zanjir shartini qondiradi.

Juda ixcham: Bo'sh joy har birida juda ixchamdir hisoblanadigan ochiq qopqoq a cheklangan subcover. Har bir ixcham bo'shliq psevdokompakt va kuchsiz darajada ixchamdir.

Mahalliy darajada cheklangan: Bo'shliqning pastki to'plamlari to'plami X bu mahalliy darajada cheklangan (yoki b-mahalliy cheklangan) agar u a hisoblanadigan mahalliy cheklangan to'plamlarning to'plamlari to'plami X.

Muqova: Bo'shliqning pastki to'plamlari to'plami (yoki) qoplama) to'plamning birlashishi butun maydon bo'lsa, u bo'shliqning.

Qoplama: Qarang Muqova.

Kesish nuqtasi: Agar X bu bir nechta nuqta, keyin nuqta bilan bog'langan bo'shliq x ning X pastki bo'shliq bo'lsa, bu kesilgan nuqta X − {x} aloqasi uzildi.

D.

δ-klaster nuqtasi, δ-yopiq, δ-ochiq: Bir nuqta x topologik makon X kichik to'plamning δ-klaster nuqtasi A agar ${displaystyle Acap operator nomi {Int} _ {X} chap (operator nomi {Cl} _ {X} (U) ight) eq emptyset}$ har bir ochiq mahalla uchun U ning x yilda X. Ichki to‘plam A uning δ-klaster nuqtalari to'plamiga teng bo'lsa, δ-yopiq, agar komplementi δ-yopiq bo'lsa, δ-ochiq bo'ladi.^[4]

Zich to'plam: To'plam har bir bo'sh bo'lmagan ochiq to'plam bilan bo'shashmasdan kesishgan bo'lsa, zich bo'ladi. Teng ravishda, agar uning yopilishi butun bo'shliq bo'lsa, to'plam zich bo'ladi.

O'zida zich o'rnatilgan: To'plam, agar u yo'q bo'lsa, unda o'zi zich ajratilgan nuqta.

Zichlik: topologik makonning zich pastki qismining minimal kardinalligi. Zichlik to'plami ℵ₀ a ajratiladigan joy.^[5]

Olingan to'plam: Agar X bo'shliq va S ning pastki qismi X, ning to'plami S yilda X ning chegara nuqtalarining to'plamidir S yilda X.

Rivojlanadigan joy: Bilan topologik makon rivojlanish.^[6]

Rivojlanish: A hisoblanadigan to'plami ochiq qopqoqlar har qanday yopiq to'plam uchun shunday topologik makon C va har qanday nuqta p uning to'plamida har bir mahalla kabi to'plamda muqova mavjud p muqovada ajratish dan C.^[6]

Diametri: Agar (M, d) metrik bo'shliq va S ning pastki qismi M, ning diametri S bo'ladi supremum masofalar d(x, y), qaerda x va y oralig'ida S.

Diskret metrik: To'plamdagi alohida metrik X funktsiya d : X × X → R hamma uchun shunday x, y yilda X, d(x, x) = 0 va d(x, y) = 1 agar x ≠ y. Diskret metrik diskret topologiyani keltirib chiqaradi X.

Alohida bo'sh joy: Bo'sh joy X bu diskret agar har bir kichik to'plam X ochiq. Biz buni aytamiz X ko'taradi diskret topologiya.^[7]

Diskret topologiya: Qarang diskret bo'shliq.

Ajratilgan kasaba uyushmasi topologiyasi: Qarang Qo'shma mahsulot topologiyasi.

Dispersiya nuqtasi: Agar X bir nechta nuqta, so'ngra nuqta bilan bog'langan bo'shliqdir x ning X pastki bo'shliq bo'lsa, bu dispersiya nuqtasidir X − {x} irsiy jihatdan uzilgan (uning yagona ulangan komponentlari bitta nuqtali to'plamlar).

Masofa: Qarang metrik bo'shliq.

Dunce shapkasi (topologiya)

E

Atrof: Qarang Bir xil joy.

Tashqi: To'plamning tashqi tomoni uning to'ldiruvchisining ichki qismidir.

F

F_σ o'rnatilgan: An F_σ o'rnatilgan a hisoblanadigan yopiq to'plamlarning birlashishi.^[8]

Filtr

Shuningdek qarang: Topologiyadagi filtrlar. Bo'shliqdagi filtr X bo'sh bo'lmagan oila F ning pastki to'plamlari X quyidagi shartlar bajarilishi kerak:

The bo'sh to'plam emas F.
Har qanday narsaning kesishishi cheklangan elementlari soni F yana ichida F.
Agar A ichida F va agar B o'z ichiga oladi A, keyin B ichida F.

Yakuniy topologiya: To'plamda X funktsiyalar oilasiga nisbatan ${displaystyle X}$ , bo'ladi eng yaxshi topologiya kuni X bu funktsiyalarni bajaradigan davomiy.^[9]

Nozik topologiya (potentsial nazariyasi): Yoqilgan Evklid fazosi ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ , eng qo'pol topologiya barchasini yaratmoqda subharmonik funktsiyalar (ekvivalent ravishda barcha superharmonik funktsiyalar) doimiy.^[10]

Yaxshi topologiya: Agar X to'plam va agar bo'lsa T₁ va T₂ topologiyalar mavjud X, keyin T₂ bu nozikroq (yoki kattaroq, kuchliroq) dan T₁ agar T₂ o'z ichiga oladi T₁. Ehtiyot bo'ling, ayniqsa ba'zi mualliflar tahlilchilar, atamadan foydalaning kuchsizroq.

Yakuniy ishlab chiqarilgan: Qarang Aleksandrov topologiyasi.

Birinchi toifa: Qarang Kam.

Birinchi hisoblanadigan: Bo'sh joy birinchi hisoblanadigan agar har bir nuqtada a bo'lsa hisoblanadigan mahalliy baza.

Frechet: Qarang T₁.

Chegara: Qarang Chegara.

To'liq to'plam: A ixcham kichik to'plam K ning murakkab tekislik deyiladi to'liq agar u bo'lsa to'ldiruvchi ulangan. Masalan, yopiq birlik disk to'la, ammo birlik doirasi emas.

Funktsional jihatdan ajratilgan: Ikki to'plam A va B bo'shliqda X uzluksiz xarita bo'lsa, funktsional ravishda ajratiladi f: X → [0, 1] shunday f(A) = 0 va f(B) = 1.

G

G_δ o'rnatilgan: A G_δ o'rnatilgan yoki ichki cheklash to'plami a hisoblanadigan ochiq to'plamlarning kesishishi.^[8]

G_δ bo'sh joy: Har bir yopiq to'plam a bo'lgan bo'shliq G_δ o'rnatilgan.^[8]

Umumiy nuqta: A umumiy nuqta yopiq to'plam uchun bu nuqta, uning yopiq to'plami shu nuqtani o'z ichiga olgan singleton to'plamining yopilishi hisoblanadi.^[11]

H

Hausdorff: A Hausdorff maydoni (yoki T₂ bo'sh joy) har ikkala aniq nuqtaga ega bo'lgan bittadir ajratish mahallalar. Har bir Hausdorff maydoni T₁.
H yopiq: Bo'sh joy H-yopiq yoki Hausdorff yopildi yoki mutlaqo yopiq, agar u o'z ichiga olgan har bir Hausdorff maydonida yopiq bo'lsa.
Irsiy P: Bo'sh joy irsiydir P ba'zi mulk uchun P agar har bir pastki bo'shliq ham bo'lsa P.
Irsiy: Bo'shliqlarning xususiyati merosxo'rlik deb ataladi, agar bo'shliq har doim shu xususiyatga ega bo'lsa, unda uning har bir kichik maydoni ham shunday bo'ladi.^[12] Masalan, ikkinchi hisoblash bu irsiy xususiyatdir.
Gomomorfizm: Agar X va Y bo'shliqlar, a gomeomorfizm dan X ga Y a ikki tomonlama funktsiya f : X → Y shu kabi f va f⁻¹ doimiydir. Bo'shliqlar X va Y keyin deyiladi gomeomorfik. Topologiya nuqtai nazaridan gomomorfik bo'shliqlar bir xil.
Bir hil: Bo'sh joy X bu bir hil agar, har bir kishi uchun x va y yilda X, gomomorfizm mavjud f : X → X shu kabi f(x) = y. Intuitiv ravishda bo'shliq har bir nuqtada bir xil ko'rinadi. Har bir topologik guruh bir hil.
Homotopik xaritalar: Ikkita doimiy xarita f, g : X → Y bor homotopik (ichida.) Y) doimiy karta bo'lsa H : X × [0, 1] → Y shu kabi H(x, 0) = f(x) va H(x, 1) = g(x) Barcha uchun x yilda X. Bu yerda, X × [0, 1] ga mahsulot topologiyasi berilgan. Funktsiya H deyiladi a homotopiya (ichida.) Y) o'rtasida f va g.
Homotopiya: Qarang Homotopik xaritalar.
Giper ulangan: Bo'sh bo'lmagan ikkita ochiq to'plam bo'linmasa, bo'sh joy giper bilan bog'langan^[13] Har qanday giper ulangan bo'shliq ulangan.^[13]

Men

Identifikatsiya xaritasi: Qarang Miqdor xaritasi.
Identifikatsiya maydoni: Qarang Miqdor maydoni.
Aniq bo'lmagan bo'shliq: Qarang Arzimas topologiya.
Cheksiz o'lchovli topologiya: Qarang Hilbert kollektori va Q-manifoldlar, ya'ni Hilbert kosmosida va Hilbert kubida modellashtirilgan (umumlashtirilgan) manifoldlar.
Ichki cheklash to'plami: A G_δ o'rnatilgan.^[8]
Ichki ishlar: The ichki makon to'plamning asl to'plamidagi eng katta ochiq to'plam. Bu tarkibidagi barcha ochiq to'plamlarning birlashishiga tengdir. To'plam ichki qismining elementi S bu ichki nuqta ning S.
Ichki nuqta: Qarang Ichki ishlar.
Izolyatsiya qilingan nuqta: Bir nuqta x bu ajratilgan nuqta agar singleton {x} ochiq. Umuman olganda, agar S bo'shliqning kichik qismidir Xva agar bo'lsa x ning nuqtasi S, keyin x ning ajratilgan nuqtasidir S agar {x} subspace topologiyasida ochiq S.
Izometrik izomorfizm: Agar M₁ va M₂ metrik bo'shliqlar, izometrik izomorfizm M₁ ga M₂ a ikki tomonlama izometriya f : M₁ → M₂. Keyin metrik bo'shliqlar deyiladi izometrik izomorfik. Metrik kosmik nazariya nuqtai nazaridan izometrik jihatdan izomorfik bo'shliqlar bir xil.
Izometriya: Agar (M₁, d₁) va (M₂, d₂) metrik bo'shliqlar, izometriya M₁ ga M₂ funktsiya f : M₁ → M₂ shu kabi d₂(f(x), f(y)) = d₁(x, y) Barcha uchun x, y yilda M₁. Har qanday izometriya in'ektsion, ammo har bir izometriya bunday emas shubhali.

K

Kolmogorov aksiomasi: Qarang T₀.

Kuratovskiyni yopish aksiomalari

The Kuratovskiyni yopish aksiomalari to'plamidir aksiomalar ning har bir kichik qismini bajaradigan funktsiya qondiradi X uning yopilishiga:

Izotonlik: Har bir to'plam uning yopilishida mavjud.
Tushkunlik: To'plam yopilishining yopilishi shu to'plamning yopilishiga teng.
Ikkilik kasaba uyushmalarining saqlanishi: Ikkala to'plamning birlashishini yopish ularning yopilishining birlashmasidir.
Nullar uyushmalarining saqlanishi: Bo'sh to'plamning yopilishi bo'sh.

Agar v funktsiyasidir quvvat o'rnatilgan ning X o'zi uchun, keyin v a yopish operatori agar u Kuratovskiyni yopish aksiomalarini qondirsa. Keyin Kuratovskiyni yopish aksiomalaridan topologiyani aniqlash uchun foydalanish mumkin X yopiq to'plamlarni sobit nuqtalar ushbu operatorning, ya'ni to'plamning A yopiq agar va faqat agar v(A) = A.

Kolmogorov topologiyasi: T_Kol = {R, ${displaystyle varnothing}$ } ∪ {(a, ∞): a - haqiqiy son}; juftlik (R, T_Kol) nomi berilgan Kolmogorov to'g'ri.

L

Bo'sh joy: An Bo'sh joy a irsiy jihatdan Lindelöf maydoni bu irsiy bo'lmagan ajratiladigan. A Suslin chizig'i bo'sh joy bo'ladi.^[14]

Kattaroq topologiya: Qarang Yaxshi topologiya.

Cheklov nuqtasi: Bir nuqta x bo'shliqda X a chegara nuqtasi kichik to'plam S agar har bir ochiq to'plam bo'lsa x ning bir nuqtasi ham mavjud S dan boshqa x o'zi. Bu har bir mahallani talab qilishga tengdir x nuqtasini o'z ichiga oladi S dan boshqa x o'zi.

Limit nuqtasi ixcham: Qarang Zaif darajada ixcham.

Lindelöf: Bo'sh joy Lindelöf agar har bir ochiq qopqoqda a bo'lsa hisoblanadigan subcover.

Mahalliy baza: To'plam B nuqta mahallalari x bo'shliq X mahalliy bazadir (yoki mahalliy asos, mahalla bazasi, mahalla asoslari) da x agar har bir mahalla x ba'zi a'zolarini o'z ichiga oladi B.

Mahalliy asos: Qarang Mahalliy baza.

Mahalliy (P) bo'sh joy: Bo'shliq "mahalliy (P)" bo'lishi uchun ikkita ta'rif mavjud, bu erda (P) topologik yoki nazariy xususiyatdir: har bir nuqta (P) xususiyatiga ega bo'lgan mahallaga ega yoki har bir nuqtada negativ asosga ega har bir a'zoning mulki (P). Birinchi ta'rif odatda mahalliy ixcham, hisoblanadigan ixcham, metrisable, ajratiladigan, hisoblanadigan uchun qabul qilinadi; ikkinchisi mahalliy ulanish uchun.^[15]

Mahalliy yopiq ichki qism: Topologik bo'shliqning pastki qismi, bu ochiq va yopiq pastki qismning kesishishi. Bunga teng ravishda, bu uning yopilishining nisbatan ochiq qismidir.

Mahalliy ixcham: Bo'sh joy mahalliy ixcham agar har bir nuqta ixcham mahallaga ega bo'lsa: ba'zida har bir nuqtada ixcham mahallalardan tashkil topgan mahalliy bazaga ega bo'lgan muqobil ta'rif ishlatiladi: bular Hausdorff bo'shliqlari uchun tengdir.^[15] Har bir mahalliy ixcham Hausdorff maydoni Tychonoff.

Mahalliy ulangan: Bo'sh joy mahalliy ulangan agar har bir nuqtada bog'langan mahallalardan tashkil topgan mahalliy baza bo'lsa.^[15]

Mahalliy zich: qarang Oldindan ochish.

Mahalliy ravishda cheklangan: Bo'shliqning pastki to'plamlari to'plami mahalliy cheklangan agar har bir nuqtada faqat bo'shliq bilan kesishadigan mahalla bo'lsa cheklangan pastki qismlarning ko'pi. Shuningdek qarang mahalliy darajada cheklangan, nuqta cheklangan.

Mahalliy darajada o'lchanadi/Mahalliy o'lchovlar: Agar har bir nuqtada o'lchanadigan qo'shni bo'lsa, bo'shliq mahalliy darajada o'lchanadi.^[15]

Mahalliy yo'lga ulangan: Bo'sh joy mahalliy yo'l bilan bog'liq agar har bir nuqtada yo'l bilan bog'langan mahallalardan tashkil topgan mahalliy baza bo'lsa.^[15] Mahalliy ravishda yo'l bilan bog'langan bo'shliq ulangan agar va faqat agar u yo'l bilan bog'langan.

Mahalliy ravishda ulangan: Agar har bir nuqtada oddiy bog'langan mahallalardan tashkil topgan mahalliy baza mavjud bo'lsa, bo'sh joy mahalliy darajada sodda tarzda bog'langan.

Loop: Agar x bo'shliqdagi nuqta X, a pastadir da x yilda X (yoki pastadir X tayanch punkti bilan x) bu yo'l f yilda X, shu kabi f(0) = f(1) = x. Bunga teng ravishda, pastadir X dan uzluksiz xarita birlik doirasi S¹ ichiga X.

M

Kam: Agar X bo'shliq va A ning pastki qismi X, keyin A juda oz X (yoki of.) birinchi toifa yilda X) agar bo'lsa hisoblanadigan hech qanday zich to'plamlarning birlashishi. Agar A juda oz emas X, A ning ikkinchi toifa yilda X.^[16]

Metakompakt: Bo'shliq metakompakt bo'ladi, agar har bir ochiq qopqoqda nuqta cheklangan ochiq aniqlik bo'lsa.

Metrik: Qarang Metrik bo'shliq.

Metrik o'zgarmas: Metrik invariant bu izometrik izomorfizm ostida saqlanadigan xususiyatdir.

Metrik xarita: Agar X va Y metrikali metrik bo'shliqlardir d_X va d_Y navbati bilan, keyin a metrik xarita funktsiya f dan X ga Y, har qanday ball uchun shunday x va y yilda X, d_Y(f(x), f(y)) ≤ d_X(x, y). Metrik xarita qat'iy metrik agar yuqoridagi tengsizlik hamma uchun qat'iy bo'lsa x va y yilda X.

Metrik bo'shliq

A metrik bo'shliq (M, d) to'plamdir M funktsiyasi bilan jihozlangan d : M × M → R hamma uchun quyidagi aksiomalarni qondiradi x, yva z yilda M:

d(x, y) ≥ 0
d(x, x) = 0
agar d(x, y) = 0 keyin x = y (tushunarsiz narsalarning identifikatori)
d(x, y) = d(y, x) (simmetriya)
d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) (uchburchak tengsizligi )

Funktsiya d a metrik kuni Mva d(x, y) bo'ladi masofa o'rtasida x va y. Barcha ochiq to'plarning to'plami M topologiya uchun asosdir M; bu topologiya M tomonidan qo'zg'atilgan d. Har bir metrik bo'shliq Hausdorff va parakompakt (va shuning uchun normal va Tixonof). Har qanday metrik bo'shliq birinchi bo'lib hisobga olinadi.

Metrizable/Metrisable: Bo'sh joy o'lchovli agar u metrik bo'shliq uchun gomomorf bo'lsa. Har qanday o'lchanadigan bo'shliq Hausdorff va parakompakt (va shuning uchun normal va Tychonoff). Har qanday o'lchanadigan joy birinchi bo'lib hisobga olinadi.

Monolit: Har qanday bo'sh bo'lmagan ultra ulangan ixcham joy X eng katta to'g'ri ochiq to'plamga ega; ushbu kichik qism a deb nomlanadi monolit.

Mur maydoni: A Mur maydoni a rivojlanadigan muntazam Hausdorff maydoni.^[6]

N

Deyarli ochiq: qarang oldindan ochish.

Turar joy dahasi/Turar joy dahasi: Bir nuqtaning mahallasi x bu o'z navbatida nuqtani o'z ichiga olgan ochiq to'plamni o'z ichiga olgan to'plamdir x. Umuman olganda, to'plamning mahallasi S ochiq to'plamni o'z ichiga olgan to'plam bo'lib, u o'z navbatida to'plamni o'z ichiga oladi S. Bir nuqtaning mahallasi x shunday qilib singleton to'siq {x}. (E'tibor bering, ushbu ta'rifga ko'ra, mahalla o'zi ochiq bo'lmasligi kerak. Ko'p mualliflar mahallalar ochiq bo'lishini talab qiladi; konventsiyalarga e'tibor bering).

Mahalla bazasi / asos: Qarang Mahalliy baza.

Bir nuqta uchun mahalla tizimi x: A mahalla tizimi bir nuqtada x kosmosda barcha mahallalar to'plami mavjud x.

Tarmoq: A to'r bo'shliqda X a xaritasi yo'naltirilgan to'plam A ga X. Dan to'r A ga X odatda (x_a), bu erda a - an indeks o'zgaruvchisi uzoqda A. Har bir ketma-ketlik olish - to'r A yo'naltirilgan to'plam bo'lishi natural sonlar odatdagi buyurtma bilan.

Oddiy: Bo'sh joy normal agar har qanday ikkita ajratilgan yopiq to'plamlar ajratilgan mahallalarga ega bo'lsa.^[8] Har bir normal makon birlikning bo'linishini tan oladi.

Oddiy Hausdorff: A oddiy Hausdorff bo'sh joy (yoki T₄ bo'sh joy ) normal T₁ bo'sh joy. (Oddiy makon - Hausdorff agar va faqat agar bu T₁, shuning uchun terminologiya mos keladi.) Hausdorffning har bir normal maydoni Tychonoff.

Hech qaerda zich emas: A hech qaerda zich to'plam yopilishi bo'sh ichki qismga ega to'plamdir.

O

Muqovani oching: An ochiq qopqoq ochiq to'plamlardan tashkil topgan qopqoq.^[6]

Ochiq to'p: Agar (M, d) - bu metrik bo'shliq, ochiq to'p - bu shaklning to'plami B(x; r) := {y yilda M : d(x, y) < r}, qaerda x ichida M va r a ijobiy haqiqiy raqam, radius to'pning. Radiusning ochiq to'pi r bu ochiq r-bol. Har bir ochiq to'p topologiyada ochiq to'plamdir M tomonidan qo'zg'atilgan d.
Ochiq shart: Qarang ochiq mulk.
To'siqni oching: An ochiq to'plam topologiyaning a'zosi hisoblanadi.
Ochiq funktsiya: Bir bo'shliqdan ikkinchisiga o'tish vazifasi ochiq agar rasm har bir ochiq to'plam ochiq.
Ochiq mulk: A-dagi nuqtalarning xususiyati topologik makon "ochilgan" deyiladi, agar unga ega bo'lgan nuqtalar an hosil qilsa ochiq to'plam. Bunday sharoitlar ko'pincha umumiy shaklga ega va bu shaklni an deb aytish mumkin ochiq holat; masalan, ichida metrik bo'shliqlar, biri ochiq to'pni yuqoridagi kabi belgilaydi va "qat'iy tengsizlik ochiq shart" deb aytadi.

P

Parakompakt: Bo'sh joy parakompakt agar har bir ochiq qopqoqning mahalliy cheklangan ochilishi bo'lsa. Parakompakt metakompaktni nazarda tutadi.^[17] Parakompakt Hausdorff bo'shliqlari normaldir.^[18]

Birlikning bo'linishi: Bo'shliqning birligi X dan uzluksiz funktsiyalar to'plamidir X [0, 1] ga qadar, shunda har qanday nuqtada a dan tashqari hamma joylashgan mahalla bo'ladi cheklangan funktsiyalar soni bir xil nolga teng va butun bo'shliqdagi barcha funktsiyalar yig'indisi bir xil 1 ga teng.

Yo'l: A yo'l bo'shliqda X doimiy xaritadir f yopiq blokdan oraliq [0, 1] ichiga X. Gap shundaki f(0) - ning boshlang'ich nuqtasi f; nuqta f(1) - ning terminal nuqtasi f.^[13]

Yo'lga ulangan: Bo'sh joy X bu yo'l bilan bog'langan agar, har ikki ball uchun x, y yilda X, yo'l bor f dan x ga y, ya'ni boshlang'ich nuqtasi bo'lgan yo'l f(0) = x va terminal nuqtasi f(1) = y. Har qanday yo'l bilan bog'langan bo'shliq ulanadi.^[13]

Yo'lga ulangan komponent: Bo'shliqning yo'l bilan bog'langan komponenti - bu maksimal bo'sh bo'lmagan yo'l bilan bog'langan pastki bo'shliq. Bo'shliqning yo'l bilan bog'langan tarkibiy qismlari to'plami a bo'lim bu bo'shliqning, ya'ni nozikroq ulangan tarkibiy qismlarga bo'linishdan ko'ra.^[13] Bo'shliqning yo'l bilan bog'langan tarkibiy qismlari to'plami X bilan belgilanadi π₀(X).

Juda normal: normal bo'shliq, bu ham G_δ.^[8]

b-asos: To'plam B bo'sh bo'lmagan ochiq to'plamlar topologiya uchun π-asosdir, agar har bir bo'sh bo'lmagan ochiq to'plam to'plamni o'z ichiga olsa B.^[19]

Nuqta: Nuqta topologik makon elementidir. Umuman olganda nuqta har qanday to'plamning asosiy topologik tuzilishga ega elementidir; masalan. metrik makon yoki topologik guruh elementi ham "nuqta" dir.

Yopish joyi: Qarang Yopish.

Polsha: Bo'shliq, agar u ajralib turadigan va to'liq o'lchanadigan bo'lsa, ya'ni ajratiladigan va to'liq metrik bo'shliq uchun gomomorf bo'lsa.

Polyadik: Bo'shliq, agar u a kuchining uzluksiz tasviri bo'lsa, poliadik bo'ladi bir nuqtali kompaktlashtirish mahalliy ixcham, ixcham bo'lmagan Hausdorff maydonining.

P-nuqta: Topologik bo'shliqning nuqtasi, agar uning mahallalari filtri hisoblanadigan chorrahalar ostida yopilgan bo'lsa, P nuqtasi.

Oldindan ixcham: Qarang Nisbatan ixcham.

To'siqni oldindan oching: Ichki to‘plam A topologik makon X agar ochilsa ${displaystyle Asubseteq operator nomi {Int} _ {X} chap (operator nomi {Cl} _ {X} chap (Aight) ight)}$ .^[4]

Prodiscrete topologiyasi: Mahsulot ustidagi diskret topologiya A^G har bir omil mahsulot topologiyasidir A diskret topologiya berilgan.^[20]

Mahsulot topologiyasi: Agar {X_men} - bu bo'shliqlar to'plami va X (nazariy) mahsulot ning {X_men}, keyin mahsulot topologiyasi kuni X barcha proektsion xaritalar uzluksiz bo'lgan eng qo'pol topologiyadir.

To'g'ri funktsiya / xaritalash: Doimiy funktsiya f kosmosdan X bo'shliqqa Y agar to'g'ri bo'lsa f⁻¹(C) ixcham o'rnatilgan X har qanday ixcham pastki bo'shliq uchun C ning Y.

Yaqinlik maydoni: Yaqinlik maydoni (X, δ) to'plamdir X bilan jihozlangan ikkilik munosabat δ ning pastki to'plamlari orasida X quyidagi xususiyatlarni qondirish:

Barcha pastki to'plamlar uchun A, B va C ning X,

A δ B nazarda tutadi B δ A
A δ B nazarda tutadi A bo'sh emas
Agar A va B bo'sh bo'lmagan kesishuvga ega bo'ling, keyin A δ B
A δ (B ∪ C) agar va faqat agar (A δ B yoki A δ C)
Agar barcha pastki to'plamlar uchun bo'lsa E ning X, bizda ... bor (A δ E yoki B δ E), keyin bizda bo'lishi kerak A δ (X − B)

Psevdokompakt: Bo'shliq psevdokompaktdir haqiqiy qadrli fazodagi uzluksiz funktsiya chegaralangan.

Psevdometrik: Qarang Psevdometrik bo'shliq.

Psevdometrik bo'shliq: Psevdometrik bo'shliq (M, d) to'plamdir M funktsiyasi bilan jihozlangan d : M × M → R o'lchovli maydonning barcha shartlarini qondiradi, ehtimol tushunarsizlarning o'ziga xos xususiyatlaridan tashqari. Ya'ni, psevdometrik bo'shliqdagi nuqtalar bir xil bo'lmasdan "cheksiz yaqin" bo'lishi mumkin. Funktsiya d a psevdometrik kuni M. Har bir o'lchov metseometrikdir.

Teshilgan mahalla/Teshilgan mahalla: Nuqtaning teshilgan mahallasi x ning mahallasi x, minus {x}. Masalan, oraliq (−1, 1) = {y : −1 < y <1} - bu mahalla x = 0 ichida haqiqiy chiziq, shuning uchun (-1, 0) ∪ (0, 1) = (-1, 1) - {0} to'plam 0 ga teng teshikli mahalla hisoblanadi.

Q

Kvazikompakt: Qarang ixcham. Ba'zi mualliflar "ixcham" ga quyidagilarni kiritishlari kerak Hausdorff ajratish aksiomasi va ular bu atamadan foydalanadilar kvazikompakt bu lug'atda biz "ixcham" deb ataydigan narsani (Hausdorff aksiyomisiz) anglatadi. Ushbu anjuman eng ko'p frantsuz tilida uchraydi va matematikaning frantsuzlar ta'siri katta bo'lgan.

Miqdor xaritasi: Agar X va Y bo'shliqlar va agar bo'lsa f a qarshi chiqish dan X ga Y, keyin f kvota xaritasi (yoki) identifikatsiya xaritasi) agar har bir kichik to'plam uchun U ning Y, U ochiq Y agar va faqat agar f^-1(U) ochiq X. Boshqa so'zlar bilan aytganda, Y bor f- kuchli topologiya. Teng ravishda, ${displaystyle f}$ bu xaritalarning transfinitsiyali tarkibi bo'lsa, faqat kvotali xaritadir ${displaystyle Xightarrow X / Z}$ , qayerda ${displaystyle Zsubset X}$ pastki qismdir. E'tibor bering, bu buni anglatmaydi f ochiq funktsiya.

Miqdor maydoni: Agar X bu bo'shliq, Y to'plamdir va f : X → Y har qanday shubhali funktsiyasi, keyin topologiyasi kuni Y tomonidan qo'zg'atilgan f bu eng yaxshi topologiyadir f uzluksiz. Bo'sh joy X - bu bo'shliq yoki identifikatsiya maydoni. Ta'rifga ko'ra, f kvota xaritasi. Buning eng keng tarqalgan namunasi ekvivalentlik munosabati kuni X, bilan Y to'plami ekvivalentlik darslari va f tabiiy proektsion xaritasi. Ushbu qurilish subspace topologiyasini qurish uchun ikkilamchi hisoblanadi.

R

Noziklash: Muqova K a takomillashtirish qopqoqning L agar har bir a'zosi bo'lsa K ning ba'zi bir a'zolaridir L.
Muntazam: Bo'sh joy muntazam agar, qachon bo'lsa C yopiq to'plam va x nuqta emas C, keyin C va x bor ajratish mahallalar.
Muntazam Hausdorff: Bo'sh joy muntazam Hausdorff (yoki T₃) agar bu odatiy T bo'lsa₀ bo'sh joy. (Oddiy joy - Hausdorff agar va faqat agar bu T₀, shuning uchun terminologiya mos keladi.)
Muntazam ravishda ochiq: Bo'shliqning kichik qismi X uning yopilishining ichki qismiga teng bo'lsa, muntazam ravishda ochiq; ikkitadan, muntazam yopiq to'plam uning ichki qismining yopilishiga teng.^[21] Muntazam bo'lmagan ochiq to'plamga misol - to'plam U = $(0,1)$ ∪ $(1,2)$ yilda R normal topologiyasi bilan, chunki 1 yopilishning ichki qismida U, lekin emas U. Bo'shliqning muntazam ochiq to'plamlari a mantiqiy algebra.^[21]
Nisbatan ixcham: Ichki to‘plam Y bo'shliq X bu nisbatan ixcham yilda X agar yopilishi Y yilda X ixchamdir.
Qoldiq: Agar X bo'shliq va A ning pastki qismi X, keyin A qoldiq X agar to‘ldiruvchisi bo‘lsa A juda oz X. Shuningdek, chaqirildi kelishuv yoki sayg'oq.
Qayta tiklanadigan: A topologik makon deyiladi hal qilinadigan agar bu ikkitaning birlashishi sifatida ifodalangan bo'lsa ajratish zich pastki to'plamlar.
Rim-ixcham: Agar bo'shliq chegaralari ixcham bo'lgan ochiq to'plamlar bazasiga ega bo'lsa, chekka-ixchamdir.

S

S bo'shliq: An S bo'shliq a irsiy jihatdan ajratiladigan joy bu irsiy bo'lmagan Lindelöf.^[14]

Tarqalgan: Bo'sh joy X bu tarqoq agar har bir bo'sh bo'lmagan kichik to'plam A ning X ichida ajratilgan nuqta mavjud A.

Skott: The Skott topologiyasi a poset unda ochiq to'plamlar o'sha Yuqori to'plamlar yo'naltirilgan qo'shilishlar bilan kirish mumkin emas.^[22]

Ikkinchi toifa: Qarang Kam.

Ikkinchi hisoblanadigan: Bo'sh joy ikkinchi hisoblanadigan yoki mukammal ajratish mumkin agar u bo'lsa hisoblanadigan uning topologiyasi uchun asos.^[8] Har bir ikkinchi hisoblanadigan bo'shliq birinchi bo'lib hisoblanishi mumkin, ajratilishi mumkin va Lindelöf.

Semilocally shunchaki bog'langan: Bo'sh joy X bu yarim tomonlama oddiy bog'langan agar, har bir nuqta uchun x yilda X, mahalla bor U ning x shundayki, har bir pastadir x yilda U homotopik X doimiy tsiklga x. Har qanday oddiy bog'langan maydon va har bir mahalliy oddiygina bog'langan bo'shliq yarim ma'noda oddiygina bog'langan. (Mahalliy ravishda bog'langan bilan taqqoslang; bu erda homotopiyada yashashga ruxsat beriladi X, mahalliy darajada sodda bog'langan ta'rifda gomotopiya yashashi kerak U.)

Yarim ochiq: Ichki to‘plam A topologik makon X agar yarim ochiq bo'lsa, deyiladi ${displaystyle Asubseteq operator nomi {Cl} _ {X} chap (operator nomi {Int} _ {X} chap (Aight) ight)}$ .^[23]

Yarim oldindan ochish: Ichki to‘plam A topologik makon X agar yarim ochilgan bo'lsa, deyiladi ${displaystyle Asubseteq operator nomi {Cl} _ {X} chapda (operator nomi {Int} _ {X} chapda (operator nomi {Cl} _ {X} chapda (Aight) ight) kechada)$ ^[2]

Semiregular: Agar oddiy ochiq to'plamlar asos yaratadigan bo'lsa, bo'sh joy yarim burchakli bo'ladi.

Alohida: Bo'sh joy ajratiladigan agar u bo'lsa hisoblanadigan zich pastki qism.^[8]^[16]

Alohida: Ikki to'plam A va B bor ajratilgan agar har biri bo'lsa ajratish boshqasining yopilishidan.

Ketma-ket ixcham: Bo'sh joy har birida ketma-ket ixchamdir ketma-ketlik konvergent kelgusiga ega. Har bir ketma-ket ixcham bo'shliq sezilarli darajada ixchamdir va har bir birinchi hisoblanadigan, hisoblanadigan ixcham bo'shliq ketma-ket ixchamdir.

Qisqa xarita: Qarang metrik xarita

Sodda ulangan: Bo'sh joy oddiygina ulangan agar u yo'l bilan bog'langan bo'lsa va har bir ko'chadan doimiy xaritaga homotopik bo'lsa.

Kichik topologiya: Qarang Kattaroq topologiya.

Aqlli: A hushyor joy, har bir qisqartirilmaydi yopiq ichki qism yopilish aniq bir nuqtadan: ya'ni o'ziga xos xususiyatga ega umumiy nuqta.^[24]

Yulduz: Berilgan nuqtadagi yulduz qopqoq a topologik makon nuqta o'z ichiga olgan muqovadagi barcha to'plamlarning birlashishi. Qarang yulduzlarni tozalash.

${displaystyle f}$ -Kuchli topologiya: Ruxsat bering ${displaystyle fcolon Xightarrow Y}$ topologik bo'shliqlarning xaritasi bo'ling. Biz buni aytamiz ${displaystyle Y}$ bor ${displaystyle f}$ - agar har bir kichik qism uchun kuchli topologiya ${displaystyle Usubset Y}$ , bittasida shunday narsa bor ${displaystyle U}$ ochiq ${displaystyle Y}$ agar va faqat agar ${displaystyle f ^ {- 1} (U)}$ ochiq ${displaystyle X}$

Kuchli topologiya: Qarang Yaxshi topologiya. Ehtiyot bo'ling, ayniqsa ba'zi mualliflar tahlilchilar, atamadan foydalaning zaif topologiya.

Subbase: Ochiq to'plamlar to'plami a subbase (yoki subbaza) topologiyada har bir bo'sh bo'lmagan to'g'ri ochiq to'plam birlashma bo'lsa cheklangan pastki bazadagi to'plamlarning kesishishi. Agar B bu har qanday to'plamning pastki to'plamlarini yig'ish X, topologiya yoqilgan X tomonidan yaratilgan B tarkibidagi eng kichik topologiya B; ushbu topologiya bo'sh to'plamdan iborat, X va elementlarining cheklangan kesishmalarining barcha birlashmalari B.

Subbaza: Qarang Subbase.

Subcover: Muqova K subcover (yoki) subcovering) muqovadan L agar har bir a'zosi bo'lsa K a'zosi L.

Subcovering: Qarang Subcover.
Submaksimal bo'shliq: A topologik makon deb aytilgan submaksimal agar uning har bir kichik to'plami yopiq bo'lsa, ya'ni har bir kichik qism an ning kesishmasidir ochiq to'plam va a yopiq to'plam.

Bu erda topologik bo'shliqlarning xususiyati sifatida submaksimallik haqida ba'zi dalillar mavjud:

Har bir eshik maydoni submaksimal hisoblanadi.
Har qanday submaksimal bo'shliq zaif submaksimal ya'ni har bir sonli to'plam mahalliy darajada yopilgan.
Har qanday submaksimal bo'shliq qaytarib bo'lmaydigan^[25]

Subspace: Agar T kosmosdagi topologiya Xva agar bo'lsa A ning pastki qismi X, keyin subspace topologiyasi kuni A tomonidan qo'zg'atilgan T ochiq to'plamlarning barcha kesishmalaridan iborat T bilan A. Ushbu qurilish kvota topologiyasining qurilishi uchun ikkilamchi hisoblanadi.

T

T₀: Bo'sh joy T₀ (yoki Kolmogorov) agar har bir aniq nuqta juftligi uchun x va y bo'shliqda yoki ochiq to'plam mavjud x lekin emas y, yoki o'z ichiga olgan ochiq to'plam mavjud y lekin emas x.

T₁: Bo'sh joy T₁ (yoki Frechet yoki kirish mumkin) agar har bir aniq nuqta juftligi uchun x va y bo'shliqda ochiq to'plam mavjud x lekin emas y. (T bilan solishtiring₀; bu erda, biz qaysi to'plamni ochiq to'plamda bo'lishini belgilashimiz mumkin.) Ekvivalent sifatida bo'sh joy T ga teng bo'ladi₁ agar barchasi bo'lsa singletonlar yopiq. Har bir T₁ bo'shliq T₀.

T₂: Qarang Hausdorff maydoni.

T₃: Qarang Muntazam Hausdorff.

T_3½: Qarang Tixonof maydoni.

T₄: Qarang Oddiy Hausdorff.

T₅: Qarang To'liq normal Hausdorff.

Yuqori: Qarang Topologik bo'shliqlar toifasi.

θ-klaster nuqtasi, θ-yopiq, θ-ochiq: Bir nuqta x topologik makon X kichik to'plamning θ-klaster nuqtasi A agar ${displaystyle Acap operator nomi {Cl} _ {X} (U) eq emptyset}$ har bir ochiq mahalla uchun U ning x yilda X. Ichki to‘plam A uning θ-klaster nuqtalari to'plamiga teng bo'lsa, θ-yopiq, agar komplementi θ-yopiq bo'lsa, θ-ochiq bo'ladi.^[23]

Topologik o'zgarmas: Topologik o'zgarmas - bu gomomorfizm ostida saqlanadigan xususiyatdir. Masalan, ixchamlik va bog'liqlik topologik xususiyatlar, cheklanganlik va to'liqlik esa yo'q. Algebraik topologiya topologik jihatdan o'zgarmasdir mavhum algebra topologik bo'shliqlarda qurilishlar.

Topologik makon: A topologik makon (X, T) to'plamdir X to'plam bilan jihozlangan T ning pastki to'plamlari X quyidagilarni qondiradi aksiomalar:

Bo'sh to'plam va X ichida T.
Har qanday to'plam to'plamining birlashishi T ham ichida T.
Har qanday juft to'plamning kesishishi T ham ichida T.

To'plam T a topologiya kuni X.

Topologik summa: Qarang Qo'shma mahsulot topologiyasi.

Topologik jihatdan to'liq: To'liq o'lchanadigan joylar (Masalan, metrik bo'shliqlarni to'ldirish uchun gomomorfik topologik bo'shliqlar) ko'pincha deyiladi topologik jihatdan to'liq; ba'zan bu atama uchun ham ishlatiladi To'liq bo'shliqlar yoki butunlay birlashtiriladigan bo'shliqlar.

Topologiya: Qarang Topologik makon.

To'liq chegaralangan: Metrik bo'shliq M har bir kishi uchun to'liq chegaralangan r > 0, a mavjud cheklangan qopqog'i M radiusning ochiq to'plari bilan r. Metrik bo'shliq, agar u to'liq va to'liq chegaralangan bo'lsa, ixchamdir.

Umuman uzilib qoldi: Bo'shliq bir nechta nuqtali ulangan ichki to'plamga ega bo'lmasa, butunlay uzilib qoladi.

Arzimas topologiya: The ahamiyatsiz topologiya (yoki tartibsiz topologiya) to'plamda X aniq bo'sh to'plam va butun bo'shliqdan iborat X.

Tixonof: A Tixonof maydoni (yoki butunlay muntazam Hausdorff bo'sh joy, to'liq T₃ bo'sh joy, T_3.5 bo'shliq) bu butunlay muntazam T₀ bo'sh joy. (To'liq muntazam maydon - Hausdorff agar va faqat agar bu T₀, shuning uchun terminologiya mos keladi.) Har bir Tychonoff maydoni muntazam Hausdorff.

U

Ultra ulangan: Bo'sh bo'lmagan ikkita yopiq to'plam bo'linmasa, bo'shliq ultra-ulangan bo'ladi.^[13] Har qanday ultra bog'langan bo'shliq yo'l bilan bog'liq.

Ultrametrik: Metrik ultrametrik hisoblanadi, agar u quyidagi kuchli versiyasini qondirsa uchburchak tengsizligi: Barcha uchun x, y, z yilda M, d(x, z≤ max (d(x, y), d(y, z)).

Yagona izomorfizm: Agar X va Y bor bir xil bo'shliqlar, bir xil izomorfizm X ga Y ikki tomonlama funktsiya f : X → Y shu kabi f va f⁻¹ bor bir xilda uzluksiz. Keyin bo'shliqlar bir xil izomorfik va bir xil bo'lishiga aytiladi bir xil xususiyatlar.

Bir xil / Uniformisable: Agar bo'shliq gomomorf bo'lsa, bo'shliq bir xil bo'ladi.

Bir xil joy: A bir xil bo'shliq to'plamdir X ning bo'sh to'plamlari to'plami bilan ta'minlangan Dekart mahsuloti X × X quyidagilarni qondiradi aksiomalar:

agar U Φ da, keyin U o'z ichiga oladi {(x, x) | x yilda X }.
agar U Φ da, keyin {(y, x) | (x, y) ichida U } shuningdek, Φ da joylashgan
agar U Φ va ichida joylashgan V ning pastki qismi X × X o'z ichiga oladi U, keyin V Φ da joylashgan
agar U va V Φ, keyin U ∩ V Φ da joylashgan
agar U $ Delta $ bo'lsa, u holda mavjud V Φda shunday, qachonki (x, y) va (y, z) ichida V, keyin (x, z) ichida U.

Φ elementlari deyiladi atroflar, va Φ ning o'zi a deb nomlanadi bir xil tuzilish kuni X. Bir xil tuzilish topologiyani keltirib chiqaradi X qaerda asosiy mahallalar x shaklning to'plamlari {y : (x,y)∈U} uchun U∈Φ.

Bir xil tuzilish: Qarang Bir xil joy.

V

Zaif topologiya: The zaif topologiya to'plamdagi topologik bo'shliqlarga tegishli funktsiyalar to'plamiga nisbatan barcha funktsiyalarni doimiy ravishda bajaradigan to'plamdagi eng qo'pol topologiya.
Zaif topologiya: Qarang Kattaroq topologiya. Ehtiyot bo'ling, ayniqsa ba'zi mualliflar tahlilchilar, atamadan foydalaning kuchli topologiya.
Zaif darajada ixcham: Bo'sh joy sezilarli darajada ixcham (yoki) chegara nuqtasi ixcham) agar har biri bo'lsa cheksiz pastki to'plamda chegara nuqtasi mavjud.
Zaif irsiy: Bo'shliqlarning xususiyati zaif irsiy xususiyatga ega deb aytiladi, agar bo'shliq har doim shu xususiyatga ega bo'lsa, unda uning har bir yopiq pastki fazosi ham shunday bo'ladi. Masalan, ixchamlik va Lindelöf xususiyati ikkalasi ham zaif irsiy xususiyatlarga ega, ammo ikkalasi ham irsiy emas.
Og'irligi: The bo'shliqning og'irligi X eng kichigi asosiy raqam κ shunday X kardinal κ asosiga ega. (E'tibor bering, bunday kardinal son mavjud, chunki butun topologiya asos yaratadi va kardinal sonlar sinfi yaxshi buyurtma qilingan.)
Yaxshi ulangan: Qarang Ultra ulangan. (Ba'zi mualliflar ushbu atamani ultra ulangan ixcham joylar uchun qat'iyan ishlatishadi.)

Z

Nolinchi o'lchovli: Bo'sh joy nol o'lchovli agar u klopen to'plamlarining asosiga ega bo'lsa.^[26]

Shuningdek qarang

Sodda to'plam nazariyasi, Aksiomatik to'plamlar nazariyasi va Funktsiya to'plamlar va funktsiyalarga oid ta'riflar uchun.
Topologiya qisqacha tarixi va mavzu doirasining tavsifi uchun
Topologik bo'shliqlar asosiy ta'riflar va misollar uchun
umumiy topologiya mavzularining ro'yxati
umumiy topologiyadagi misollar ro'yxati

Topologiyaga xos tushunchalar

Boshqa lug'atlar

Adabiyotlar

^ Vikers (1989) 22-bet
^ ^a ^b ^v Xart 2004 yil, p. 9.
^ Deza, Mishel Mari; Deza, Elena (2012). Masofalar entsiklopediyasi. Springer-Verlag. p. 64. ISBN 3642309585.
^ ^a ^b Xart 2004 yil, 8-9 betlar.
^ Nagata (1985) p.104
^ ^a ^b ^v ^d Steen & Seebach (1978) s.163
^ Steen & Seebach (1978) 41-bet
^ ^a ^b ^v ^d ^e ^f ^g ^h Steen & Seebach (1978) s.162
^ Uillard, Stiven (1970). Umumiy topologiya. Matematikadan Addison-Uesli seriyasi. Reading, MA: Addison-Uesli. Zbl 0205.26601.
^ Konvey, Jon B. (1995). Bitta kompleks o'zgaruvchining funktsiyalari II. Matematikadan aspirantura matnlari. 159. Springer-Verlag. 367-376 betlar. ISBN 0-387-94460-5. Zbl 0887.30003.
^ Vikers (1989) 65-bet
^ Steen & Seebach p.4
^ ^a ^b ^v ^d ^e ^f Steen & Seebach (1978) p.29
^ ^a ^b Gabbay, Dov M.; Kanamori, Akixiro; Vuds, Jon Xeyden, nashrlar. (2012). Yigirmanchi asrdagi to'plamlar va kengaytmalar. Elsevier. p. 290. ISBN 0444516212.
^ ^a ^b ^v ^d ^e Xart va boshq (2004) p.65
^ ^a ^b Steen & Seebach (1978) s.7
^ Steen & Seebach (1978) s.23
^ Steen & Seebach (1978) 25-bet
^ Xart, Nagata, Vagan mazhabi. d-22, 227 bet
^ Ceccherini-Silberstein, Tullio; Koornaert, Mishel (2010). Uyali avtomatlar va guruhlar. Matematikadan Springer monografiyalari. Berlin: Springer-Verlag. p. 3. ISBN 978-3-642-14033-4. Zbl 1218.37004.
^ ^a ^b Steen & Seebach (1978) 6-bet
^ Vikers (1989) 95-bet
^ ^a ^b Xart 2004 yil, p. 8.
^ Vikers (1989) 66-bet
^ Miroslav Xushek; J. van Mill (2002), Yaqinda umumiy topologiyada erishilgan yutuqlar, Umumiy topologiyada so'nggi yutuqlar, 2, Elsevier, p. 21, ISBN 0-444-50980-1
^ Steen & Seebach (1978) s.33

Xart, Klas (2004). Umumiy topologiya ensiklopediyasi. Amsterdam Boston: Elsevier / Shimoliy-Gollandiya. ISBN 0-444-50355-2. OCLC 162131277.
Xart, Klas Pieter; Nagata, Jun-iti; Vaughan, Jerry E. (2004). Umumiy topologiya ensiklopediyasi. Elsevier. ISBN 978-0-444-50355-8.
Kunen, Kennet; Vaughan, Jerry E. (tahrir). Set-nazariy topologiyaning qo'llanmasi. Shimoliy-Gollandiya. ISBN 0-444-86580-2.
Nagata, Jun-iti (1985). Zamonaviy umumiy topologiya. Shimoliy-Gollandiya matematik kutubxonasi. 33 (2-tahrirdagi tahrir). Amsterdam-Nyu-York-Oksford: Shimoliy-Gollandiya. ISBN 0080933793. Zbl 0598.54001.
Stin, Lin Artur; Seebach, J. Artur Jr. (1978). Topologiyadagi qarshi misollar (Dover 1978 yildagi qayta nashr). Berlin, Nyu-York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-486-68735-3. JANOB 0507446.
Vikers, Stiven (1989). Mantiq orqali topologiya. Nazariy kompyuter fanlari bo'yicha Kembrij traktlari. 5. ISBN 0-521-36062-5. Zbl 0668.54001.
Uillard, Stiven (1970). Umumiy topologiya. Matematikadan Addison-Uesli seriyasi. Reading, MA: Addison-Uesli. ISBN 978-0-201-08707-9. Zbl 0205.26601. Dover-ni qayta nashr etish shaklida ham mavjud.

Tashqi havolalar

Topologiyadagi ta'riflarning lug'ati

[1] Vikers (1989) 22-bet

[FOOTNOTEHart20049-2] v Xart 2004 yil, p. 9.

[3] Deza, Mishel Mari; Deza, Elena (2012). Masofalar entsiklopediyasi. Springer-Verlag. p. 64. ISBN 3642309585.

[FOOTNOTEHart20048–9-4] Xart 2004 yil, 8-9 betlar.

[5] Nagata (1985) p.104

[ss163-6] v ^d Steen & Seebach (1978) s.163

[ss41-7] Steen & Seebach (1978) 41-bet

[ss162-8] v ^d ^e ^f ^g ^h Steen & Seebach (1978) s.162

[9] Uillard, Stiven (1970). Umumiy topologiya. Matematikadan Addison-Uesli seriyasi. Reading, MA: Addison-Uesli. Zbl 0205.26601.

[10] Konvey, Jon B. (1995). Bitta kompleks o'zgaruvchining funktsiyalari II. Matematikadan aspirantura matnlari. 159. Springer-Verlag. 367-376 betlar. ISBN 0-387-94460-5. Zbl 0887.30003.

[11] Vikers (1989) 65-bet

[ss4-12] Steen & Seebach p.4

[ss29-13] v ^d ^e ^f Steen & Seebach (1978) p.29

[GKW290-14] Gabbay, Dov M.; Kanamori, Akixiro; Vuds, Jon Xeyden, nashrlar. (2012). Yigirmanchi asrdagi to'plamlar va kengaytmalar. Elsevier. p. 290. ISBN 0444516212.

[EGT65-15] v ^d ^e Xart va boshq (2004) p.65

[ss7-16] Steen & Seebach (1978) s.7

[ss23-17] Steen & Seebach (1978) s.23

[ss25-18] Steen & Seebach (1978) 25-bet

[19] Xart, Nagata, Vagan mazhabi. d-22, 227 bet

[20] Ceccherini-Silberstein, Tullio; Koornaert, Mishel (2010). Uyali avtomatlar va guruhlar. Matematikadan Springer monografiyalari. Berlin: Springer-Verlag. p. 3. ISBN 978-3-642-14033-4. Zbl 1218.37004.

[Steen_&_Seebach_1978_p.6-21] Steen & Seebach (1978) 6-bet

[22] Vikers (1989) 95-bet

[FOOTNOTEHart20048-23] Xart 2004 yil, p. 8.

[24] Vikers (1989) 66-bet

[25] Miroslav Xushek; J. van Mill (2002), Yaqinda umumiy topologiyada erishilgan yutuqlar, Umumiy topologiyada so'nggi yutuqlar, 2, Elsevier, p. 21, ISBN 0-444-50980-1

[ss33-26] Steen & Seebach (1978) s.33

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

Topologiya
Maydonlar	Umumiy (belgilangan) Algebraik Kombinatorial Davom etish Differentsial Geometrik past o'lchamli Gomologiya kohomologiya Set-nazariy
Asosiy tushunchalar	To'siqni oching / Yopiq to'plam Davomiylik Bo'shliq ixcham Hausdorff metrik bir xil Homotopiya homotopiya guruhi asosiy guruh Oddiy kompleks CW kompleksi Manifold Ikkinchi hisoblanadigan bo'shliq
Turkum Matematik portal Vikibuk Vikipediya Mavzular umumiy algebraik geometrik Nashrlar