E6 (matematika) - E6 (mathematics)

Bu maqola aksariyat o'quvchilar tushunishi uchun juda texnik bo'lishi mumkin. Iltimos uni yaxshilashga yordam bering ga buni mutaxassis bo'lmaganlarga tushunarli qilish, texnik ma'lumotlarni olib tashlamasdan. (2013 yil may) (Ushbu shablon xabarini qanday va qachon olib tashlashni bilib oling)

Algebraik tuzilish → Guruh nazariyasi Guruh nazariyasi
Asosiy tushunchalar Kichik guruh Oddiy kichik guruh Miqdor guruhi (Yarim)to'g'ridan-to'g'ri mahsulot Guruhli gomomorfizmlar yadro rasm to'g'ridan-to'g'ri summa gulchambar mahsuloti oddiy cheklangan cheksiz davomiy multiplikativ qo'shimchalar tsiklik abeliya dihedral nolpotent hal etiladigan Guruhlar nazariyasining lug'ati Guruhlar nazariyasi mavzulari ro'yxati
Cheklangan guruhlar Sonli oddiy guruhlarning tasnifi tsiklik o'zgaruvchan Yolg'on turi vaqti-vaqti bilan Koshi teoremasi Lagranj teoremasi Slow teoremalari Xoll teoremasi p-guruh Boshlang'ich abeliya guruhi Frobenius guruhi Schur multiplikatori Nosimmetrik guruh Sn Klein to'rt guruh V Dihedral guruh D.n Quaternion guruhi Q Ditsiklik guruh Dicn
Alohida guruhlar Panjaralar Butun sonlar (Z) Bepul guruh Modulli guruhlar PSL (2,Z) SL (2,Z) Arifmetik guruh Panjara Giperbolik guruh
Topologik va Yolg'on guruhlar Elektromagnit Doira Umumiy chiziqli GL (n) Maxsus chiziqli SL (n) Ortogonal O (n) Evklid E (n) Maxsus ortogonal SO (n) Unitar U (n) Maxsus unitar SU (n) Simpektik Sp (n) G2 F4 E6 E7 E8 Lorents Puankare Norasmiy Diffeomorfizm Loop Cheksiz o'lchovli yolg'on guruhi O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Algebraik guruhlar Lineer algebraik guruh Reduktiv guruh Abeliya xilma-xilligi Elliptik egri chiziq

Yolg'on guruhlar
Klassik guruhlar Umumiy chiziqli GL (n) Maxsus chiziqli SL (n) Ortogonal O (n) Maxsus ortogonal SO (n) Unitar U (n) Maxsus unitar SU (n) Simpektik Sp (n)
Simple Lie guruhlari Oddiy Yolg'on guruhlari ro'yxati Klassik An Bn Cn D.n Istisno G2 F4 E6 E7 E8
Boshqa yolg'on guruhlar Doira Lorents Puankare Norasmiy guruh Diffeomorfizm Loop Evklid
Yolg'on algebralar Yolg'on guruhi - Yolg'on algebra yozishmalari Eksponensial xarita Qo'shma vakillik Qotillik shakli Indeks Yolg'on nuqtasi simmetriyasi Lie oddiy algebra
Semisimple Lie algebra Dynkin diagrammalari Cartan subalgebra Ildiz tizimi Veyl guruhi Haqiqiy shakl Komplekslashtirish Split Lie algebra Yilni algebra
Vakillik nazariyasi Yolg'on guruhining vakili Yolg'on algebra Lie algebralarining yarimo'tkazuvchanlik nazariyasi Eng katta vazn teoremasi Borel-Vayl-Bot teoremasi
Yolg'on guruhlar fizika Zarralar fizikasi va vakillik nazariyasi Lorents guruhi vakolatxonalari Puankare guruhi vakolatxonalari Galiley guruhi vakolatxonalari
Olimlar Sofus yolg'on Anri Puankare Vilgelm o'ldirish Élie Cartan Hermann Veyl Klod Chevalley Xarish-Chandra Armand Borel
Lug'at Yolg'on guruhlari jadvali

Yilda matematika, E₆ yaqin qarindoshlarning nomi Yolg'on guruhlar, chiziqli algebraik guruhlar yoki ularning Yolg'on algebralar ${ displaystyle { mathfrak {e}} _ {6}}$, ularning barchasi 78 o'lchovga ega; xuddi shu yozuv E₆ mos keladigan uchun ishlatiladi ildiz panjarasi bor daraja 6. E belgisi₆ majmuaning Cartan-Killing tasnifidan kelib chiqadi oddiy Lie algebralari (qarang Élie Cartan § Ish ). Bu Lie algebralarini to'rtta cheksiz qatorga A deb belgilaydi_n, B_n, C_n, D._nva beshta alohida holat E bilan belgilangan₆, E₇, E₈, F₄ va G₂. E₆ algebra - bu beshta istisno holatlardan biri.

Murakkab shaklning asosiy guruhi, ixcham haqiqiy shakli yoki E.ning har qanday algebraik versiyasi₆ bo'ladi tsiklik guruh Z/3Zva uning tashqi avtomorfizm guruhi tsiklik guruhdir Z/2Z. Uning asosiy vakillik 27 o'lchovli (murakkab) bo'lib, asos tomonidan berilgan Kub yuzasida 27 ta chiziq. The ikki tomonlama vakillik, bu tengsiz, shuningdek, 27 o'lchovli.

Yilda zarralar fizikasi, E₆ ba'zilarida rol o'ynaydi katta birlashtirilgan nazariyalar.

Haqiqiy va murakkab shakllar

E tipidagi noyob Lie algebrasi mavjud₆, murakkab o'lchamdagi murakkab guruhga mos keladigan 78. Kompleks qo'shma Lie guruhi E₆ ning murakkab o'lchov 78 ni haqiqiy o'lchamdagi haqiqiy Lie guruhi deb hisoblash mumkin 156. Bu asosiy guruhga ega Z/3Z, maksimalga ega ixcham E ning ixcham shakli (quyiga qarang) kichik guruhi₆va murakkab konjugatsiya va allaqachon murakkab avtomorfizm sifatida mavjud bo'lgan tashqi avtomorfizm natijasida hosil bo'lgan 4-tartibli tashqi avtomorfizm guruhiga ega.

E tipidagi murakkab Lie guruhi bilan bir qatorda₆, Lie algebraning beshta haqiqiy shakli va shunga mos ravishda trivial markazi bo'lgan guruhning beshta haqiqiy shakli mavjud (ularning hammasi algebraik ikki qavatli, uchtasi esa algebraik bo'lmagan qopqoqlarga ega bo'lib, keyinchalik haqiqiy shakllarni beradi), barchasi haqiqiy o'lchamdagi 78, quyidagicha:

• Asosiy guruhga ega bo'lgan ixcham shakl (odatda, boshqa ma'lumot berilmasa, u qo'llaniladi) Z/3Z va tashqi avtomorfizm guruhi Z/2Z.
• Split shakl, EI (yoki E₆₍₆₎), bu Sp (4) / (± 1) maksimal ixcham kichik guruhga ega, 2-tartibning asosiy guruhi va 2-tartibdagi tashqi avtomorfizm guruhi.
• EII (yoki E) kvazi-split shakli₆₍₂₎), bu SU (2) × SU (6) / (markaz) maksimal ixcham kichik guruhiga ega, 6-tartibli asosiy guruh tsikli va 2-tartibdagi tashqi avtomorfizm guruhi.
• EIII (yoki E_6(-14)), bu asosiy guruh SO (2) × Spin (10) / (center) maksimal ixcham kichik guruhiga ega Z va ahamiyatsiz tashqi avtomorfizm guruhi.
• EIV (yoki E_6(-26)), maksimal F kichik guruhiga ega₄, ahamiyatsiz fundamental guruh tsiklik va tashqi avtomorfizm guruhi 2-tartib.

E ning EIV shakli₆ ning kollinatsiyalar guruhi (chiziqlarni saqlovchi konvertatsiyalar) oktonion proektsion tekislik OP².^[1] Shuningdek, bu istisno holatining determinantni saqlovchi chiziqli o'zgarishlari guruhidir Iordaniya algebra. Iordaniya algebrasi 27 o'lchovli bo'lib, bu nima uchun E ning ixcham haqiqiy shakli ekanligini tushuntiradi₆ 27 o'lchovli kompleks ko'rinishga ega. E.ning ixcham shakli₆ bo'ladi izometriya guruhi 32 o'lchovli Riemann manifoldu "bioktonion proektsion tekislik" deb nomlangan; E uchun o'xshash inshootlar₇ va E₈ nomi bilan tanilgan Rozenfeld proektsion samolyotlari, va qismiga kiradi Freydental sehrli kvadrat.

E₆ algebraik guruh sifatida

A orqali Chevalley asoslari Lie algebra uchun E ni aniqlash mumkin₆ butun sonlar ustida chiziqli algebraik guruh va shuning uchun har qanday komutativ halqa va xususan har qanday maydon bo'yicha: bu E ning bo'linish (ba'zan "burilmagan" deb ham ataladi) qo'shma shaklini belgilaydi₆. Algebraik yopiq maydonda bu va uning uch qavatli qopqog'i yagona shakllardir; ammo, boshqa sohalar bo'yicha, ko'pincha E ning ko'plab boshqa shakllari yoki "burilishlari" mavjud₆, ning umumiy doirasiga kiruvchi Galois kohomologiyasi (a ustidan mukammal maydon k) to'plam tomonidan H¹(k, Avtomatik (E.₆)) qaysi, chunki E ning Dynkin diagrammasi₆ (qarang quyida ) avtomorfizm guruhiga ega Z/2Z, xaritalar H¹(k, Z/2Z) = Hom (Gal (k), Z/2Z) yadro bilan H¹(k, E_{6, reklama}).^[2]

Haqiqiy sonlar maydonida E ning bu algebraik o'ralgan shakllarining o'ziga xos tarkibiy qismi₆ aytib o'tilgan uchta haqiqiy Lie guruhiga to'g'ri keladi yuqorida, lekin asosiy guruhga tegishli noziklik bilan: E ning barcha qo'shni shakllari₆ asosiy guruhga ega Z/3Z algebraik geometriya ma'nosida, Galois harakati bilan birlikning uchinchi ildizlari kabi; bu shuni anglatadiki, ular aynan bitta uchta qopqoqni tan olishadi (bu haqiqatan ham ahamiyatsiz bo'lishi mumkin); E.ning ixcham bo'lmagan haqiqiy Lie guruh shakllari₆ shuning uchun ular algebraik emas va hech qanday sodda cheklangan o'lchovlarni tan olmaydi. E.ning ixcham shakli₆ shuningdek, kompakt bo'lmagan shakllar EI = E₆₍₆₎ va EIV = E_6(-26) deb aytilgan ichki yoki turdagi ¹E₆ ularning sinflari yotishini anglatadi H¹(k, E_{6, reklama}) yoki murakkab konjugatsiya Dynkin diagrammasida ahamiyatsiz avtomorfizmni keltirib chiqaradi, boshqa ikkita haqiqiy shakl esa deyiladi tashqi yoki turdagi ²E₆.

Sonli maydonlar ustida Lang-Shtaynberg teoremasi shuni anglatadiki H¹(k, E₆) = 0, ya'ni E degan ma'noni anglatadi₆ sifatida tanilgan aynan bitta o'ralgan shaklga ega ²E₆: qarang quyida.

Albert algebrasining otomorfizmlari

Algebraik guruh G qanday bo'lishiga o'xshash₂ ning avtomorfizm guruhi oktonionlar va algebraik guruh F₄ ning anomotorfizm guruhidir Albert algebra, istisno Iordaniya algebra, algebraik guruh E₆ - bu "aniqlovchi" deb nomlangan ma'lum bir kub shaklini saqlaydigan Albert algebrasining chiziqli avtomorfizmlari guruhi.^[3]

Algebra

Dynkin diagrammasi

The Dynkin diagrammasi E uchun₆ tomonidan berilgan , shuningdek, chizilgan bo'lishi mumkin .

E ildizlari₆

Ning 72 tepasi 1₂₂ politop E ning ildiz vektorlarini ifodalaydi₆, ko'rsatilgandek Kokseter tekisligi proektsiya. Ushbu proektsiyada to'q sariq tepaliklar ikki baravarga oshiriladi.
Kokseter-Dinkin diagrammasi:

Garchi ular oraliq olti o'lchovli bo'shliq, ularni ko'rib chiqish ancha nosimmetrikdir vektorlar to'qqiz o'lchovli kosmosning olti o'lchovli pastki fazosida. Shunda odam ildiz otishi mumkin

(1,−1,0;0,0,0;0,0,0), (−1,1,0;0,0,0;0,0,0),

(−1,0,1;0,0,0;0,0,0), (1,0,−1;0,0,0;0,0,0),

(0,1,−1;0,0,0;0,0,0), (0,−1,1;0,0,0;0,0,0),

(0,0,0;1,−1,0;0,0,0), (0,0,0;−1,1,0;0,0,0),

(0,0,0;−1,0,1;0,0,0), (0,0,0;1,0,−1;0,0,0),

(0,0,0;0,1,−1;0,0,0), (0,0,0;0,−1,1;0,0,0),

(0,0,0;0,0,0;1,−1,0), (0,0,0;0,0,0;−1,1,0),

(0,0,0;0,0,0;−1,0,1), (0,0,0;0,0,0;1,0,−1),

(0,0,0;0,0,0;0,1,−1), (0,0,0;0,0,0;0,−1,1),

plyusning barcha 27 kombinatsiyasi ${ displaystyle ( mathbf {3}; mathbf {3}; mathbf {3})}$ qayerda ${ displaystyle mathbf {3}}$ biri ${ displaystyle left ({ frac {2} {3}}, - { frac {1} {3}}, - { frac {1} {3}} right), left (- { frac {1} {3}}, { frac {2} {3}}, - { frac {1} {3}} o'ng), chap (- { frac {1} {3} }, - { frac {1} {3}}, { frac {2} {3}} o'ng),}$plyusning barcha 27 kombinatsiyasi ${ displaystyle ({ bar { mathbf {3}}}; { bar { mathbf {3}}}; { bar { mathbf {3}}})}$ qayerda ${ displaystyle { bar { mathbf {3}}}}$ biri ${ displaystyle left (- { frac {2} {3}}, { frac {1} {3}}, { frac {1} {3}} right), left ({ frac) {1} {3}}, - { frac {2} {3}}, { frac {1} {3}} o'ng), chap ({ frac {1} {3}}, { frac {1} {3}}, - { frac {2} {3}} o'ng).}$

Oddiy ildizlar

E6 ning oddiy ildizlari uchun mumkin bo'lgan tanlovlardan biri:

(0,0,0;0,0,0;0,1,−1)

(0,0,0;0,0,0;1,−1,0)

(0,0,0;0,1,−1;0,0,0)

(0,0,0;1,−1,0;0,0,0)

(0,1,−1;0,0,0;0,0,0)

${ displaystyle left ({ frac {1} {3}}, - { frac {2} {3}}, { frac {1} {3}}; - { frac {2} {3} }, { frac {1} {3}}, { frac {1} {3}}; - { frac {2} {3}}, { frac {1} {3}}, { frac {1} {3}} o'ng)}$

Kokseter tekisligiga proektsiyalangan E8 kichik guruhi sifatida E6 grafigi

Hasse diagrammasi E6 ning root poset qo'shilgan oddiy ildiz holatini aniqlaydigan chekka yorliqlari bilan

E8 ildizlaridan kelib chiqqan E6 ildizlari

E₆ E ning pastki qismidir₈ bu erda uchta koordinatalarning izchil to'plami teng (masalan, birinchi yoki oxirgi). Bu E ning aniq ta'riflarini osonlashtiradi₇ va E₆ kabi:

E₇ = {a ∈ Z⁷ ∪ (Z+½)⁷ : ∑a_men² + a₁² = 2, ∑a_men + a₁ ∈ 2Z},

E₆ = {a ∈ Z⁶ ∪ (Z+½)⁶ : ∑a_men² + 2a₁² = 2, ∑a_men + 2a₁ ∈ 2Z}

Split realdan quyidagi 72 E6 ildiz shu tarzda olingan hatto E8 ildizlari. So'nggi 3 o'lcham talab qilingan darajada bir xil bo'lishiga e'tibor bering:

Muqobil tavsif

E ni ko'rib chiqishda foydali bo'lgan ildiz tizimining muqobil (6 o'lchovli) tavsifi₆ × SU (3) a sifatida ning kichik guruhi E₈, quyidagilar:

Hammasi ${ displaystyle 4 times { begin {pmatrix} 5 2 end {pmatrix}}}$ almashtirish

${ displaystyle ( pm 1, pm 1,0,0,0,0)}$ oxirgi kirishda nolni saqlab qolish,

va quyidagi barcha ildizlar toq sonli ortiqcha belgilar bilan

${ displaystyle left ( pm {1 2} dan yuqori, pm {1 dan 2} gacha, pm {1 dan 2} gacha, pm {1 dan 2} gacha, pm {1 dan 2} gacha , pm {{ sqrt {3}} 2} dan ortiq o'ng).}$

Shunday qilib, 78 generator quyidagi subalgebralardan iborat:

45 o'lchovli SO (10) subalgebra, shu jumladan yuqoridagilar ${ displaystyle 4 times { begin {pmatrix} 5 2 end {pmatrix}}}$ generatorlar va beshta Karton generatorlari birinchi beshta yozuvga mos keladi.

A ga aylanadigan ikkita 16 o'lchovli subalgebralar Veyl spinori ning ${ displaystyle operatorname {spin} (10)}$ va uning murakkab konjugati. Bu nolga teng bo'lmagan so'nggi yozuvga ega.

1 generator, bu ularning chirallik generatori va oltinchisi Karton generatori.

Bitta tanlov oddiy ildizlar E uchun₆ tartibda indekslangan quyidagi matritsaning qatorlari bilan berilgan :

${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & - {frac {1} {2}} & - { frac {1} { 2}} & - { frac {1} {2}} & - { frac {1} {2}} & - { frac {1} {2}} & { frac { sqrt {3}} {2}} 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 end {smallmatrix}} right]}$

Veyl guruhi

The Veyl guruhi E.₆ 51840 buyurtma: bu avtomorfizm noyob guruh oddiy guruh 25920-sonli buyurtma (uni quyidagicha ta'riflash mumkin: PSU)₄(2), PSΩ₆⁻(2), PSp₄(3) yoki PSΩ₅(3)).^[4]

Kartan matritsasi

${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} 2 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 - 1 & 2 & -1 & 0 & 0 & 0 0 & -1 & 2 & -1 & 0 & -1 0 & 0 & -1 & 2 & -1 & 0 & 0 0 & 0 & -1 & 2 & 0 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 2 end { smallmatrix}} o'ng]}$

Muhim subgebralar va vakolatxonalar

Yolg'on algebra E₆ F ga ega₄ subalgebra, bu tashqi avtomorfizmning sobit subalgebrasi va SU (3) × SU (3) × SU (3) subalgebra. Fizikada muhim bo'lgan va Dynkin diagrammasidan o'qilishi mumkin bo'lgan boshqa maksimal subalgebralar SO (10) × U (1) va SU (6) × SU (2) algebralari.

78 o'lchovli qo'shma tasvirga qo'shimcha ravishda ikkita ikkita mavjud 27 o'lchovli "vektor" tasvirlari.

Haqiqiy va murakkab Lie algebralari va Lie guruhlarining cheklangan o'lchovli tasvirlari belgilarining barchasi Weyl belgilar formulasi. Eng kichik qisqartirilmaydigan tasvirlarning o'lchamlari (ketma-ketlik) A121737 ichida OEIS ):

1, 27 (ikki marta), 78, 351 (to'rt marta), 650, 1728 (ikki marta), 2430, 2925, 3003 (ikki marta), 5824 (ikki marta), 7371 (ikki marta), 7722 (ikki marta), 17550 (ikki marta), 19305 (to'rt marta), 34398 (ikki marta), 34749, 43758, 46332 (ikki marta), 51975 (ikki marta), 54054 (ikki marta), 61425 (ikki marta), 70070, 78975 (ikki marta), 85293, 100386 (ikki marta), 105600, 112320 (ikki marta), 146432 (ikki marta), 252252 (ikki marta), 314496 (ikki marta), 359424 (to'rt marta), 371800 (ikki marta), 386100 (ikki marta), 393822 (ikki marta), 412776 (ikki marta), 442442 (ikki marta)…

Yuqoridagi ketma-ketlikdagi chizilgan atamalar E ning qo'shma shakliga ega bo'lgan bu qisqartirilmaydigan tasavvurlarning o'lchamlari₆ (teng ravishda, og'irliklari E ning ildiz panjarasiga tegishli bo'lganlar₆), holbuki to'liq ketma-ketlik E ning sodda bog'langan shakli kamaytirilmaydigan tasavvurlarining o'lchamlarini beradi₆.

E ning Dynkin diagrammasining simmetriyasi₆ nima uchun ko'p o'lchovlar ikki marta sodir bo'lishini tushuntiradi, mos keladigan tasvirlar ahamiyatsiz bo'lmagan tashqi avtomorfizm bilan bog'liq; ammo, ba'zida bundan ham ko'proq vakolatxonalar mavjud, masalan, 351 o'lchovining to'rttasi, ulardan ikkitasi asosiy, ikkovi esa yo'q.

The asosiy vakolatxonalar o'lchamlari 27, 351, 2925, 351, 27 va 78 (.dagi oltita tugunga to'g'ri keladi Dynkin diagrammasi uchun tanlangan tartibda Kartan matritsasi yuqorida, ya'ni tugunlar avval beshta tugunli zanjirda o'qiladi, oxirgi tugun o'rtasiga ulanadi).

E6 politopi

The E₆ politop bo'ladi qavariq korpus E ning ildizlari₆. Shuning uchun u 6 o'lchovda mavjud; uning simmetriya guruhi o'z ichiga oladi Kokseter guruhi E uchun₆ sifatida indeks 2 kichik guruh.

E tipidagi Chevalley va Steinberg guruhlari₆ va ²E₆

Tur guruhlari E₆ Dikson tomonidan o'zboshimchalik maydonlari (xususan, cheklangan maydonlar) ustidan kiritilgan (1901, 1908 ).

A ustidagi ballar cheklangan maydon bilan q (bo'lingan) algebraik guruh E elementlari₆ (qarang yuqorida ) qo'shni (markazsiz) yoki oddiygina bog'langan shakldan (uning algebraik universal qopqog'i) bo'lsin, cheklangan sonni bering Chevalley guruhi. Bu E yozilgan guruh bilan chambarchas bog'liq₆(q), ammo bu yozuvda bir nechta narsaga mos keladigan noaniqlik mavjud:

• ustidan ochkolardan tashkil topgan cheklangan guruh F_q E ning oddiy bog'langan shaklidan₆ (aniqlik uchun buni E yozish mumkin_{6, sk}(q) yoki kamdan-kam hollarda ${ displaystyle { tilde {E}} _ {6} (q)}$ va E tipidagi "universal" Chevalley guruhi sifatida tanilgan₆ ustida F_q),
• (kamdan-kam hollarda) tugagan guruhdan iborat F_q E ning biriktirilgan shakli₆ (aniqlik uchun buni E yozish mumkin_{6, reklama}(q) va E tipidagi "qo'shma" Chevalley guruhi sifatida tanilgan₆ ustida F_q), yoki
• birinchisidan ikkinchisiga tabiiy xaritaning tasviri bo'lgan cheklangan guruh: bu E bilan belgilanadi₆(q) cheklangan guruhlar bilan bog'liq matnlarda eng ko'p uchraydigan quyidagi kabi.

Cheklangan guruh nuqtai nazaridan, ushbu uchta guruh o'rtasidagi munosabatlar SL (n, q), PGL (n, q) va PSL (n, q), quyidagicha umumlashtirilishi mumkin: E₆(q) har bir kishi uchun oddiy q, E_{6, sk}(q) uning Schur qopqog'i va E_{6, reklama}(q) uning avtomorfizm guruhiga kiradi; bundan tashqari, qachon q−1 3 ga bo'linmaydi, uchalasi ham bir-biriga to'g'ri keladi, aks holda (qachon q 1 modga mos keladi 3), E ning Schur multiplikatori₆(q) 3 va E ga teng₆(q) E ning 3 indeksidir_{6, reklama}(q), bu nima uchun E ni tushuntiradi_{6, sk}(q) va E_{6, reklama}(q) ko'pincha 3 · E sifatida yoziladi₆(q) va E₆(q) · 3. Algebraik guruh nuqtai nazaridan E uchun kamroq tarqalgan₆(q) cheklangan oddiy guruhga murojaat qilish, chunki ikkinchisi tabiiy ravishda algebraik guruhning nuqtalari to'plami emas F_q E dan farqli o'laroq_{6, sk}(q) va E_{6, reklama}(q).

Ushbu "bo'linish" (yoki "burilmagan") shaklidan tashqari E.₆, E ning yana bir shakli mavjud₆ cheklangan maydon ustida F_qsifatida tanilgan ²E₆, bu E ning Dinkin diagrammasining ahamiyatsiz avtomorfizmi bilan burish orqali olinadi₆. Aniq, ²E₆(q), Shtaynberg guruhi sifatida tanilgan, E ning kichik guruhi sifatida qaralishi mumkin₆(q²) ahamiyatsiz diagrammasi avtomorfizm va unchalik ahamiyatli bo'lmagan maydon avtomorfizmi tarkibi bilan belgilanadi F_q². Twisting algebraik asosiy guruhning haqiqatini o'zgartirmaydi ²E_{6, reklama} bu Z/3Z, lekin bu ularni o'zgartiradi q buning uchun ²E_{6, reklama} tomonidan ²E_{6, sk} uchun ahamiyatsiz emas F_q- ochkolar. Aniq: ²E_{6, sk}(q) ning qoplamasidir ²E₆(q) va ²E_{6, reklama}(q) uning avtomorfizm guruhiga kiradi; qachon q+1 3 ga bo'linmaydi, uchalasi ham to'g'ri keladi, aks holda (qachon q darajasi 2 modga mos keladi 3), darajasi ²E_{6, sk}(q) ustida ²E₆(q) 3 va ²E₆(q) indeks 3 dyuymga teng ²E_{6, reklama}(q), bu nima uchun ekanligini tushuntiradi ²E_{6, sk}(q) va ²E_{6, reklama}(q) ko'pincha 3 · deb yoziladi²E₆(q) va ²E₆(q)·3.

Guruhlarga tegishli ikkita notatsion masalani ko'tarish kerak ²E₆(q). Ulardan biri bu ba'zan yoziladi ²E₆(q²), Suzuki va Ree guruhlariga osonroq ko'chib o'tishning afzalligi bo'lgan yozuv, ammo nota yozuvidan chetga chiqishning zararli tomoni. F_q-algebraik guruhning nuqtalari. Boshqasi esa ²E_{6, sk}(q) va ²E_{6, reklama}(q) F_q-algebraik guruhning nuqtalari, ko'rib chiqilayotgan guruh ham bog'liqdir q (masalan, yuqoridagi fikrlar F_q² xuddi shu guruhning egilmagan E_{6, sc}(q²) va E_{6, reklama}(q²)).

E guruhlari₆(q) va ²E₆(q) har kim uchun oddiy q,^[5][6] va ulardagi cheksiz oilalardan ikkitasini tashkil qiladi cheklangan oddiy guruhlarning tasnifi. Ularning tartibi quyidagi formula (ketma-ketlik) bilan berilgan A008872 ichida OEIS ):

${ displaystyle | E_ {6} (q) | = { frac {1} { mathrm {gcd} (3, q-1)}} q ^ {36} (q ^ {12} -1) (q ^ {9} -1) (q ^ {8} -1) (q ^ {6} -1) (q ^ {5} -1) (q ^ {2} -1)}$

${ displaystyle | {} ^ {2} ! E_ {6} (q) | = { frac {1} { mathrm {gcd} (3, q + 1)}} q ^ {36} (q ^) {12} -1) (q ^ {9} +1) (q ^ {8} -1) (q ^ {6} -1) (q ^ {5} +1) (q ^ {2} -1) )}$

(ketma-ketlik A008916 ichida OEIS ). E buyrug'i_{6, sk}(q) yoki E_{6, reklama}(q) (ikkalasi teng) gcd (3, ajratuvchi omilni olib tashlash orqali olinishi mumkinq−1) birinchi formuladan (ketma-ketlik) A008871 ichida OEIS ) va tartibi ²E_{6, sk}(q) yoki ²E_{6, reklama}(q) (ikkalasi teng) gcd (3, ajratuvchi omilni olib tashlash orqali olinishi mumkinq+1) ikkinchisidan (ketma-ketlik) A008915 ichida OEIS ).

E ning Schur multiplikatori₆(q) har doim gcd (3,q-1) (ya'ni E_{6, sk}(q) uning Schur qopqog'i). Ning Schur multiplikatori ²E₆(q) gcd (3,q+1) (ya'ni, ²E_{6, sk}(q) uning Schur qopqog'i) istisno holatidan tashqarida q= 2, bu erda u 2 ga teng²· 3 (ya'ni qo'shimcha 2 mavjud²-qopqoq) E ning tashqi avtomorfizm guruhi₆(q) diagonal avtomorfizm guruhining hosilasi Z/ gcd (3,q−1)Z (E harakati bilan berilgan_{6, reklama}(q)), guruh Z/2Z diagramma avtomorfizmlari va maydon avtomorfizmlari guruhi (ya'ni tartibning tsikli) f agar q=p^f qayerda p asosiy). Ning tashqi avtomorfizm guruhi ²E₆(q) diagonal avtomorfizm guruhining hosilasi Z/ gcd (3,q+1)Z (ning harakati bilan berilgan ²E_{6, reklama}(q) va dala avtomorfizmlari guruhi (ya'ni tartibning tsikli) f agar q=p^f qayerda p asosiy).

Fizikaning ahamiyati

Ning namunasi zaif izospin, V, kuchsiz izospin, V′, kuchli g3 va g8va barion minus lepton, B, zarralar uchun zaryadlar SO (10) Buyuk birlashgan nazariya, joylashtirilganligini ko'rsatish uchun aylantirildi E₆.

N = 8 supergravitatsiya besh o'lchamda, bu a o'lchovni kamaytirish dan 11 o'lchovli supergravitatsiya, tan oladi E₆ bosonik global simmetriya va an Sp (8) bosonik mahalliy simmetriya. Fermionlar Sp (8), o'lchov maydonlari tasvirlangan E₆va skalar ikkalasining tasvirida (Gravitonlar mavjud) singletlar ikkalasiga nisbatan ham). Jismoniy holatlar koset tasvirida E₆/ Sp (8).

Yilda katta birlashma nazariyalari, E₆ mumkin bo'lgan o'lchov guruhi sifatida paydo bo'ladi, undan keyin buzish, paydo bo'lishiga olib keladi SU (3) × SU (2) × U (1) o'lchov guruhi ning standart model. Bunga erishishning usullaridan biri bu buzilishdir SO (10) × U (1). Qo'shimcha 78 vakillik tanaffuslari, yuqorida aytib o'tilganidek, qo'shma 45, spinor 16 va 16 shuningdek, singlet SO (10) subalgebra. Shu jumladan U (1) bizda zaryad bor

${ displaystyle 78 rightarrow 45_ {0} oplus 16 _ {- 3} oplus { overline {16}} _ {3} + 1_ {0}.}$

Qaerda pastki belgi U (1) zaryadlash.

Xuddi shunday, asosiy vakillik 27 va uning konjugati 27 skalerni buzish 1, vektor 10 va spinor ham 16 yoki 16:

${ displaystyle 27 rightarrow 1_ {4} oplus 10 _ {- 2} oplus 16_ {1},}$

${ displaystyle { bar {27}} rightarrow 1 _ {- 4} oplus 10_ {2} oplus { overline {16}} _ {- 1}.}$

Shunday qilib, Standart Modelning boshlang'ich fermionlari va Xiggs bozonini olish mumkin.

Shuningdek qarang

• En (yolg'on algebra)
• ADE tasnifi
• Freydental sehrli kvadrat

Adabiyotlar

• Adams, J. Frank (1996), Istisno yolg'on guruhlari bo'yicha ma'ruzalar, Matematikadan Chikago ma'ruzalari, Chikago universiteti matbuoti, ISBN  978-0-226-00526-3, JANOB  1428422.
• Baez, Jon (2002). "Oktonionlar, 4.4-bo'lim: E₆". Buqa. Amer. Matematika. Soc. 39 (2): 145–205. arXiv:matematik / 0105155. doi:10.1090 / S0273-0979-01-00934-X. ISSN  0273-0979. Onlayn HTML versiyasi [1].
• Kremmer, E .; J. Sherk; J. H. Shvarts (1979). "O'z-o'zidan buzilgan N = 8 supergravitatsiya". Fizika. Lett. B. 84 (1): 83–86. Bibcode:1979PhLB ... 84 ... 83C. doi:10.1016/0370-2693(79)90654-3. Onlayn skanerlangan versiyasi [2]^{[doimiy o'lik havola ]}.
• Dikson, Leonard Eugene (1901), "Kub yuzasida 27 satrning konfiguratsiyasi bilan bog'liq bo'lgan o'zboshimchalik sohasidagi guruhlar sinfi", Har chorakda sof va amaliy matematik jurnal, 33: 145–173, uning yig'ilgan asarlarining V jildida qayta nashr etilgan
• Dikson, Leonard Eugene (1908), "Kub yuzasida 27 satrning konfiguratsiyasi bilan bog'liq bo'lgan o'zboshimchalik sohasidagi guruhlar sinfi (ikkinchi qog'oz)", Har chorakda sof va amaliy matematik jurnal, 39: 205–209, ISBN  9780828403061, to'plangan asarlarining VI jildida qayta nashr etilgan
• Ichiro, Yokota (2009). "Ajoyib yolg'on guruhlari". arXiv:0902.0431 [math.DG ].