K3 yuzasi - K3 surface

3 bo'shliqda tekis kvartal sirt. Rasmda. Qismi ko'rsatilgan haqiqiy fikrlar (haqiqiy o'lchov 2) ma'lum bir murakkab K3 yuzasida (murakkab o'lchov 2, shuning uchun haqiqiy o'lchov 4).

Yilda matematika, murakkab analitik K3 yuzasi ixcham bog'langan murakkab ko'p qirrali ahamiyatsiz bo'lgan 2 o'lchamdagi kanonik to'plam va tartibsizlik nol. K3 (algebraik) sirt maydon degan ma'noni anglatadi silliq to'g'ri geometrik jihatdan bog'langan algebraik sirt xuddi shu shartlarni qondiradigan. In Enriques – Kodaira tasnifi yuzalarning K3 sirtlari minimal yuzalarning to'rtta sinfidan birini tashkil qiladi Kodaira o'lchovi nol. Oddiy misol - bu Fermat kvartik sirt

${ displaystyle x ^ {4} + y ^ {4} + z ^ {4} + w ^ {4} = 0}$

yilda kompleks proektsion 3-makon.

Ikki o'lchovli ixcham bilan birgalikda murakkab tori, K3 sirtlari Kalabi-Yau kollektorlari (va shuningdek hyperkähler manifoldlari ) ikkinchi o'lchamdagi. Shunday qilib, ular ijobiy egri chiziqlar orasidagi algebraik sirtlarni tasniflash markazida del Pezzo sirtlari (ularni tasniflash oson) va ning salbiy egri sirtlari umumiy turi (ular asosan tasniflanmaydi). K3 sirtini eng oddiy algebraik navlar deb hisoblash mumkin, ularning tuzilishi kamaymaydi chiziqlar yoki abeliya navlari va shunga qaramay, sezilarli darajada tushunish mumkin bo'lgan joyda. Murakkab K3 yuzasi 4-o'lchovga ega va u silliqlikni o'rganishda muhim rol o'ynaydi 4-manifoldlar. K3 yuzalarga surtilgan Kac-Moody algebralari, ko'zgu simmetriyasi va torlar nazariyasi.

Murakkab algebraik K3 sirtlarni keng analitik K3 sirtlarning keng oilasining bir qismi deb o'ylash foydali bo'lishi mumkin. Boshqa ko'plab algebraik navlarda bunday algebraik deformatsiyalar mavjud emas.

Ta'rif

K3 sirtlarini aniqlashning bir necha teng usullari mavjud. Arzimas kanonik to'plamga ega bo'lgan yagona ixcham murakkab yuzalar bu K3 sirtlari va ixcham murakkab tori bo'lib, shuning uchun K3 sirtlarini aniqlash uchun ikkinchisidan tashqari har qanday shart qo'shilishi mumkin. Masalan, bu murakkab analitik K3 sirtini a deb belgilashga tengdir oddiygina ulangan 2-o'lchovli ixcham murakkab manifold, yo'qolib qolmaydigan holomorfik xususiyatga ega 2-shakl. (Oxirgi shartda kanonik to'plam ahamiyatsiz ekanligi aniq aytilgan.)

Ta'rifning ba'zi variantlari ham mavjud. Murakkab sonlar bo'yicha ba'zi mualliflar faqat algebraik K3 sirtlarini hisobga olishadi. (K3 algebraik yuzasi avtomatik ravishda bo'ladi loyihaviy.^[1]) Yoki K3 sirtiga ega bo'lishga ruxsat berilishi mumkin du Valning o'ziga xos xususiyatlari (the kanonik o'ziga xosliklar silliq emas, balki 2) o'lchamdagi.

Betti raqamlarini hisoblash

The Betti raqamlari murakkab analitik K3 sirtining hisoblanishi quyidagicha amalga oshiriladi.^[2] (Shu kabi argument har qanday maydon bo'yicha algebraik K3 sirtining Betti raqamlari uchun bir xil javob beradi l-adik kohomologiya.) Ta'rifga ko'ra, kanonik to'plam ${ displaystyle K_ {X} = Omega _ {X} ^ {2}}$ ahamiyatsiz va tartibsizlik q(X) (o'lchov ${ displaystyle h ^ {1} (X, O_ {X})}$ ning izchil kogomologiya guruh ${ displaystyle H ^ {1} (X, O_ {X})}$) nolga teng. By Ikki tomonlama serre,

${ displaystyle h ^ {2} (X, { mathcal {O}} _ {X}) = h ^ {0} (X, K_ {X}) = 1.}$

Natijada, arifmetik jins (yoki holomorfik Eyler xarakteristikasi ) ning X bu:

${ displaystyle chi (X, { mathcal {O}} _ {X}): = sum _ {i} (- 1) ^ {i} h ^ {i} (X, { mathcal {O} } _ {X}) = 1-0 + 1 = 2.}$

Boshqa tomondan, Riman-Rox teoremasi (Noeter formulasi) shunday deydi:

${ displaystyle chi (X, { mathcal {O}} _ {X}) = { frac {1} {12}} (c_ {1} (X) ^ {2} + c_ {2} (X ))}$,

qayerda ${ displaystyle c_ {i} (X)}$ bo'ladi men-chi Chern sinfi ning teginish to'plami. Beri ${ displaystyle K_ {X}}$ ahamiyatsiz, uning birinchi Chern klassi ${ displaystyle c_ {1} (K_ {X}) = - c_ {1} (X)}$ nolga teng va shunga o'xshash ${ displaystyle c_ {2} (X) = 24}$.

Keyingi, eksponensial ketma-ketlik ${ displaystyle 0 to mathbb {Z} _ {X} to O_ {X} to O_ {X} ^ {*} to 0}$ beradi aniq ketma-ketlik kohomologiya guruhlari ${ displaystyle 0 to H ^ {1} (X, mathbb {Z}) to H ^ {1} (X, O_ {X})}$, va hokazo ${ displaystyle H ^ {1} (X, mathbb {Z}) = 0}$. Shunday qilib Betti raqami ${ displaystyle b_ {1} (X)}$ nolga teng va Puankare ikkilik, ${ displaystyle b_ {3} (X)}$ nolga teng. Nihoyat, ${ displaystyle c_ {2} (X) = 24}$ topologikga teng Eyler xarakteristikasi

${ displaystyle chi (X) = sum _ {i} (- 1) ^ {i} b_ {i} (X).}$

Beri ${ displaystyle b_ {0} (X) = b_ {4} (X) = 1}$ va ${ displaystyle b_ {1} (X) = b_ {3} (X) = 0}$, bundan kelib chiqadiki ${ displaystyle b_ {2} (X) = 22}$.

Xususiyatlari

• Har qanday ikkita murakkab analitik K3 sirtlari diffeomorfik silliq 4-manifold sifatida, tomonidan Kunihiko Kodaira.^[3]

• Har qanday murakkab analitik K3 yuzasi a ga ega Keler metrikasi, tomonidan Yum-Tong Siu.^[4] (Analog ravishda, lekin ancha oson: maydon ustidagi har bir algebraik K3 yuzasi proektivdir.) By Shing-Tung Yau ning echimi Kalabi gumoni, har qanday murakkab analitik K3 yuzasida a bor ekan Ricci-tekis Keler metrikasi.

• The Hodge raqamlari har qanday K3 yuzasi Hodge olmosida keltirilgan:

		1
	0		0
1		20		1
	0		0
		1

Buni ko'rsatishning bir usuli - hisoblash Jacobian ideal ma'lum bir K3 sirtini, keyin esa Hodge tuzilishining o'zgarishi ustida modullar algebraik K3 sirtlarining barchasi shu K3 sirtlarining bir xil Xodj raqamlariga ega ekanligini ko'rsatib beradi. Betti raqamlarini hisoblash bilan, uning qismlari bilan bir qatorda, pastroq qoshni hisoblash mumkin Hodge tuzilishi hisoblangan ${ displaystyle H ^ {2} (X; mathbb {Z})}$ o'zboshimchalik bilan K3 yuzasi uchun. Bunday holda, Xodj simmetriya kuchlari ${ displaystyle H ^ {0} (X; Omega _ {X} ^ {2}) cong mathbb {C}}$, demak ${ displaystyle H ^ {1} (X, Omega _ {X}) cong mathbb {C} ^ {20}}$. K3 sirtlari uchun xarakterli p > 0, buni birinchi bo'lib Aleksey Rudakov va Igor Shafarevich.^[5]

• Murakkab analitik K3 yuzasi uchun X, kesishish shakli (yoki chashka mahsuloti ) ustida ${ displaystyle H ^ {2} (X, mathbb {Z}) cong mathbb {Z} ^ {22}}$ a nosimmetrik bilinear shakl sifatida tanilgan butun sonlardagi qiymatlar bilan K3 panjarasi. Bu hatto izomorfikdir bir xil bo'lmagan panjara ${ displaystyle operatorname {II} _ {3,19}}$yoki unga teng ravishda ${ displaystyle E_ {8} (- 1) ^ { oplus 2} oplus U ^ { oplus 3}}$, qayerda U 2 va darajadagi giperbolik panjaradir ${ displaystyle E_ {8}}$ bo'ladi E8 panjarasi.^[6]

• Yukio Matsumotoning 11/8 taxmin har qanday silliq bo'lishini taxmin qiladi yo'naltirilgan 4-manifold X hatto kesma shakli bilan ikkinchi ning Betti raqami, ning mutlaq qiymatidan kamida 11/8 marta ko'p imzo. Bu to'g'ri bo'lsa, bu maqbul bo'ladi, chunki $ 3 frac {19} = -16 $ imzosiga ega bo'lgan $ K_1 $ murakkabligi uchun tenglik mavjud. Gipoteza shuni anglatadiki, har bir oddiy bog'langan silliq 4-qirrali tekis kesishgan shaklga ega gomeomorfik a ulangan sum K3 yuzasining nusxalari va ${ displaystyle S ^ {2} times S ^ {2}}$.^[7]

• K3 sirtiga diffeomorf bo'lgan har qanday murakkab sirt K3 sirtdir, Robert Fridman va Jon Morgan. Boshqa tomondan, gomomorfik, ammo K3 yuzasiga diffeomorf bo'lmagan silliq murakkab yuzalar (ularning ba'zilari proektsion) va Kodaira va Maykl Fridman.^[8] Ushbu "homotopiya K3 sirtlari" ning hammasi Kodaira o'lchamiga ega.

Misollar

• The ikki qavatli qopqoq X ning proektsion tekislik silliq sekstik (6-daraja) egri chiziq bo'ylab tarvaqaylangan bu 2-turdagi K3 sirtidir (ya'ni 2-daraja)g-2 = 2). (Ushbu atamashunoslik teskari tasvirni anglatadi X generalning giperplane yilda ${ displaystyle mathbf {P} ^ {2}}$ ning egri chizig'i tur 2.)
• Silliq kvartik (4 daraja) sirt ${ displaystyle mathbf {P} ^ {3}}$ bu 3-turdagi K3 sirtidir (ya'ni 4-daraja).
• A Kummer yuzasi ikki o'lchovli qismdir abeliya xilma-xilligi A harakat bilan ${ displaystyle a mapsto -a}$. Buning natijasi, ikkita burilish nuqtasida 16 ta o'ziga xoslikni keltirib chiqaradi A. The minimal o'lchamlari bu singular sirtni Kummer yuzasi deb ham atash mumkin; bu o'lcham K3 sirtidir. Qachon A bo'ladi Jacobian egri chiziq 2, Kummer bu miqdor ekanligini ko'rsatdi ${ displaystyle A / ( pm 1)}$ ichiga joylashtirilishi mumkin ${ displaystyle mathbf {P} ^ {3}}$ kvars yuzasi sifatida 16 ga teng tugunlar.
• Umuman olganda: har qanday kvartik sirt uchun Y du Val singularities bilan, minimal o'lchamlari Y algebraik K3 sirtidir.
• A ning kesishishi to'rtburchak va bir kub ${ displaystyle mathbf {P} ^ {4}}$ bu 4-turdagi K3 sirtidir (ya'ni 6-daraja).
• Uchta kvadratikaning kesishishi ${ displaystyle mathbf {P} ^ {5}}$ bu 5-turdagi K3 sirtidir (ya'ni 8-daraja).
• Du Val singularligi bo'lgan K3 sirtlarining bir nechta ma'lumotlar bazalari mavjud proektsion bo'shliqlar.^[9]

Pikard panjarasi

The Picard guruhi Rasm (X) murakkab analitik K3 sirtining X murakkab analitik chiziqli to'plamlarning abeliya guruhini anglatadi X. Algebraik K3 yuzasi uchun Pic (X) algebraik chiziqli to'plamlar guruhini anglatadi X. Ikkala ta'riflar murakkab algebraik K3 yuzasiga mos keladi Jan-Per Ser "s GAGA teorema.

K3 sirtining Picard guruhi X har doim a nihoyatda hosil bo'lgan bepul abeliya guruhi; uning darajasi deyiladi Picard raqami ${ displaystyle rho}$. Murakkab holatda Pic (X) ning kichik guruhidir ${ displaystyle H ^ {2} (X, mathbb {Z}) cong mathbb {Z} ^ {22}}$. K3 sirtlarining muhim xususiyati shundaki, har xil Picard raqamlari paydo bo'lishi mumkin. Uchun X murakkab algebraik K3 yuzasi, ${ displaystyle rho}$ 1 dan 20 gacha bo'lgan har qanday tamsayı bo'lishi mumkin. Murakkab analitik holatda, ${ displaystyle rho}$ nolga teng bo'lishi mumkin. (Shunday bo'lgan taqdirda, X umuman yopiq murakkab egri chiziqlarni o'z ichiga olmaydi. Aksincha, algebraik sirt doimo egri chiziqlarning ko'p sonli oilalarini o'z ichiga oladi.) An algebraik yopiq maydon xarakterli p > 0, K3 sirtlarining maxsus klassi mavjud, supersingular K3 sirtlari, Picard raqami 22 bilan.

The Picard panjarasi K3 sirtining abel guruhi Pic (X) kesishish shakli bilan birga, butun sonlarda qiymatlari bo'lgan nosimmetrik bilinear shakl. (Ustida ${ displaystyle mathbb {C}}$, kesishish shakli bo'yicha kesishish shaklining cheklanishini anglatadi ${ displaystyle H ^ {2} (X, mathbb {Z})}$. Umumiy maydonda kesishish shaklini kesishish nazariyasi bilan Picard guruhini aniqlash orqali sirtdagi egri chiziqlar bo'linuvchi sinf guruhi.) K3 sirtining Picard panjarasi har doim bo'ladi hatto, ya'ni butun son degan ma'noni anglatadi ${ displaystyle u ^ {2}}$ hatto har biri uchun ${ displaystyle u in operator nomi {Pic} (X)}$.

The Hodge indeks teoremasi algebraik K3 sirtining Picard panjarasi imzoga ega ekanligini anglatadi ${ displaystyle (1, rho -1)}$. K3 sathining ko'pgina xususiyatlari uning Picard panjarasi bilan aniqlanadi, chunki butun sonlar ustida nosimmetrik bilinear shakl. Bu K3 sirtlari nazariyasi va nosimmetrik bilinear shakllarning arifmetikasi o'rtasida kuchli bog'liqlikka olib keladi. Ushbu ulanishning birinchi misoli sifatida: murakkab analitik K3 yuzasi algebraik, agar element bo'lsa ${ displaystyle u in operator nomi {Pic} (X)}$ bilan ${ displaystyle u ^ {2}> 0}$.^[10]

Taxminan aytganda, barcha murakkab analitik K3 sirtlarining maydoni 20 o'lchamiga ega, K3 sirtlari esa Picard raqamiga ega ${ displaystyle rho}$ o'lchovga ega ${ displaystyle 20- rho}$ (supersingular ishdan tashqari). Xususan, algebraik K3 sirtlari 19 o'lchovli oilalarda uchraydi. Haqida batafsil ma'lumot moduli bo'shliqlari K3 sirtlari quyida keltirilgan.

K3 sirtlarining Picard panjaralari murakkab bo'lganligi sababli qaysi panjaralarning aniq tavsifi. Tufayli bitta aniq bayonot Viacheslav Nikulin va Devid Morrison, bu imzolarning har bir panjarasi ${ displaystyle (1, rho -1)}$ bilan ${ displaystyle rho leq 11}$ bu ba'zi bir murakkab proektsion K3 sirtining Pikard panjarasi.^[11] Bunday sirtlarning maydoni o'lchamga ega ${ displaystyle 20- rho}$.

Elliptik K3 sirtlari

K3 sirtlarining muhim subklassi, umumiy holatga qaraganda tahlil qilish osonroq, an bilan K3 sirtlardan iborat elliptik fibratsiya ${ displaystyle X to mathbf {P} ^ {1}}$. "Elliptik" shuni anglatadiki, ushbu morfizmning ko'p sonli tolalaridan tashqari barchasi 1-turdagi silliq egri chiziqlardir. ratsional egri chiziqlar, Kodaira tomonidan tasniflangan singular tolalarning mumkin bo'lgan turlari bilan. Hamma singular tolalar har doim ham mavjud, chunki singular tolalarning topologik Eyler xarakteristikalari yig'indisi ${ displaystyle chi (X) = 24}$. Umumiy elliptik K3 yuzasida har bir turdagi to'liq 24 ta singular tolalar mavjud ${ displaystyle I_ {1}}$ (nodal kubik egri chizig'i).^[12]

K3 yuzasi elliptikmi yoki yo'qligini uning Picard panjarasidan o'qish mumkin. Xususan, 2 yoki 3 emas, K3 yuzasi X nol bo'lmagan element bo'lsa, elliptik fibratsiyaga ega ${ displaystyle u in operator nomi {Pic} (X)}$ bilan ${ displaystyle u ^ {2} = 0}$.^[13] (2 yoki 3 xarakteristikalarida, oxirgi holat ham a ga mos kelishi mumkin kvazi elliptik fibratsiya.) Bundan kelib chiqadiki, elliptik fibratsiyaga ega bo'lish K3 yuzasida kod-1 shartidir. Shunday qilib, elliptik tolali murakkab analitik K3 sirtlarning 19 o'lchovli oilalari va elliptik tolali proektsion K3 sirtlarning 18 o'lchovli modulli bo'shliqlari mavjud.

Misol: Har bir tekis kvartal sirt X yilda ${ displaystyle mathbf {P} ^ {3}}$ qatorni o'z ichiga olgan L elliptik fibratsiyaga ega ${ displaystyle X to mathbf {P} ^ {1}}$, dan loyihalash orqali berilgan L. Barcha silliq kvartal sirtlarning modullar maydoni (izomorfizmgacha) 19-o'lchovga ega, chiziqni o'z ichiga olgan kvartik sirtlarning pastki fazosi esa 18-o'lchovga ega.

K3 yuzalaridagi ratsional egri chiziqlar

Del Pezzo sirtlari kabi ijobiy egri navlardan farqli o'laroq, murakkab algebraik K3 yuzasi X emas boshqarilmagan; ya'ni doimiy oqilona egri chiziqlar oilasi bilan qoplanmaydi. Boshqa tomondan, umumiy turdagi sirt kabi salbiy egri navlardan farqli o'laroq, X ratsional egri chiziqlarning katta diskret to'plamini o'z ichiga oladi (ehtimol birlik). Jumladan, Fedor Bogomolov va Devid Mumford har bir egri chiziq ekanligini ko'rsatdi X bu chiziqli ekvivalent ratsional egri chiziqlarning ijobiy chiziqli birikmasiga.^[14]

Salbiy egri navlardan yana bir farqi shundaki Kobayashi metrikasi murakkab analitik K3 yuzasida X bir xil nolga teng. Dalil algebraik K3 sirtidan foydalanadi X har doim elliptik egri chiziqlarning doimiy oilasi bilan qoplanadi.^[15] (Ushbu egri chiziqlar birlikda X, agar bo'lmasa X K3 elliptik yuzasi bo'ladi.) Ochiqroq savol shundaki, har bir murakkab K3 yuzasi noaniq holomorfik xaritani tan oladimi? ${ displaystyle mathbb {C} ^ {2}}$ (bu erda "noaniq" degani, xaritaning hosilasi bir nuqtada izomorfizm ekanligini anglatadi).^[16].

Davr xaritasi

A ni aniqlang belgilash murakkab analitik K3 sirtining X dan panjaralarning izomorfizmi bo'lish ${ displaystyle H ^ {2} (X, mathbb {Z})}$ K3 panjarasiga ${ displaystyle Lambda = E_ {8} (- 1) ^ { oplus 2} oplus U ^ { oplus 3}}$. Bo'sh joy N Belgilangan murakkab K3 sirtlariHausdorff 20 o'lchamdagi murakkab manifold.^[17] Kompleks analitik K3 sirtlarining izomorfizm sinflari to'plami - bu N tomonidan ortogonal guruh ${ displaystyle O ( Lambda)}$, lekin bu miqdor geometrik ma'noga ega modullar maydoni emas, chunki ${ displaystyle O ( Lambda)}$ mavjud bo'lishdan uzoqdir to'g'ri uzilish.^[18] (Masalan, silliq kvartal yuzalar maydoni 19 o'lchovga qisqartirilmaydi, ammo 20 o'lchovli oiladagi har qanday murakkab analitik K3 yuzasi N silliq kvartikalarga izomorf bo'lgan o'zboshimchalik bilan kichik deformatsiyalarga ega.^[19]) Xuddi shu sababli, kamida 2 o'lchamdagi ixcham murakkab tori mazmunli modul maydoni mavjud emas.

The davr xaritasi unga K3 sirtini yuboradi Hodge tuzilishi. Ehtiyotkorlik bilan aytganda, Torelli teoremasi ushlaydi: K3 yuzasi uning Hodge tuzilishi bilan aniqlanadi. Davr domeni 20 o'lchovli kompleks ko'p qirrali deb ta'riflanadi

${ displaystyle D = {u in P ( Lambda otimes mathbb {C}): u ^ {2} = 0, , u cdot { overline {u}}> 0 }.}$

Davr xaritasi ${ displaystyle N to D}$ belgilangan K3 sirtini yuboradi X murakkab chiziqqa ${ displaystyle H ^ {0} (X, Omega ^ {2}) subset H ^ {2} (X, mathbb {C}) cong Lambda otimes mathbb {C}}$. Bu sur'ektiv va mahalliy izomorfizmdir, ammo izomorfizm emas (xususan, chunki) D. Hausdorff va N emas). Biroq, global Torelli teoremasi K3 sirtlari uchun to'plamlarning xaritasi aytiladi

${ displaystyle N / O ( Lambda) to D / O ( Lambda)}$

ikki tomonlama. Bundan kelib chiqadiki, ikkita murakkab analitik K3 sirtlari X va Y agar mavjud bo'lsa, izomorfikdir Hodge izometriyasi dan ${ displaystyle H ^ {2} (X, mathbb {Z})}$ ga ${ displaystyle H ^ {2} (Y, mathbb {Z})}$, ya'ni abel guruhlarining izomorfizmi, bu kesishish shaklini saqlaydi va yuboradi ${ displaystyle H ^ {0} (X, Omega ^ {2}) subset H ^ {2} (X, mathbb {C})}$ ga ${ displaystyle H ^ {0} (Y, Omega ^ {2})}$.^[20]

Proektsion K3 sirtlarining moduli bo'shliqlari

A qutblangan K3 yuzasi X ning tur g bilan birga proektsion K3 yuzasi ekanligi aniqlangan etarli miqdordagi to'plam L shu kabi L ibtidoiy (ya'ni boshqa satr to'plami 2 yoki undan ko'p marta emas) va ${ displaystyle c_ {1} (L) ^ {2} = 2g-2}$. Bunga qutblangan K3 yuzasi ham deyiladi daraja 2g−2.^[21]

Ushbu taxminlarga ko'ra L bu bazasiz. Xarakterli nolda, Bertini teoremasi silliq egri chiziq mavjudligini anglatadi C ichida chiziqli tizim |L|. Bunday egri chiziqlarning barchasi jinsga ega g, bu nima uchun ekanligini tushuntiradi (X,L) jinsga ega deyiladi g.

Bo'limlarining vektor maydoni L o'lchovga ega g + 1 va boshqalar L dan morfizm beradi X proektsion makonga ${ displaystyle mathbf {P} ^ {g}}$. Ko'pgina hollarda, bu morfizm ko'mishdir, shuning uchun X 2-darajali sirtga izomorfdirg−2 dyuym ${ displaystyle mathbf {P} ^ {g}}$.

Bu erda qisqartirilmaydi qo'pol modullar maydoni ${ displaystyle { mathcal {F}} _ {g}}$ jinsning polarizatsiyalangan murakkab K3 sirtlari g har biriga ${ displaystyle g geq 2}$; buni a sifatida ko'rish mumkin Zariski ochildi kichik qism Shimura navi guruh uchun SO(2,19). Har biriga g, ${ displaystyle { mathcal {F}} _ {g}}$ a kvazi-proektiv o'lchovning murakkab xilma-xilligi 19.^[22] Shigeru Mukai ushbu modul maydoni ekanligini ko'rsatdi aqlsiz agar ${ displaystyle g leq 13}$ yoki ${ displaystyle g = 18,20}$. Aksincha, Valeriy Gritsenko, Klaus Xulek va Gregori Sankaran buni ko'rsatdi ${ displaystyle { mathcal {F}} _ {g}}$ ning umumiy turi agar ${ displaystyle g geq 63}$ yoki ${ displaystyle g = 47,51,55,58,59,61}$. Tomonidan berilgan ushbu hudud bo'yicha so'rovnoma Voisin (2008).

Har xil 19 o'lchovli modul bo'shliqlari ${ displaystyle { mathcal {F}} _ {g}}$ murakkab tarzda bir-birining ustiga o'tirish. Darhaqiqat, har birining cheksiz ko'p miqdordagi kod o'lchovlari to'plami mavjud ${ displaystyle { mathcal {F}} _ {g}}$ Picard sonining K3 sathiga kamida 2 ta mos keladi. Ushbu K3 sirtlari 2 ga emas, balki cheksiz ko'p turli darajadagi qutblanishlarga ega.g–2. Shunday qilib, boshqa ko'plab modullarning cheksiz ko'pligini aytish mumkin ${ displaystyle { mathcal {F}} _ {h}}$ uchrashmoq ${ displaystyle { mathcal {F}} _ {g}}$. Bu aniq emas, chunki barcha modul bo'shliqlarini o'z ichiga olgan yaxshi xulqli joy yo'q ${ displaystyle { mathcal {F}} _ {g}}$. Biroq, ushbu g'oyaning aniq versiyasi shundaki, har qanday ikkita murakkab algebraik K3 sirtlari K3 algebraik sirtlari orqali deformatsiyaga teng keladi.^[23]

Umuman olganda, a yarim qutblangan Jinsning K3 yuzasi g ibtidoiy bo'lgan proektsion K3 sirtini anglatadi nef va katta chiziq to'plami L shu kabi ${ displaystyle c_ {1} (L) ^ {2} = 2g-2}$. Bunday chiziqli to'plam hali ham morfizmni beradi ${ displaystyle mathbf {P} ^ {g}}$, lekin endi u juda ko'p (-2) egri chiziqlarga qisqarishi mumkin, shunday qilib tasvir Y ning X birlikdir. (A (-2) - egri sirt ustida izomorfik egri chiziqni anglatadi ${ displaystyle mathbf {P} ^ {1}}$ self2 o'zaro kesishish bilan.) jinsning kvazi polarizatsiyalangan K3 sirtlarining moduli maydoni g hali ham 19-o'lchovni qisqartirish mumkin emas (oldingi modullar maydonini ochiq ichki qism sifatida o'z ichiga olgan). Rasmiy ravishda, buni K3 sirtlarining modulli maydoni sifatida ko'rish yaxshiroqdir Y du Valning o'ziga xos xususiyatlari bilan.^[24]

Keng konus va egri chiziqli konus

Algebraik K3 sirtlarining ajoyib xususiyati shundaki, Pikard panjarasi sirtning ko'plab geometrik xususiyatlarini, shu jumladan qavariq konus ko'p bo'linuvchilar (Pikard panjarasining avtomorfizmlariga qadar). Keng konus Pikard panjarasi orqali quyidagicha aniqlanadi. Hodge indeks teoremasi bo'yicha kesishish haqiqiy vektor makonida hosil bo'ladi ${ displaystyle N ^ {1} (X): = operatorname {Pic} (X) otimes mathbb {R}}$ imzosi bor ${ displaystyle (1, rho -1)}$. Demak, ning elementlari to'plami ${ displaystyle N ^ {1} (X)}$ ijobiy o'zaro kesishishda ikkitasi bor ulangan komponentlar. Qo'ng'iroq qiling ijobiy konus har qanday bo'linishni o'z ichiga olgan komponent X.

1-holat: Hech qanday element yo'q siz Pic (X) bilan ${ displaystyle u ^ {2} = - 2}$. Keyin keng konus musbat konusga teng bo'ladi. Shunday qilib, bu standart dumaloq konusdir.

2-holat: Aks holda, ruxsat bering ${ displaystyle Delta = {u in operator nomi {Pic} (X): u ^ {2} = - 2 }}$, to'plami ildizlar Picard panjarasining The ortogonal komplementlar Ildizlarning barchasi ijobiy konusdan o'tadigan giperplanes to'plamini hosil qiladi. Unda keng konus musbat konusdagi ushbu giperplaneslarning komplementining bog'langan komponentidir. Bunday har qanday ikkita komponent panjara ortogonal guruhi orqali izomorfik Pic (X) o'z ichiga olganligi sababli aks ettirish har bir giperplane bo'ylab. Shu ma'noda, Pikard panjarasi izomorfizmgacha bo'lgan keng konusni aniqlaydi.^[25]

Shandor Kovachning so'zlariga ko'ra, bitta bo'linishni bilish kerak A Pic-da (X) butunlikni aniqlaydi egri chiziqlar konusi ning X. Ya'ni, deylik X Picard raqami bor ${ displaystyle rho geq 3}$. Agar ildizlar to'plami bo'lsa ${ displaystyle Delta}$ bo'sh, keyin egri chiziqlarning yopiq konusi ijobiy konusning yopilishi hisoblanadi. Aks holda, egri chiziqlarning yopiq konusi barcha elementlar tomonidan yopilgan konveks konusdir ${ displaystyle u in Delta}$ bilan ${ displaystyle A cdot u> 0}$. Birinchi holda, X hech qanday (−2) - egri chiziqlarni o'z ichiga olmaydi; ikkinchi holda, egri chiziqlarning yopiq konusi - bu barcha (-2) - egri chiziqlar yoyilgan yopiq konveks konusdir.^[26] (Agar ${ displaystyle rho = 2}$, yana bitta ehtimoli bor: egri chiziqlar konusini bitta (−2) - egri va o'zaro kesishish 0 bo'lgan bitta egri chiziq bilan yoyilishi mumkin.) Demak, egri chiziqlar konusi standart dumaloq konusdir, aks holda u "o'tkir" burchaklar "(chunki har bir (-2) - egri chizig'i an izolyatsiya qilingan egri chiziqli konusning ekstremal nurlanishi).

Automorfizm guruhi

K3 sirtlari algebraik navlar orasida biroz g'ayrioddiy, chunki ularning avtomorfizm guruhlari cheksiz, diskret va juda noabel bo'lishi mumkin. Torelli teoremasining versiyasiga ko'ra, murakkab algebraik K3 sirtining Pikard panjarasi X ning avtomorfizm guruhini aniqlaydi X qadar mutanosiblik. Ya'ni, ruxsat bering Veyl guruhi V ortogonal guruhning kichik guruhi bo'ling O(Rasm (X)) ildizlar to'plamidagi aks ettirish natijasida hosil bo'ladi ${ displaystyle Delta}$. Keyin V a oddiy kichik guruh ning O(Rasm (X)) va ning avtomorfizm guruhi X kvantlar guruhiga mos keladi O(Rasm (X))/V. Xans Sterk tufayli tegishli bayonot, bu Aut (X) ning nef konusida ishlaydi X ratsional ko'pburchak bilan asosiy domen.^[27]

Ikkilik bilan bog'liqlik

K3 sirtlari deyarli hamma joyda paydo bo'ladi simli ikkilik va uni tushunish uchun muhim vositani taqdim eting. Iplarni ixchamlashtirish bu sirtlarda ahamiyatsiz emas, ammo ularning ko'pgina xususiyatlarini batafsil tahlil qilish uchun ular etarlicha sodda. IIA turi, IIB turi, E₈× E₈ geterotik ip, Spin (32) / Z2 geterotik sim va M-nazariyasi K3 yuzasida kompaktlash bilan bog'liq. Masalan, K3 yuzasida siqilgan IIA tipidagi tor 4-torusda siqilgan geterotik ipga teng (Aspinval (1996) harvtxt xatosi: maqsad yo'q: CITEREFAspinwall1996 (Yordam bering)).

Tarix

Quartik yuzalar ${ displaystyle mathbf {P} ^ {3}}$ tomonidan o'rganilgan Ernst Kummer, Artur Keyli, Fridrix Shur va 19-asrning boshqa geometrlari. Umuman olganda, Federigo Enrikes 1893 yilda turli xil raqamlar uchun kuzatilgan g, 2-darajali yuzalar mavjudg−2 dyuym ${ displaystyle mathbf {P} ^ {g}}$ ahamiyatsiz kanonik to'plam va tartibsizlik nol bilan.^[28] 1909 yilda Enrikes bunday sirtlarning hamma uchun mavjudligini ko'rsatdi ${ displaystyle g geq 3}$va Franchesko Severi bunday sirtlarning moduli makoni har biri uchun 19 o'lchovga ega ekanligini ko'rsatdi g.^[29]

André Vayl (1958) K3 sirtlariga ularning nomlarini berdi (yuqoridagi iqtibosga qarang) va ularning tasnifi to'g'risida bir nechta ta'sirchan taxminlar qildi. Kunihiko Kodaira 1960 yilda asosiy nazariyani yakunladi, xususan algebraik bo'lmagan K3 murakkab analitik sirtlarini birinchi tizimli o'rganishni amalga oshirdi. U har qanday ikkita murakkab analitik K3 sirtlari deformatsiyaga teng va shuning uchun diffeomorf ekanligini ko'rsatdi, bu hatto algebraik K3 sirtlari uchun ham yangi edi. Keyinchalik muhim oldinga siljish K3 algebraik sirtlari uchun Torelli teoremasining isboti bo'ldi Ilya Piatetski-Shapiro va Igor Shafarevich (1971), Daniel Berns va Maykl Rapoport (1975).

Shuningdek qarang

• Enriques yuzasi
• Tate gumoni
• Mathieu moonshine, K3 sirtlari va bilan sirli munosabatlar Mathieu guruhi M24.

Izohlar

Adabiyotlar

• Aspinval, Pol (1997), "K3 sirtlari va simlarning ikkilamchi", Maydonlar, torlar va ikkilik (Boulder, CO, 1996), World Scientific, 421-540 betlar, arXiv:hep-th / 9611137, JANOB  1479699
• Barth, Bo'ri P.; Xulek, Klaus; Piters, Kris AM; Van de Ven, Antonius (2004) [1984], Yilni murakkab yuzalar, Springer, doi:10.1007/978-3-642-57739-0, ISBN  978-3-540-00832-3, JANOB  2030225
• Bovil, Arno (1983), "K3 yuzalari", Burbaki seminari, jild. 1982/83 Exp 609, Asterisk, 105, Parij: Société Mathématique de France, 217–229 betlar, JANOB  0728990
• Bovil, A.; Burginon, J.-P.; Kuchsizlanish, M. (1985), Géométrie des sirt K3: modules et périodes, Séminaire Palaiseau, Asterisk, 126, Parij: Société Mathématique de France, JANOB  0785216
• Brown, Gavin (2007), "Polarizatsiyalangan K3 sirtlari ma'lumotlar bazasi", Eksperimental matematika, 16 (1): 7–20, doi:10.1080/10586458.2007.10128983, JANOB  2312974
• Berns, Daniel; Rapoport, Maykl (1975), "Kählerian K-3 sirtlari uchun Torelli muammosi to'g'risida", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, 8 (2): 235–273, JANOB  0447635
• Enrikes, Federigo (1893), "Richerche di geometria sulle superficie algebriche", Memorie Accademia di Torino, 2, 44: 171–232, JFM  25.1212.02
• Enrikes, Federigo (1909), "Le superficie di genere uno", Rendiconti Accademia di Bolonya, 13: 25–28, JFM  40.0685.01
• Gritsenko, V. A.; Xulek, Klaus; Sankaran, G. K. (2007), "K3 sirtlari modullarining kodaira o'lchovi", Mathematicae ixtirolari, 169 (3): 519–567, arXiv:matematik / 0607339, Bibcode:2007InMat.169..519G, doi:10.1007 / s00222-007-0054-1, JANOB  2336040
• Gyuybrechts, Doniyor (2016), K3 sirtlarida ma'ruzalar (PDF), Kengaytirilgan matematikadan Kembrij tadqiqotlari, 158, Kembrij universiteti matbuoti, ISBN  978-1107153042, JANOB  3586372
• Kamenova, Ljudmila; Lu, Stiven; Verbitskiy, Misha (2014), "Kobayashi giperkähler manifoldlarida psevdometrik", London Matematik Jamiyati jurnali, 90: 436–450, arXiv:1308.5667, JANOB  3263959
• Mukai, Shigeru (2006), "O'n uch turdagi qutblangan K3 sirtlari", Moduli bo'shliqlari va arifmetik geometriya, Adv. Stud. Sof matematik., 45, Tokio: matematik. Soc. Yaponiya, 315–326 betlar, JANOB  2310254
• Pyatekki-Sapiro, I. I.; Shafarevich, I. R. (1971), "K3 tip algebraik yuzalar uchun Torelli teoremasi", SSSR matematikasi - Izvestiya, 5 (3): 547–588, Bibcode:1971 IzMat ... 5..547P, doi:10.1070 / IM1971v005n03ABEH001075, JANOB  0284440
• Rudakov, A.N. (2001) [1994], "K3 yuzasi", Matematika entsiklopediyasi, EMS Press
• Scorpan, Alexandru (2005), 4-manifoldlarning yovvoyi dunyosi, Amerika matematik jamiyati, ISBN  978-0-8218-3749-8, JANOB  2136212
• Severi, Franchesko (1909), "Le superficie algebriche con curva canonica d'ordine zero" (PDF), Atti del Istituto Veneto, 68: 249–260, JFM  40.0683.03
• Voisin, Kler (2008), "Géométrie des espaces de modules de courbes va de K3 sirtlari (d'après Gritsenko-Hulek-Sankaran, Farkas-Popa, Mukai, Verra va boshq.)" (PDF), Asterisk, Séminaire Bourbaki. 2006/2007. Exp 981 (317): 467-490, ISBN  978-2-85629-253-2, JANOB  2487743
• Vayl, Andre (1958), "AF 18 (603) -57 shartnomasi bo'yicha yakuniy hisobot", Ilmiy ishlar. To'plangan hujjatlar, II, Berlin, Nyu-York: Springer-Verlag, 390-395, 545-547-betlar, ISBN  978-0-387-90330-9, JANOB  0537935

Tashqi havolalar

• Ring ma'lumotlar bazasining asosiy sahifasi K3 sirtlari katalogi uchun
• K3 ma'lumotlar bazasi uchun Magma kompyuter algebra tizimi
• K3 sirtlarining geometriyasi, Devid Morrison ma'ruzalari (1988).