E7 (matematika) - E7 (mathematics)

Algebraik tuzilish → Guruh nazariyasi Guruh nazariyasi
Asosiy tushunchalar Kichik guruh Oddiy kichik guruh Miqdor guruhi (Yarim)to'g'ridan-to'g'ri mahsulot Guruhli gomomorfizmlar yadro rasm to'g'ridan-to'g'ri summa gulchambar mahsuloti oddiy cheklangan cheksiz davomiy multiplikativ qo'shimchalar tsiklik abeliya dihedral nolpotent hal etiladigan Guruhlar nazariyasining lug'ati Guruhlar nazariyasi mavzulari ro'yxati
Cheklangan guruhlar Sonli oddiy guruhlarning tasnifi tsiklik o'zgaruvchan Yolg'on turi vaqti-vaqti bilan Koshi teoremasi Lagranj teoremasi Slow teoremalari Xoll teoremasi p-guruh Boshlang'ich abeliya guruhi Frobenius guruhi Schur multiplikatori Nosimmetrik guruh Sn Klein to'rt guruh V Dihedral guruh D.n Quaternion guruhi Q Ditsiklik guruh Dicn
Alohida guruhlar Panjaralar Butun sonlar (Z) Bepul guruh Modulli guruhlar PSL (2,Z) SL (2,Z) Arifmetik guruh Panjara Giperbolik guruh
Topologik va Yolg'on guruhlar Elektromagnit Doira Umumiy chiziqli GL (n) Maxsus chiziqli SL (n) Ortogonal O (n) Evklid E (n) Maxsus ortogonal SO (n) Unitar U (n) Maxsus unitar SU (n) Simpektik Sp (n) G2 F4 E6 E7 E8 Lorents Puankare Norasmiy Diffeomorfizm Loop Cheksiz o'lchovli yolg'on guruhi O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Algebraik guruhlar Lineer algebraik guruh Reduktiv guruh Abeliya xilma-xilligi Elliptik egri chiziq

Yolg'on guruhlar
Klassik guruhlar Umumiy chiziqli GL (n) Maxsus chiziqli SL (n) Ortogonal O (n) Maxsus ortogonal SO (n) Unitar U (n) Maxsus unitar SU (n) Simpektik Sp (n)
Simple Lie guruhlari Oddiy Yolg'on guruhlari ro'yxati Klassik An Bn Cn D.n Istisno G2 F4 E6 E7 E8
Boshqa yolg'on guruhlar Doira Lorents Puankare Norasmiy guruh Diffeomorfizm Loop Evklid
Yolg'on algebralar Yolg'on guruhi - Yolg'on algebra yozishmalari Eksponentsial xarita Qo'shma vakillik Qotillik shakli Indeks Yolg'on nuqtasi simmetriyasi Lie oddiy algebra
Semisimple Lie algebra Dynkin diagrammalari Cartan subalgebra Ildiz tizimi Veyl guruhi Haqiqiy shakl Komplekslashtirish Split Lie algebra Yilni algebra
Vakillik nazariyasi Yolg'on guruhining vakili Yolg'on algebra Lie algebralarining yarimo'tkazuvchanlik nazariyasi Eng katta vazn teoremasi Borel-Vayl-Bot teoremasi
Yolg'on guruhlar fizika Zarralar fizikasi va vakillik nazariyasi Lorents guruhi vakolatxonalari Puankare guruhi vakolatxonalari Galiley guruhi vakolatxonalari
Olimlar Sofus yolg'on Anri Puankare Vilgelm o'ldirish Élie Cartan Hermann Veyl Klod Chevalley Xarish-Chandra Armand Borel
Lug'at Yolg'on guruhlari jadvali

Yilda matematika, E₇ bir-biri bilan chambarchas bog'liq bo'lganlarning nomi Yolg'on guruhlar, chiziqli algebraik guruhlar yoki ularning Yolg'on algebralar e₇, ularning barchasi 133 o'lchovga ega; xuddi shu yozuv E₇ mos keladigan uchun ishlatiladi ildiz panjarasi bor daraja 7. E belgisi₇ dan keladi Kartan-o'ldirish tasnifi majmuaning oddiy Lie algebralari, A bilan belgilangan to'rtta cheksiz qatorga kiradi_n, B_n, C_n, D._nva beshta alohida holat belgilangan E₆, E₇, E₈, F₄ va G₂. E₇ algebra - bu beshta istisno holatlardan biri.

Murakkab shakldagi asosiy guruh (ixcham), ixcham haqiqiy shakl yoki E ning har qanday algebraik versiyasi₇ bo'ladi tsiklik guruh Z/2Zva uning tashqi avtomorfizm guruhi bo'ladi ahamiyatsiz guruh. Uning o'lchamlari asosiy vakillik 56 ga teng.

Haqiqiy va murakkab shakllar

E tipidagi noyob Lie algebrasi mavjud₇, murakkab o'lchamdagi murakkab guruhga mos keladigan 133. Kompleks qo'shma L guruhi E₇ ning murakkab o'lchov 133-ni oddiy o'lchamdagi haqiqiy Lie guruhi deb hisoblash mumkin 266. Bu asosiy guruhga ega Z/2Z, maksimalga ega ixcham E ning ixcham shakli (quyiga qarang) kichik guruhi₇va murakkab konjugatsiya natijasida hosil bo'lgan 2-tartibli tashqi avtomorfizm guruhiga ega.

E tipidagi murakkab Lie guruhi bilan bir qatorda₇, Lie algebrasining to'rtta haqiqiy shakli va shunga mos ravishda trivial markazi bo'lgan guruhning to'rtta haqiqiy shakli mavjud (ularning hammasi algebraik er-xotin qopqoqga ega va ularning uchtasi algebraik bo'lmagan qopqoqlarga ega bo'lib, keyinchalik haqiqiy shakllarni beradi), barchasi haqiqiy o'lchamdagi 133, quyidagicha:

• Asosiy guruhga ega bo'lgan ixcham shakl (odatda, boshqa ma'lumot berilmasa, u qo'llaniladi) Z/2Z va ahamiyatsiz tashqi avtomorfizm guruhiga ega.
• Split shakl, EV (yoki E₇₍₇₎), bu SU (8) / {± 1} maksimal ixcham kichik guruhiga ega, 4-tartibli asosiy guruh tsikli va 2-tartibli tashqi avtomorfizm guruhi.
• EVI (yoki E_7(-5)), bu SU (2) · SO (12) / (markaz) maksimal ixcham kichik guruhiga ega, 4-tartibli asosiy guruh va noaniq tashqi avtomorfizm guruhi.
• EVII (yoki E_7(-25)), bu SO (2) · E maksimal ixcham kichik guruhiga ega₆/ (markaz), cheksiz tsiklik fundamental guruh va 2-tartibli tashqi avtomorfizm guruhi.

Oddiy Lie algebralarining haqiqiy shakllarining to'liq ro'yxati uchun ga qarang oddiy Lie guruhlari ro'yxati.

E.ning ixcham shakli₇ bo'ladi izometriya guruhi 64 o'lchovli istisno ixcham Riemann nosimmetrik fazosi EVI (Cartan's-da) tasnif ). Bu norasmiy ravishda "kvateroktonion proektsion tekislik "chunki uni tenzor hosilasi bo'lgan algebra yordamida qurish mumkin kvaternionlar va oktonionlar, va shuningdek, a sifatida tanilgan Rosenfeld proektsion samolyoti, ammo u proektsion tekislikning odatiy aksiomalariga bo'ysunmaydi. Buni muntazam ravishda "." Deb nomlangan qurilish yordamida ko'rish mumkin sehrli kvadrat, sababli Xans Freydental va Jak Tits.

The Tits-Koecher konstruktsiyasi E shakllarini hosil qiladi₇ Yolg'on algebra Albert algebralari, 27 o'lchovli istisno Iordaniya algebralari.

E₇ algebraik guruh sifatida

A orqali Chevalley asoslari Lie algebra uchun E ni aniqlash mumkin₇ butun sonlar ustida chiziqli algebraik guruh sifatida va shuning uchun har qanday komutativ halqada va ayniqsa har qanday maydonda: bu E ning bo'linish (ba'zan "burilmagan" deb ham nomlanadi) qo'shma shaklini belgilaydi₇. Algebraik yopiq maydonda bu va uning ikki qavatli qopqog'i yagona shakllardir; ammo, boshqa sohalarda, ko'pincha boshqa ko'plab shakllar yoki "burilishlar" mavjud₇, ning umumiy doirasiga kiruvchi Galois kohomologiyasi (a ustidan mukammal maydon k) to'plam tomonidan H¹(k, Avtomatik (E.₇)) qaysi, chunki E ning Dynkin diagrammasi₇ (qarang quyida ) avtomorfizmga ega emas, mos keladi H¹(k, E_{7, reklama}).^[1]

Haqiqiy sonlar maydonida E ning bu algebraik o'ralgan shakllarining o'ziga xos tarkibiy qismi₇ aytib o'tilgan uchta haqiqiy Lie guruhiga to'g'ri keladi yuqorida, lekin asosiy guruhga oid bir noziklik bilan: E ning barcha qo'shni shakllari₇ asosiy guruhga ega Z/2Z algebraik geometriya ma'nosida, ya'ni ular aynan bitta ikkita qopqoqni tan olishlarini anglatadi; E.ning ixcham bo'lmagan haqiqiy Lie guruh shakllari₇ shuning uchun ular algebraik emas va hech qanday sodda cheklangan o'lchovlarni tan olmaydi.

Sonli maydonlar ustida Lang-Shtaynberg teoremasi shuni anglatadiki H¹(k, E₇) = 0, ya'ni E degan ma'noni anglatadi₇ o'ralgan shakllari yo'q: qarang quyida.

Algebra

Dynkin diagrammasi

The Dynkin diagrammasi E uchun₇ tomonidan berilgan .

Ildiz tizimi

126 tepalik 2₃₁ politop E ning ildiz vektorlarini ifodalaydi₇, ko'rsatilgandek Kokseter tekisligi proektsiya
Kokseter - Dinkin diagrammasi:

H3 simmetriyasini beradigan [u, v, w] asosiy vektorlari yordamida 3D proektsiyada ko'rsatilgan:
u = (1, φ, 0, -1, φ, 0,0)
v = (φ, 0, 1, φ, 0, -1,0)
w = (0, 1, φ, 0, -1, φ,0)
Loyihalashtirilgan 2₃₁ politop cho'qqilar har bir belgilangan me'yorlar to'plamining tobora oshkora po'stlog'ini hosil qiladigan 3D-me'yorlari bo'yicha saralanadi va kesiladi. Ushbu namoyishlar:
1) kelib chiqishi bo'yicha 2 ball
2) 2 ta ikosaedr
3) 1 ta ikosadodekaedr
4) ikkita dodekaedr
5) 1 ta ikosadodekaedr
jami 126 tepalik uchun.

Ildizlar 7 o'lchovli bo'shliqni qamrab olsada, ularni 8 o'lchovli vektor makonining 7 o'lchovli kichik fazosida yotgan vektor sifatida ifodalash nosimmetrik va qulayroqdir.

Ildizlar (1, -1,0,0,0,0,0,0) ning 8 × 7 permutatsiyalari va hamma ${ displaystyle { begin {pmatrix} 8 4 end {pmatrix}}}$ (½, ½, ½, ½, −½, −½, −½, −½) ning almashtirishlari

7 o'lchovli pastki bo'shliq, barcha sakkizta koordinatalarning yig'indisi nolga teng bo'lgan pastki bo'shliq ekanligini unutmang. 126 ta ildiz mavjud.

The oddiy ildizlar bor

(0,−1,1,0,0,0,0,0)

(0,0,−1,1,0,0,0,0)

(0,0,0,−1,1,0,0,0)

(0,0,0,0,−1,1,0,0)

(0,0,0,0,0,−1,1,0)

(0,0,0,0,0,0,−1,1)

(½,½,½,½,−½,−½,−½,−½)

Ularning tegishli tugunlari Dynkin diagrammasi chap tugundan o'ngga (yuqorida tasvirlangan diagrammada) yon tugun oxirgi bo'lib buyuriladi.

Muqobil tavsif

Ko'rib chiqishda foydali bo'lgan ildiz tizimining muqobil (7 o'lchovli) tavsifi E₇ × SU (2) kabi ning kichik guruhi E₈, quyidagilar:

Hammasi ${ displaystyle 4 times { begin {pmatrix} 6 2 end {pmatrix}}}$ oxirgi kirishda nolni saqlaydigan (± 1, ± 1,0,0,0,0,0) permütatsiyalar, barcha quyidagi ildizlarning juft sonlari + ½ bilan

${ displaystyle left ( pm {1 2} dan yuqori, pm {1 dan 2} gacha, pm {1 dan 2} gacha, pm {1 dan 2} gacha, pm {1 dan 2} gacha , pm {1 over 2}, pm {1 over { sqrt {2}}} right)}$

va quyidagi ikkita ildiz

${ displaystyle chap (0,0,0,0,0,0, pm { sqrt {2}} o'ng).}$

Shunday qilib generatorlar 66 o'lchovdan iborat shunday(12) subalgebra, shuningdek ikkita o'zini o'zi konjugat qilib o'zgartiradigan 64 generator Weyl spinors ning aylantirish(12) qarama-qarshi chirallik va ularning chirallik generatori va chiralitlarning boshqa ikkita generatori ${ displaystyle pm { sqrt {2}}}$.

E berilgan₇ Kartan matritsasi (quyida) va a Dynkin diagrammasi tugunni buyurtma qilish:

bitta tanlov oddiy ildizlar quyidagi matritsaning qatorlari bilan berilgan:

${ displaystyle { begin {bmatrix} 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 - { frac {1} {2}} & {1} {2}} & - } {2}} & - { frac {1} {2}} & - { frac {1} {2}} & - { frac {1} {2}} & - { frac {1} { 2}} & { frac { sqrt {2}} {2}} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 end {bmatrix}}.}$

Veyl guruhi

The Veyl guruhi E.₇ buyurtma 2903040: bu 2-tartibli tsiklik guruhning to'g'ridan-to'g'ri mahsuloti va noyobdir oddiy guruh 1451520 buyurtmasi (PSp deb ta'riflanishi mumkin₆(2) yoki PSΩ₇(2)).^[2]

Kartan matritsasi

Hasse diagrammasi E7 ning root poset qo'shilgan oddiy ildiz holatini aniqlaydigan chekka yorliqlari bilan

${ displaystyle { begin {bmatrix} 2 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 - 1 & 2 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & -1 & 2 & -1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & -1 & 2 & -1 & 0 & -1 0 & 0 & 0 & -1 & 2 & -1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 2 end {bmatrix}}.}$

Muhim subgebralar va vakolatxonalar

E₇ ildiz tizimining 8 o'lchovli tavsifida birinchi guruh ildizlari SU (8) ildizlari bilan bir xil ekanligini ta'kidlash bilan aniq ko'rinib turibdiki, SU (8) subalgebrasiga ega (xuddi shu bilan Cartan subalgebra E-dagi kabi₇).

133 o'lchovli qo'shma tasvirga qo'shimcha ravishda, a mavjud 56 o'lchovli "vektor" tasviri, E da topish mumkin₈ qo'shma vakillik.

Haqiqiy va murakkab Lie algebralari va Lie guruhlarining cheklangan o'lchovli tasvirlari belgilarining barchasi Weyl belgilar formulasi. Eng kichik qisqartirilmaydigan tasvirlarning o'lchamlari (ketma-ketlik) A121736 ichida OEIS ):

1, 56, 133, 912, 1463, 1539, 6480, 7371, 8645, 24320, 27664, 40755, 51072, 86184, 150822, 152152, 238602, 253935, 293930, 320112, 362880, 365750, 573440, 617253, 861840, 885248, 915705, 980343, 2273920, 2282280, 2785552, 3424256, 3635840...

Yuqoridagi ketma-ketlikdagi chizilgan atamalar E ning qo'shma shakliga ega bo'lgan bu qisqartirilmaydigan tasavvurlarning o'lchamlari₇ (teng ravishda, og'irliklari E ning ildiz panjarasiga tegishli bo'lganlar₇), holbuki to'liq ketma-ketlik E ning sodda bog'langan shakli kamaytirilmaydigan tasavvurlarining o'lchamlarini beradi₇. 1903725824, 16349520330 va hokazo o'lchovlarning izomorf bo'lmagan qisqartirilmaydigan tasviri mavjud.

The asosiy vakolatxonalar o'lchamlari 133, 8645, 365750, 27664, 1539, 56 va 912 ga teng bo'lganlar ( Dynkin diagrammasi uchun tanlangan tartibda Kartan matritsasi yuqorida, ya'ni tugunlar avval oltita tugunli zanjirda o'qiladi, oxirgi tugun esa uchinchisiga ulanadi).

E₇ Polinomial o'zgaruvchilar

E₇ 56 komutativ bo'lmagan o'zgaruvchidagi quyidagi polinomlar juftligining avtomorfizm guruhidir. Biz o'zgaruvchini 28 dan ikki guruhga ajratamiz, (p, P) va (q, Q) qayerda p va q haqiqiy o'zgaruvchilar va P va Q 3 × 3 ga teng oktonion hermit matritsalari. Keyin birinchi invariant Spning simpektik invarianti (56, R):

${ displaystyle C_ {1} = pq-qp + Tr [PQ] -Tr [QP]}$

Ikkinchi murakkab invariant - bu a nosimmetrik kvartik polinom:

${ displaystyle C_ {2} = (pq + Tr [P circ Q]) ^ {2} + pTr [Q circ { tilde {Q}}] + qTr [P circ { tilde {P}} ] + Tr [{ tilde {P}} circ { tilde {Q}}]}$

Qaerda ${ displaystyle { tilde {P}} equiv det (P) P ^ {- 1}}$ ikkilik aylana operatori bilan aniqlanadi ${ displaystyle A circ B = (AB + BA) / 2}$.

Kartan tomonidan qurilgan muqobil kvartik polinom invariantida har biri 28 komponentdan iborat ikkita anti-nosimmetrik 8x8 matritsalardan foydalaniladi.

${ displaystyle C_ {2} = Tr [(XY) ^ {2}] - { dfrac {1} {4}} Tr [XY] ^ {2} + { frac {1} {96}} epsilon _ {ijklmnop} chap (X ^ {ij} X ^ {kl} X ^ {mn} X ^ {op} + Y ^ {ij} Y ^ {kl} Y ^ {mn} Y ^ {op} o'ng )}$

E tipidagi Chevalley guruhlari₇

A ustidagi ballar cheklangan maydon bilan q (bo'lingan) algebraik guruh E elementlari₇ (qarang yuqorida ) qo'shni (markazsiz) yoki oddiygina bog'langan shakldan (uning algebraik universal qopqog'i) bo'lsin, cheklangan sonni bering Chevalley guruhi. Bu E yozilgan guruh bilan chambarchas bog'liq₇(q), ammo bu yozuvda bir nechta narsaga mos keladigan noaniqlik mavjud:

• ustidan ochkolardan tashkil topgan cheklangan guruh F_q E ning oddiy bog'langan shaklidan₇ (aniqlik uchun buni E yozish mumkin_{7, sk}(q) va E tipidagi "universal" Chevalley guruhi sifatida tanilgan₇ ustida F_q),
• (kamdan-kam hollarda) tugagan guruhdan iborat F_q E ning biriktirilgan shakli₇ (aniqlik uchun buni E yozish mumkin_{7, reklama}(q), va E tipidagi "qo'shma" Chevalley guruhi sifatida tanilgan₇ ustida F_q), yoki
• birinchisidan ikkinchisiga tabiiy xaritaning tasviri bo'lgan cheklangan guruh: bu E bilan belgilanadi₇(q) quyida, cheklangan guruhlar bilan bog'liq bo'lgan matnlarda keng tarqalgani kabi.

Cheklangan guruh nuqtai nazaridan, ushbu uchta guruh o'rtasidagi munosabatlar SL (n, q), PGL (n, q) va PSL (n, q), quyidagicha umumlashtirilishi mumkin: E₇(q) har bir kishi uchun oddiy q, E_{7, sk}(q) uning Schur qopqog'i va E_{7, reklama}(q) uning avtomorfizm guruhiga kiradi; bundan tashqari, qachon q ning kuchi 2 ga teng, uchalasi ham bir-biriga to'g'ri keladi va aks holda (qachon q toq), E ning Schur multiplikatori₇(q) 2 va E ga teng₇(q) E ning 2 indeksidir_{7, reklama}(q), bu nima uchun E ni tushuntiradi_{7, sk}(q) va E_{7, reklama}(q) ko'pincha 2 · E sifatida yoziladi₇(q) va E₇(q) · 2. Algebraik guruh nuqtai nazaridan E uchun kamroq tarqalgan₇(q) cheklangan oddiy guruhga murojaat qilish, chunki ikkinchisi tabiiy ravishda algebraik guruhning nuqtalari to'plami emas F_q E dan farqli o'laroq_{7, sk}(q) va E_{7, reklama}(q).

Yuqorida aytib o'tilganidek, E₇(q) har bir kishi uchun oddiy q,^[3][4] va u murojaat qilgan cheksiz oilalardan birini tashkil qiladi cheklangan oddiy guruhlarning tasnifi. Uning elementlari soni formula (ketma-ketlik) bilan berilgan A008870 ichida OEIS ):

${ displaystyle { frac {1} { mathrm {gcd} (2, q-1)}} q ^ {63} (q ^ {18} -1) (q ^ {14} -1) (q ^ {12} -1) (q ^ {10} -1) (q ^ {8} -1) (q ^ {6} -1) (q ^ {2} -1)}$

E buyrug'i_{7, sk}(q) yoki E_{7, reklama}(q) (ikkalasi teng) gcd (2, q-1) (ketma-ketlik) A008869 ichida OEIS ). E ning Schur multiplikatori₇(q) gcd (2, q−1), va uning tashqi avtomorfizm guruhi diagonali avtomorfizm guruhining hosilasidir Z/ gcd (2, q−1)Z (E harakati bilan berilgan_{7, reklama}(q) va dala avtomorfizmlari guruhi (ya'ni tartibning tsikli) f agar q = p^f qayerda p asosiy).

Fizikaning ahamiyati

N = 8 supergravitatsiya to'rt o'lchovda, bu a o'lchovni kamaytirish 11 o'lchovli supergravitatsiyadan, E ni tan oling₇ bosonik global simmetriya va SU (8) bosonik mahalliy simmetriya. Fermionlar SU (8) tasvirida, o'lchov maydonlari E tasvirida₇va skalar ikkalasining tasvirida (Gravitonlar mavjud) singletlar ikkalasiga nisbatan ham). Jismoniy holatlar koset tasvirida E₇ / SU (8).

Yilda torlar nazariyasi, E₇ ning bir qismi sifatida paydo bo'ladi o'lchov guruhi bittadan (beqaror va nooziqsuper simmetrik ) versiyalari heterotik ip. Shuningdek, u uzilmagan o'lchov guruhida ham paydo bo'lishi mumkin E₈ × E₇ heterotik simlar nazariyasining olti o'lchovli kompaktifikatsiyasida, masalan to'rt o'lchovli yuzada K3.

Shuningdek qarang

• En (yolg'on algebra)
• ADE tasnifi
• Oddiy Yolg'on guruhlari ro'yxati

Izohlar

Adabiyotlar

• Adams, J. Frank (1996), Istisno yolg'on guruhlari bo'yicha ma'ruzalar, Matematikadan Chikago ma'ruzalari, Chikago universiteti matbuoti, ISBN  978-0-226-00526-3, JANOB  1428422
• Jon Baez, Oktonionlar, 4.5-bo'lim: E₇, Buqa. Amer. Matematika. Soc. 39 (2002), 145-205. Onlayn HTML versiyasi http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/node18.html.
• E. Kremmer va B. Yuliya, The N = 8 Supergravitatsiya nazariyasi. 1. Lagranj, Phys.Lett.B80: 48,1978. Onlayn skanerlangan versiyasi http://ac.els-cdn.com/0370269378903039/1-s2.0-0370269378903039-main.pdf?_tid=79273f80-539d-11e4-a133-00000aab0f6c&acdnat=1413289833_5f3539a6365149b.