Multifaktal tizim - Multifractal system

A G'alati attraktor multifractal miqyosini namoyish etadi
Da multifractal elektron xususiy davlatning misoli Andersonni mahalliylashtirish 1367631 atomli tizimda o'tish.

A multifaktal tizim a ning umumlashtirilishi fraktal bitta eksponent bo'lgan tizim (the fraktal o'lchov ) uning dinamikasini tavsiflash uchun etarli emas; Buning o'rniga eksponentlarning doimiy spektri (shunday deb ataladi) o'ziga xoslik spektri ) kerak.[1]

Multifaktal tizimlar tabiatda keng tarqalgan. Ular tarkibiga quyidagilar kiradi qirg'oq chiziqlarining uzunligi, to'liq rivojlangan turbulentlik, haqiqiy sahnalar, yurak urishi dinamikasi,[2] inson yurishi[3] va faoliyat,[4] inson miyasi faoliyat,[5][6][7][8][9][10][11] va tabiiy nashrida vaqt qatorlari.[12] Turbulentlikdan tortib turli xil sharoitlarda modellar taklif qilingan suyuqlik dinamikasi Internet-trafik, moliya, tasvirni modellashtirish, to'qimalarning sintezi, meteorologiya, geofizika va boshqalar.[iqtibos kerak ] Ketma-ketlikdagi (vaqt qatorlari) ma'lumotlarda ko'p fraktivlikning kelib chiqishi quyidagilar bilan bog'liq bo'lgan matematik konvergentsiya effektlariga taalluqlidir. markaziy chegara teoremasi yaqinlashish markazlari sifatida tanilgan statistik taqsimotlar oilasi Tweedie-ning eksponent dispersiyasi modellari,[13] shuningdek Tweedie geometrik modellari.[14] Birinchi konvergensiya effekti monofraktik ketma-ketlikni beradi, ikkinchisiga yaqinlashuvchi effekt esa monofraktik ketma-ketliklarning fraktal o'lchamidagi o'zgarishga javob beradi.[15]

Multifractal tahlil ma'lumotlar to'plamlarini tekshirish uchun, ko'pincha boshqa usullar bilan birgalikda ishlatiladi fraktal va lakunarlik tahlil. Texnika shablonlardan olingan ma'lumotlar to'plamlarini buzilib, multfaktal spektrlarni yaratishga olib keladi, bu esa o'lchovlar to'plami bo'yicha qanday o'zgarishini ko'rsatib beradi. Multifraktik tahlil qilish texnikasi zilzilalarni bashorat qilish va tibbiy tasvirlarni talqin qilish kabi turli xil amaliy vaziyatlarda qo'llanilgan.[16][17][18]

Ta'rif

Multifaktal tizimda , har qanday nuqta atrofidagi xatti-harakatlar mahalliy tomonidan tasvirlangan kuch qonuni:

Eksponent deyiladi o'ziga xoslik ko'rsatkichi, ning mahalliy darajasini tavsiflaganidek o'ziga xoslik yoki nuqta atrofida muntazamlik .[iqtibos kerak ]

Bir xil o'ziga xoslik ko'rsatkichini baham ko'rgan barcha nuqtalar tomonidan tuzilgan ansambl deyiladi ko'rsatkichning o'ziga xosligi manifoldu h, va a fraktal to'plam ning fraktal o'lchov o'ziga xoslik spektri. Egri chiziq ga qarshi deyiladi o'ziga xoslik spektri va o'zgaruvchining statistik taqsimotini to'liq tavsiflaydi .[iqtibos kerak ]

Amaliyotda jismoniy tizimning multifaktal harakati to'g'ridan-to'g'ri o'ziga xoslik spektri bilan tavsiflanmaydi . Aksincha, ma'lumotlarni tahlil qilish ko'p o'lchovli ko'rsatkichlar . Darhaqiqat, multifraktik signallar odatda a ga bo'ysunadi o'lchov o'zgarmasligi ularning miqyosiga qarab, ko'p echimlilik miqdori uchun kuchga asoslangan xatti-harakatlarni keltirib chiqaradigan xususiyat . O'rganilayotgan ob'ektga qarab, ushbu multiresolution miqdorlari bilan belgilanadi , o'lchamdagi qutilarda mahalliy o'rtacha qiymatlar bo'lishi mumkin , masofa bo'ylab gradientslar , masshtabdagi to'lqin koeffitsientlari va hokazo. Ko'p shaklli ob'ektlar uchun odatda shaklning global miqyosli miqyosini kuzatadi:[iqtibos kerak ]

hech bo'lmaganda tarozilarning bir qatorida va ba'zi bir buyurtmalar uchun . Bunday xatti-harakatlar kuzatilganda, miqyosning o'zgarmasligi, o'ziga o'xshashligi yoki ko'p qirrali bo'lishi haqida gap boradi.[19]

Bashorat

Deb nomlangan foydalanish multifractal formalizm, ba'zi bir yaxshi taxminlarga ko'ra, o'ziga xoslik spektri o'rtasida moslik mavjudligini ko'rsatish mumkin va ko'p o'lchovli ko'rsatkichlar orqali Legendrning o'zgarishi. Qaror berish paytida qiyin va son jihatdan beqaror hisob-kitoblarga olib keladigan ma'lumotlarni to'liq mahalliy tahlil qilishga chaqiradi, log-log diagrammalarida statistik o'rtacha va chiziqli regressiyalardan foydalanishga tayanadi. Bir marta ma'lum, kimningdir taxminiy bahosini chiqarish mumkin oddiy Legendre konvertatsiyasi tufayli.[iqtibos kerak ]

Multifaktal tizimlar ko'pincha stoxastik jarayonlar tomonidan modellashtiriladi multiplikativ kaskadlar. The ning taqsimotlari evolyutsiyasini tavsiflagani uchun statistik talqin etiladi kabi kattaroqdan kichikroq tarozilarga o'tadi. Ushbu evolyutsiya ko'pincha chaqiriladi statistik uzilishlar va undan ketishga xiyonat qiladi Gauss modellar.[iqtibos kerak ]

Modellashtirish a multiplikativ kaskad shuningdek, multifraktik xususiyatlarni baholashga olib keladi.Roberts va Kronin 1996 yil Ushbu usullar, hatto nisbatan kichik ma'lumotlar to'plamlari uchun ham juda yaxshi ishlaydi. Ma'lumotlar to'plamiga multiplikativ kaskadning maksimal darajada mos kelishi nafaqat to'liq spektrni baholaydi, balki xatolarning oqilona baholarini ham beradi.[20]

Qutilarni hisoblashdan multifractal miqyoslashni baholash

Multifraktik spektrlarni aniqlash mumkin qutilarini hisoblash raqamli tasvirlarda. Birinchidan, piksellarning qanday taqsimlanishini aniqlash uchun qutini hisoblash skaneri amalga oshiriladi; keyin, bu "ommaviy tarqatish" bir qator hisob-kitoblar uchun asos bo'ladi.[21][22][23] Asosiy g'oya shundan iboratki, multifraktallar uchun ehtimollik piksellar sonini , qutida paydo bo'ladi , qutining o'lchamiga qarab farq qiladi , ba'zi bir ko'rsatkichlarga , rasmdagi kabi o'zgaradi Ekv.0.0 (NB: Monofraktallar uchun, aksincha, ko'rsatkich ko'rsatkich to'plam bo'yicha mazmunli o'zgarmaydi). kabi piksellarni taqsimlash maydonidan hisoblab chiqiladi 2.0 tengligi.

 

 

 

 

(Ekv.0.0)

= o'zboshimchalik o'lchovi (quti hajmi to'plamni ko'rib chiqishda)
= to'plam uchun qo'yilgan har bir quti uchun indeks
= piksellar soni yoki massa har qanday qutida, , o'lchamda
= har biri uchun 0 pikseldan ortiq jami qutilar
buning uchun barcha qutilarda jami massa yoki piksel yig'indisi

 

 

 

 

(1.0 tenglama)

bu massaning ehtimolligi qutining kattaligi uchun umumiy massaga nisbatan

 

 

 

 

(2.0 tengligi)

kabi ba'zi bir usullar bilan buzilgan holda piksel taqsimotining o'zini qanday tutishini kuzatish uchun foydalaniladi 3.0 tengligi va 3.1 tenglama:

= ma'lumotlar to'plamini buzish uchun eksponent sifatida foydalanish uchun ixtiyoriy qiymatlar oralig'i
qutining kattaligi uchun ushbu Q ga ko'tarilib buzilgan barcha massa ehtimolliklarining yig'indisi

 

 

 

 

(3.0 tengligi)

  • Qachon , 3.0 tengligi 1 ga teng, barcha ehtimollarning odatiy yig'indisi va qachon , har bir davr 1 ga teng, shuning uchun yig'indisi hisoblangan qutilar soniga teng, .
qutidagi buzilgan massa ehtimoli ushbu katakchadagi barcha kataklardagi buzilgan summa bilan qanday taqqoslanadi

 

 

 

 

(3.1 tenglama)

Ushbu buzuq tenglamalar, keyinchalik masshtabni kattalashtirishda yoki echishda yoki ketma-ketlikda kesishda qanday ishlashini hal qilish uchun foydalaniladi - to'plamning o'lchamlari uchun turli xil qiymatlarni topish uchun o'lchamdagi qismlar va Q bilan buzilgan, quyidagi kabi:

  • Ning muhim xususiyati 3.0 tengligi Bu uning ko'rsatkichga ko'tarilgan o'lchovga qarab o'zgarishini ko'rish mumkin yilda 4.4 tenglama:

 

 

 

 

(4.4 tenglama)

Shunday qilib, uchun bir qator qiymatlar log uchun regressiya chizig'i qiyaliklaridan topish mumkin 3.0 tengligi ning jurnaliga nisbatan har biriga , asoslangan 4.1 tenglama:

 

 

 

 

(4.1 tenglama)

  • Umumlashtirilgan o'lchov uchun:

 

 

 

 

(Ekv.0.0)

 

 

 

 

(5.1 tenglama)

 

 

 

 

(5.2 tenglama)

 

 

 

 

(5.3 tenglama)

  • uchun regressiya chizig'ining qiyaligi sifatida baholanadi log A, Q ga qarshi jurnal qaerda:

 

 

 

 

(6.0 tenglama)

  • Keyin dan topilgan 5.3 tenglama.
  • O'rtacha uchun log-log regressiya chizig'ining qiyaligi sifatida baholanadi ga qarshi , qaerda:

 

 

 

 

(6.1 tenglama)

Amalda, ehtimollik taqsimoti ma'lumotlar to'plamining namuna olinishiga bog'liq, shuning uchun etarli namuna olishni ta'minlash uchun optimallashtirish algoritmlari ishlab chiqilgan.[21]

Ilovalar

Multifractal tahlil ko'plab sohalarda, jumladan fizik, axborot va biologik fanlarda muvaffaqiyatli qo'llanilgan.[24] Masalan, temir-beton qirqish devorlari sirtidagi qoldiq yoriqlar naqshlarining miqdoriy ko'rsatkichi.[25]

Ma'lumotlar to'plamining buzilishini tahlil qilish

Multifaktal tahlil shkaladagi farqlar bo'yicha ma'lumotlar bazasini uyga ketma-ket buzadigan linzalar orqali ko'rishga o'xshaydi. Ko'rsatilgan naqsh a Hénon xaritasi.

Multifractal tahlil turli xil ma'lumotlar to'plamlarini tavsiflash uchun bir nechta ilmiy sohalarda qo'llanilgan.[26][4][7] Aslida, multifractal tahlil ma'lumotlar har bir buzilish paytida qanday ishlashini taqqoslash uchun naqshlardan olingan ma'lumotlar to'plamlariga buzuvchi omilni qo'llaydi. Sifatida tanilgan grafikalar yordamida amalga oshiriladi multifaktal spektrlar, ko'rsatilganidek, ma'lumotlar bazasini "buzuvchi ob'ektiv" orqali ko'rishga o'xshash illyustratsiya.[21] Amaliyotda multifraktik spektrlarning bir nechta turlari qo'llaniladi.

D.Q va boshqalar Q

D.Q fraktal bo'lmagan aylana uchun Q spektrlari (empirik qutini hisoblash hajmi = 1.0), mono-fraktal Quadric Cross (empirik qutini hisoblash o'lchovi = 1.49) va ko'p qirrali Hénon xaritasi (empirik qutini hisoblash hajmi = 1.29).

Amaliy multifraktik spektrlardan biri bu D grafigiQ vs Q, bu erda DQ bo'ladi umumlashtirilgan o'lchov ma'lumotlar to'plami uchun va Q - bu o'zboshimchalik bilan ko'rsatkichlar to'plami. Ifoda umumlashtirilgan o'lchov Shunday qilib ma'lumotlar bazasi uchun o'lchovlar to'plami (foydalanilgan holda umumlashtirilgan o'lchovni aniqlash uchun batafsil hisob-kitoblar) qutilarini hisoblash tasvirlangan quyida ).

O'lchovli buyurtma

D. grafasining umumiy naqshlariQ vs Q ni namunadagi o'lchovni baholash uchun ishlatish mumkin. Grafik odatda kamayadi, sigmasimon atrofida Q = 0, bu erda D(Q = 0) . D.(Q = 1) . D.(Q = 2). Ko'rsatilganidek shakl, ushbu grafik spektrdagi o'zgarish naqshlarni ajratib olishga yordam beradi. Rasmda D ko'rsatilgan(Q) bo'lmagan, mono- va ko'p fraktalli to'plamlarning ikkilik tasvirlarining multifraktik tahlilidan olingan spektrlar. Namunaviy rasmlarda bo'lgani kabi, noaniq va mono-fraktallar D ning tekisroq bo'lishiga moyil(Q) spektrlari multifraktallarga nisbatan.

Umumlashtirilgan o'lchov shuningdek muhim o'ziga xos ma'lumotlarni beradi. D.(Q = 0) ga teng quvvat hajmi, bu - bu erda ko'rsatilgan ko'rsatkichlarda - bu qutini hisoblash o'lchovi. D.(Q = 1) ga teng axborot o'lchovi va D.(Q = 2) uchun korrelyatsion o'lchov. Bu multifraktaldagi "ko'plik" ga taalluqlidir, bu erda ko'pfraktlar D.da ko'p o'lchovlarga ega(Q) Q spektrlariga nisbatan, ammo monofraktallar bu sohada ancha tekis turadi.[21][22]

ga qarshi

Yana bir foydali multifractal spektr - ning grafigi ga qarshi (qarang hisob-kitoblar ). Ushbu grafikalar odatda maksimalga ko'tarilib, taxminan fraktal o'lchov Q = 0 da, keyin tushing. D kabiQ Q spektrlariga nisbatan ular noaniq, mono va ko'p fraktal naqshlarni taqqoslash uchun foydali bo'lgan odatiy naqshlarni namoyish etadilar. Xususan, ushbu spektrlar uchun non va mono-fraktallar ma'lum qiymatlarga yaqinlashadi, ko'p qirrali naqshlardan olingan spektrlar odatda kengroq maydonda gumburlarni hosil qiladi.

Kosmosdagi turlarning mo'l-ko'l tarqalishining umumiy o'lchamlari

D.ning bitta qo'llanmasiq ekologiyada Q ga qarshi turlarning tarqalishini tavsiflaydi. An'anaga ko'ra nisbiy turlarning ko'pligi shaxslar joylashgan joylarni hisobga olmasdan maydon uchun hisoblanadi. Nisbiy turlarning mo'l-ko'l ekvivalent vakili - turlar darajalari, turlar darajalari yuzasi deb ataladigan sirt hosil qilish uchun ishlatiladi,[27] kuzatilgan kabi turli xil ekologik mexanizmlarni aniqlash uchun umumlashtirilgan o'lchovlar yordamida tahlil qilish mumkin biologik xilma-xillikning neytral nazariyasi, metacommunity dinamikasi, yoki Mart nazariyasi.[27][28]

Shuningdek qarang

Adabiyotlar

  1. ^ Xart, Devid (2001). Multifraktallar. London: Chapman va Xoll. ISBN  978-1-58488-154-4.
  2. ^ Ivanov, Plamen Ch.; Amaral, Luis A. Nunes; Goldberger, Ari L.; Gavlin, Shlomo; Rozenblum, Maykl G.; Struzik, Zbignev R.; Stenli, X. Evgen (1999-06-03). "Insonning yurak urishi dinamikasidagi multifraktsionlik". Tabiat. 399 (6735): 461–465. arXiv:cond-mat / 9905329. doi:10.1038/20924. ISSN  0028-0836. PMID  10365957. S2CID  956569.
  3. ^ Simon, Sheldon R.; Pol, Igor L.; Mansur, Jozef; Munro, Maykl; Abernethy, Piter J.; Radin, Erik L. (1981 yil yanvar). "Inson yurishidagi eng yuqori dinamik kuch". Biomexanika jurnali. 14 (12): 817–822. doi:10.1016/0021-9290(81)90009-9. PMID  7328088.
  4. ^ a b Frantsiya, Lukas Gabriel Souza; Montoya, Pedro; Miranda, Xose Garsiya Vivas (2019). "Multifractals haqida: Aktigrafiya ma'lumotlarini chiziqli bo'lmagan o'rganish". Physica A: Statistik mexanika va uning qo'llanilishi. 514: 612–619. arXiv:1702.03912. doi:10.1016 / j.physa.2018.09.122. ISSN  0378-4371. S2CID  18259316.
  5. ^ Papo, Devid; Goni, Xoakin; Buldu, Xaver M. (2017). "Tahririyat: Miya tarmoqlari dinamikasi va tuzilishining aloqasi to'g'risida". Xaos: fanlararo jurnal. 27 (4): 047201. Bibcode:2017Chaos..27d7201P. doi:10.1063/1.4981391. ISSN  1054-1500. PMID  28456177.
  6. ^ Syuciu, Filippe; Varoquaux, Gael; Abri, Patris; Sadaghiani, Sepideh; Kleyshmidt, Andreas (2012). "Dam olish va vazifa paytida FMRI signallarining masshtabsiz va multifraktik xususiyatlari". Fiziologiyadagi chegara. 3: 186. doi:10.3389 / fphys.2012.00186. ISSN  1664-042X. PMC  3375626. PMID  22715328.
  7. ^ a b França, Lukas G. Souza; Miranda, Xose G. Vivas; Leyt, Marko; Sharma, Niraj K .; Uoker, Metyu S.; Lemi, Lui; Vang, Yujiang (2018). "Inson miyasi faoliyatini elektrokrafiya yozuvlarining fraktal va multifraktik xususiyatlari: uni klinik qo'llanmalarda mashinada o'rganish uchun signal xususiyati sifatida foydalanish to'g'risida". Fiziologiyadagi chegara. 9: 1767. arXiv:1806.03889. Bibcode:2018arXiv180603889F. doi:10.3389 / fphys.2018.01767. ISSN  1664-042X. PMC  6295567. PMID  30618789.
  8. ^ Ixlen, Espen A. F.; Vereijken, Beatrix (2010). "Inson bilimidagi o'zaro ta'sir-dominant dinamikasi: 1 / ga tebranishidan tashqari". Eksperimental psixologiya jurnali: Umumiy. 139 (3): 436–463. doi:10.1037 / a0019098. ISSN  1939-2222. PMID  20677894.
  9. ^ Chjan, Yanli; Chjou, Veydun; Yuan, Shasha (2015). "Intrakraniyal EEGda multifraktik tahlil va dolzarblik vektorli avtomatlashtirilgan soqchilikni aniqlash". Xalqaro asab tizimlari jurnali. 25 (6): 1550020. doi:10.1142 / s0129065715500203. ISSN  0129-0657. PMID  25986754.
  10. ^ Emish, Jon; Vink, Alle Meije; Bernard, Frederik A.; Barns, Anna; Bullmor, Edvard (2008). "Miyaning endogen multifraktik dinamikasi yoshi, xolinergik blokadasi va kognitiv ko'rsatkichlari bo'yicha modulyatsiya qilinadi". Nevrologiya usullari jurnali. 174 (2): 292–300. doi:10.1016 / j.jneumeth.2008.06.037. ISSN  0165-0270. PMC  2590659. PMID  18703089.
  11. ^ Zorik, Todd; Mandelkern, Mark A. (2013-07-03). "Insonning EEG-ning ko'p qirrali o'zgaruvchan tebranishini tahlil qilish: dastlabki tekshiruv va Wavelet Transform Modulus Maxima texnikasi bilan taqqoslash". PLOS ONE. 8 (7): e68360. Bibcode:2013PLoSO ... 868360Z. doi:10.1371 / journal.pone.0068360. ISSN  1932-6203. PMC  3700954. PMID  23844189.
  12. ^ Gaston, Kevin J.; Richard Inger; Benni, Jonatan; Devies, Tomas V. (2013-04-24). "Sun'iy yorug'lik tungi osmon yorqinligining tabiiy rejimlarini o'zgartiradi". Ilmiy ma'ruzalar. 3: 1722. Bibcode:2013 yil NatSR ... 3E1722D. doi:10.1038 / srep01722. ISSN  2045-2322. PMC  3634108.
  13. ^ Kendal, WS; Jorgensen, BR (2011). "Tvidining yaqinlashishi: Teylorning kuch qonuni uchun matematik asos, 1 / f shovqin va ko'pfraktlik ". Fizika. Vahiy E. 84 (6 Pt 2): 066120. Bibcode:2011PhRvE..84f6120K. doi:10.1103 / physreve.84.066120. PMID  22304168.
  14. ^ Yorgensen, B; Kokonendji, CC (2011). "Geometrik yig'indilar uchun dispersiya modellari". Braz J Probab Stat. 25 (3): 263–293. doi:10.1214 / 10-bjps136.
  15. ^ Kendal, WS (2014). "Ikkala markaziy chegara o'xshash konvergentsiya effektlariga taalluqli multifraktillik". Fizika A. 401: 22–33. Bibcode:2014PhyA..401 ... 22K. doi:10.1016 / j.physa.2014.01.022.
  16. ^ Lopes, R .; Betrouni, N. (2009). "Fraktal va multifraktik tahlil: sharh". Tibbiy tasvirni tahlil qilish. 13 (4): 634–649. doi:10.1016 / j.media.2009.05.003. PMID  19535282.
  17. ^ Moreno, P. A .; Velez, P. E .; Martines, E .; Garreta, L. E.; Díaz, N. S .; Amador, S .; Tischer, I .; Gutierrez, J. M .; Naik, A. K .; Tobar, F. N .; Garsiya, F. (2011). "Inson genomi: ko'p qirrali tahlil". BMC Genomics. 12: 506. doi:10.1186/1471-2164-12-506. PMC  3277318. PMID  21999602.
  18. ^ Atupelaj, S .; Nagaxashi, X .; Yamaguchi, M .; Sakamoto, M .; Xashiguchi, A. (2012). "Gistopatologiya uchun multifraktik xususiyatlarni tavsiflovchi". Analitik uyali patologiya. 35 (2): 123–126. doi:10.1155/2012/912956. PMC  4605731. PMID  22101185.
  19. ^ A.J. Roberts va A. Kronin (1996). "Sonli ma'lumotlar to'plamlarining ko'p fraktal o'lchamlarini xolisona baholash". Fizika A. 233 (3): 867–878. arXiv:chao-dyn / 9601019. Bibcode:1996PhyA..233..867R. doi:10.1016 / S0378-4371 (96) 00165-3.
  20. ^ Roberts, A. J. (2014 yil 7-avgust). "Ko'p qirrali baho - maksimal ehtimollik". Adelaida universiteti. Olingan 4 iyun 2019.
  21. ^ a b v d Karperien, A (2002), Multifractals nima?, ImageJ, arxivlandi asl nusxasidan 2012-02-10, olingan 2012-02-10
  22. ^ a b Chxabra, A .; Jensen, R. (1989). "F (a) singularlik spektrini to'g'ridan-to'g'ri aniqlash". Jismoniy tekshiruv xatlari. 62 (12): 1327–1330. Bibcode:1989PhRvL..62.1327C. doi:10.1103 / PhysRevLett.62.1327. PMID  10039645.
  23. ^ Posadas, A. N. D .; Gimenes, D.; Bittelli, M .; Vaz, C. M. P.; Flury, M. (2001). "Tuproqning zarracha kattaligi bo'yicha multifraktik xarakteristikasi". Amerika Tuproqshunoslik Jamiyati Journal. 65 (5): 1361. Bibcode:2001 SSASJ..65.1361P. doi:10.2136 / sssaj2001.6551361x.
  24. ^ Lopes, R .; Betrouni, N. (2009). "Fraktal va multifraktik tahlil: sharh". Tibbiy tasvirni tahlil qilish. 13 (4): 634–649. doi:10.1016 / j.media.2009.05.003. PMID  19535282.
  25. ^ Ibrohimxonlou, Arvin; Farhidzoda, Alireza; Salamone, Salvatore (2016-01-01). "Temir-beton qirqish devorlaridagi yoriqlar naqshlarining ko'p qirrali tahlili". Sog'liqni saqlashning tizimli monitoringi. 15 (1): 81–92. doi:10.1177/1475921715624502. ISSN  1475-9217. S2CID  111619405.
  26. ^ Trevino, J .; Lyu, S. F .; Yo'q, H.; Cao, H.; Dal Negro, L. (2012). "Aperiodik Vogel spirallarining geometrik tuzilishi, ko'p qirrali spektrlari va lokalize optik usullari". Optika Express. 20 (3): 3015–33. Bibcode:2012OExpr..20.3015T. doi:10.1364 / OE.20.003015. PMID  22330539.
  27. ^ a b Saravia, Leonardo A. (2015-08-01). "Umumlashtirilgan o'lchovlar yordamida kosmosdagi turlarning ko'pligini tahlil qilishning yangi usuli". Ekologiya va evolyutsiyadagi usullar. 6 (11): 1298–1310. doi:10.1111 / 2041-210X.12417. ISSN  2041-210X.
  28. ^ Saravia, Leonardo A. (2014-01-01). "mfSBA: ekologik hamjamiyatdagi fazoviy naqshlarni ko'p qirrali tahlil qilish". F1000Qidiruv. 3: 14. doi:10.12688 / f1000 qidiruv.3-14.v2. PMC  4197745. PMID  25324962.
  29. ^ Xasan, M. K .; Xasan, M. Z .; Pavel, N. I. (2010). "Vaznsiz planar stoxastik panjarada masshtabsiz tarmoq topologiyasi va ko'pfraktsionlik". Yangi fizika jurnali. 12 (9): 093045. arXiv:1008.4994. Bibcode:2010NJPh ... 12i3045H. doi:10.1088/1367-2630/12/9/093045. S2CID  1934801.

Qo'shimcha o'qish

Tashqi havolalar