Xaos o'yini - Chaos game

A-ning animatsion yaratilishi Sierpinski uchburchagi betartiblik o'yin usuli yordamida
Har bir yo'lni hisobga olganda "betartiblik o'yini" ning ishlashi yaxshi tasvirlangan.

Yilda matematika, atama betartiblik o'yini dastlab a yaratish uslubiga murojaat qilingan fraktal, yordamida ko'pburchak va uning ichida tasodifiy tanlangan dastlabki nuqta.[1][2] Fraktal, ketma-ketlikdagi har bir nuqta berilgan dastlabki tasodifiy nuqtadan boshlab, ketma-ketlik bilan ketma-ketlik yaratish orqali hosil bo'ladi. kasr oldingi nuqta va ko'pburchak tepalaridan biri orasidagi masofaning; vertex har bir takrorlashda tasodifiy tanlanadi. Ushbu takroriy jarayonni ko'p marta takrorlash, har bir iteratsiya bo'yicha tepalikni tasodifiy tanlash va ketma-ketlikning dastlabki bir nechta nuqtalarini tashlash, ko'pincha (lekin har doim ham) fraktal shaklga ega bo'ladi. Muntazam uchburchak va 1/2 faktordan foydalanish natijasida hosil bo'ladi Sierpinski uchburchagi, to'rtta nuqta va 1/2 faktor bilan to'g'ri tartibni yaratishda Sierpinski uchburchagining uch o'lchovli analogi bo'lgan "Sierpinski Tetrahedr" ning namoyishi yaratiladi. Ballar soni N soniga ko'paytirilganda, tartib mos keladigan (N-1) o'lchovli Sierpinskiyni hosil qiladi Simpleks.

Ushbu atama "yaratish" uslubiga murojaat qilish uchun umumlashtirildi jalb qiluvchi yoki sobit nuqta, har qanday narsadan takrorlanadigan funktsiya tizimi (IFS). Har qanday x nuqtadan boshlang0, ketma-ket takrorlanishlar x shaklida hosil bo'ladik + 1 = fr(xk), qaerda fr har bir takrorlash uchun tasodifiy tanlangan berilgan IFS a'zosi. Takrorlashlar IFSning belgilangan nuqtasiga yaqinlashadi. Har doim x0 IFS attraktoriga tegishli, barcha takrorlanishlar xk attraktor ichida qoling va 1 ehtimolligi bilan a hosil qiling zich to'plam ikkinchisida.

"Xaos o'yini" usuli barcha attraktor bo'ylab tasodifiy tartibda ochkolar tuzadi. Bu fraktallarni chizishning boshqa usullaridan farq qiladi, ular ekrandagi har bir pikselni fraktalga tegishli yoki yo'qligini tekshiradi. Fraktalning umumiy shakli "betartiblik o'yini" usuli bilan tezda chizilgan bo'lishi mumkin, ammo fraktalning ba'zi joylarini batafsil chizish qiyin bo'lishi mumkin.

"Xaos o'yini" usuli haqida aytib o'tilgan Tom Stoppard 1993 yilgi o'yin Arkadiya.[3]

"Xaos o'yini" yordamida yangi fraktal yasash mumkin va yangi fraktalni yasashda ba'zi parametrlarni olish mumkin. Ushbu parametrlar fraktal nazariyani, masalan, tasniflash va identifikatsiyalash uchun foydalidir.[4][5] Fraktal o'lchov kabi ba'zi bir muhim xususiyatlar bo'yicha yangi fraktal o'ziga xos o'ziga xosdir.

Agar "betartiblik o'yinida" siz har bir tepadan boshlasangiz va o'yin o'tishi mumkin bo'lgan barcha yo'llarni bosib o'tsangiz, siz faqat bitta tasodifiy yo'lni bosib o'tganingizdagidek tasvirni olasiz. Biroq, bir nechta yo'lni bosib o'tish kamdan-kam hollarda amalga oshiriladi, chunki har bir yo'lni kuzatib borish uchun xarajatlar hisoblashni ancha sekinlashtiradi. Ushbu usul fraktalning standart usulga qaraganda aniqroq hosil bo'lishini tasvirlashning afzalliklariga ega, shuningdek deterministikdir.

Cheklangan betartiblik o'yini

Kvadrat ichidagi nuqta tasodifiy tanlangan tepalikka qarab masofaning yarmini bir necha marta sakrab chiqadi. Hech qanday fraktal ko'rinmaydi.

Agar betartiblik o'yini kvadrat bilan olib borilsa, fraktal paydo bo'lmaydi va maydonning ichki qismi ochko bilan teng ravishda to'ldiriladi. Biroq, agar vertikallarni tanlashga cheklovlar qo'yilsa, kvadratda fraktallar paydo bo'ladi. Masalan, agar keyingi tepada joriy tepalikni tanlash mumkin bo'lmasa, bu fraktal paydo bo'ladi:


Kvadrat ichidagi nuqta tasodifiy tanlangan tepalik tomon masofaning yarmini bir necha marta sakrab chiqadi, ammo hozirda tanlangan tepalik avval tanlangan tepalikka teng bo'lolmaydi.


Agar hozirgi tepalik ilgari tanlangan vertikadan bir soat narida (soat yo'nalishi bo'yicha) bo'la olmasa, bu fraktal paydo bo'ladi:


Kvadrat ichidagi nuqta tasodifiy tanlangan tepalikka masofaning yarmini bir necha marta sakrab chiqadi, ammo hozirda tanlangan tepalik avval tanlangan tepalikdan 1 soat narida (soat yo'nalishi bo'yicha) bo'lishi mumkin emas.


Agar nuqta maydonning ma'lum bir mintaqasiga tushishiga to'sqinlik qilinsa, bu mintaqaning shakli kvadratning boshqa va ko'rinishda cheklanmagan qismlarida fraktal sifatida takrorlanadi. Masalan, fraktal nuqta qizilga tushish uchun sakrab o'ta olmaganda hosil bo'ladi Om maydon markazidagi belgi[qo'shimcha tushuntirish kerak ]:


Kvadratning tasodifiy tanlangan cho'qqisiga sakrab tushgan nuqta hosil qilgan fraktal, lekin kvadrat markazida Om belgisiga tushishiga to'sqinlik qildi


Boshqa cheklovlar fraktallarni keltirib chiqaradi:

  • Kvadrat ichidagi nuqta tasodifiy tanlangan cho'qqiga qarab masofaning yarmini bir necha marta sakrab chiqadi, ammo hozirda tanlangan tepalik avval tanlangan tepalikdan 2 joy uzoqlasha olmaydi.

  • Kvadrat ichidagi nuqta tasodifiy tanlangan cho'qqiga qarab masofaning yarmini bir necha marta sakrab chiqadi, lekin hozirda tanlangan tepalik, ilgari tanlangan ikkita tepalik bir xil bo'lsa, ilgari tanlangan tepalikka qo'shni bo'lolmaydi.

  • Beshburchak ichidagi nuqta tasodifiy tanlangan tepalik tomon masofaning yarmini bir necha marta sakrab chiqadi, ammo hozirda tanlangan tepalik avval tanlangan tepalikka teng bo'lolmaydi.

  • Beshburchak ichidagi nuqta tasodifiy tanlangan tepalikka qarab masofaning yarmini bir necha marta sakrab chiqadi, lekin hozirda tanlangan tepalik avval tanlangan tepalikka qo'shni bo'lolmaydi, agar ilgari tanlangan ikkita tepalik bir xil bo'lsa.

1/2 dan tashqari sakrash

Agar tepalikka yoki boshqa nuqtaga sakrashning uzunligi 1/2 bo'lmaganda, betartiblik o'yinida boshqa fraktallar paydo bo'ladi, ularning ba'zilari juda taniqli. Masalan, sakrash 2/3 bo'lsa va nuqta kvadrat markaziga sakrab o'tishi mumkin bo'lsa, betartiblik o'yini Vikes fraktal:

Xaos o'yini tomonidan yaratilgan Vicsek fraktali

O'tish 2/3 bo'lsa va nuqta to'rt tomonning o'rta nuqtalari tomon sakrab o'tishi mumkin bo'lsa, betartiblik o'yini Sierpinski gilamchasi:

Xaos o'yini tomonidan ishlab chiqarilgan Sierpinski gilamchasi

O'tish 1 / bo'lgandaphi va nuqta tasodifiy ravishda odatdagi beshburchakning beshta tepasidan biriga yoki biriga qarab sakrab chiqsa, betartiblik o'yini beshburchak hosil qiladi n-parcha:

Xaos o'yini natijasida hosil bo'lgan beshburchak n-parcha

Shuningdek qarang

Tashqi havolalar

Adabiyotlar

  1. ^ Vayshteyn, Erik V. "Xaos o'yini". MathWorld.
  2. ^ Barsli, Maykl (1993). Fraktallar hamma joyda. Morgan Kaufmann. ISBN  978-0-12-079061-6.
  3. ^ Devani, Robert L. "Xaos, fraktallar va Arkadiya". Boston universiteti matematika bo'limi.
  4. ^ Jampur, Mahdi; Yagobiy, Mahdi; Ashourzadeh, Maryam; Soleymani, Adel (2010 yil 1 sentyabr). "Fraktal va betartiblik o'yinlari nazariyasi bilan barmoq izlarini aniqlashning yangi tezkor texnikasi". Fraktallar. 18 (3): 293–300. doi:10.1142 / s0218348x10005020. ISSN  0218-348X - orqali ResearchGate.
  5. ^ Jampur, Mahdi; Javidiy, Muhammad M.; Soleymani, Adel; Ashourzadeh, Maryam; Yaghoobi, Mahdi (2010). "Xaos o'yini va fraktal nazariyasidan foydalangan holda barmoq izini past hajmda saqlashning yangi usuli". Xalqaro interaktiv multimedia va sun'iy intellekt jurnali. 1 (3): 27. doi:10.9781 / ijimai.2010.135. ISSN  1989-1660.