Lyapunov fraktali - Lyapunov fractal

[2, 4] × [2, 4] mintaqada AB takrorlanish ketma-ketligi bilan standart Lyapunov logistik fraktali.

AABAB takrorlanish ketma-ketligi bilan umumlashtirilgan Lyapunov logistik fraktali, [2, 4] × [2, 4].

O'sish parametri mintaqasida BBBBBABAAAAAA takrorlanish ketma-ketligi bilan umumlashtirilgan Lyapunov logistik fraktali (A,B) sifatida tanilgan [3.4, 4.0] × [2.5, 3.4] da Zirkon Zity.

Yilda matematika, Lyapunov fraktallari (shuningdek, nomi bilan tanilgan Markus-Lyapunov fraktallari) bor ikki tomonlama fraktallar kengaytmasidan kelib chiqqan logistika xaritasi unda aholining o'sish darajasi, r, vaqti-vaqti bilan ikkita qiymat o'rtasida o'zgarib turadi A va B.^[1]

A Lyapunov fraktal barqarorlik va xaotik xatti-harakatlar mintaqalarini xaritalash orqali quriladi (yordamida o'lchangan Lyapunov eksponenti ${ displaystyle lambda}$) ichida a−b ning davriy ketma-ketliklari uchun tekislik a va b. Rasmlarda sariq rang mos keladi ${ displaystyle lambda <0}$ (barqarorlik) va ko'k rangga mos keladi ${ displaystyle lambda> 0}$ (betartiblik).

Lyapunov fraktallari 1980 yillarning oxirlarida topilgan^[2] Germano-chililik tomonidan fizik Mario Markus dan Maks Plank Molekulyar Fiziologiya Instituti. Ular tomonidan keng jamoatchilikka a fanni ommalashtirish maqola rekreatsiya matematikasi yilda nashr etilgan Ilmiy Amerika 1991 yilda.^[3]

Xususiyatlari

Lyapunov fraktallari odatda qiymatlari uchun chizilgan A va B oralig'ida ${ displaystyle [0,4]}$. Kattaroq qiymatlar uchun [0,1] oralig'i endi barqaror emas va ketma-ketlikni cheksizligi jalb qilishi mumkin, ammo ba'zi parametrlar uchun cheklangan qiymatlarning konvergent tsikllari mavjud bo'lib qolmoqda. Barcha takrorlanish ketma-ketliklari uchun diagonali a = b har doim standart bitta parametr logistik funktsiyasi bilan bir xil.

Ketma-ketlik odatda 0,5 qiymatidan boshlanadi, bu a tanqidiy nuqta takrorlanadigan funktsiya.^[4] Butun tur davomida takrorlanadigan funktsiyaning boshqa (hatto murakkab qiymatli) muhim nuqtalari birinchi davrada 0,5 qiymatidan o'tgan nuqtalardir. Konvergent tsikl kamida bitta muhim nuqtani jalb qilishi kerak.^[5] Shuning uchun barcha konvergent tsikllarni faqat takrorlash ketma-ketligini siljitish va boshlang'ich qiymatini 0,5 ushlab turish orqali olish mumkin. Amalda, ushbu ketma-ketlikni almashtirish fraktalning o'zgarishiga olib keladi, chunki ba'zi filiallar boshqalari tomonidan qoplanadi. Masalan, AB takrorlanish ketma-ketligi uchun Lyapunov fraktali (o'ngdagi yuqori rasmga qarang) nisbatan nosimmetrik emas a va b.

Lyapunov fraktallarini yaratish algoritmi

The algoritm Lyapunov fraktallarini hisoblash uchun quyidagicha ishlaydi:^[6]

1. Har qanday noan'anaviy uzunlikdagi As va Bs qatorini tanlang (masalan, AABAB).
2. Ketma-ketlikni tuzing ${ displaystyle S}$ mag'lubiyatda ketma-ket terminlar bilan hosil qilingan, kerak bo'lganda shuncha marta takrorlangan.
3. Nuqtani tanlang ${ displaystyle (a, b) [0,4] marta [0,4]}$.
4. Funktsiyani aniqlang ${ displaystyle r_ {n} = a}$ agar ${ displaystyle S_ {n} = A}$va ${ displaystyle r_ {n} = b}$ agar ${ displaystyle S_ {n} = B}$.
5. Ruxsat bering ${ displaystyle x_ {0} = 0.5}$va takroriylikni hisoblang ${ displaystyle x_ {n + 1} = r_ {n} x_ {n} (1-x_ {n})}$.
6. Lyapunov ko'rsatkichini hisoblang:
   ${ displaystyle lambda = lim _ {N rightarrow infty} {1 over N} sum _ {n = 1} ^ {N} log left | {dx_ {n + 1} over dx_ { n}} right | = lim _ {N rightarrow infty} {1 over N} sum _ {n = 1} ^ {N} log | r_ {n} (1-2x_ {n}) |}$
   Amalda, ${ displaystyle lambda}$ mos keladigan kattalikni tanlash bilan taxmin qilinadi ${ displaystyle N}$ va birinchi chaqiruvni shunday qoldiring ${ displaystyle r_ {0} (1-2x_ {0}) = r_ {n} cdot 0 = 0}$ uchun ${ displaystyle x_ {0} = 0.5}$.
7. Nuqtani ranglang ${ displaystyle (a, b)}$ ning qiymatiga ko'ra ${ displaystyle lambda}$ olingan.
8. Tasvir tekisligidagi har bir nuqta uchun qadamlarni (3-7) takrorlang.

Ko'proq o'lchamlar

Media-ni ijro etish

ABBBCA ketma-ketligi bilan 3D Lyapunov fraktalining animatsiyasi

Lyapunov fraktallarini ikki o'lchovdan ko'proq hisoblash mumkin. A uchun ketma-ketlik qatori nalfavitdan o'lchovli fraktalni qurish kerak n belgilar, masalan. 3D fraktal uchun "ABBBCA", uni 3D ob'ekti sifatida yoki har bir animatsiya ramkasi uchun C yo'nalishidagi "tilim" ni ko'rsatadigan animatsiya sifatida, bu erda keltirilgan misol kabi ko'rish mumkin.

Izohlar

Adabiyotlar