Asosiy sonlar nazariyasi - Basic Number Theory

Asosiy sonlar nazariyasi nufuzli kitob[1] tomonidan Andr Vayl, ekspozitsiyasi algebraik sonlar nazariyasi va sinf maydon nazariyasi alohida e'tibor bilan baholash - nazariy usullar. Qisman o'qitiladigan kurs asosida Princeton universiteti 1961-2 yillarda 144-jild bo'lib paydo bo'ldi Springer Grundlehren derhematischen Wissenschaften seriyali.[2] Yondashuv barcha "A-maydonlar" yoki global maydonlar, cheklangan degan ma'noni anglatadi algebraik kengaytmalar maydonining ratsional sonlar va maydonining ratsional funktsiyalar a bilan bitta o'zgaruvchining cheklangan maydon doimiy Nazariya topologik maydonlardan, xususiyatlaridan boshlab bir xilda ishlab chiqilgan Haar o'lchovi kuni mahalliy ixcham maydonlar, ning asosiy teoremalari adelik va raqamlar nazariyasi, sinf nazariyasi orqali sinflar nazariyasi oddiy algebralar mahalliy va global maydonlarda. Sarlavhadagi "asosiy" so'zi ma'no jihatidan "boshlang'ich" emas, balki "asosli" ga yaqinroq va ehtimol, eng yaxshi ishlab chiqilgan material nazariyalarni rivojlantirish uchun asos bo'lgan degan ma'noda talqin etiladi. avtomorf shakllar, vakillik nazariyasi ning algebraik guruhlar va algebraik sonlar nazariyasida yanada rivojlangan mavzular. Uslub qat'iy, nazariyani mantiqiy izchil rivojlantirish bo'yicha tor konsentratsiyaga ega va aslida misollar yo'q.

Matematik kontekst va maqsad

Maqolaning bosh so'zida muallif takomillashtirishning "befoyda va imkonsiz vazifasi" o'rniga Hekening algebraik sonlar nazariyasini klassik davolash,[3][4] u "so'nggi o'ttiz yillik voqealardan xulosa chiqarishga harakat qildi. Buning natijasida mahalliy ixcham guruhlar, o'lchov va integratsiya klassik sonlar nazariyasida tobora muhim rol o'ynashi kuzatildi ». Vayl o'z ishidan kelib chiqqan nuqtai nazarni tushuntirishga davom etmoqda Hensel, Hasse,[5][6] Chevalley,[7] Artin,[8] Ivasava,[9][10] Teyt,[11] va Tamagava[12][13] unda haqiqiy raqamlar cheksiz xilma-xilliklardan biri sifatida qaralishi mumkin tugatish mantiqiy sabablarga ko'ra mantiqiy sabablarga ko'ra p-adic tugatish. Ushbu sozlamada adeles (yoki baholash vektorlari ) tabiiy berish mahalliy ixcham halqa, unda barcha baholashlar "umumiy maqsadlar uchun hamkorlik qilish" yagona izchil ravishda birlashtiriladi. Haqiqiy sonlarni postamentdan olib tashlash va ularni p-adic raqamlari bilan bir qatorda joylashtirish tabiiy ravishda olib keladi - bu "sonlar maydonlari bilan to'liq bir vaqtda muomala" da cheklangan maydonlar ustida funktsiya maydonlari nazariyasini ishlab chiqishga "so'zsiz". 1967 yilda Qo'shma Shtatlarda yozilgan so'zboshi uchun ajoyib so'zlarni tanlashda, muallif bu ikki nuqtai nazarni tushuntirib, ushbu aniq nuqtai nazarni uyga qaytarishni tanlaydi. global maydonlar “Ajratilgan maqom o'rniga to'liq bir vaqtning o'zida davolanish […] va eng yaxshisi shu paytgacha o'zlariga tegishli bo'lgan alohida, ammo teng imkoniyatlar berilishi kerak. Ikkala irq ham bunday muomalada yutqazishdan yiroq, bu haqiqat, umid qilamanki, ushbu kitobdan chiqadi ".

Keyin Ikkinchi jahon urushi, bir qator o'zgarishlar sinf maydon nazariyasi ning ahamiyatini pasaytirdi tsiklik algebralar (va umuman olganda, kesib o'tgan mahsulot algebralari ) sinf maydon nazariyasi dalillarida sonlar maydoni bo'yicha aniqlangan. Buning o'rniga kohomologik formalizm mahalliy va global sinflar nazariyasining muhim qismiga aylandi, xususan, ishda Xoxsild va Nakayama,[14] Vayl,[15] Artin,[16] va Teyt[11] 1950-1952 yillar davomida.

Ko'rib chiqish istagi bilan bir qatorda algebraik sonlar maydonlari cheklangan maydonlar ustidagi funktsiya maydonlari bilan bir qatorda Chevalley ayniqsa ta'kidlangan. Teoremalarini chiqarish uchun global sinf maydon nazariyasi ulardan mahalliy sinf maydon nazariyasi, Chevalley u keyinchalik eééément idéal deb atagan narsasini taqdim etdi idele, da Hasse taklifi.[17] The idèle guruhi a raqam maydoni tomonidan birinchi marta kiritilgan Chevalley global sinf maydon nazariyasini tavsiflash uchun cheksiz kengayishlar uchun, lekin bir necha yil o'tgach, u mahalliy sinf maydon nazariyasidan global sinf maydon nazariyasini olish uchun uni yangi usulda qo'lladi. Vayl ushbu (nashr qilinmagan) asarni u foydalanadigan davolanish usullarining ayrimlariga sezilarli ta'sir ko'rsatganligi haqida aytib o'tgan.

Qabul qilish

1-nashr Jorj Whaples tomonidan ko'rib chiqilgan Matematik sharhlar va Helmut Koch uchun Zentralblatt. Keyinchalik nashrlar Fernando Q. Guvêa tomonidan ko'rib chiqilgan Amerika matematik assotsiatsiyasi va V. Zink va Helmut Koch tomonidan Zentralblatt; Ikkinchi nashrni sharhida Koch eslatmani "Shafarevich 1967 yil kuzida Moskvada menga birinchi nashrni ko'rsatdi va bu kitob bundan buyon sinflar maydon nazariyasi haqidagi kitob bo'ladi "dedi.[iqtibos kerak ] Davolashning izchilligi va uning ayrim o'ziga xos xususiyatlarini bir nechta sharhlovchilar ta'kidladilar, Koch so'zlarini davom ettirib: "Ushbu kitob qirqinchi yillarning boshlarida yozilgan va aynan shu narsa uni har kim uchun qimmatli ma'lumot manbai qiladi. raqam va funktsiya maydonlari bilan bog'liq muammolar ustida ishlamoqda. "[iqtibos kerak ]

Mundarija

Taxminan aytganda, kitobning birinchi yarmi adelic va id dan izchil foydalanishda zamonaviydirèlik usullari va cheklangan maydonlar bo'yicha algebraik son maydonlari va ratsional funktsiya maydonlarini bir vaqtning o'zida davolash. Ikkinchi yarmi, shubhasiz, uning rivojlanishida zamonaviy oddiy algebralar va sinf maydon nazariyasi tilisiz kohomologiya va tilisiz Galois kohomologiyasi jumladan. Muallif buni savdo-sotiq deb tan oladi va "bunday yondashuvni muntazam ravishda ishlab chiqish, ushbu sayohat uchun yaxshi jihozlangan ko'rinadigan juda ko'p keraksiz texnikani kemaga yuklashni anglatishini tushuntiradi; Dengizga yaroqli qilish o'rniga, uni cho'ktirib yuborgan bo'lishi mumkin. " Sinf maydonlari nazariyasini davolashda ham komutativ maydonlarda, ham oddiy algebralarda analitik usullardan foydalaniladi. Ushbu usullar, agar K / k chekli bo'lsa, degan birinchi yagona dalilni berishda ularning kuchini ko'rsatadi normal kengaytma maydonlari, keyin har qanday avtomorfizm K dan k ning induksiyasi Frobenius avtomorfizmi K ning cheksiz ko'p joylari uchun. Ushbu yondashuv, shuningdek, algebraik bayonotlarni sezilarli darajada sodda va mantiqiy isbotlashga imkon beradi, masalan, A maydonidagi oddiy algebra (global miqyosda) bo'linadi, agar u hamma joyda mahalliy bo'linib ketsa. Oddiy algebralardan muntazam ravishda foydalanish davolashni ham osonlashtiradi mahalliy sinf maydon nazariyasi. Masalan, mahalliy maydon bo'yicha oddiy algebra an ga ega ekanligini isbotlash yanada sodda rasmiylashtirilmagan bo'linish maydoni 2-kohomologiya darslari uchun tegishli bayonotni isbotlashdan ko'ra.

I bob

Kitob bilan boshlanadi Witt Ning formulasi Wedderburn's cheklangan maydon komutativ ekanligining isboti ('Vedberbernning kichik teoremasi ').[18] Xususiyatlari Haar o'lchovi "mahalliy maydonlar" (diskret bo'lmagan topologiya ostida mahalliy ixcham komutativ maydonlar) A maydonlarining yakunlari ekanligini isbotlash uchun ishlatiladi. Xususan - keyinchalik ishlab chiqilgan kontseptsiya - bu aniq mahalliy sinfi maydon nazariyasi global nazariya uchun zarur bo'lgan sohalar. Diskret bo'lmagan komutativ bo'lmagan mahalliy ixcham maydonlar bo'linish algebralari mahalliy maydon bo'yicha cheklangan o'lchov.

II bob

Mahalliy maydonlar va bo'linish algebralari ustidagi cheklangan o'lchovli vektor bo'shliqlari maydon topologiyasi tomonidan yagona aniqlangan topologiya ostida o'rganiladi va panjaralar topologiyasi bo'yicha analogi aniqlanadi Minkovskiy teoremasi[19] shu asosda isbotlangan va haqidagi asosiy teoremalar belgilar guruhlari Kommutativ bir o'lchovli holatda mahalliy maydonlar uchun "o'z-o'zini ikkilik" darajasiga tushiradigan ushbu vektor bo'shliqlari ko'rsatilgan.

III bob

Tensorli mahsulotlar A maydon maydonlarining cheklangan joylarga kengayishini o'rganish uchun ishlatiladi ajratiladigan kengaytma maydonning murakkabligi bilan ajralmas ish keyinroq qoldirildi.

IV bob

Ushbu bobda topologik ma'lumotlar keltirilgan adele ring va idele A maydon maydonini va "asosiy teoremalarni" quyidagicha isbotlaydi:

  • ham Adele jiringlaydi, ham idele guruh mahalliy darajada ixcham;
  • diagonali ko'milgan A-maydon, uning adele halqasining diskret va birgalikda ixcham subrigidir;
  • adele rishtasi o'z-o'zini dual, ya'ni uning o'ziga xos topologik izomorfik ekanligini anglatadi Pontryagin dual, cheklangan o'lchovli vektor bo'shliqlari va mahalliy maydonlar bo'yicha algebralar uchun o'xshash xususiyatlarga ega.

Bo'lim umumlashtirilgan bilan yakunlanadi birlik teoremasi birliklarini tavsiflovchi A maydonlari uchun baholash shartlar.

V bob

Ushbu bob raqam maydonlari va funktsiya maydonlarini bir vaqtning o'zida qayta ishlashdan biroz chetga chiqadi. Raqam maydonini o'rnatishda panjaralar (ya'ni, kasr ideallari ) aniqlanadi va a ning Haar o'lchov hajmi asosiy domen chunki panjara topilgan. Bu o'rganish uchun ishlatiladi diskriminant kengaytmaning.

VI bob

Ushbu bob funktsional maydon holatiga qaratilgan; The Riemann-Roch teoremasi da ko'rsatilgan va isbotlangan o'lchov-nazariy til bilan kanonik sinf ning ahamiyatsiz belgilarini bo'linuvchilar sinfi sifatida aniqlanadi adele ring o'rnatilgan maydonda ahamiyatsiz bo'lganlar.

VII bob

The zeta va L funktsiyalari (va shunga o'xshash analitik ob'ektlar) A maydoni uchun integrallar bo'yicha ifodalanadi idele guruh. Ushbu integrallarni mahsulotga barcha baholarda ajratish va ulardan foydalanish Furye o'zgarishi paydo bo'lishiga olib keladi meromorfik davom etish va funktsional tenglamalar. Bu, masalan, beradi analitik davomi ning Dedekind zeta-funktsiyasi uning funktsional tenglamasi bilan birga butun tekislikka. Bu erda davolanish oxir-oqibat taklifga qaytadi Artin, va ishlab chiqilgan Teytsning tezisi.[20][21]

VIII bob

Mahalliy va global farqlar va diskriminantlar uchun formulalar, ramifikatsiya nazariyasi va uchun formulalar tur funktsiya maydonining algebraik kengaytmasi ishlab chiqilgan.

IX bob

Oddiy algebralarning qisqacha muolajasi, shu jumladan tsiklik omil to'plamlari uchun aniq qoidalar keltirilgan.

X va XI boblar

A maydonidagi oddiy algebraning zeta-funktsiyasi aniqlangan va normalar guruhi bo'yicha keyingi natijalarni isbotlash uchun ishlatiladi va guruxsimon ning maksimal ideallar A maydonidagi oddiy algebrada.

XII bob

The o'zaro qonunchilik ning mahalliy sinf maydon nazariyasi ning juftligi kontekstida mahalliy maydon orqali multiplikativ guruh dala va belgilar guruhi ning mutlaq Galois guruhi ning algebraik yopilish maydon isbotlangan. Ramifikatsiya nazariyasi uchun abeliya kengaytmalari ishlab chiqilgan.

XIII bob

A maydonlari uchun global sinf nazariyasi XII bobning juftlari yordamida ishlab chiqilgan bo'lib, mahalliy maydonlarning multiplikativ guruhlarini idele A maydonlarining sinf guruhlari. Ushbu juftlik mahsulot sifatida mahalliy joylarga nisbatan qurilgan Hasse invariantlari.

Uchinchi nashr[22]

Ba'zi bir ma'lumotnomalar qo'shildi, ba'zi bir kichik tuzatishlar kiritildi, ba'zi izohlar qo'shildi va beshta qo'shimcha quyidagi materiallardan iborat:

Adabiyotlar

  1. ^ Vayl, Andre (1973). Asosiy sonlar nazariyasi. Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg. doi:10.1007/978-3-662-05978-4. ISBN  978-3-662-05980-7.
  2. ^ Grundlehren derhematischen Wissenschaften.
  3. ^ Xek, Erix (1970). Vorlesungen über die Theorie der algebraischen Zahlen (1923 yildagi ikkinchi nashr, indeks bilan). Bronx, NY: Chelsea Publishing Co.
  4. ^ Xek, Erix, 1887-1947. (1981). Algebraik sonlar nazariyasi bo'yicha ma'ruzalar. Nyu-York: Springer-Verlag. ISBN  0-387-90595-2. OCLC  7576150.CS1 maint: bir nechta ism: mualliflar ro'yxati (havola)
  5. ^ "Fürer, Diskriminante und Verzweigungskörper relativ-Abelscher Zahlkörper". Matematik (Frel Die reine und angewandte Journal) (Crelles Journal). 1930 (162): 169–184. 1930-01-01. doi:10.1515 / crll.1930.162.169. ISSN  0075-4102. S2CID  199546442.
  6. ^ "Die Normenresttheorie relativ-Abelscher Zahlkörper va boshqalar Klassenkörpertheorie im Kleinen". Matematik (Frel Die reine und angewandte Journal) (Crelles Journal). 1930 (162): 145–154. 1930-01-01. doi:10.1515 / crll.1930.162.145. ISSN  0075-4102. S2CID  116860448.
  7. ^ "La théorie du symbole de restes normiques". Matematik (Frel Die reine und angewandte Journal) (Crelles Journal). 1933 (169): 140–157. 1933-01-01. doi:10.1515 / crll.1933.169.140. ISSN  0075-4102. S2CID  115917687.
  8. ^ Artin, Emil (1929-12-01). "Idealklassen in oberkörpern und allgemeines reziprozitätsgesetz". Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Gamburg (nemis tilida). 7 (1): 46–51. doi:10.1007 / BF02941159. ISSN  1865-8784. S2CID  121475651.
  9. ^ Ivasava, Kenkichi (1953). "Baholash vektorlarining halqalari to'g'risida". Matematika yilnomalari. 57 (2): 331–356. doi:10.2307/1969863. JSTOR  1969863.
  10. ^ Ivasava, Kenkichi (1959). "Algebraik sonli maydonlar uchun chiziqlar". Matematika yilnomalari. 69 (2): 408–413. doi:10.2307/1970190. JSTOR  1970190.
  11. ^ a b Teyt, Jon (1952). "Sinf maydonlari nazariyasining yuqori o'lchovli kohomologik guruhlari". Matematika yilnomalari. 56 (2): 294–297. doi:10.2307/1969801. JSTOR  1969801.
  12. ^ IYANAGA et T. TAMAGAWA, S. (1951). "Sur la Théorie du Corps de Sinflar sur le Corps des Nombres Rationnels". Yaponiya matematik jamiyati jurnali. 3 (1): 220–227. doi:10.2969 / jmsj / 00310220. ISSN  0025-5645.
  13. ^ Tamagava, Tsuneo (1951). "Ramifikatsiya guruhlari va o'tkazgichlari nazariyasi to'g'risida". Yaponiya matematika jurnali: bitimlar va tezislar. 21: 197–215. doi:10.4099 / jjm1924.21.0_197. ISSN  0075-3432.
  14. ^ Xoxsild, G.; Nakayama, T. (1952). "Sinf maydonlari nazariyasidagi kohomologiya". Matematika yilnomalari. 55 (2): 348. doi:10.2307/1969783. JSTOR  1969783.
  15. ^ Vayl, Andre (1951). "Sur la Théorie du Corps de Classes". Yaponiya matematik jamiyati jurnali. 3 (1): 1–35. doi:10.2969 / jmsj / 00310001. ISSN  0025-5645.
  16. ^ Artin, Emil, 1898-1962. (2005). Algebraik sonlar va algebraik funktsiyalar. Providence, R.I .: AMS Chelsea Pub. / American Mathematical Society. ISBN  0-8218-4075-4. OCLC  62741519.CS1 maint: bir nechta ism: mualliflar ro'yxati (havola)
  17. ^ Iyanaga, Shokichi (2006). "Travaux de Claude Chevalley sur la théorie du corps de darslar: kirish". Yaponiya matematika jurnali. 1 (1): 25–85. doi:10.1007 / s11537-006-0502-5. ISSN  0289-2316. S2CID  123613236.
  18. ^ Witt, Ernst (1931-12-01). "Über die kommutativität endlicher schiefkörper". Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Gamburg (nemis tilida). 8 (1): 413. doi:10.1007 / BF02941019. ISSN  1865-8784. S2CID  124096167.
  19. ^ Minkovski, Hermann (1896). Geometrie der Zahlen. 2 Lieferungen shahrida. Lfg. 1. Leypsig: B. G. Teubner.
  20. ^ "RAQAMAT SAHILLARI VA HEKKING ZETA-FUNKSIYALARIDA FOURIER TAHLILI - ProQuest". ProQuest  304411725. Iqtibos jurnali talab qiladi | jurnal = (Yordam bering)
  21. ^ Algebraik sonlar nazariyasi: London Matematik Jamiyati (NATOning ilg'or o'quv instituti) tomonidan Xalqaro Matematik Ittifoqi ko'magida tashkil etilgan o'quv-uslubiy konferentsiya materiallari.. Cassels, J. W. S. (John William Scott), Frohlich, A. (Albrecht), 1916- (2-nashr). London: London Matematik Jamiyati. 2010 yil. ISBN  978-0-9502734-2-6. OCLC  665069251.CS1 maint: boshqalar (havola)
  22. ^ Vayl, Andre (1974). Asosiy sonlar nazariyasi. Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg. doi:10.1007/978-3-642-61945-8. ISBN  978-3-540-58655-5.
  23. ^ Shafarevich, Igor (1946). "Galaktikadagi y-adik maydonlarning guruhlari to'g'risida". C. R. (Doklady) Akad. Ilmiy ish. URSS (N.S.). 53: 15–16.
  24. ^ Sen, Shankar; Teyt, Jon (1963). "Mahalliy dalalarning ramifikatsiya guruhlari". J. hind matematikasi. Soc. (N.S.). 27: 197–202.