Logistik xarita - Logistic map

The logistika xaritasi a polinom xaritalash (teng ravishda, takrorlanish munosabati ) ning daraja 2, ko'pincha qanchalik murakkab ekanligi haqida arxetipik misol sifatida keltirilgan, tartibsiz xatti-harakatlar juda oddiy narsadan kelib chiqishi mumkin chiziqli emas dinamik tenglamalar. Xarita biolog tomonidan 1976 yilda chop etilgan maqolada ommalashtirildi Robert May,^[1] qisman shunga o'xshash diskret vaqtli demografik model sifatida logistik tenglama birinchi tomonidan yaratilgan Per François Verhulst.^[2]Matematik jihatdan logistik xarita yoziladi

${displaystyle x_ {n + 1} = rx_ {n} chap (1-x_ {n} ight)}$

(1)

qayerda x_n mavjud sonning mumkin bo'lgan maksimal aholi soniga nisbatini ifodalovchi nol va bitta orasidagi raqam. Parametr uchun qiziqish qiymatlari r (ba'zan ham belgilanadi m) bu intervalda bo'lganlar [0,4].Bu chiziqli bo'lmagan farq tenglamasi ikkita effektni olish uchun mo'ljallangan:

• ko'payish bu erda aholi tez sur'atlarda ko'payadi mutanosib aholi soni oz bo'lsa, hozirgi aholiga.
• ochlik (zichlikka bog'liq o'lim), bu erda o'sish sur'ati atrof-muhitning nazariy "tashish qobiliyatini" hozirgi populyatsiyadan kamroq olish natijasida olingan qiymatga mutanosib darajada kamayadi.

Biroq, a demografik model logistik xaritada ba'zi bir dastlabki shartlar va parametr qiymatlari (masalan, agar bo'lsa) patologik muammosi mavjud r > 4) aholining salbiy soniga olib keladi. Ushbu muammo katta yoshda ko'rinmaydi Ricker modeli, shuningdek, xaotik dinamikani namoyish etadi.

The r = 4 logistik xaritaning har ikkalasining ham chiziqli bo'lmagan o'zgarishi bit-smenali xarita va m = 2 ishi chodir xaritasi.

Xaritaning xususiyatlari

Xulq-atvorga bog'liq r

Quyidagi rasmda ba'zi logistik xaritalarning amplituda va chastota tarkibi 2 dan 4 gacha bo'lgan parametr qiymatlari uchun takrorlanganligini ko'rsatadi.

Parametrni o'zgartirish orqali r, quyidagi xatti-harakatlar kuzatiladi:

Funktsiyasi sifatida har xil boshlang'ich sharoitlarning evolyutsiyasi r

• Bilan r 0 dan 1 gacha bo'lgan davrda, aholi birinchi populyatsiyadan mustaqil ravishda o'ladi.
• Bilan r o'rtasida 1 va 2, aholi tez qiymati yaqinlashadi r − 1/r, boshlang'ich populyatsiyadan mustaqil.
• Bilan r o'rtasida 2 va 3, aholi ham oxir-oqibat bir xil qiymatga yaqinlashadi r − 1/r, lekin avval bu qiymat atrofida bir muncha vaqt o'zgarib turadi. The konvergentsiya darajasi tashqari, chiziqli r = 3, u keskin sekin bo'lsa, chiziqli emas (qarang.) Bifurkatsiya xotirasi ).
• Bilan r 3 dan 1 + gacha√6 44 3.44949, dan deyarli barchasi boshlang'ich sharoitida populyatsiya ikki qiymat o'rtasida doimiy tebranishlarga yaqinlashadi. Ushbu ikkita qiymat bog'liqdir r.
• Bilan r 3.44949 va 3.54409 (taxminan) oralig'ida, deyarli barcha dastlabki holatlardan boshlab, aholi to'rtta qiymat orasida doimiy tebranishlarga yaqinlashadi. Oxirgi raqam 12-darajali polinomning (ketma-ketlikning) ildizi A086181 ichida OEIS ).
• Bilan r 3.54409 dan oshib, deyarli barcha dastlabki sharoitlardan kelib chiqqan holda, aholi 8 ta qiymatlar orasidagi tebranishlarga yaqinlashadi, so'ngra 16, 32 va hokazo. Ma'lum uzunlikdagi tebranishlarni beradigan parametr intervallarining uzunligi tezda pasayadi; ketma-ket bifurkatsiya oralig'ining uzunliklari orasidagi nisbat yaqinlashadi Feygenbaum doimiy δ ≈ 4.66920. Ushbu xatti-harakatlar a davrni ikki baravar oshiruvchi kaskad.
• Da r ≈ 3.56995 (ketma-ketlik A098587 ichida OEIS ) davri ikki baravar ko'payadigan kaskad oxirida, tartibsizlik boshlanishi. Deyarli barcha dastlabki shartlardan endi biz cheklangan davr tebranishini ko'rmayapmiz. Dastlabki populyatsiyadagi ozgina farqlar vaqt o'tishi bilan keskin farqli natijalarni beradi, bu betartiblikning asosiy xususiyati.
• Eng qiymatlari r 3.56995 dan tashqari xaotik xatti-harakatlar mavjud, ammo hanuzgacha ma'lum bir izolyatsiya qilingan oraliqlar mavjud r xaotik bo'lmagan xatti-harakatlarni ko'rsatadigan; ba'zan ularni chaqirishadi barqarorlik orollari. Masalan, 1 + dan boshlang√8^[3] (taxminan 3.82843) bir qator parametrlar mavjud r uchta qiymat orasida tebranishni ko'rsatadigan va ning biroz yuqoriroq qiymatlari uchun r 6 qiymatlar orasidagi tebranish, keyin 12 va boshqalar.
• Parametr sifatida logistik ketma-ketlikning xaotik xatti-harakatining rivojlanishi r taxminan 3.56995 dan 3.82843 gacha o'zgarib turadi, ba'zan Pomeu-Mannevil ssenariysi, aperiodik xatti-harakatlarning portlashlari bilan to'xtatilgan davriy (laminar) faza bilan tavsiflanadi. Bunday stsenariy yarimo'tkazgichli qurilmalarda qo'llaniladi.^[4] 5 qiymat va boshqalar orasida tebranish hosil qiladigan boshqa diapazonlar mavjud; barcha tebranish davrlari ning ba'zi qiymatlari uchun sodir bo'ladi r. A vaqtni ikki baravar oshiradigan oyna parametr bilan v qatoridir r- subranglarning ketma-ketligidan iborat qiymatlar. The kth subrange qiymatlarini o'z ichiga oladi r buning uchun davrning barqaror tsikli (birlik o'lchovining dastlabki nuqtalari to'plamini jalb qiladigan tsikl) mavjud 2^kv. Ushbu pastki qatorlarning ketma-ketligi a deb nomlanadi harmonikalar kaskadi.^[5] Davrning barqaror tsikli bo'lgan pastki diapazonda 2^k*v, davrning beqaror davrlari mavjud 2^kv Barcha uchun k < k*. The r pastki diapazonlarning cheksiz ketma-ketligi oxiridagi qiymat to'planish nuqtasi harmonikalar kaskadining Sifatida r ko'tariladi, har xil oynalar ketma-ketligi bor v qiymatlar. Birinchisi v = 1; toq ishtirok etgan barcha keyingi oynalar v ning kamayish tartibida sodir bo'ladi v o'zboshimchalik bilan katta bilan boshlanadi v.^[5][6]
• Chetdan r = 4, deyarli barcha dastlabki qiymatlar oxir-oqibat intervalni tark etadi [0,1] va ajralib chiqish.

Ning har qanday qiymati uchun r ko'pi bilan bitta barqaror tsikl mavjud. Agar barqaror tsikl mavjud bo'lsa, u butun dunyo bo'ylab barqaror bo'lib, deyarli barcha nuqtalarni o'ziga jalb qiladi.^[7]:13 Ning ba'zi qiymatlari r ba'zi davrlarning barqaror tsikli bilan har xil davrlarning cheksiz ko'p beqaror tsikllari mavjud.

The bifurkatsiya diagrammasi o'ng tomonda buni qisqacha bayon qiladi. Gorizontal o'qda parametrning mumkin bo'lgan qiymatlari ko'rsatilgan r vertikal o'qi esa qiymatlar to'plamini ko'rsatadi x logistik tenglamaning takrorlanishi bilan deyarli barcha dastlabki shartlardan asimptotik ravishda tashrif buyurgan r qiymat.

Bifurkatsiya diagrammasi logistika xaritasi uchun. The jalb qiluvchi parametrning istalgan qiymati uchun r vertikal chiziqda ko'rsatilgan r.

Bifurkatsiya diagrammasi a o'ziga o'xshash: agar biz yuqorida ko'rsatilgan qiymatni kattalashtirsak r ≈ 3.82843 va uchta qo'lning bir qo'liga e'tibor bering, yaqin atrofdagi vaziyat butun diagrammaning kichraytirilgan va biroz buzilgan versiyasiga o'xshaydi. Xuddi shu narsa boshqa barcha betartib bo'lmagan fikrlar uchun ham amal qiladi. Bu o'rtasidagi chuqur va hamma joyda aloqaning namunasidir tartibsizlik va fraktallar.

Xaritaning tartibsiz mintaqasini kattalashtirish.

Xaotik mintaqadagi barqaror mintaqalar.

Xaos va logistika xaritasi

Ikki va uch o'lchovli Puankare fitnalari logistik xaritaning cho'ziluvchan va katlanadigan tuzilishini ko'rsating

A o'rgimchak to'ri diagrammasi ning aksariyat qiymatlari uchun xaotik xatti-harakatlarni ko'rsatadigan logistik xaritaning r > 3.57

Logistika funktsiyasi f (ko'k) va uning takrorlangan versiyalari f², f³, f⁴ va f⁵ uchun r = 3.5. Masalan, gorizontal o'qdagi har qanday boshlang'ich qiymat uchun f⁴ keyin takrorlanadigan to'rtta takrorlash qiymatini beradi.

Logistik xaritaning nisbiy soddaligi uni betartiblik tushunchasini ko'rib chiqishda keng foydalaniladigan nuqtaga aylantiradi. Xaosning aniq ta'rifi shundan iboratki, xaotik tizimlar dastlabki sharoitlarga nisbatan yuqori sezgirlikni namoyon etadi - aksariyat qiymatlar uchun logistika xaritasi xususiyati. r taxminan 3.57 dan 4 gacha (yuqorida aytib o'tilganidek).^[1] Dastlabki sharoitlarga nisbatan bunday sezgirlikning umumiy manbai shundaki, xarita u aniqlangan maydonni takroriy katlama va cho'zishni anglatadi. Logistika xaritasi holatida kvadratik farq tenglamasi buni ta'riflash intervalda cho'zish va katlama operatsiyasi deb qarash mumkin (0,1).^[8]

Quyidagi rasmda xaritaning takrorlanadigan ketma-ketligi bo'yicha cho'zish va katlama tasvirlangan. Shakl (a), chapda, ikki o'lchovli ko'rsatilgan Puankare fitnasi logistika xaritasi davlat maydoni uchun r = 4va farq tenglamasining kvadratik egri chizig'ini aniq ko'rsatib beradi (1). Biroq, biz qila olamiz joylashtirilgan xaritaning chuqurroq tuzilishini o'rganish uchun uch o'lchovli holat oralig'ida bir xil ketma-ketlik. Shakl (b), o'ng tomonda, dastlab, avvalo, ushbu mintaqalarda yaqin nuqtalar qanday farqlanishini ko'rsatib turibdi x_t uchastkaning tik qismlariga mos keladi.

Ushbu cho'zish va katlama nafaqat iteratlarning ketma-ketliklarining asta-sekinlik bilan ajralib turishini, balki eksponentli divergentsiyani keltirib chiqaradi (qarang Lyapunov eksponentlari ) tomonidan tasdiqlangan murakkablik va oldindan aytib bo'lmaydiganlik tartibsiz logistika xaritasi. Darhaqiqat, takroriy ketma-ketliklarning eksponensial divergensiyasi betartiblik va oldindan aytib bo'lmaydiganlik o'rtasidagi bog'liqlikni tushuntiradi: tizimning taxminiy boshlang'ich holatidagi kichik xato keyinchalik uning evolyutsiyasidagi katta xatoga mos keladi. Demak, kelajakdagi davlatlar haqidagi bashoratlar tobora kuchayib boradi (haqiqatan ham, eksponent sifatida ) boshlang'ich holat haqidagi bilimimizdagi juda kichik xatolar bo'lsa ham yomonroq. Kutilmagan va aniq tasodifiylikning bu sifati logistik xarita tenglamasini a sifatida ishlatilishiga olib keldi psevdo-tasodifiy sonlar generatori dastlabki kompyuterlarda.^[8]

Xarita haqiqiy sonlar qatoridagi interval bilan chegaralanganligi sababli uning o'lchamlari birlikdan kam yoki tengdir. Raqamli hisob-kitoblar a korrelyatsion o'lchov ning 0.500±0.005 (Grassberger, 1983), a Hausdorff o'lchovi taxminan 0,538 (Grassberger 1981) va an axborot o'lchovi taxminan 0,5170976 (Grassberger 1983) uchun r ≈ 3.5699456 (betartiblikning boshlanishi). Izoh: Korrelyatsiya o'lchovi, albatta, 0.4926 va 0.5024 orasida ekanligini ko'rsatishi mumkin.

Biroq, ko'pincha aniq va aniq bayonotlar qilish mumkin ehtimollik tartibsiz tizimdagi kelajakdagi davlatning. Agar (ehtimol xaotik) dinamik tizim bor jalb qiluvchi, keyin mavjud a ehtimollik o'lchovi bu attraksionning turli mintaqalarida tizim tomonidan sarf qilingan vaqtning uzoq muddatli ulushini beradi. Parametrli logistik xaritada r = 4 va boshlang'ich holati (0,1), attraktor ham intervaldir (0,1) va ehtimollik o'lchovi ga mos keladi beta-tarqatish parametrlari bilan a = 0.5 va b = 0.5. Xususan,^[9] o'zgarmas o'lchov

${displaystyle {frac {1} {pi {sqrt {x (1-x)}}}}.}$

Kutilmaganlik tasodifiy emas, lekin ba'zi holatlarda bunga juda o'xshaydi. Demak, va xayriyatki, logistik xaritaning (yoki boshqa biron bir xaotik tizimning) dastlabki holati to'g'risida juda kam ma'lumotga ega bo'lsak ham, biz o'zboshimchalik bilan kelajakka qadar davlatlarning tarqalishi haqida biron bir narsa aytishimiz va ushbu bilimlardan xabardor bo'lish uchun foydalanishimiz mumkin qarorlar tizimning holatiga asoslangan.

Xaritaning maxsus holatlari

Yuqori chegara qachon 0 ≤ r ≤ 1

Qayta tiklanish munosabatlarining aniq echimlari faqat ozgina hollarda mavjud bo'lsa-da, logistik xaritada yopiq shaklda yuqori chegara ma'lum bo'lganda 0 ≤ r ≤ 1.^[10] Logistika xaritasi xulq-atvorining ushbu rejimda yuqori chegarani egallashi kerak bo'lgan ikkita jihati bor: doimiy ravishda asimptotik geometrik parchalanish rva qachon tez boshlang'ich parchalanishi x₀ tomonidan boshqariladigan 1 ga yaqin (1 − x_n) takrorlanish munosabatlaridagi muddat. Quyidagi chiziq ushbu ikkala effektni ham qamrab oladi:

${displaystyle forall nin {0,1, ldots} quad {ext {and}} quad x_ {0}, rin [0,1], quad x_ {n} leq {frac {x_ {0}} {r ^ {- n} + x_ {0} n}}.}$

Qaror qachon r = 4

Maxsus holat r = 4 aslida bo'lgani kabi aniq hal qilinishi mumkin r = 2;^[11] ammo, umumiy holatni faqat statistik taxmin qilish mumkin.^[12] Qaror qachon r = 4 bu,^[11][13]

${displaystyle x_ {n} = sin ^ {2} chap (2 ^ {n} heta pi ight),}$

bu erda dastlabki shart parametr θ tomonidan berilgan

${displaystyle heta = {frac {1} {pi}} sin ^ {- 1} chap ({sqrt {x_ {0}}} ight).}$

Ratsional uchun θ, cheklangan sonli takrorlashdan keyin x_n davriy ketma-ketlikka xaritalar. Ammo deyarli barchasi θ mantiqsiz va mantiqsizdir θ, x_n hech qachon o'zini takrorlamaydi - bu davriy emas. Ushbu yechim tenglamasi betartiblikning ikkita asosiy xususiyatini - cho'zish va katlamani aniq namoyish etadi: omil 2ⁿ cho'zishning eksponent o'sishini ko'rsatadi, natijada dastlabki shartlarga sezgir bog'liqlik, kvadratik sinus funktsiyasi saqlanib qoladi x_n oralig'ida katlanmış [0,1].

Uchun r = 4 trigonometrik funktsiyalar o'rniga kompleks sonlar bo'yicha ekvivalent echim^[14]

${displaystyle x_ {n} = {frac {-alpha ^ {2 ^ {n}} - alfa ^ {- 2 ^ {n}} + 2} {4}}}$

qayerda a bu murakkab sonlardan biri

${displaystyle alfa = 1-2x_ {0} pm {sqrt {chap (1-2x_ {0} ight) ^ {2} -1}}}$

bilan modul 1 ga teng. Trigonometrik eritmadagi kvadratik sinus funktsiyasi tashrif buyurgan nuqtalar to'plamining qisqarishiga ham, kengayishiga ham olib kelmagani kabi, keyingi echimda bu effekt birlik moduli tomonidan amalga oshiriladi. a.

Aksincha, qachon r = 2 bu^[14]

${displaystyle x_ {n} = {frac {1} {2}} - {frac {1} {2}} chap (1-2x_ {0} ight) ^ {2 ^ {n}}}$

uchun x₀ ∈ [0,1). Beri (1 − 2x₀) ∈ (−1,1) ning har qanday qiymati uchun x₀ beqaror sobit nuqtadan tashqari 0, atama (1 − 2x₀)²ⁿ 0 ga boradi n cheksizlikka boradi, shuning uchun x_n barqaror sobit nuqtaga o'tadi 1/2.

Istalgan uzunlikdagi tsikllarni qachon topish r = 4

Uchun r = 4 deyarli barcha boshlang'ich shartlardan takrorlanadigan ketma-ketlik xaotikdir. Shunga qaramay, tsikllarga olib keladigan cheksiz ko'p boshlang'ich shartlar mavjud va haqiqatan ham uzunlik tsikllari mavjud k uchun barchasi butun sonlar k ≥ 1. Logistika xaritasi bilan bog'liqligidan foydalanishimiz mumkin dyadik transformatsiya (shuningdek,. nomi bilan ham tanilgan bit-smenali xarita) istalgan uzunlikdagi tsikllarni topish. Agar x logistik xaritaga amal qiladi x_{n + 1} = 4x_n(1 − x_n) va y quyidagicha dyadik transformatsiya

${displaystyle y_ {n + 1} = {egin {case} 2y_ {n} & 0leq y_ {n} <{frac {1} {2}} 2y_ {n} -1 & {frac {1} {2}} leq y_ {n} <1, end {case}}}$

keyin ikkalasi a bilan bog'liq gomeomorfizm

${displaystyle x_ {n} = sin ^ {2} chap (2pi y_ {n} ight).}$

Dyadik konvertatsiya bit-smenali xarita deb ham nomlanishining sababi shundan iboratki y ikkilik yozuvda yozilgan, xarita ikkilik nuqtani bir joyga o'ngga siljitadi (va agar ikkilik nuqtaning chap qismidagi bit "1" ga aylangan bo'lsa, bu "1" "0" ga o'zgartiriladi). Masalan, 3 uzunlikdagi tsikl, agar takrorlash o'zining ikkilik kengayishida 3-bit takrorlanadigan ketma-ketlikka ega bo'lsa (u ham bir bitlik takrorlanadigan ketma-ketlik emas): 001, 010, 100, 110, 101 yoki 011. Takrorlash 001001001… xaritalarni 010010010 ... ga, xaritalarni 100100100 ... ga, ular o'z navbatida asl 001001001 ... ga o'zgartiradi; shuning uchun bu bit siljish xaritasining 3 tsikli. Va qolgan uchta ikkitomonlama kengayishning takrorlanadigan ketma-ketliklari 3 tsiklni 110110110… → 101101101… → 011011011… → 110110110 ni beradi.… Ushbu 3 tsiklning har ikkala qismini kasr shakliga o'tkazish mumkin: masalan, birinchi berilgan 3 tsikl sifatida yozilishi kerak 1/7 → 2/7 → 4/7 → 1/7. Yuqoridagi tarjimadan bit-shift xaritasidan ${displaystyle r = 4}$ logistik xarita tegishli logistik tsiklni beradi 0.611260467… → 0.950484434… → 0.188255099… → 0.611260467.… Biz xuddi shunday boshqa bit-smenali 3 tsiklni tegishli logistik tsiklga aylantira olamiz. Xuddi shunday, har qanday uzunlikdagi tsikllar k bit-shift xaritasida topish mumkin va keyin tegishli logistik tsikllarga tarjima qilingan.

Biroq, deyarli barcha raqamlar mavjud [0,1) mantiqsiz, bit-siljish xaritasining deyarli barcha dastlabki shartlari tartibsizlikning davriyligiga olib keladi. Bu logistikani ko'rishning bir usuli r = 4 xarita deyarli barcha dastlabki holatlar uchun tartibsizdir.

(Minimal) uzunlikdagi tsikllar soni k = 1, 2, 3,… bilan logistika xaritasi uchun r = 4 (chodir xaritasi bilan m = 2) - ma'lum bo'lgan butun ketma-ketlik (ketma-ketlik) A001037 ichida OEIS ): 2, 1, 2, 3, 6, 9, 18, 30, 56, 99, 186, 335, 630, 1161…. Bu bizga logistika xaritasi r = 4 2 sobit nuqtaga ega, 2 uzunlikdagi 1 tsikl, 3 uzunlikdagi 2 tsikl va boshqalar. Ushbu ketma-ketlik asosan sodda shaklga ega k: 2 ⋅ 2^{k − 1} − 1/k. Masalan: 2 ⋅2^{13 − 1} − 1/13 = 630 - bu 13 uzunlikdagi tsikllar soni. Logistik xaritaning bu holati deyarli barcha boshlang'ich sharoitlar uchun tartibsiz bo'lganligi sababli, bu cheklangan uzunlikdagi tsikllarning barchasi beqaror.

Tegishli tushunchalar

Feigenbaum 1-o'lchovli xaritalarning universalligi

Parabolik maksimal va bir o'lchovli xaritalarning universalligi Feygenbaum doimiylari ${displaystyle delta = 4.669201 ...}$,${displaystyle alfa = 2.502907 ...}$ ^{[15] [16]} diskret lazer dinamikasi uchun o'yinchoq modeli sifatida taklif qilingan xarita bilan yaxshi ko'rinadi: ${displaystyle xightarrow Gx (1- anh (x))}$, qayerda ${displaystyle x}$ elektr maydon amplitudasini anglatadi, ${displaystyle G}$^[17] bifurkatsiya parametri sifatida lazerning ko'payishi.

Bifurkatsiya diagrammasi giperbolik tangens xaritasi uchun. Bu o'ziga o'xshash bifurkatsiya parametrining kengroq diapazonida G. Bu yana hamma joyda bog'lanishdir tartibsizlik va fraktallar.

Ning asta-sekin o'sishi ${displaystyle G}$ oraliqda ${displaystyle [0, yaroqsiz]}$ dinamikani tartibsizdan xaotikga o'zgartiradi ^[18] sifat jihatidan bir xil bifurkatsiya diagrammasi logistik xaritada bo'lgani kabi.

Shuningdek qarang

• Logistika funktsiyasi, logistika xaritasining doimiy hamkorining echimi: the Logistik differentsial tenglama.
• Lyapunov barqarorligi # Diskret vaqt tizimlari uchun ta'rif
• Maltuziya o'sish modeli
• Murakkab kvadratik xaritalarning davriy nuqtalari, shulardan logistika xaritasi haqiqiy chiziq bilan chegaralangan maxsus holat
• Radial asosli funktsiya tarmog'i, bu logistik xarita uchun teskari muammoni aks ettiradi.
• Shreder tenglamasi
• Qattiq tenglama

Izohlar

Adabiyotlar

• Grassberger, P.; Procaccia, I. (1983). "G'alati attraktorlarning g'aroyibligini o'lchash". Fizika D.. 9 (1–2): 189–208. Bibcode:1983 yil PhyD .... 9..189G. doi:10.1016/0167-2789(83)90298-1.
• Grassberger, P. (1981). "Fraktal attraktorlarning Hausdorff o'lchovi to'g'risida". Statistik fizika jurnali. 26 (1): 173–179. Bibcode:1981JSP .... 26..173G. doi:10.1007 / BF01106792. S2CID  119833080.
• Sprott, Julien Klinton (2003). Xaos va vaqt seriyasini tahlil qilish. Oksford universiteti matbuoti. ISBN  978-0-19-850840-3.
• Strogatz, Stiven (2000). Lineer bo'lmagan dinamikalar va betartiblik. Perseus nashriyoti. ISBN  978-0-7382-0453-6.
• Tufillaro, Nikolay; Ebbott, Tayler; Reilly, Eremiyo (1992). Lineer bo'lmagan dinamikaga va betartiblikka eksperimental yondashuv. Addison-Uesli, Nyu-York. ISBN  978-0-201-55441-0.

Tashqi havolalar

• Logistik xarita. Logistik xaritani kompyuterning interaktiv simulyatsiyasi mavjud.
• Xaos gipermatnli kitobi. Xaos va fraktallar haqida boshlang'ich primer.
• Interfaol logistik xarita Java-da takrorlash va bifurkatsiya diagrammasi bilan.
• Interfaol logistik xarita sobit fikrlarni ko'rsatish.
• Logistik xarita va betartiblik Elmer G. Wiens tomonidan
• Murakkablik va tartibsizlik (audiokitob) Rojer Uayt tomonidan. 5-bob Logistik tenglamani o'z ichiga oladi.
• "Takrorlangan xaritalar tarixi, "ichida Ilmning yangi turi tomonidan Stiven Volfram. Champaign, IL: Wolfram Media, p. 918, 2002 yil.
• P. Tsvitanovich tomonidan "Ikki marta ko'payishdagi universallikning juda qisqa tarixi"
• P. Kvitanovichning "Umumjahon funktsiyalarning unchalik qisqa bo'lmagan tarixi"
• Diskret logistik tenglama Marek Bodnar tomonidan Fil Ramsdenning ishidan so'ng, Wolfram namoyishlari loyihasi.
• 2 ta logistik xaritaning multiplikatsion birikmasi Ed Pegg Jr ishidan keyin C. Pellicer-Lostao va R. Lopez-Ruis tomonidan, Wolfram namoyishlari loyihasi.
• Diskret logistik tenglamani tekshirish uchun SAGE dan foydalanish