Maki-Shisha tenglamalari - Mackey-Glass equations

Yilda matematika va matematik biologiya, Maki-Shisha tenglamalarinomi bilan nomlangan Maykl Macki va Leon Shisha, oilasiga murojaat qiling differentsial tenglamalarni kechiktirish uning xulq-atvori, tenglama parametrlari bilan boshqariladigan ba'zi biologik sharoitlarda sog'lom va patologik xatti-harakatlarni taqlid qilishga qodir.^[1] Dastlab, ular etuklarning nisbiy miqdoridagi o'zgarishni modellashtirish uchun ishlatilgan hujayralar qonda. Tenglamalar quyidagicha aniqlanadi:^[1][2]

${ displaystyle { frac {dP (t)} {dt}} = { frac { beta _ {0} theta ^ {n}} { theta ^ {n} + P (t- tau) ^ {n}}} - gamma P (t)}$

(1-tenglama)

va

${ displaystyle { frac {dP (t)} {dt}} = { frac { beta _ {0} theta ^ {n} P (t- tau)} { theta ^ {n} + P (t- tau) ^ {n}}} - gamma P (t)}$

(2-tenglama)

qayerda ${ displaystyle P (t)}$ vaqt o'tishi bilan hujayralar zichligini ifodalaydi va ${ displaystyle beta _ {0}, theta, n, tau, gamma}$ tenglamalarning parametrlari.

Tenglama (2), xususan, e'tiborga loyiqdir dinamik tizimlar chunki bu natijaga olib kelishi mumkin tartibsiz attraktorlar turli o'lchamlari bilan.^[3]

Kirish

Mackey-Glass tenglamalaridan hosil bo'lgan vaqt seriyasi. Buni qon hujayralari zichligining sog'lom o'zgarishini modellashtirish sifatida ko'rish mumkin. Bu yerda, ${ displaystyle tau = 6}$.

Shuningdek, Mackey-Glass tenglamalaridan hosil bo'lgan, ammo hozirgi vaqtda patologik qon hujayralari zichligi o'zgarishi sifatida qaralishi mumkin. Bu yerda, ${ displaystyle tau = 22}$.

U erda juda ko'p son mavjud fiziologik tizimlar ba'zi subkomponentlarining davriy xatti-harakatlarini o'z ichiga olgan yoki ularga ishonadigan tizim.^[4] Masalan, ko'pchilik gomeostatik jarayonlar tayanib salbiy teskari aloqa qondagi moddalar kontsentratsiyasini nazorat qilish; nafas olish Masalan, miyada CO ning yuqori miqdorini aniqlash yordam beradi₂ qonda konsentratsiya.^[5] Bunday tizimlarni matematik tarzda modellashtirish usullaridan biri quyidagilar oddiy differentsial tenglama:

${ displaystyle y '(t) = k-cy (t)}$

qayerda ${ displaystyle k}$ bu "modda" ishlab chiqarish tezligi va ${ displaystyle c}$ moddaning hozirgi darajasini qanday nazorat qiladi tushkunlikka soladi uni ishlab chiqarishni davom ettirish. Ushbu tenglamaning echimlarini an orqali topish mumkin birlashtiruvchi omil va quyidagi shaklga ega:

${ displaystyle y (t) = { frac {k} {c}} + f (y_ {0}) e ^ {- cy}}$

qayerda ${ displaystyle y_ {0}}$ uchun har qanday boshlang'ich shartdir boshlang'ich qiymat muammosi.

Biroq, yuqorida keltirilgan model, modda kontsentratsiyasining o'zgarishi darhol aniqlanadi, deb taxmin qiladi, bu ko'pincha fiziologik tizimlarda bo'lmaydi. Ushbu muammoni engillashtirish uchun, Macki, M.C. & Glass, L. (1977) ishlab chiqarish tezligini funktsiyaga o'zgartirishni taklif qildi ${ displaystyle k (y (t- tau))}$ oldingi nuqtadagi konsentratsiyaning ${ displaystyle t- tau}$ Vaqt o'tishi bilan, bu oldinroq sezilarli kechikish borligini yaxshiroq aks ettiradi degan umidda ilik qonda kam hujayra kontsentratsiyasini aniqlagandan so'ng, qondagi etuk hujayralarni ishlab chiqaradi va chiqaradi.^[6] Ishlab chiqarish stavkasini hisobga olgan holda ${ displaystyle k}$ mavjud bo'lib:

${ displaystyle { frac { beta _ {0} theta ^ {n}} { theta ^ {n} + P (t- tau) ^ {n}}} ~ ~ { text {or}} ~~ { frac { beta _ {0} theta ^ {n} P (t- tau)} {{theta ^ {n} + P (t- tau) ^ {n}}}}$

biz tenglamalarni olamiz (1) va (2) navbati bilan. Tomonidan ishlatiladigan qiymatlar Macki, M.C. & Glass, L. (1977) edi ${ displaystyle gamma = 0.1}$, ${ displaystyle beta _ {0} = 0.2}$ va ${ displaystyle n = 10}$, dastlabki shart bilan ${ displaystyle P (0) = 0.1}$. Ning qiymati ${ displaystyle theta}$ Tenglama dinamikasini tahlil qilish uchun ahamiyatli emas (2), beri o'zgaruvchining o'zgarishi ${ displaystyle P (t) = theta cdot Q (t)}$ tenglamani quyidagicha kamaytiradi:

${ displaystyle Q '(t) = { frac { beta _ {0} Q (t- tau)} {1 + Q (t- tau) ^ {n}}} - gamma Q (t) .}$

Shu sababli, ushbu nuqtai nazardan, fitnalar ko'pincha joylashadi ${ displaystyle Q (t) = P (t) / theta}$ ichida ${ displaystyle y}$-aksis.

Dinamik xatti-harakatlar

Parametrning har xil qiymatlari uchun Mackey-Glass Attractors ${ displaystyle tau}$

Tenglama echimlarining xatti-harakatlarini qachon o'rganish qiziq ${ displaystyle tau}$ turli xil, chunki u fiziologik tizim tomonidan moddaning kontsentratsiyasining o'zgarishiga ta'sir qilish vaqtini anglatadi. Ushbu kechikishning oshishiga a sabab bo'lishi mumkin patologiya bu o'z navbatida Makki-Shisha tenglamalari uchun xaotik echimlarni keltirib chiqarishi mumkin, ayniqsa Tenglama (2). Qachon ${ displaystyle tau = 6}$, biz "sog'lom" xatti-harakatni tavsiflovchi sifatida ko'rib chiqilishi mumkin bo'lgan juda muntazam davriy echimni olamiz; boshqa tomondan, qachon ${ displaystyle tau = 22}$ yechim ancha tartibsiz bo'ladi.

Maki-Shisha jalb qiluvchi juftlarni chizish orqali ingl ${ displaystyle (P (t), P (t- tau), P (t-2 tau))}$.^[2] Bu biroz oqlanadi, chunki differentsial tenglamalarni kechiktirish (ba'zan) ning tizimiga tushirilishi mumkin oddiy differentsial tenglamalar, shuningdek, ular taxminan cheksiz o'lchovli bo'lgani uchun xaritalar.^[3][7]

Adabiyotlar

Shuningdek qarang

• Sirkadiyalik ritm
• Sirkadiyalik osilator
• Asabiy tebranish