Topologik konjugatsiya - Topological conjugacy

Yilda matematika, ikkitasi funktsiyalari deb aytilgan topologik jihatdan konjuge agar bir-biriga mavjud a gomeomorfizm bu boshqasini birlashtiradigan narsa. Topologik konjugatsiya o'rganishda muhim ahamiyatga ega takrorlanadigan funktsiyalar va umuman olganda dinamik tizimlar Agar bitta takrorlanadigan funktsiya dinamikasini echish mumkin bo'lsa, unda har qanday topologik konjugat funktsiyalari ahamiyatsiz bo'ladi.

Buni to'g'ridan-to'g'ri ko'rsatish uchun: taxmin qiling ${displaystyle f}$ va ${displaystyle g}$ takrorlanadigan funktsiyalar bo'lib, gomomorfizm mavjud ${displaystyle h}$ shu kabi

${displaystyle g = h ^ {- 1} circ fcirc h,}$

Shuning uchun; ... uchun; ... natijasida ${displaystyle f}$ va ${displaystyle g}$ topologik jihatdan konjuge. Unda bo'lishi kerak

${displaystyle g ^ {n} = h ^ {- 1} circ f ^ {n} circ h,}$

va shuning uchun takrorlanadigan tizimlar topologik jihatdan ham konjugatdir. Bu yerda, ${displaystyle circ}$ bildiradi funktsiya tarkibi.

Ta'rif

${displaystyle fcolon X o X, gcolon Y o Y}$va ${displaystyle hcolon Y o X}$ bor doimiy funktsiyalar kuni topologik bo'shliqlar, ${displaystyle X}$ va ${displaystyle Y}$.

${displaystyle f}$ bo'lish topologik jihatdan yarim konjugat ga ${displaystyle g}$ ta'rifi bo'yicha shuni anglatadi ${displaystyle h}$ a qarshi chiqish shu kabi ${displaystyle fcirc h = hcirc g}$.

${displaystyle f}$ va ${displaystyle g}$ bo'lish topologik jihatdan konjuge ta'rifi bo'yicha ular ekanligini anglatadi topologik jihatdan yarim konjugat va ${displaystyle h}$ bundan tashqari in'ektsion, keyin ikki tomonlama va uning teskari bu davomiy ham; ya'ni ${displaystyle h}$ a gomeomorfizm; yanada, ${displaystyle h}$ deb nomlanadi a topologik konjugatsiya o'rtasida ${displaystyle f}$ va ${displaystyle g}$.

Oqimlar

Xuddi shunday, ${displaystyle phi}$ kuni ${displaystyle X}$va ${displaystyle psi}$ kuni ${displaystyle Y}$ bor oqimlar, bilan ${displaystyle X, Y}$va ${displaystyle hcolon Y o X}$ yuqoridagi kabi.

${displaystyle phi}$ bo'lish topologik jihatdan yarim konjugat ga ${displaystyle psi}$ ta'rifi bo'yicha shuni anglatadi ${displaystyle h}$ a qarshi chiqish shu kabi ${displaystyle phi (h (y), t) = hcirc psi (y, t)}$, har biriga ${displaystyle yin Y}$, ${displaystyle qalay mathbb {R}}$.

${displaystyle phi}$ va ${displaystyle psi}$ bo'lish topologik jihatdan konjuge ta'rifi bo'yicha ular ekanligini anglatadi topologik jihatdan yarim konjugat va h gomomorfizmdir.

Misollar

• The logistika xaritasi va chodir xaritasi topologik jihatdan konjuge.^[1]
• Birlikning balandligi va ning logistik xaritasi Bernulli xaritasi topologik jihatdan konjuge.^{[iqtibos kerak ]}
• Parametr maydonidagi ma'lum qiymatlar uchun Hénon xaritasi Julia to'plami bilan cheklangan bo'lsa, ikkita belgida ikki tomonlama ketma-ketliklar oralig'idagi siljish xaritasiga topologik jihatdan konjugat yoki yarim konjuge bo'ladi.^[2]

Munozara

Topologik konjugatsiya - yarim konjugatsiyadan farqli o'laroq, an-ni belgilaydi ekvivalentlik munosabati topologik makonning barcha uzluksiz sur'atlari oralig'ida, e'lon qilish orqali ${displaystyle f}$ va ${displaystyle g}$ agar ular topologik jihatdan konjuge bo'lsa, qarindosh bo'lish. Ushbu ekvivalentlik munosabati nazariyasida juda foydali dinamik tizimlar, chunki har bir sinf topologik nuqtai nazardan bir xil dinamikaga ega bo'lgan barcha funktsiyalarni o'z ichiga oladi. Masalan, orbitalar ning ${displaystyle g}$ ning homomorfik orbitalari bilan tasvirlangan ${displaystyle f}$ kelishik orqali. Yozish ${displaystyle g = h ^ {- 1} circ fcirc h}$ bu haqiqatni aniq ko'rsatib turibdi: ${displaystyle g ^ {n} = h ^ {- 1} aylana f ^ {n} aylanma h}$. Norasmiy ravishda aytganda, topologik konjugatsiya - bu topologik ma'noda "koordinatalarning o'zgarishi".

Biroq, oqimlarning o'xshash ta'rifi biroz cheklovga ega. Aslida biz xaritalarni talab qilmoqdamiz ${displaystyle varphi (cdot, t)}$ va ${displaystyle psi (cdot, t)}$ har biri uchun topologik jihatdan konjuge bo'lishi ${displaystyle t}$, bu shunchaki orbitalardan ko'proq narsani talab qiladi ${displaystyle phi}$ orbitalari bo'yicha xaritalash ${displaystyle psi}$ gomomorfik jihatdan Bu ta'rifini rag'batlantiradi topologik ekvivalentlik, shuningdek, barcha oqimlar to'plamini ajratadi ${displaystyle X}$ yana topologik nuqtai nazardan bir xil dinamikani taqsimlovchi oqim sinflariga.

Topologik ekvivalentlik

Biz ikkita oqim deymiz ${displaystyle phi}$ va ${displaystyle psi}$ bor topologik jihatdan teng, agar gomomorfizm bo'lsa ${displaystyle h: Y o X}$, orbitalarini xaritalash ${displaystyle psi}$ orbitalariga ${displaystyle phi}$ gomeomorfik va orbitalar yo'nalishini saqlab qolish. Boshqacha qilib aytganda, ruxsat berish ${displaystyle {mathcal {O}}}$ orbitani bildiradi, bittasi bor

${displaystyle h ({mathcal {O}} (y, psi)) = {hcirc psi (y, t): tin mathbb {R}} = {phi (h (y), t): qalay mathbb {R}} = {mathcal {O}} (h (y), phi)}$

har biriga ${displaystyle yin Y}$. Bundan tashqari, vaqt oqimini bir qatorga qo'yish kerak: har biri uchun ${displaystyle yin Y}$, mavjud a ${displaystyle delta> 0}$ shunday, agar ${displaystyle 0$va agar bo'lsa s shundaymi? ${displaystyle phi (h (y), s) = hcirc psi (y, t)}$, keyin ${displaystyle s> 0}$.

Umuman olganda, topologik ekvivalentlik topologik konjugatsiyaga qaraganda zaif ekvivalentlik mezonidir, chunki bu vaqtni orbitalar va ularning yo'nalishi bilan birga xaritada ko'rsatishni talab qilmaydi. Topologik jihatdan ekvivalent, ammo topologik jihatdan birlashtirilmagan tizimga misol sifatida yopiq orbitalari bo'lgan differentsial tenglamalarning ikki o'lchovli tizimlarining giperbolik bo'lmagan klassi keltiriladi. Orbitalar fazoviy ma'noda o'zaro to'qnashish uchun bir-biriga aylantirilishi mumkin bo'lsa-da, bunday tizimlarning davrlarini o'xshash taqqoslash mumkin emas, shuning uchun topologik ekvivalentlik mezonini qondirishda topologik konjugatsiya mezonini qondira olmaydi.

Yumshoq va orbital ekvivalentligi

Agar ekvivalentlik mezonlarini o'rganish mumkin bo'lsa, ${displaystyle phi}$ va ${displaystyle psi}$, differentsial tenglamalardan kelib chiqadi.

Diferensial tenglamalar bilan aniqlangan ikkita dinamik tizim, ${displaystyle {nuqta {x}} = f (x)}$ va ${displaystyle {nuqta {y}} = g (y)}$, deb aytilgan muammosiz teng agar mavjud bo'lsa diffeomorfizm, ${displaystyle h: X o Y}$, shu kabi

${displaystyle f (x) = M ^ {- 1} (x) g (h (x)) quad {ext {where}} quad M (x) = {frac {mathrm {d} h (x)} {mathrm {d} x}}.}$

Bunday holda dinamik tizimlar koordinatali transformatsiya orqali bir-biriga aylanishi mumkin, ${displaystyle y = h (x)}$.

Bilan belgilanadigan bir xil holat fazosidagi ikkita dinamik tizim ${displaystyle {nuqta {x}} = f (x)}$ va ${displaystyle {nuqta {x}} = g (x)}$, deb aytilgan orbital ravishda teng agar ijobiy funktsiya bo'lsa, ${displaystyle mu: X o mathbb {R}}$, shu kabi ${displaystyle g (x) = mu (x) f (x)}$. Orbital teng tizim faqat vaqtni parametrlash bilan farq qiladi.

Birgalikda yoki orbital ravishda teng bo'lgan tizimlar topologik jihatdan ham tengdir. Biroq, teskari emas. Masalan, shaklning ikki o'lchamidagi chiziqli tizimlarni ko'rib chiqing ${displaystyle {nuqta {x}} = Ax}$. Agar matritsa, ${displaystyle A}$, ikkita ijobiy haqiqiy qiymatga ega, tizim beqaror tugunga ega; agar matritsada ijobiy haqiqiy qismga ega ikkita murakkab qiymat bo'lsa, tizim beqaror fokusga (yoki spiralga) ega. Tugunlar va fokuslar topologik jihatdan teng, ammo orbital ravishda teng yoki silliq ekvivalent emas,^[3] chunki ularning o'ziga xos qiymatlari har xil (e'tibor bering, ikkita tengsiz tizimning yakobiyaliklari bo'lishi kerak o'xshash, shuning uchun ularning o'ziga xos qiymatlari, shuningdek algebraik va geometrik ko'paytmalar, teng bo'lishi kerak).

Dinamik topologik konjugatsiyaning umumlashtirilishi

Dinamik topologik konjugatsiya kontseptsiyasining ikkita kengaytmasi mavjud:

1. Izomorfik dinamik tizim sifatida ta'riflangan o'xshash tizimlar
2. Kategorik dinamikada qo'shma funktsiyalar va tabiiy ekvivalentlar orqali aniqlangan qo'shma dinamik tizimlar.^[4][5]

Shuningdek qarang

• Kommutativ diagramma

Adabiyotlar

Ushbu maqola topologik konjugatsiyadan olingan materiallarni o'z ichiga oladi PlanetMath, ostida litsenziyalangan Creative Commons Attribution / Share-Alike litsenziyasi.