Hisoblab bo‘lmaydigan to‘plam - Uncountable set

Yilda matematika, an sanab bo'lmaydigan to'plam (yoki behisob cheksiz to'plam)^[1] bu cheksiz to'plam juda ko'p narsani o'z ichiga oladi elementlar bolmoq hisoblanadigan. To'plamning hisoblanmasligi uning bilan chambarchas bog'liq asosiy raqam: agar uning asosiy raqami hamma to'plamidan kattaroq bo'lsa, to'plamni hisoblash mumkin emas natural sonlar.

Xarakteristikalar

Sanoqsizlikning ko'plab teng tavsiflari mavjud. To'plam X faqat quyidagi shartlardan biri mavjud bo'lganda hisoblab bo'lmaydi:

• Bu yerda yo'q in'ektsiya funktsiyasi (shuning uchun yo'q bijection ) dan X natural sonlar to'plamiga.
• X bo'sh emas va har bir ω- uchunketma-ketlik elementlari X, unga kiritilmagan X ning kamida bitta elementi mavjud. Anavi, X bo'sh emas va yo'q sur'ektiv funktsiya natural sonlardan to X.
• The kardinallik ning X na cheklangan, na teng ${displaystyle aleph _ {0}}$ (alef-null, ning kardinalligi natural sonlar ).
• To'plam X kardinalligi qat'iyan kattaroqdir ${displaystyle aleph _ {0}}$.

Ushbu tavsiflarning dastlabki uchtasida ekvivalenti isbotlanishi mumkin Zermelo-Fraenkel to'plamlari nazariyasi holda tanlov aksiomasi, ammo uchinchi va to'rtinchining ekvivalentligini qo'shimcha tanlov printsiplarisiz isbotlab bo'lmaydi.

Xususiyatlari

• Agar sanab bo'lmaydigan to'plam bo'lsa X to'plamning pastki qismi Y, keyin Y hisoblash mumkin emas.

Misollar

Hisoblanmaydigan to'plamning eng yaxshi ma'lum bo'lgan namunasi bu to'plamdir R hammasidan haqiqiy raqamlar; Kantorning diagonal argumenti ushbu to'plamni hisoblash mumkin emasligini ko'rsatadi. Diagonalizatsiyani isbotlash texnikasi, shuningdek, yana bir qancha to'plamlarni hisoblash mumkin emasligini ko'rsatish uchun ishlatilishi mumkin, masalan, barcha cheksizlar to'plami ketma-ketliklar ning natural sonlar va barchaning to'plami pastki to'plamlar natural sonlar to'plamining. Ning kardinalligi R ko'pincha doimiylikning kardinalligi, va bilan belgilanadi ${displaystyle {mathfrak {c}}}$,^[2] yoki ${displaystyle 2 ^ {aleph _ {0}}}$, yoki ${displaystyle eth _ {1}}$ (bet-one ).

The Kantor o'rnatilgan ning hisoblanmaydigan kichik to'plamidir R. Cantor to'plami a fraktal va bor Hausdorff o'lchovi noldan katta, lekin birdan kam (R o'lchovga ega). Bu quyidagi faktga misol: har qanday kichik to'plam R Hausdorff o'lchovining noldan kattaroqligini hisoblash mumkin emas.

Hisoblanmaydigan to'plamning yana bir misoli - bu barchaning to'plamidir funktsiyalari dan R ga R. Ushbu to'plam bundan ham "ko'proq hisoblanmaydi" R ushbu to'plamning asosiy kuchi ma'nosida ${displaystyle eth _ {2}}$ (bet-ikkinchi ) dan kattaroq ${displaystyle eth _ {1}}$.

Hisoblanmaydigan to'plamning yanada mavhum namunasi - bu hisoblanadiganlarning to'plami tartib raqamlari, Ω yoki ω bilan belgilanadi₁.^[1] $ Delta $ ning asosiy kuchi belgilanadi ${displaystyle aleph _ {1}}$ (alef-bir ). Yordamida ko'rsatilishi mumkin tanlov aksiomasi, bu ${displaystyle aleph _ {1}}$ bo'ladi eng kichik hisoblab bo'lmaydigan asosiy raqam. Shunday qilib ${displaystyle eth _ {1}}$, reallarning kardinalligi, ga teng ${displaystyle aleph _ {1}}$ yoki u juda katta. Jorj Kantor degan savolni birinchi bo'lib taklif qilgan ${displaystyle eth _ {1}}$ ga teng ${displaystyle aleph _ {1}}$. 1900 yilda, Devid Xilbert bu savolni birinchisi sifatida qo'ydi 23 muammo. Bu bayonot ${displaystyle aleph _ {1} = eth _ {1}}$ endi "deb nomlanadi doimiy gipoteza va -dan mustaqil ekanligi ma'lum Zermelo-Fraenkel aksiomalari uchun to'plam nazariyasi (shu jumladan tanlov aksiomasi ).

Tanlov aksiomasiz

Holda tanlov aksiomasi, mavjud bo'lgan asosiy xususiyatlar bo'lishi mumkin beqiyos ga ${displaystyle aleph _ {0}}$ (ya'ni. ning asosiy xususiyatlari Dedekind-cheklangan cheksiz to'plamlar). Ushbu asosiy belgilar to'plamlari yuqoridagi dastlabki uchta xarakteristikani qondiradi, ammo to'rtinchi tavsifni emas. Ushbu to'plamlar kardinallik ma'nosida tabiiy sonlardan kattaroq bo'lmaganligi sababli, ba'zilari ularni hisoblab bo'lmaydigan deb atashni istamasligi mumkin.

Agar tanlov aksiomasi bajarilsa, kardinalda quyidagi shartlar mavjud ${displaystyle kappa}$ teng:

• ${displaystyle kappa leq aleph _ {0};}$
• ${displaystyle kappa> alef _ {0};}$ va
• ${displaystyle kappa geq aleph _ {1}}$, qayerda ${displaystyle aleph _ {1} = | omega _ {1} |}$ va ${displaystyle omega _ {1}}$ eng kam dastlabki tartib dan katta ${displaystyle omega.}$

Ammo, agar tanlov aksiomasi bajarilmasa, barchasi boshqacha bo'lishi mumkin. Shunday qilib, aksioma bajarilmaganda qaysi biri "hisoblash mumkin emas" ning tegishli umumlashtirilishi aniq emas. Bunday holda, ushbu so'zni ishlatishdan saqlanish va bu qaysi birini anglatishini aniqlab olish yaxshiroqdir.

Shuningdek qarang

• Alef raqami
• Bet raqami
• Birinchi hisoblanmaydigan tartib
• In'ektsiya funktsiyasi

Adabiyotlar

Bibliografiya

• Halmos, Pol, Sodda to'plamlar nazariyasi. Princeton, NJ: D. Van Nostrand kompaniyasi, 1960. Springer-Verlag tomonidan nashr etilgan, Nyu-York, 1974 yil. ISBN  0-387-90092-6 (Springer-Verlag nashri). Martino Fine Books tomonidan qayta nashr etilgan, 2011 y. ISBN  978-1-61427-131-4 (Qog'ozli nashr).
• Jech, Tomas (2002), Nazariyani o'rnating, Matematikadagi Springer monografiyalari (3-ming yillik tahr.), Springer, ISBN  3-540-44085-2

Tashqi havolalar

• Buning isboti R hisoblash mumkin emas