Algebraik K-nazariyasi - Algebraic K-theory

Algebraik K- nazariya - bilan bog'langan matematikaning predmet sohasi geometriya, topologiya, halqa nazariyasi va sonlar nazariyasi. Geometrik, algebraik va arifmetik moslamalarga ob'ektlar deyiladi K-gruplar. Bular guruhlar ma'nosida mavhum algebra. Ular asl ob'ekt haqida batafsil ma'lumotlarni o'z ichiga oladi, ammo ularni hisoblash qiyin; Masalan, hisoblash uchun muhim muammo K- guruhlari butun sonlar.

K- nazariya 1950 yillarning oxirlarida ixtiro qilingan Aleksandr Grothendieck uning o'rganishida kesishish nazariyasi kuni algebraik navlar. Zamonaviy tilda Grotendik faqat ta'rif bergan K₀, nol K-grup, lekin hattoki ushbu bitta guruhda ham juda ko'p dastur mavjud Grothendiek-Riemann-Roch teoremasi. Kesishmalar nazariyasi hanuzgacha (yuqori) algebraikaning rivojlanishida turtki beruvchi kuchdir K- bilan bog'langan nazariya motivatsion kohomologiya va xususan Chow guruhlari. Mavzu shuningdek klassik son-nazariy mavzularni o'z ichiga oladi kvadratik o'zaro bog'liqlik va joylashtirilishi raqam maydonlari ichiga haqiqiy raqamlar va murakkab sonlar, shuningdek, yanada yuqori darajadagi qurilish kabi zamonaviy tashvishlar regulyatorlar va ning maxsus qiymatlari L-funktsiyalar.

Pastki K-bu guruhlarning boshqa algebraik tuzilmalar nuqtai nazaridan etarli tavsiflari topilgan ma'noda birinchi bo'lib guruhlar topildi. Masalan, agar F a maydon, keyin K₀(F) butun sonlar uchun izomorfdir Z va tushunchasi bilan chambarchas bog'liqdir bo'shliqning vektor o'lchovi. Kommutativ uzuk uchun R, guruh K₀(R) bilan bog'liq Picard guruhi ning Rva qachon R sonlar sohasidagi butun sonlarning halqasi bo'lib, bu klassik tuzilishini umumlashtiradi sinf guruhi. Guruh K₁(R) birliklar guruhi bilan chambarchas bog'liqdir R^×va agar bo'lsa R maydon, bu aynan birliklar guruhidir. Raqam maydoni uchun F, guruh K₂(F) bilan bog'liq sinf maydon nazariyasi, Hilbert belgisi, va kvadratik tenglamalarning tugallanishga nisbatan echuvchanligi. Aksincha, yuqoriroqning to'g'ri ta'rifini topish K- halqalarning guruhlari juda qiyin yutuq edi Daniel Quillen va yuqoriroqqa oid ko'plab asosiy faktlar K-algebraik navlarning guruhlari ishlangunga qadar ma'lum emas edi Robert Tomason.

Tarix

Tarixi K- nazariya batafsil bayon etilgan Charlz Vaybel.^[1]

Grotendik guruhi K₀

19-asrda, Bernxard Riman va uning shogirdi Gustav Roch hozirda nima deb nomlanganini isbotladi Riman-Rox teoremasi. Agar X Riman sirtidir, keyin meromorfik funktsiyalar va meromorfik differentsial shakllar kuni X vektor bo'shliqlarini hosil qilish. A chiziq to'plami kuni X ushbu vektor bo'shliqlarining pastki bo'shliqlarini belgilaydi va agar X proektsion, keyin bu kichik bo'shliqlar cheklangan o'lchovlidir. Riemann-Roch teoremasi ushbu kichik bo'shliqlar orasidagi o'lchamlarning farqi chiziqlar to'plamining darajasiga (burilish o'lchovi) va bitta minusning jinsiga teng ekanligini ta'kidlaydi. X. 20-asr o'rtalarida Riman-Rox teoremasi umumlashtirildi Fridrix Xirzebrux barcha algebraik navlarga. Xirzebrux formulasida Xirzebrux – Riman-Rox teoremasi, teorema bayonotga aylandi Eyler xususiyatlari: A uchun Eyler xarakteristikasi vektor to'plami algebraik xilma bo'yicha (bu uning kohomologiya guruhlari o'lchovlarining o'zgaruvchan yig'indisi) evlerning ahamiyatsiz to'plamiga xos xususiyati va tuzatish koeffitsientiga teng xarakterli sinflar vektor to'plamining. Bu umumlashma, chunki proyektiv Riman yuzasida chiziqlar to'plamining Eyler xarakteristikasi ilgari aytilgan o'lchovlar farqiga teng, ahamiyatsiz to'plamning Eyler xarakteristikasi bitta minus jinsi, va yagona nrivrivial xarakterli sinf daraja.

Mavzusi K- nazariya o'z nomini 1957 yildagi qurilishidan olgan Aleksandr Grothendieck ichida paydo bo'lgan Grothendiek-Riemann-Roch teoremasi, uning Xirzebrux teoremasini umumlashtirishi.^[2] Ruxsat bering X silliq algebraik xilma bo'ling. Har bir vektor to'plami yoniq X, Grotendik invariantni bog'laydi, uning sinf. Barcha darslarning to'plami X deb nomlangan K(X) nemis tilidan Klasse. Ta'rifga ko'ra, K(X) vektor to'plamlarining izomorfizm sinflari bo'yicha erkin abeliya guruhining qismidir X, va shuning uchun bu abeliya guruhidir. Agar vektor to'plamiga mos keladigan asosiy element bo'lsa V bilan belgilanadi [V], keyin vektor to'plamlarining har bir qisqa aniq ketma-ketligi uchun:

${ displaystyle 0 to V ' to V to V' ' to 0,}$

Grothendieck munosabatlarni o'rnatdi [V] = [V ′] + [V ″]. Ushbu generatorlar va munosabatlar aniqlanadi K(X) va ular vektor to'plamlariga invariantlarni aniq ketma-ketliklarga mos ravishda belgilashning universal usuli ekanligini anglatadi.

Grothendiek, Riemann-Roch teoremasi navlarning o'zi emas, balki navlarning morfizmlari haqidagi bayonot degan fikrni oldi. Dan homomorfizm borligini isbotladi K(X) uchun Chow guruhlari ning X dan keladi Chern xarakteri va Todd sinfi ning X. Bundan tashqari, u to'g'ri morfizm ekanligini isbotladi f : X → Y silliq xilma-xillikka Y gomomorfizmni belgilaydi f * : K(X) → K(Y) deb nomlangan oldinga. Bu Chow guruhidagi elementni aniqlashning ikki usulini beradi Y vektor to'plamidan X: Dan boshlab X, avval pushforward-ni hisoblash mumkin K- nazariyani va keyin Chern belgisini va Todd sinfini qo'llang Yyoki birinchi navbatda Chern belgisi va Todd sinfini qo'llash mumkin X va keyin Chow guruhlari uchun pushforwardni hisoblang. Grothendiek-Riman-Rox teoremasi bu teng deb aytadi. Qachon Y nuqta, vektor to'plami - bu vektor maydoni, vektor makonining klassi - uning o'lchovidir va Grethenk - Riman - Rox teoremasi Xirzebrux teoremasiga ixtisoslashgan.

Guruh K(X) endi sifatida tanilgan K₀(X). Vektorli to'plamlarni proektsion modullar bilan almashtirishda, K₀ shuningdek, amaliy bo'lmagan kommutativ uzuklar uchun ham aniqlandi guruh vakolatxonalari. Atiya va Xirzebrux tezda Grothendiek konstruktsiyasini topologiyaga etkazdi va uni aniqlash uchun ishlatdi topologik K-nazariyasi.^[3] Topologik K- nazariya anning birinchi misollaridan biri edi favqulodda kohomologiya nazariyasi: U har bir topologik makon bilan bog'lanadi X (ba'zi engil texnik cheklovlarni qondirish) guruhlar ketma-ketligi K_n(X) barchasini qondiradigan Eilenberg-Shtenrod aksiomalari normalizatsiya aksiomasidan tashqari. Algebraik navlarning o'rnatilishi ancha qat'iy va topologiyada qo'llaniladigan moslashuvchan konstruktsiyalar mavjud emas edi. Guruh paytida K₀ algebraik navlar va komutativ bo'lmagan halqalarning kohomologik nazariyasining boshlanishi bo'lishi uchun kerakli xususiyatlarni qondirgandek tuyuldi, yuqoriroqning aniq ta'rifi yo'q edi K_n(X). Bunday ta'riflar ishlab chiqilgan bo'lsa ham, cheklash va yopishtirish bilan bog'liq texnik muammolar odatda majburlanadi K_n navlar uchun emas, balki faqat halqalar uchun belgilanishi kerak.

K₀, K₁va K₂

Dastlab ma'lum bo'lmagan bo'lsa-da, bir guruh K₁ allaqachon boshqa kontekstda kiritilgan edi. Anri Puankare ko'pburchakning Betti sonlarini triangulyatsiya nuqtai nazaridan aniqlashga urindi. Ammo uning usullari jiddiy bo'shliqqa ega edi: Puankare manifoldning ikkita uchburchagi har doim bir xil Betti raqamlarini berganligini isbotlay olmadi. Betti raqamlari triangulyatsiyani ajratish orqali o'zgarmaganligi aniq edi va shuning uchun umumiy bo'linmani taqsimlagan har qanday ikkita uchburchakning soni bir xil Betti raqamlariga ega bo'lishi aniq edi. Ma'lum bo'lmagan narsa, har qanday ikkita uchburchak umumiy bo'linishni tan olganligi edi. Ushbu gipoteza "deb nomlangan gumonga aylandi Hauptvermutung (taxminan "asosiy taxmin"). Uchburchaklarning bo'linishi ostida barqaror bo'lganligi sababli J.H.C. Whitehead tushunchasini joriy etish oddiy homotopiya turi.^[4] Oddiy homotopiya ekvivalenti a ga soddalik yoki katak qo'shish orqali aniqlanadi soddalashtirilgan kompleks yoki hujayra kompleksi har bir qo'shimcha oddiy yoki hujayra deformatsiyasi eski makonning bo'linmasiga qaytadigan tarzda. Ushbu ta'rifning turtki qismi shundan iboratki, uchburchakning bo'linishi dastlabki uchburchakning oddiy gomotopik ekvivalenti bo'lib, shuning uchun umumiy bo'linishni taqsimlaydigan ikkita uchburchak oddiy gotopiya ekvivalenti bo'lishi kerak. Uaytxed oddiy homotopiya ekvivalenti gomotopiya ekvivalentiga qaraganda nozik o'zgarmas ekanligini isbotladi. burish. Gomotopik ekvivalentlikning burilishi hozirda deb nomlangan guruhda qiymatlarni oladi Whitehead guruhi va belgilangan Wh(π), qaerda π ikkita kompleksning asosiy guruhidir. Uaytxid ahamiyatsiz torsiyaning misollarini topdi va shu bilan ba'zi bir homotopiya ekvivalentlari oddiy emasligini isbotladi. Keyinchalik Uaytxed guruhi bir qismi ekanligi aniqlandi K₁(Zπ), qaerda Zπ ajralmas hisoblanadi guruh halqasi ning π. Keyinchalik Jon Milnor ishlatilgan Reidemeister burama, Hauptvermutungni inkor etish uchun Whitehead torsiyasi bilan bog'liq bo'lgan invariant.

Ning birinchi etarli ta'rifi K₁ tomonidan uzuk yasalgan Hyman Bass va Stiven Shanuel.^[5] Topologik jihatdan K- nazariya, K₁ a-dagi vektor to'plamlari yordamida aniqlanadi to'xtatib turish bo'shliq. Bunday barcha vektor to'plamlari yopishtiruvchi qurilish, bu erda bo'shliqning ikki yarmidagi ikkita ahamiyatsiz vektor to'plami bo'shliqning umumiy chizig'i bo'ylab yopishtirilgan. Ushbu yopishtiruvchi ma'lumotlar umumiy chiziqli guruh, ammo elementar matritsalardan kelib chiqadigan ushbu guruh elementlari (elementar satr yoki ustun operatsiyalariga mos keladigan matritsalar) ekvivalent yopishtirishlarni aniqlaydi. Bass-Shanuel ta'rifi bunga turtki bo'ldi K₁ uzuk R bu GL(R) / E(R), qayerda GL(R) cheksiz umumiy chiziqli guruh (barchaning birlashishi) GL_n(R)) va E(R) elementar matritsalarning kichik guruhidir. Ular shuningdek ta'rifini taqdim etdilar K₀ halqalarning gomomorfizmi va buni isbotladi K₀ va K₁ nisbiy homologik aniq ketma-ketlikka o'xshash aniq ketma-ketlikda birlashtirilishi mumkin.

Ishlang K- bu davr nazariyasi Bassning kitobida yakun topdi Algebraik K- nazariya.^[6] Keyinchalik ma'lum bo'lgan natijalarning izchil ekspozitsiyasini taqdim etish bilan bir qatorda, Bass teoremalarning ko'plab bayonotlarini yaxshiladi. Shuni ta'kidlash kerakki, Bass Murti bilan avvalgi ishiga asoslanib,^[7] deb nomlangan narsaning birinchi dalilini taqdim etdi algebraikning asosiy teoremasi K- nazariya. Bu to'rt bosqichli aniq ketma-ketlik K₀ uzuk R ga K₁ ning R, polinom halqasi R[t] va mahalliylashtirish R[t, t⁻¹]. Bass ushbu teorema ta'rif berganligini tan oldi K₀ butunlay jihatidan K₁. Ushbu tavsifni rekursiv ravishda qo'llash orqali u salbiy chiqdi K-gruplar K_.N(R). Mustaqil ishda, Maks Karubi salbiyning yana bir ta'rifini berdi K- ma'lum toifalar uchun guruhlar va uning ta'riflari Bass guruhlari bilan bir xil guruhlarga ega ekanligini isbotladilar.^[8]

Mavzuning keyingi katta rivojlanishi ta'rifi bilan keldi K₂. Shtaynberg universal markaziy kengaytmalar maydon bo'yicha Chevalley guruhining vakili va generatorlar va munosabatlar nuqtai nazaridan ushbu guruhning aniq taqdimotini o'tkazdi.^[9] E guruhi misolida_n(k) elementar matritsalardan, universal markaziy kengaytma endi St._n(k) va deb nomlangan Shtaynberg guruhi. 1967 yil bahorida, Jon Milnor belgilangan K₂(R) gomomorfizmning yadrosi bo'lish St (R) → E(R).^[10] Guruh K₂ ma'lum bo'lgan ba'zi aniq ketma-ketliklarni yanada kengaytirdi K₁ va K₀va raqamlar nazariyasida ajoyib dasturlar mavjud edi. Xideya Matsumoto 1968 yil tezis^[11] buni maydon uchun ko'rsatdi F, K₂(F) izomorf bo'lgan:

${ displaystyle F ^ { times} otimes _ { mathbf {Z}} F ^ { times} / langle x otimes (1-x) colon x in F setminus {0,1 } rangle.}$

Ushbu munosabat shuningdek tomonidan qondiriladi Hilbert belgisi, bu kvadrat tenglamalarning echuvchanligini ifodalaydi mahalliy dalalar. Jumladan, Jon Teyt buni isbotlay oldi K₂(Q) asosan qonuni atrofida tuzilgan kvadratik o'zaro bog'liqlik.

Yuqori K-gruplar

1960-yillarning oxiri va 70-yillarning boshlarida bir nechta yuqori ta'riflar K- nazariya taklif qilindi. Oqqush^[12] va Gersten^[13] ning ikkala ta'rifi ishlab chiqarilgan K_n Barcha uchun n, va Gersten o'zining va Svanning nazariyalari teng ekanligini isbotladi, ammo ikkala nazariya kutilgan barcha xususiyatlarni qondirishi ma'lum emas edi. Nobile va Villamayor ham yuqori ta'rifini taklif qilishdi K-gruplar.^[14] Karoubi va Villamayor o'zlarini yaxshi tutishini aniqladilar K- hamma uchun guruhlar n,^[15] lekin ularning ekvivalenti K₁ Ba'zan Bass-Shanuelning tegishli taklifi bo'lgan K₁. Ularning K-gruplar endi deyiladi KV_n va ning homotopiya-o'zgarmas modifikatsiyalari bilan bog'liq K- nazariya.

Qisman Matsumoto teoremasidan ilhomlangan Milnor yuqoriroqning ta'rifini berdi K- maydon guruhlari.^[16] U o'zining ta'rifiga "sof" deb murojaat qildi maxsus",^[17] va u na hamma halqalarni umumlashtirganday, na yuqoriroqning to'g'ri ta'rifi bo'lib tuyuldi K- dalalar nazariyasi. Ko'p vaqt o'tgach, Nesterenko va Suslin tomonidan topilgan^[18] va Totaro tomonidan^[19] o'sha Milnor K- nazariya aslida haqiqatning to'g'ridan-to'g'ri yig'indisidir K- maydon nazariyasi. Xususan, K-gruplarda the deb nomlangan filtratsiya mavjud og'irlik filtratsiyasiva Milnor K- maydon nazariyasi bu vaznning eng yuqori darajadagi bo'lagi K- nazariya. Bundan tashqari, Tomason Milnorning analogi yo'qligini aniqladi K- umumiy nav uchun nazariya.^[20]

Oliyning birinchi ta'rifi K- keng qabul qilinadigan nazariya edi Daniel Quillen.^[21] Quillenning ishining bir qismi sifatida Adamsning taxminlari topologiyada u xaritalarni tuzgan bo'shliqlarni tasniflash BGL(F_q) ning homotopiya tolasiga ψ^q − 1, qayerda ψ^q bo'ladi qth Adams operatsiyasi tasniflash maydonida harakat qilish BU. Ushbu xarita asiklik va o'zgartirilgandan so'ng BGL(F_q) yangi maydon hosil qilish uchun biroz BGL(F_q)⁺, xarita homotopiya ekvivalentiga aylandi. Ushbu modifikatsiya ortiqcha qurilish. Adams operatsiyalari Chern sinflari bilan bog'liqligi ma'lum bo'lgan K- Grothendiekning ishidan beri nazariya va shuning uchun Kvillen ta'rifini bergan K- nazariyasi R ning homotopiya guruhlari sifatida BGL(R)⁺. Bu nafaqat tiklandi K₁ va K₂, ning munosabati K- Adams operatsiyalari haqidagi nazariya Kvillenga hisoblash imkonini berdi K- cheklangan maydonlarning guruhlari.

Tasniflash maydoni BGL ulangan, shuning uchun Kvillenning ta'rifi uchun to'g'ri qiymat berilmadi K₀. Bundan tashqari, u hech qanday salbiy ta'sir ko'rsatmadi K-gruplar. Beri K₀ ma'lum va qabul qilingan ta'rifga ega bo'lib, bu qiyinchilikni chetlab o'tish mumkin edi, ammo texnik jihatdan noqulay bo'lib qoldi. Kontseptual ravishda, muammo ta'rifdan kelib chiqqan edi GL, klassik manbai bo'lgan K₁. Chunki GL vektor to'plamlarini o'zi haqida emas, balki faqat vektor to'plamlarini yopishtirish haqida biladi, uni ta'riflash imkonsiz edi K₀.

Kvillen bilan suhbatlardan ilhomlanib, Segal tez orada algebraik tuzishda yana bir yondashuvni joriy etdi K- Γ-ob'ektlar nomi ostida nazariya.^[22] Segalning yondashuvi - Gretendikning qurilishining homotopik analogidir K₀. Grothendieck to'plamlarning izomorfizm sinflari bilan ishlagan joyda, Segal to'plamlarning o'zi bilan ishlagan va o'z ma'lumotlarining bir qismi sifatida to'plamlarning izomorfizmlaridan foydalangan. Buning natijasida a spektr ularning homotopiya guruhlari yuqoriroq K- guruhlar (shu jumladan K₀). Biroq, Segalning yondashuvi faqat umumiy aniq ketma-ketliklar uchun emas, balki bo'lingan aniq ketma-ketliklar uchun munosabatlarni o'rnatishga qodir edi. Halqa ustidagi proektsion modullar toifasida har bir qisqa aniq ketma-ketlik bo'linadi va shuning uchun Γ-moslamalarni K- uzuk nazariyasi. Biroq, vektor to'plamlari turkumidagi va halqa ustidagi barcha modullar toifasida bo'linmagan qisqa aniq ketma-ketliklar mavjud, shuning uchun Segalning yondashuvi barcha qiziq holatlarga taalluqli emas.

1972 yilning bahorida Kvillen balandroq qurilishga yana bir yondashuvni topdi K- nihoyatda muvaffaqiyatli isbotlanishi kerak bo'lgan nazariya. Ushbu yangi ta'rif an bilan boshlandi aniq toifasi, modullar yoki vektor to'plamlari toifasiga ma'qul bo'lgan xususiyatlarga o'xshash, ammo biroz zaifroq ba'zi rasmiy xususiyatlarni qondiradigan toifadir. Shu sababli u o'zining "deb nomlangan yangi qurilmasi yordamida yordamchi toifani yaratdi.Q-qurilish. "Segalning Γ-ob'ektlari singari, Q- qurilishning asosi Grotendikning ta'rifidan kelib chiqadi K₀. Grotendik ta'rifidan farqli o'laroq, Q-qurilish abeliya guruhini emas, balki toifani yaratadi va Segalning Γ-ob'ektlaridan farqli o'laroq, the Q-qurilish to'g'ridan-to'g'ri qisqa aniq ketma-ketliklar bilan ishlaydi. Agar C abeliya toifasi, keyin QC bilan bir xil narsalarga ega bo'lgan toifadir C ammo uning morfizmlari qisqa aniq ketma-ketliklar bo'yicha aniqlangan C. The K-to'g'ri toifadagi guruhlar $ g $ ning homotopiya guruhlariBQC, pastadir maydoni ning geometrik amalga oshirish (pastadir oralig'ini olish indekslashni to'g'rilaydi). Kvillen qo'shimcha ravishda o'zini isbotladi "+ = Q uning ikkita ta'rifi K- nazariya o'zaro kelishib oldilar. Bu to'g'ri chiqdi K₀ va oddiyroq dalillarga olib keldi, ammo baribir hech qanday salbiy ta'sir ko'rsatmadi K-gruplar.

Barcha abeliya toifalari aniq toifalardir, ammo aniq toifalarning hammasi ham abeliya emas. Kvillen ushbu umumiy vaziyatda ishlay olganligi sababli, u aniq toifalarni o'z dalillarida vosita sifatida ishlata oldi. Ushbu uslub unga algebraikaning ko'plab asosiy teoremalarini isbotlashga imkon berdi K- nazariya. Bundan tashqari, oqqush va Gerstenning avvalgi ta'riflari ma'lum sharoitlarda Kvillennikiga teng bo'lganligini isbotlash mumkin edi.

K- nazariya endi halqalar uchun homologiya nazariyasi va navlar uchun kohomologiya nazariyasi bo'lib chiqdi. Biroq, uning ko'plab asosiy teoremalari ushbu halqa yoki xilma-xillik muntazam bo'lgan degan farazni ilgari surdi. Kutilayotgan asosiy munosabatlardan biri bu bilan bog'liq uzoq aniq ketma-ketlik ("lokalizatsiya ketma-ketligi" deb nomlangan) edi K- estrada nazariyasi X va ochiq ichki qism U. Kvillen lokalizatsiya ketma-ketligini to'liq umumiylikda isbotlay olmadi. Biroq, u mavjud bo'lgan nazariya uchun mavjudligini isbotlashga qodir edi G- nazariya (yoki ba'zan) K′ - nazariya). G- nazariya mavzuni rivojlantirishning boshida Grotendik tomonidan aniqlangan edi. Grothendieck aniqlandi G₀(X) turli xil uchun X izomorfizm sinflari bo'yicha izchil izdoshlarning erkin abeliya guruhi bo'lish X, izchil qatlamlarning aniq ketma-ketligidan kelib chiqadigan modulli munosabatlar. Keyinchalik mualliflar tomonidan qabul qilingan kategorik asosda K- estrada nazariyasi - bu K- uning vektor to'plamlari toifasi nazariyasi, shu bilan birga G- nazariya K- uning izchil qirralarning toifasi nazariyasi. Quillen nafaqat mahalliylashtirishning aniq ketma-ketligini mavjudligini isbotlay olmadi G- nazariya, u oddiy uzuk yoki nav uchun, K- nazariya tenglashdi G- nazariya va shuning uchun K- oddiy navlar nazariyasi mahalliylashtirishning aniq ketma-ketligiga ega edi. Ushbu ketma-ketlik mavzudagi ko'plab dalillar uchun muhim bo'lganligi sababli, muntazamlik gipotezalari dastlabki bosqichda yuqori darajadagi ishlarni qamrab olgan K- nazariya.

Algebraik dasturlar K-topologiya nazariyasi

Algebraikaning dastlabki qo'llanilishi K-topologiya nazariyasi Uaytxedning Uaytxed burilishini qurishi edi. Yaqindan bog'liq bo'lgan qurilish topildi C. T. C. Devor 1963 yilda.^[23] Devor bo'sh joy topdi π cheklangan kompleks hukmron bo'lgan, bir qismda qiymatlarni qabul qiladigan umumlashtirilgan Eyler xarakteristikasiga ega K₀(Zπ), qaerda π makonning asosiy guruhidir. Ushbu o'zgarmas deyiladi Devorning cheklanganligiga to'sqinlik qilish chunki X gomotopiya cheklangan kompleksga teng, agar bu o'zgarmas yo'qolsa. Loran Sibenmann o'zining tezisida devorga o'xshash o'zgarmaslikni topdi, bu ochiq manifoldga to'siq bo'lib, chegarasi bo'lgan ixcham manifoldning ichki qismi bo'ldi.^[24] Agar chegara bilan ikkita manifold bo'lsa M va N izomorfik interyerlarga ega (mos ravishda TOP, PL yoki DIFF da), ular orasidagi izomorfizm h- o'rtasidagi kelishmovchilik M va N.

Oq bosh torsiyasi oxir-oqibat to'g'ridan-to'g'ri qayta talqin qilindi K- nazariy usul. Ushbu qayta talqin o'rganish orqali sodir bo'ldi h-kobordizmlar. Ikki n- o'lchovli manifoldlar M va N bor hmavjud bo'lsa, muvofiqdir (n + 1)- chegara bilan o'lchovli ko'p qirrali V uning chegarasi bo'linmagan birlashma M va N va buning uchun M va N ichiga V gomotopik ekvivalentlar (TOP, PL yoki DIFF toifalarida). Stiven Smeyl "s h-kobordizm teoremasi^[25] agar shunday bo'lsa, deb ta'kidladi n ≥ 5, V ixcham va M, Nva V shunchaki bog'langan, keyin V silindr uchun izomorfdir M × [0, 1] (kerak bo'lganda TOP, PL yoki DIFF-da). Ushbu teorema isbotladi Puankare gipotezasi uchun n ≥ 5.

Agar M va N shunchaki bog'langan deb taxmin qilinmaydi, keyin an h-kobordizm silindr bo'lmasligi kerak. The s- Mazurga bog'liq bo'lgan kobordizm teoremasi,^[26] Stallings va Barden,^[27] umumiy holatni tushuntiradi: An h-kobordizm - bu qo'shilishning Whitehead torsiyasi bo'lsa va bu faqat silindr M ⊂ V yo'qoladi. Bu umumlashtirmoqda h-kobordizm teoremasi, chunki oddiy bog'liqlik gipotezalari tegishli Uaytxed guruhining ahamiyatsiz ekanligini anglatadi. Aslida s-kobordizm teoremasi ning izomorfizm sinflari o'rtasida biektiv ob'ektivlik mavjudligini nazarda tutadi h-kobordizmlar va Uaytxed guruhining elementlari.

Ning mavjudligi bilan bog'liq aniq savol h-kobordizmlar ularning o'ziga xosligi. Ekvivalentlikning tabiiy tushunchasi bu izotopiya. Jan Cerf oddiygina bog'langan silliq manifoldlar uchun buni isbotladi M kamida 5 o'lchamdagi izotopiya h-kobordizmlar psevdo-izotopiya deb nomlangan kuchsizroq tushunchaga o'xshaydi.^[28] Xetcher va Vagoner psevdo-izotopiyalar makonining tarkibiy qismlarini o'rganib chiqib, uni K₂(Zπ).^[29]

Uchun tegishli kontekst s-kobordizm teoremasi - ning tasniflash maydoni h-kobordizmlar. Agar M u holda CAT manifoldidir H^Mushuk(M) to'plamlarini tasniflaydigan bo'shliqdir h- kelishmovchiliklar M. The s-kobordizm teoremasini ushbu makonning bog'langan komponentlari to'plami Uaytxed guruhi degan gap sifatida qayta talqin qilinishi mumkin. π₁(M). Ushbu bo'shliqda Uaytxed guruhiga qaraganda ko'proq ma'lumot mavjud; Masalan, ahamiyatsiz kobordizmning bog'langan komponenti mumkin bo'lgan silindrlarni tavsiflaydi M va xususan, ko'p qirrali va. orasidagi homotopiyaning o'ziga xosligiga to'sqinlik qiladi M × [0, 1]. Ushbu savollarni ko'rib chiqish Valdxauzenni o'zining algebraikasini joriy etishga undadi K- bo'shliqlar nazariyasi.^[30] Algebraik K- nazariyasi M bo'sh joy A(M) u asosan yuqoriroq uchun bir xil rol o'ynashi uchun aniqlanadi K- kabi guruhlar K₁(Zπ₁(M)) uchun qiladi M. Xususan, Valdxauzen xaritasi borligini ko'rsatdi A(Mbo'shliqqa Wh (M) xaritani umumlashtiradigan K₁(Zπ₁(M)) → Wh (π₁(M)) va homotopiya tolasi homologiya nazariyasidir.

To'liq rivojlanish uchun A- nazariya, Valdxauzen poydevorda sezilarli texnik yutuqlarga erishdi K- nazariya. Valdxauzen tanishtirdi Waldhausen toifalari va Waldhausen toifasi uchun C u soddalashtirilgan toifani joriy qildi S_·C (the S (Segal uchun)) kofibratsiyalari zanjirlari bo'yicha aniqlangan C.^[31] Bu asoslarini ozod qildi K- aniq ketma-ketlik analoglarini chaqirish zaruriyati nazariyasi.

Algebraik topologiya va algebraik algebraik geometriya K- nazariya

Kvillen talabasiga taklif qildi Kennet Braun nazariyasini yaratish mumkin bo'lishi mumkin sochlar ning spektrlar ulardan K- nazariya misol keltiradi. To'plami K- nazariy spektrlar, har xil turdagi har bir kichik to'plamga, bog'laydi K- ushbu ochiq to'plam nazariyasi. Braun o'zining tezisi uchun shunday nazariyani ishlab chiqdi. Bir vaqtning o'zida Gersten xuddi shu fikrga ega edi. 1972 yil kuzida Sietldagi konferentsiyada ular birgalikda a spektral ketma-ketlik ning sheom kohomologiyasidan birlashmoqda ${ displaystyle { mathcal {K}} _ {n}}$, to'plami K_n- guruhlar yoqilgan X, uchun K- umumiy maydonning guruhi. Bu endi Jigarrang-Gersten spektral ketma-ketligi.^[32]

Spenser Bloch, Gerstenning pog'onadagi ishlari ta'sir ko'rsatdi K-gruplar, doimiy sirtda kohomologiya guruhi ekanligini isbotladilar ${ displaystyle H ^ {2} (X, { mathcal {K}} _ {2})}$ Chow guruhi uchun izomorfdir CH²(X) 2 tsikl kodimensiyasi bo'yicha X.^[33] Bundan ilhomlanib, Gersten a deb taxmin qildi muntazam mahalliy uzuk R bilan kasr maydoni F, K_n(R) ichiga yuboradi K_n(F) Barcha uchun n. Tez orada Kvillen buni qachon ekanligini isbotladi R maydonni o'z ichiga oladi,^[34] va bundan foydalanib u buni isbotladi

${ displaystyle H ^ {p} (X, { mathcal {K}} _ {p}) cong operatorname {CH} ^ {p} (X)}$

Barcha uchun p. Bu sifatida tanilgan Blox formulasi. O'shandan beri Gerstenning taxminlari bo'yicha yutuqlarga erishilgan bo'lsa-da, umumiy ish ochiq qolmoqda.

Lixtenbaum ning maxsus qiymatlari deb taxmin qildi zeta funktsiyasi sonli maydonni quyidagicha ifodalash mumkin edi K- maydon butun sonlari halqasining guruhlari. Ushbu maxsus qiymatlar bilan bog'liqligi ma'lum bo'lgan etale kohomologiyasi butun sonlarning halqasi. Shuning uchun Kvillen Lixtenbaum gumonini umumlashtirdi va spektral ketma-ketlikning mavjudligini taxmin qildi Atiya - Xirzebrux spektral ketma-ketligi topologik jihatdan K- nazariya.^[35] Kvillen taklif qilgan spektral ketma-ketlik uzukning etale kohomologiyasidan boshlanadi R va etarlicha yuqori darajalarda va eng yaxshi vaqtda tugatgandan so'ng l teskari R, abut ga l- ni doimiy ravishda yakunlash K- nazariyasi R. Lixtenbaum tomonidan o'rganilgan holatda spektral ketma-ketlik buzilib, Lixtenbaumning gumonini keltirib chiqaradi.

Mahalliylashtirishni eng katta vaqtga to'g'ri kelishi l ning bir varianti bo'lishi kerakligini brauzerga taklif qildi K- cheklangan koeffitsientli nazariya.^[36] U tanishtirdi K- nazariy guruhlar K_n(R; Z/lZ) edi Z/lZ- vektor bo'shliqlari va u topologik jihatdan Bott elementining analogini topdi K- nazariya. Soule bu nazariyani "etale" ni qurish uchun ishlatgan Chern sinflari ", algebraik elementlarni olgan topologik Chern sinflarining analogi K- sinflar uchun nazariya etale kohomologiyasi.^[37] Algebraikdan farqli o'laroq K- nazariya, etale kohomologiyasi juda hisoblab chiqilgan, shuning uchun etal Chern sinflari elementlarning mavjudligini aniqlash uchun samarali vosita bo'lib xizmat qildi. K- nazariya. Uilyam G. Dvayer va Erik Fridlander keyin analogini ixtiro qildi K- etale deb nomlangan etale topologiyasi nazariyasi K- nazariya.^[38] Murakkab sonlar bo'yicha aniqlangan navlar uchun etale K- nazariya topologik jihatdan izomorfdir K- nazariya. Bundan tashqari, etale K- nazariya Kvillen tomonidan taxmin qilingan spektral ketma-ketlikni tan oldi. Tomason 1980 yil Bott elementini teskari aylantirgandan so'ng algebraik ekanligini isbotladi K- cheklangan koeffitsientli nazariya etale uchun izomorf bo'ldi K- nazariya.^[39]

70-yillar va 1980-yillarning boshlarida K- singular navlar nazariyasi hali ham etarli asoslarga ega emas edi. Kvillennikiga ishonishgan K- nazariya to'g'ri guruhlarni berdi, bu guruhlar ko'zda tutilgan barcha xususiyatlarga ega ekanligi ma'lum emas edi. Buning uchun algebraik K- nazariyani isloh qilish kerak edi. Buni Tomason o'lgan do'sti Tomas Trobaugh bilan hamkorlikda yozgan uzoq monografiyasida amalga oshirdi va u tushida unga asosiy g'oyani berganini aytdi.^[40] Thomason Waldhausen qurilishini birlashtirdi K- Grotendikning oltinchi jildida tasvirlangan kesishma nazariyasining asoslari Séminaire de Géémetrie Algébrique du Bois Mari. U yerda, K₀ algebraik navlar bo'yicha gilamchalar komplekslari bo'yicha tavsiflangan. Tomason agar u bilan ishlagan bo'lsa, buni aniqladi olingan kategoriya po'stlog'ida, gilamchalar majmuasini navning ochiq pastki qismidan butun turiga qachon kengaytirilishi mumkinligi haqida oddiy tavsif mavjud edi. Waldhausen qurilishini qo'llash orqali K- olingan toifalar nazariyasi, Tomason algebraik ekanligini isbotlay oldi K- nazariya kohomologiya nazariyasining kutilgan barcha xususiyatlariga ega edi.

1976 yilda Kit Dennis hisoblash uchun mutlaqo yangi uslubni kashf etdi K- nazariya Hochschild homologiyasi.^[41] Bu Dennis iz xaritasi, homomorfizm mavjudligiga asoslangan edi K- Xoxsild gomologiyasi nazariyasi. Dennis iz xaritasi hisob-kitoblar uchun muvaffaqiyatli bo'lib tuyulgan bo'lsa-da K- cheklangan koeffitsientli nazariya, oqilona hisob-kitoblar uchun unchalik muvaffaqiyatli bo'lmagan. Gudvilli o'zining "funktsional hisob-kitobi" ga asoslanib, oraliq nazariya mavjudligini taxmin qildi K- nazariya va Xoxsild gomologiyasi. U ushbu nazariyani topologik Xoxsild gomologiyasi deb atadi, chunki uning er osti halqasi spektr spektri bo'lishi kerak (amallari faqat homotopiyaga qadar aniqlanadigan halqa deb qaraladi). 1980-yillarning o'rtalarida Bokstedt Gudvillening deyarli barcha taxminiy xususiyatlarini qondiradigan topologik Xoxsild gomologiyasining ta'rifini berdi va bu keyingi hisob-kitoblarni amalga oshirdi. K-gruplar.^[42] Dennis iz xaritasining Bokstedt versiyasi spektrlarning o'zgarishi edi K → THH. Ushbu o'zgarish aylana harakatining sobit nuqtalari orqali aniqlandi THHbilan munosabatlarni taklif qilgan tsiklik homologiya. Algebraikni isbotlash jarayonida K- ning analog analogi Novikov gumoni, Bokstedt, Xsiang va Madsen topologik tsiklik gomologiyani joriy qildilar, bu esa topologik Xoxsild gomologiyasiga o'xshash tsiklik gomologiya Xokshild gomologiyasiga o'xshash munosabatlarni o'rnatdi.^[43] Dennis xaritasi topologik tsiklik homologiya orqali topologik Hochschild homologiyasi faktlariga, hisob-kitoblarning yanada batafsil vositasini taqdim etadi. 1996 yilda Dundas, Gudvilli va Makkarti topologik tsiklik gomologiya aniq ma'noda algebraik bilan bir xil mahalliy tuzilishga ega ekanligini isbotladilar. K- nazariya, shuning uchun agar hisoblash bo'lsa K- nazariy yoki topologik tsiklik homologiya mumkin, keyin boshqa ko'plab "yaqin" hisob-kitoblar amalga oshiriladi.^[44]

Pastroq K-gruplar

Pastki Kbirinchi navbatda guruhlar topildi va ularga foydali tavsiflarni berish uchun turli xil maxsus tavsiflar berildi. Butun davomida, ruxsat bering A bo'lishi a uzuk.

K₀

Funktsiya K₀ uzuk oladi A uchun Grothendieck guruhi uning izomorfizm sinflari to'plamining nihoyatda hosil bo'lgan proektsion modullar, to'g'ridan-to'g'ri summa ostida monoid sifatida qaraladi. Har qanday halqa gomomorfizmi A → B xaritani beradi K₀(A) → K₀(B) proektivni (sinfini) xaritalash orqali A-modul M ga M ⊗_A B, qilish K₀ kovariant funktsiya.

Agar uzuk bo'lsa A kommutativ, ning kichik guruhini aniqlashimiz mumkin K₀(A) to'plam sifatida

${ displaystyle { tilde {K}} _ {0} left (A right) = bigcap limits _ {{ mathfrak {p}} { text {prime ideal}} A} mathrm {Ker } dim _ { mathfrak {p}},}$

qaerda:

${ displaystyle dim _ { mathfrak {p}}: K_ {0} chap (A o'ng) dan mathbf {Z}}$

har bir (a klassi) ni proektsiyali yuboradigan xarita A-modul M darajasiga ozod ${ displaystyle A _ { mathfrak {p}}}$-modul ${ displaystyle M _ { mathfrak {p}}}$ (bu modul haqiqatan ham bepul, chunki mahalliy uzuk ustidagi har qanday proektsiyali modul bepul). Ushbu kichik guruh ${ displaystyle { tilde {K}} _ {0} chap (A o'ng)}$ nomi bilan tanilgan kamaytirilgan nolinchi K-nazariyasi ning A.

Agar B a identifikatsiya elementi bo'lmagan qo'ng'iroq, biz K ning ta'rifini kengaytirishimiz mumkin₀ quyidagicha. Ruxsat bering A = B⊕Z ning kengaytmasi bo'lishi B (0,1) identifikator elementiga tutashgan holda birlikka ega bo'lgan uzukka. Qisqa aniq ketma-ketlik mavjud B → A → Z va biz K ni aniqlaymiz₀(B) tegishli xaritaning yadrosi bo'lish K₀(A) → K₀(Z) = Z.^[45]

Misollar

• (Proyektiv) modullar a maydon k bor vektor bo'shliqlari va K₀(k) izomorfikdir Z, tomonidan o'lchov.
• A ustida proektsiyali modullar tugallangan mahalliy halqa A bepul va shuning uchun bu holda yana bir bor K₀(A) izomorfikdir Z, tomonidan daraja.^[46]
• Uchun A a Dedekind domeni,

K₀(A) = Pic (A) ⊕ Z,

qaerda Pic (A) bo'ladi Picard guruhi ning A,^[47] va shunga o'xshash qisqartirilgan K-nazariyasi tomonidan berilgan

${ displaystyle { tilde {K}} _ {0} (A) = operator nomi {Pic} A}$

Toifasiga ushbu qurilishning algebro-geometrik varianti qo'llaniladi algebraik navlar; u berilgan algebraik xilma bilan bog'laydi X Grotendiknikidir K- mahalliy erkin shinalar (yoki izchil bintlar) toifasidagi guruh X. Berilgan ixcham topologik makon X, topologik K- nazariya K^yuqori(X) ning (haqiqiy) vektorli to'plamlar ustida X bilan mos keladi K₀ halqasining davomiy real qiymatli funktsiyalar yoqilgan X.^[48]

Nisbiy K₀

Ruxsat bering Men ideal bo'lishi A va "er-xotin" ni sub-subringa belgilang Dekart mahsuloti A×A:^[49]

${ displaystyle D (A, I) = {(x, y) in A times A: x-y in I } .}$

The nisbiy K guruhi "er-xotin" so'zlari bilan belgilanadi^[50]

${ displaystyle K_ {0} (A, I) = ker left ({K_ {0} (D (A, I)) rightarrow K_ {0} (A)} right) .}$

bu erda xarita birinchi omil bo'yicha proektsiyalash orqali induktsiya qilinadi.

Qarindosh K₀(A,Men) izomorfikdir K₀(Men) bilan bog'liq Men shaxssiz uzuk sifatida. Dan mustaqillik A ning analogidir Kesish teoremasi homologiyada.^[45]

K₀ uzuk sifatida

Agar A kommutativ uzuk, keyin tensor mahsuloti proektsion modullar yana proektsiondir va shuning uchun tenzor mahsulot ko'paytmani K ga aylantiradi₀ sinf bilan komutativ halqaga [A] shaxsiyat sifatida.^[46] The tashqi mahsulot shunga o'xshash tarzda a b-ring tuzilishi Picard guruhi birliklar guruhining kichik guruhi sifatida joylashadi K₀(A)^∗.^[51]

K₁

Hyman Bass halqa birliklari guruhini umumlashtiruvchi ushbu ta'rifni taqdim etdi: K₁(A) bo'ladi abeliyatsiya ning cheksiz umumiy chiziqli guruh:

${ displaystyle K_ {1} (A) = operatorname {GL} (A) ^ { mbox {ab}} = operatorname {GL} (A) / [ operatorname {GL} (A), operatorname { GL} (A)]}$

Bu yerda

${ displaystyle operator nomi {GL} (A) = operator nomi {colim} operator nomi {GL} (n, A)}$

bo'ladi to'g'ridan-to'g'ri chegara GL (n), bu GL-ga qo'shiladi (n + 1) yuqori chap tomonda blokli matritsa va ${ displaystyle [ operator nomi {GL} (A), operator nomi {GL} (A)]}$ bu uning kommutatorning kichik guruhi. A ni aniqlang elementar matritsa identifikatsiya matritsasining yig'indisi va bitta diagonali bo'lmagan element bo'lishi kerak (bu pastki qism chiziqli algebrada ishlatiladigan elementar matritsalar ). Keyin Uaytxed lemmasi guruhning ta'kidlashicha E(A) elementar matritsalar tomonidan hosil qilingan komutatorning kichik guruhiga teng [GL (A), GL (A)]. Darhaqiqat, GL guruhi (A) / E (A) birinchi marta Uaytxed tomonidan aniqlangan va o'rganilgan,^[52] va deyiladi Whitehead guruhi halqa A.

Nisbiy K₁

The nisbiy K guruhi "er-xotin" so'zlari bilan belgilanadi^[53]

${ displaystyle K_ {1} (A, I) = ker left ({K_ {1} (D (A, I)) rightarrow K_ {1} (A)} right) .}$

Tabiiy narsa bor aniq ketma-ketlik^[54]

${ displaystyle K_ {1} (A, I) o‘ng tirnoq K_ {1} (A) o‘ng tirnoq K_ {1} (A / I) o‘ng tirnoq K_ {0} (A, I) o‘ng tirnoq K_ {0} ( A) rightarrow K_ {0} (A / I) .}$

Kommutativ halqalar va maydonlar

Uchun A a komutativ uzuk, det determinantini aniqlash mumkin: GL (A) → A * uchun birliklar guruhi ning A, u yo'qoladi E (A) va shunday qilib det det xaritasiga tushadi: K₁(A) → A *. E sifatida (A◅ SL (A) ni belgilash mumkin maxsus Whitehead guruhi SK₁(A): = SL (A) / E (A). Ushbu xarita xarita orqali bo'linadi A * → GL (1, A) → K₁(A) (yuqori chap burchakdagi birlik), va shuning uchun yadro sifatida maxsus Whitehead guruhiga ega bo'lib, split qisqa aniq ketma-ketlik:

${ displaystyle 1 dan SK_gacha {1} (A) to K_ {1} (A) to A ^ {*} to 1,} gacha$

ni belgilaydigan odatiy bo'linishning qisqa aniq ketma-ketligi maxsus chiziqli guruh, ya'ni

${ displaystyle 1 to operatorname {SL} (A) to operatorname {GL} (A) to A ^ {*} to 1.}$

Determinant birliklar guruhini kiritish bilan bo'linadi A * = GL₁(A) umumiy chiziqli guruhga GL(A), shuning uchun K₁(A) birliklar guruhi va maxsus Whitehead guruhining to'g'ridan-to'g'ri yig'indisi sifatida bo'linadi: K₁(A) ≅ A * ⊕ SK₁ (A).

Qachon A Evklid domeni (masalan, maydon yoki butun sonlar) SK₁(A) yo'qoladi va determinant xaritasi izomorfizmdir K₁(A) ga A^∗.^[55] Bu yolg'on umuman PID-lar uchun, shuning uchun barcha PID-lar uchun umumlashtirilmagan Evklid domenlarining noyob matematik xususiyatlaridan birini taqdim etadi. SK kabi aniq PID₁ nolni 1980 yilda Ischebek va 1981 yilda Grayson bergan.^[56] Agar A Dedekind domeni bo'lib, uning maydon maydoni an algebraik sonlar maydoni (mantiqiy asoslarning cheklangan kengaytmasi) keyin Milnor (1971), xulosa 16.3) shuni ko'rsatadiki, SK₁(A) yo'qoladi.^[57]

SKning yo'q bo'lib ketishi₁ deb aytish mumkin, deb K.₁ GL tasviri bilan hosil bo'ladi₁ GLda. Bu muvaffaqiyatsiz tugaganda, K yoki yo'qligini so'rash mumkin₁ GL tasviri yordamida hosil bo'ladi₂. Dedekind domeni uchun bu shunday: haqiqatan ham K₁ GL tasvirlari orqali hosil bo'ladi₁ va SL₂ GLda.^[56] SK kichik guruhi₁ SL tomonidan yaratilgan₂ tomonidan o'rganilishi mumkin Mennik belgilar. Dedekind domenlari uchun barcha ideallar sonli maksimal ideallar bo'yicha kv₁ burama guruhdir.^[58]

Kommutativ bo'lmagan halqa uchun determinantni umuman aniqlab bo'lmaydi, lekin xarita GL (A) → K₁(A) aniqlovchining umumlashmasidir.

Markaziy oddiy algebralar

Agar a markaziy oddiy algebra A maydon ustida F, kamaytirilgan norma xaritani beradigan determinantning umumlashtirilishini ta'minlaydi K₁(A) → F^∗ va SK₁(A) yadro sifatida aniqlanishi mumkin. Vang teoremasi agar shunday bo'lsa A birinchi darajaga ega, keyin SK₁(A) ahamiyatsiz,^[59] va bu kvadratsiz darajaga qadar kengaytirilishi mumkin.^[60] Vang shuningdek, SK₁(A) har qanday markaziy oddiy algebra uchun sonli maydon uchun ahamiyatsiz,^[61] ammo Platonov asosiy kvadrat uchun algebralarga misollar keltirdi, ular uchun SK₁(A) ahamiyatsiz.^[60]

K₂

Jon Milnor ning to'g'ri ta'rifini topdi K₂: bu markaz ning Shtaynberg guruhi St (A) ning A.

Bu shuningdek sifatida belgilanishi mumkin yadro xaritaning

${ displaystyle varphi colon operatorname {St} (A) to mathrm {GL} (A),}$

yoki sifatida Schur multiplikatori guruhining elementar matritsalar.

Dala uchun K₂ tomonidan belgilanadi Shtaynberg ramzlari: bu Matsumoto teoremasiga olib keladi.

K ni hisoblash mumkin₂ har qanday cheklangan maydon uchun nolga teng.^[62][63] K ni hisoblash₂(Q) murakkab: Teyt isbotladi^[63][64]

${ displaystyle K_ {2} ( mathbf {Q}) = ( mathbf {Z} / 4) ^ {*} times prod _ {p { text {tod prime}}} ( mathbf {Z} / p) ^ {*} }$

va dalil keltirilganligini ta'kidladi Gauss ning birinchi isboti Kvadratik o'zaro ta'sir qonuni.^[65][66]

Arximed bo'lmagan mahalliy dalalar uchun K guruhi₂(F) sonli sonning to'g'ridan-to'g'ri yig'indisi tsiklik guruh tartib m, ayt va a bo'linadigan guruh K₂(F)^m.^[67]

Bizda K bor₂(Z) = Z/2,^[68] va umuman K₂ sonli maydonning butun sonlari halqasi uchun cheklangan.^[69]

Bundan tashqari bizda K₂(Z/n) = Z/ 2 agar n 4 ga bo'linadi, aks holda nolga teng bo'ladi.^[70]

Matsumoto teoremasi

Matsumoto teoremasi dalalar uchun k, ikkinchisi K-grup tomonidan beriladi^[71][72]

${displaystyle K_{2}(k)=k^{ imes }otimes _{mathbf {Z} }k^{ imes }/langle aotimes (1-a)mid a ot =0,1 angle .}$

Matsumoto's original theorem is even more general: For any ildiz tizimi, it gives a presentation for the unstable K-theory. This presentation is different from the one given here only for symplectic root systems. For non-symplectic root systems, the unstable second K-group with respect to the root system is exactly the stable K-group for GL(A). Unstable second K-groups (in this context) are defined by taking the kernel of the universal central extension of the Chevalley guruhi of universal type for a given root system. This construction yields the kernel of the Steinberg extension for the root systems A_n (n > 1) and, in the limit, stable second K-groups.

Long exact sequences

Agar A a Dedekind domeni bilan kasrlar maydoni F keyin bor uzoq aniq ketma-ketlik

${displaystyle K_{2}F ightarrow oplus _{mathbf {p} }K_{1}A/{mathbf {p} } ightarrow K_{1}A ightarrow K_{1}F ightarrow oplus _{mathbf {p} }K_{0}A/{mathbf {p} } ightarrow K_{0}A ightarrow K_{0}F ightarrow 0 }$

qayerda p runs over all prime ideals of A.^[73]

There is also an extension of the exact sequence for relative K₁ va K₀:^[74]

${displaystyle K_{2}(A) ightarrow K_{2}(A/I) ightarrow K_{1}(A,I) ightarrow K_{1}(A)cdots .}$

Ulanish

There is a pairing on K₁ with values in K₂. Given commuting matrices X va Y ustida A, take elements x va y ichida Shtaynberg guruhi bilan X,Y as images. Kommutator ${displaystyle xyx^{-1}y^{-1}}$ is an element of K₂.^[75] The map is not always surjective.^[76]

Milnor K- nazariya

Uchun yuqoridagi ifoda K₂ maydon k led Milnor to the following definition of "higher" K-groups by

${displaystyle K_{*}^{M}(k):=T^{*}(k^{ imes })/(aotimes (1-a)),}$

thus as graded parts of a quotient of the tensor algebra ning multiplikativ guruh k^× tomonidan ikki tomonlama ideal, tomonidan yaratilgan

${displaystyle left{aotimes (1-a): a eq 0,1 ight}.}$

Uchun n = 0,1,2 these coincide with those below, but for n ≧ 3 they differ in general.^[77] For example, we have K^M
_n(F_q) = 0 uchun n ≧ 2but K_nF_q is nonzero for odd n (pastga qarang).

The tensor product on the tensor algebra induces a product ${displaystyle K_{m} imes K_{n} ightarrow K_{m+n}}$ qilish ${displaystyle K_{*}^{M}(F)}$ a gradusli uzuk qaysi kommutativ.^[78]

The images of elements ${displaystyle a_{1}otimes cdots otimes a_{n}}$ yilda ${displaystyle K_{n}^{M}(k)}$ deb nomlanadi belgilar, belgilangan ${ displaystyle {a_ {1}, ldots, a_ {n} }}$. Butun son uchun m teskari k xarita bor

${displaystyle partial :k^{*} ightarrow H^{1}(k,mu _{m})}$

qayerda ${displaystyle mu _{m}}$ denotes the group of m-th roots of unity in some separable extension of k. Bu kengayadi

${displaystyle partial ^{n}:k^{*} imes cdots imes k^{*} ightarrow H^{n}left({k,mu _{m}^{otimes n}} ight) }$

satisfying the defining relations of the Milnor K-group. Shuning uchun ${ displaystyle kısmi ^ {n}}$ may be regarded as a map on ${displaystyle K_{n}^{M}(k)}$, deb nomlangan Galois belgisi xarita^[79]

The relation between etale (yoki Galois ) cohomology of the field and Milnor K-theory modulo 2 is the Milnor gumoni tomonidan tasdiqlangan Vladimir Voevodskiy.^[80] The analogous statement for odd primes is the Bloch-Kato conjecture, proved by Voevodsky, Rost, and others.

Yuqori K- nazariya

The accepted definitions of higher K-groups were given by Quillen (1973), after a few years during which several incompatible definitions were suggested. The object of the program was to find definitions of K(R) va K(R,Men) xususida bo'shliqlarni tasniflash Shuning uchun; ... uchun; ... natijasida R ⇒ K(R) va (R,Men) ⇒ K(R,Men) are functors into a homotopiya toifasi of spaces and the long exact sequence for relative K-groups arises as the uzoq aniq homotopiya ketma-ketligi a fibratsiya K(R,Men) → K(R) → K(R/Men).^[81]

Quillen gave two constructions, the "plus-construction" and the "Q-construction", the latter subsequently modified in different ways.^[82] The two constructions yield the same K-groups.^[83]

The +-construction

One possible definition of higher algebraic K-theory of rings was given by Quillen

${displaystyle K_{n}(R)=pi _{n}(Boperatorname {GL} (R)^{+}),}$

Here π_n a homotopiya guruhi, GL(R) bo'ladi to'g'ridan-to'g'ri chegara ning umumiy chiziqli guruhlar ustida R for the size of the matrix tending to infinity, B is the classifying space construction of homotopiya nazariyasi, va ⁺ is Quillen's ortiqcha qurilish.

This definition only holds for n > 0 so one often defines the higher algebraic K-theory via

${displaystyle K_{n}(R)=pi _{n}(Boperatorname {GL} (R)^{+} imes K_{0}(R))}$

Beri BGL(R)⁺ is path connected and K₀(R) discrete, this definition doesn't differ in higher degrees and also holds for n = 0.

The Q-qurilish

The Q-construction gives the same results as the +-construction, but it applies in more general situations. Moreover, the definition is more direct in the sense that the K-groups, defined via the Q-construction are functorial by definition. This fact is not automatic in the plus-construction.

Aytaylik P bu exact category; bilan bog'liq P a new category QP is defined, objects of which are those of P and morphisms from M′ Dan M″ are isomorphism classes of diagrams

${displaystyle M'longleftarrow Nlongrightarrow M'',}$

where the first arrow is an admissible epimorfizm and the second arrow is an admissible monomorfizm.

The men-chi K-group of the exact category P keyin sifatida belgilanadi

${displaystyle K_{i}(P)=pi _{i+1}(mathrm {BQ} P,0)}$

with a fixed zero-object 0, where BQP bo'ladi bo'shliqni tasniflash ning QP, which is defined to be the geometric realisation ning asab ning QP.

This definition coincides with the above definition of K₀(P). Agar P is the category of finitely generated loyihaviy R-modullar, this definition agrees with the above BGL⁺ta'rifi K_n(R) Barcha uchun n.More generally, for a sxema X, qanchalik baland bo'lsa K- guruhlari X are defined to be the K-groups of (the exact category of) locally free izchil qirg'oqlar kuni X.

The following variant of this is also used: instead of finitely generated projective (= locally free) modules, take finitely generated modules. Natijada K-groups are usually written G_n(R). Qachon R a noeteriya regular ring, keyin G- va K-theory coincide. Haqiqatan ham global o'lchov of regular rings is finite, i.e. any finitely generated module has a finite projective resolution P_* → M, and a simple argument shows that the canonical map K₀(R) → G₀(R) is an izomorfizm, with [M]=Σ ± [P_n]. This isomorphism extends to the higher K-groups, too.

The S-qurilish

A third construction of K-theory groups is the S-construction, due to Valdxauzen.^[84] It applies to categories with cofibrations (also called Waldhausen categories ). This is a more general concept than exact categories.

Misollar

While the Quillen algebraic K-theory has provided deep insight into various aspects of algebraic geometry and topology, the K-groups have proved particularly difficult to compute except in a few isolated but interesting cases. (Shuningdek qarang: Maydonning K guruhlari.)

Algebraik K-groups of finite fields

The first and one of the most important calculations of the higher algebraic K-groups of a ring were made by Quillen himself for the case of cheklangan maydonlar:

Agar F_q is the finite field with q elements, then:

• K₀(F_q) = Z,
• K_2men(F_q) = 0 for men ≥1,
• K_2men–1(F_q) = Z/(q ^men − 1)Z uchun men ≥ 1.

Rik Jardin  (1993 ) reproved Quillen's computation using different methods.

Algebraik K-groups of rings of integers

Quillen proved that if A bo'ladi ring of algebraic integers in an algebraic raqam maydoni F (a finite extension of the rationals), then the algebraic K-groups of A are finitely generated. Armand Borel used this to calculate K_men(A) and K_men(F) modulo torsion. For example, for the integers Z, Borel proved that (modulo torsion)

• K_men (Z)/tors.=0 for positive men agar bo'lmasa i=4k+1 bilan k ijobiy
• K_4k+1 (Z)/tors.= Z ijobiy uchun k.

The torsion subgroups of K_2men+1(Z), and the orders of the finite groups K_4k+2(Z) have recently been determined, but whether the latter groups are cyclic, and whether the groups K_4k(Z) vanish depends upon Vandiver's conjecture about the class groups of cyclotomic integers. Qarang Kvillen-Lixtenbaum gumoni batafsil ma'lumot uchun.

Applications and open questions

Algebraik K-groups are used in conjectures on L funktsiyalarining maxsus qiymatlari and the formulation of a non-commutative main conjecture of Iwasawa theory va qurilishida higher regulators.^[69]

Parshin's conjecture concerns the higher algebraic K-groups for smooth varieties over finite fields, and states that in this case the groups vanish up to torsion.

Another fundamental conjecture due to Hyman Bass (Bass' conjecture ) says that all of the groups G_n(A) are finitely generated when A nihoyatda hosil bo'lgan Z-algebra. (The groupsG_n(A) K-groups of the category of finitely generated A-modules) ^[85]

Shuningdek qarang

• Bloch's formula
• Fundamental theorem of algebraic K- nazariya
• Basic theorems in algebraic K- nazariya
• K- nazariya
• K-theory of a category
• K- maydon guruhi
• K- nazariy spektr
• Redshift conjecture
• Topologik K- nazariya
• Rigidity (K-theory)

Izohlar

Adabiyotlar

• Bass, Hyman (1968), Algebraik K- nazariya, Mathematics Lecture Note Series, New York-Amsterdam: W.A. Benjamin, Inc., Zbl  0174.30302
• Friedlander, Eric; Greyson, Daniel, nashr. (2005), Handbook of K-Theory, Berlin, Nyu-York: Springer-Verlag, doi:10.1007/3-540-27855-9, ISBN  978-3-540-30436-4, JANOB  2182598
• Fridlander, Erik M.; Vaybel, Charlz V. (1999), Algebraikaga umumiy nuqtai K- nazariya, Jahon ilmiy ishlari. Publ., River Edge, NJ, 1–119 betlar, JANOB  1715873
• Gill, Filipp; Szamuely, Tamás (2006), Central simple algebras and Galois cohomology, Kengaytirilgan matematikadan Kembrij tadqiqotlari, 101, Kembrij: Kembrij universiteti matbuoti, ISBN  978-0-521-86103-8, Zbl  1137.12001
• Gras, Georges (2003), Class field theory. From theory to practice, Springer Monographs in Mathematics, Berlin: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-44133-5, Zbl  1019.11032
• Jardin, Jon Frederik (1993), "The K-theory of finite fields, revisited", K-Theory, 7 (6): 579–595, doi:10.1007 / BF00961219, JANOB  1268594
• Lam, Tsit-Yuen (2005), Maydonlar ustida kvadratik shakllarga kirish, Graduate Studies in Mathematics, 67, Amerika matematik jamiyati, ISBN  978-0-8218-1095-8, JANOB  2104929, Zbl  1068.11023
• Lemmermeyer, Franz (2000), Reciprocity laws. From Euler to Eisenstein, Springer Monographs in Mathematics, Berlin: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-662-12893-0, ISBN  978-3-540-66957-9, JANOB  1761696, Zbl  0949.11002
• Milnor, Jon Uillard (1970), "Algebraic K-theory and quadratic forms", Mathematicae ixtirolari, 9 (4): 318–344, Bibcode:1970InMat ... 9..318M, doi:10.1007/BF01425486, ISSN  0020-9910, JANOB  0260844
• Milnor, Jon Uillard (1971), Algebraik K-nazariyasiga kirish, Matematik tadqiqotlar yilnomalari, 72, Princeton, NJ: Prinston universiteti matbuoti, JANOB  0349811, Zbl  0237.18005 (lower K-groups)
• Kvillen, Doniyor (1973), "Higher algebraic K-theory. I", Algebraic K-theory, I: Higher K-theories (Proc. Conf., Battelle Memorial Inst., Seattle, Wash., 1972), Lecture Notes in Math, 341, Berlin, Nyu-York: Springer-Verlag, pp. 85–147, doi:10.1007 / BFb0067053, ISBN  978-3-540-06434-3, JANOB  0338129
• Kvillen, Doniyor (1975), "Higher algebraic K-theory", Xalqaro matematiklar Kongressi materiallari (Vankuver, B. C., 1974), jild. 1, Montreal, Quebec: Canad. Matematika. Congress, pp. 171–176, JANOB  0422392 (Quillen's Q-construction)
• Quillen, Daniel (1974), "Higher K-theory for categories with exact sequences", Topologiyadagi yangi o'zgarishlar (Proc. Sympos. Algebraic Topology, Oksford, 1972), London matematikasi. Soc. Ma'ruza eslatmasi, 11, Kembrij universiteti matbuoti, pp. 95–103, JANOB  0335604 (relation of Q-construction to plus-construction)
• Rosenberg, Jonathan (1994), Algebraic K-theory and its applications, Matematikadan aspirantura matnlari, 147, Berlin, Nyu-York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-4314-4, ISBN  978-0-387-94248-3, JANOB  1282290, Zbl  0801.19001. Errata
• Seiler, Wolfgang (1988), "λ-Rings and Adams Operations in Algebraic K-Theory", in Rapoport, M.; Schneider, P.; Schappacher, N. (eds.), Beilinson's Conjectures on Special Values of L-Functions, Boston, MA: Academic Press, ISBN  978-0-12-581120-0
• Silvester, John R. (1981), Algebraik K-nazariyasiga kirish, Chapman and Hall Mathematics Series, London, New York: Chapman va Xoll, ISBN  978-0-412-22700-4, Zbl  0468.18006
• Vaybel, Charlz (2005), "Algebraic K-theory of rings of integers in local and global fields" (PDF), Handbook of K-theory, Berlin, Nyu-York: Springer-Verlag, pp. 139–190, doi:10.1007/3-540-27855-9_5, ISBN  978-3-540-23019-9, JANOB  2181823 (survey article)
• Vaybel, Charlz (1999), The development of algebraic K-theory before 1980, Zamonaviy matematika, 243, Providence, RI: Amerika matematik jamiyati, pp. 211–238, doi:10.1090/conm/243/03695, JANOB  1732049

Qo'shimcha o'qish

• Lluis-Puebla, Emilio; Loday, Jean-Louis; Gillet, Henri; Soulé, Christophe; Snaith, Victor (1992), Higher algebraic K-theory: an overview, Matematikadan ma'ruza matnlari, 1491, Berlin, Geydelberg: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-55007-5, Zbl  0746.19001
• Magurn, Bruce A. (2009), An algebraic introduction to K-theory, Matematika entsiklopediyasi va uning qo'llanilishi, 87 (corrected paperback ed.), Kembrij universiteti matbuoti, ISBN  978-0-521-10658-0
• Srinivas, V. (2008), Algebraik K- nazariya, Modern Birkhäuser Classics (Paperback reprint of the 1996 2nd ed.), Boston, MA: Birxauzer, ISBN  978-0-8176-4736-0, Zbl  1125.19300
• Weibel, C., K-kitob: algebraik K-nazariyasiga kirish

Pedagogical references

• Rosenberg, Jonathan (1994), Algebraic K-theory and its applications, Matematikadan aspirantura matnlari, 147, Berlin, Nyu-York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-4314-4, ISBN  978-0-387-94248-3, JANOB  1282290, Zbl  0801.19001. Errata

Tarixiy ma'lumotlar

• Atiya, Maykl F.; Xirzebrux, Fridrix (1961), Vector bundles and homogeneous spaces, Proc. Simpozlar. Sof matematik., 3, Amerika matematik jamiyati, pp. 7–38
• Barden, Dennis (1964). On the Structure and Classification of Differential Manifolds (Tezis). Kembrij universiteti.
• Bass, Hyman; Murthy, M.P. (1967). "Grothendieck groups and Picard groups of abelian group rings". Matematika yilnomalari. 86 (1): 16–73. doi:10.2307/1970360. JSTOR  1970360.
• Bass, Hyman; Schanuel, S. (1962). "The homotopy theory of projective modules". Amerika Matematik Jamiyati Axborotnomasi. 68 (4): 425–428. doi:10.1090/s0002-9904-1962-10826-x.
• Bass, Hyman (1968). Algebraik K- nazariya. Benjamin.
• Bloch, Spencer (1974). "K₂ of algebraic cycles". Matematika yilnomalari. 99 (2): 349–379. doi:10.2307/1970902. JSTOR  1970902.
• Bokstedt, M., Topological Hochschild homology. Preprint, Bielefeld, 1986.
• Bokstedt, M., Hsiang, W. C., Madsen, I., The cyclotomic trace and algebraic K-theory of spaces. Ixtiro qiling. Matematik., 111(3) (1993), 465–539.
• Borel, Armand; Ser, Jan-Per (1958). "Le theoreme de Riemann–Roch". Xabar byulleteni de Société Mathématique de France. 86: 97–136. doi:10.24033/bsmf.1500.
• Browder, William (1978), Algebraik K-theory with coefficients Z/p, Matematikadan ma'ruza matnlari, 657, Springer–Verlag, pp. 40–84
• Brown, K., Gersten, S., Algebraik K-theory as generalized sheaf cohomology, Algebraic K-theory I, Lecture Notes in Math., vol. 341, Springer-Verlag, 1973, pp. 266–292.
• Cerf, Jan (1970). "La stratification naturelle des espaces de fonctions differentiables reelles et le theoreme de la pseudo-isotopie". Mathématiques de l'IHÉS nashrlari. 39: 5–173. doi:10.1007 / BF02684687.
• Dennis, R. K., Higher algebraic K-theory and Hochschild homology, unpublished preprint (1976).
• Gersten, S (1971). "On the functor K₂". J. Algebra. 17 (2): 212–237. doi:10.1016/0021-8693(71)90030-5.
• Grothendieck, Alexander, Classes de fasiceaux et theoreme de Riemann–Roch, mimeographed notes, Princeton 1957.
• Xetcher, Allen; Wagoner, John (1973), "Pseudo-isotopies of compact manifolds", Asterisk, 6, JANOB  0353337
• Karoubi, Max (1968). "Foncteurs derives et K-theorie. Categories filtres". Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série A-B. 267: A328–A331.
• Karoubi, Max; Villamayor, O. (1971). "K-theorie algebrique et K-theorie topologique". Matematika. Skandal. 28: 265–307. doi:10.7146/math.scand.a-11024.
• Matsumoto, Hideya (1969). "Sur les sous-groupes aritmetiques des groupes semi-simples deployes". Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. 2: 1–62. doi:10.24033/asens.1174.
• Mazur, Barri (1963). "Differential topology from the point of view of simple homotopy theory" (PDF). Mathématiques de l'IHÉS nashrlari. 15: 5–93.
• Milnor, J (1970). "Algebraik K-theory and Quadratic Forms". Ixtiro qiling. Matematika. 9 (4): 318–344. Bibcode:1970InMat ... 9..318M. doi:10.1007 / bf01425486.
• Milnor, J., Introduction to Algebraic K- nazariya, Princeton Univ. Press, 1971.
• Nobile, A., Villamayor, O., Sur la K-theorie algebrique, Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, 4e seriya, 1, yo'q. 3, 1968, 581–616.
• Quillen, Daniel, Guruhlarning kohomologiyasi, Proc. ICM Nice 1970, vol. 2, Gauthier-Villars, Paris, 1971, 47–52.
• Quillen, Daniel, Higher algebraic K-theory I, Algebraic K-theory I, Lecture Notes in Math., vol. 341, Springer Verlag, 1973, 85–147.
• Quillen, Daniel, Higher algebraic K- nazariya, Proc. Stajyor. Congress Math., Vancouver, 1974, vol. I, Canad. Matematika. Soc., 1975, pp. 171–176.
• Segal, Graeme (1974). "Kategoriyalar va kohomologiya nazariyalari". Topologiya. 13 (3): 293–312. doi:10.1016/0040-9383(74)90022-6.
• Siebenmann, Larry, The Obstruction to Finding a Boundary for an Open Manifold of Dimension Greater than Five, Thesis, Princeton University (1965).
• Smale, S (1962). "On the structure of manifolds". Amer. J. Matematik. 84 (3): 387–399. doi:10.2307/2372978. JSTOR  2372978.
• Steinberg, R., Generateurs, ,relations et revetements de groupes algebriques, ́Colloq. Theorie des Groupes Algebriques, Gauthier-Villars, Paris, 1962, pp. 113–127. (Frantsuzcha)
• Swan, Richard, Nonabelian homological algebra and K-theory, Proc. Simpozlar. Sof matematik., Vol. XVII, 1970, pp. 88–123.
• Thomason, R. W., Algebraik K-theory and étale cohomology, Ann. Ilmiy. Ek. Norm. Sup. 18, 4e serie (1985), 437–552; erratum 22 (1989), 675–677.
• Thomason, R. W., Le principe de sciendage et l'inexistence d'une K-theorie de Milnor globale, Topologiya 31, yo'q. 3, 1992, 571–588.
• Thomason, Robert W.; Trobaugh, Thomas (1990), "Higher algebraic K-theory of schemes and of derived categories", Grothendieck Festschrift, jild. III, Progr. Matematik., 88, Boston, MA: Birkhäuser Boston, pp. 247–435, doi:10.1007/978-0-8176-4576-2_10, ISBN  978-0-8176-3487-2, JANOB  1106918
• Waldhausen, F., Algebraik K-theory of topological spaces. Men, in Algebraic and geometric topology (Proc. Sympos. Pure Math., Stanford Univ., Stanford, Calif., 1976), Part 1, pp. 35–60, Proc. Simpozlar. Sof matematik., XXXII, Amer. Matematika. Soc., Providence, R.I., 1978.
• Waldhausen, F., Algebraik K-theory of spaces, yilda Algebraic and geometric topology (New Brunswick, N.J., 1983), Matematikadan ma'ruza matnlari, vol. 1126 (1985), 318–419.
• Wall, C. T. C. (1965). "Finiteness conditions for CW-complexes". Matematika yilnomalari. 81 (1): 56–69. doi:10.2307/1970382. JSTOR  1970382.
• Whitehead, J.H.C. (1941). "On incidence matrices, nuclei and homotopy types". Matematika yilnomalari. 42 (5): 1197–1239. doi:10.2307/1970465. JSTOR  1970465.
• Whitehead, J.H.C. (1950). "Simple homotopy types". Amer. J. Matematik. 72 (1): 1–57. doi:10.2307/2372133. JSTOR  2372133.
• Whitehead, J.H.C. (1939). "Simplicial spaces, nuclei and m-groups". Proc. London matematikasi. Soc. 45: 243–327. doi:10.1112/plms/s2-45.1.243.

Tashqi havolalar

• K theory preprint archive