Dihedral guruh - Dihedral group - Wikipedia

The simmetriya guruhi a qor parchasi D.6, dihedral simmetriya, odatdagidek olti burchak.

Yilda matematika, a dihedral guruh bo'ladi guruh ning simmetriya a muntazam ko'pburchak,[1][2] o'z ichiga oladi aylanishlar va aks ettirishlar. Dihedral guruhlar eng oddiy misollar qatoriga kiradi cheklangan guruhlar va ular muhim rol o'ynaydi guruh nazariyasi, geometriya va kimyo.

Dihedral guruh uchun yozuvlar farqlanadi geometriya va mavhum algebra. Yilda geometriya, D.n yoki Dihn ning simmetriyalariga ishora qiladi n-gon, buyurtma guruhi 2n. Yilda mavhum algebra, D.2n xuddi shu dihedral guruhga tegishli.[3] Geometrik konventsiya ushbu maqolada qo'llaniladi.

Ta'rif

Elementlar

Ning oltita o'qi aks ettirish oddiy olti burchakli

Bilan muntazam ko'pburchak tomonlari bor turli xil simmetriya: aylanish simmetriyalari va aks ettirish simmetriyalari. Odatda, biz olamiz Bu yerga. Bilan bog'liq aylanishlar va aks ettirishlar dihedral guruhni tashkil qiladi . Agar g'alati, har bir simmetriya o'qi bir tomonning o'rta nuqtasini qarama-qarshi tepaga bog'laydi. Agar hatto bor, bor qarama-qarshi tomonlarning o'rta nuqtalarini bog'laydigan simmetriya o'qlari va qarama-qarshi tepalarni bog'laydigan simmetriya o'qlari. Ikkala holatda ham bor simmetriya o'qlari va simmetriya guruhidagi elementlar.[4] Simmetriyaning bir o'qida aks ettirish, so'ngra boshqa simmetriya o'qida aks ettirish o'qlar orasidagi burchakning ikki barobar atrofida aylanishini hosil qiladi.[5]

Quyidagi rasmda o'n oltita elementning ta'siri ko'rsatilgan a to'xtash belgisi:

Dihedral8.png

Birinchi qatorda sakkizta aylanishning ta'siri, ikkinchi qatorda sakkizta aks ettirishning ta'siri ko'rsatilgan, har bir holatda to'xtash belgisida chap tomonda ko'rsatilgandek yo'nalish bilan harakat qilish.

Guruh tarkibi

Har qanday geometrik ob'ektda bo'lgani kabi tarkibi muntazam ko'pburchakning ikkita simmetriyasi yana shu ob'ektning simmetriyasidir. Ikkilik operatsiya sifatida boshqasini ishlab chiqarish uchun simmetriya tarkibi bilan, bu ko'pburchakning simmetriyasini a ning algebraik tuzilishini beradi cheklangan guruh.[6]

Belgilangan uchburchak aks ettirish.svg
Ushbu ikkita aks ettirishning tarkibi aylanishdir.

Quyidagi Keyli stoli guruhdagi kompozitsiyaning ta'sirini ko'rsatadi D.3 (an simmetriyalari teng qirrali uchburchak ). r0 shaxsni bildiradi; r1 va r2 soat sohasi farqli ravishda aylanishlarni mos ravishda 120 ° va 240 ° ga belgilang va s0, s1 va s2 qo'shni rasmda ko'rsatilgan uchta chiziq bo'ylab aks ettirishni belgilang.

r0r1r2s0s1s2
r0r0r1r2s0s1s2
r1r1r2r0s1s2s0
r2r2r0r1s2s0s1
s0s0s2s1r0r2r1
s1s1s0s2r1r0r2
s2s2s1s0r2r1r0

Masalan, s2s1 = r1, chunki aks ettirish s1 keyin s aks ettirish2 120 ° burilishga olib keladi. Belgilangan elementlarning tartibi tarkibi element o'ng tomonidagi ifodada harakat qilishi haqidagi konvensiyani aks ettiruvchi o'ngdan chapga. Tarkibi operatsiyasi emas kommutativ.[6]

Umuman olganda, D guruhin r elementlari mavjud0, ..., rn−1 va s0, ..., sn−1, quyidagi formulalar bilan tuzilgan:

Barcha holatlarda obunalarni qo'shish va olib tashlash yordamida amalga oshiriladi modulli arifmetik modul bilan n.

Matritsaning namoyishi

Ushbu beshburchakning simmetriyalari chiziqli transformatsiyalar vektor maydoni sifatida tekislikning.

Agar biz muntazam ko'pburchakni boshida markazlashtirsak, dihedral guruh elementlari quyidagicha harakat qiladi chiziqli transformatsiyalar ning samolyot. Bu bizga D elementlarini ifodalashga imkon beradin kabi matritsalar, tarkibi bilan matritsani ko'paytirish.Bu (2 o'lchovli) misol guruh vakili.

Masalan, guruh elementlari D.4 quyidagi sakkizta matritsa bilan ifodalanishi mumkin:

Umuman olganda, D elementlari uchun matritsalarn quyidagi shaklga ega:

rk a aylanish matritsasi, ning burchagi orqali soat sohasi farqli ravishda aylanishni ifodalaydi 2πk/n. sk ning burchagini hosil qiladigan chiziq bo'ylab aks ettirishdir πk/n bilan x-aksis.

Boshqa ta'riflar

Ning keyingi teng ta'riflari D.n ular:

  • The avtomorfizm guruhi ning grafik bilan faqat tsikldan iborat n tepaliklar (agar n ≥ 3).
  • Guruh taqdimot
    Ikkinchi taqdimotdan kelib chiqadi D.n sinfiga kiradi Kokseter guruhlari.
  • The yarim yo'nalishli mahsulot ning tsiklik guruhlar Zn va Z2, bilan Z2 harakat qilish Zn tomonidan inversiya (shunday qilib, D.n har doim oddiy kichik guruh guruhga izomorf Zn). Znφ Z2 izomorfik D.n agar φ(0) bo'ladi shaxsiyat va φ(1) inversiya.

Kichik dihedral guruhlar

Olti burchakli dihedral simmetriyadan misol kichik guruhlar

D.1 bu izomorfik ga Z2, tsiklik guruh 2-tartib.

D.2 bu izomorfik ga K4, Klein to'rt guruh.

D.1 va D.2 bunda istisno:

  • D.1 va D.2 yagona abeliya dihedral guruhlar. Aks holda, D.n abeliya emas.
  • D.n a kichik guruh ning nosimmetrik guruh Sn uchun n ≥ 3. Beri 2n > n! uchun n = 1 yoki n = 2, ushbu qadriyatlar uchun, D.n kichik guruh bo'lish uchun juda katta.
  • Ning ichki avtomorfizm guruhi D.2 ahamiyatsiz, boshqa qiymatlari uchun esa n, bu D.n / Z2.

The tsikl grafikalari dihedral guruhlarning an n-element tsikli va n 2 elementli tsikllar. Quyidagi turli dihedral guruhlarning tsikli grafikalaridagi quyuq tepalik identifikatsiya elementini, qolgan tepalar esa guruhning boshqa elementlarini anglatadi. Tsikl ga bog'langan elementlarning har ikkalasining ketma-ket kuchlaridan iborat hisobga olish elementi.

Grafiklarni aylantirish
D.1 = Z2D.2 = Z22 = K4D.3D.4D.5
GroupDiagramMiniC2.svgGroupDiagramMiniD4.svgGroupDiagramMiniD6.svgGroupDiagramMiniD8.svgGroupDiagramMiniD10.svg
GroupDiagramMiniD12.svgGroupDiagramMiniD14.svgGroupDiagramMiniD16.svgGroupDiagramMiniD18.pngGroupDiagramMiniD20.png
D.6 = D.3 × Z2D.7D.8D.9D.10 = D.5 × Z2
D.3 = S3D.4
Nosimmetrik guruh 3; tsikl grafikasi.svgDih4 tsikli graph.svg

Dihedral guruh 2D formatidagi simmetriya guruhi va 3D da aylanish guruhi sifatida

Abstrakt guruhga misol D.n, va uni tasavvur qilishning keng tarqalgan usuli bu guruhdir Evklid tekisligining izometriyalari kelib chiqishini aniq saqlaydigan. Ushbu guruhlar diskretlarning ikkita seriyasidan birini tashkil qiladi ikki o'lchovdagi nuqta guruhlari. D.n dan iborat n aylanishlar ning ko'paytmalari 360°/n kelib chiqishi haqida va aks ettirishlar bo'ylab n ning ko'paytmalarining burchaklarini yasab, kelib chiqishi orqali chiziqlar 180°/n bir-birlari bilan. Bu simmetriya guruhi a muntazam ko'pburchak bilan n tomonlar (uchun n ≥ 3; bu holatlarga taalluqlidir n = 1 va n = 2 bu erda biz "1-gon" va "2-gon" yoki chiziq segmentining "markazidan" mos ravishda nuqta siljigan tekislikka egamiz).

D.n bu hosil qilingan aylanish bilan r ning buyurtma n va aks ettirish s 2-buyurtma shunday

Geometrik nuqtai nazardan: oynada aylanish teskari burilishga o'xshaydi.

Xususida murakkab sonlar: ko'paytirish va murakkab konjugatsiya.

Matritsa shaklida, sozlash orqali

va belgilaydigan va uchun biz D uchun mahsulot qoidalarini yozishimiz mumkinn kabi

(Taqqoslang koordinatali aylantirish va aks ettirish.)

Dihedral guruh D2 180 graduslik r atrofida hosil bo'ladi va aks ettirish s ning bo'ylab x-aksis. D. elementlari2 keyin {e, r, s, rs} sifatida ifodalanishi mumkin, bu erda e identifikatsiya yoki null transformatsiya, rs esa aks ettirish y-aksis.

D.ning to'rtta elementi2 (x o'qi bu erda vertikal)

D.2 bu izomorfik uchun Klein to'rt guruh.

Uchun n > 2 aylanish va aks ettirish operatsiyalari umuman bajarilmaydi qatnov va D.n emas abeliya; masalan, ichida D.4, 90 graduslik burilish, so'ngra aks ettirish, aks ettirishdan 90 gradusgacha aylanishdan boshqacha natija beradi.

D.4 nonabelian (bu erda x o'qi vertikal).

Shunday qilib, muammolarning aniq qo'llanilishidan tashqari simmetriya tekislikda bu guruhlar abeliya bo'lmagan guruhlarning eng oddiy misollaridan biri bo'lib, ko'pincha abelyan guruhlari bilan cheklangan teoremalarga oson qarshi misollar sifatida paydo bo'ladi.

The 2n ning elementlari D.n sifatida yozilishi mumkin e, r, r2, ... , rn−1, s, r s, r2s, ... , rn−1s. Birinchi n sanab o'tilgan elementlar rotatsiyalar va qolganlari n elementlar eksa-aks ettirishdir (ularning barchasi 2-tartibga ega). Ikki aylantirish yoki ikkita aks ettirishning hosilasi aylanma; aylanish va aks ettirish mahsuloti aks ettirishdir.

Hozircha biz ko'rib chiqdik D.n bo'lish a kichik guruh ning O (2), ya'ni tekislik aylanishlari (kelib chiqishi haqida) va aks ettirishlar (kelib chiqishi orqali o'qlar bo'ylab). Biroq, yozuv D.n ning kichik guruhi uchun ham ishlatiladi SO (3) bu ham mavhum guruh turiga kiradi D.n: the to'g'ri simmetriya guruhi a uch o'lchovli kosmosga o'rnatilgan muntazam ko'pburchak (agar n ≥ 3). Bunday ko'rsatkichni yuzi ikki marta hisoblangan, degeneratsiyalangan muntazam qattiq narsa deb hisoblash mumkin. Shuning uchun, u ham deyiladi dihedron (Yunoncha: ikki yuzli qattiq), bu nomni tushuntiradi dihedral guruh (o'xshashligi bilan tetraedral, oktahedral va ikosahedral guruh, muntazam simmetriya guruhlariga murojaat qilish tetraedr, oktaedr va ikosaedr tegishli ravishda).

2D dihedral simmetriya misollari

Xususiyatlari

Dihedral guruhlarning xususiyatlari D.n bilan n ≥ 3 bog'liqligiga bog'liq n juft yoki toq. Masalan, markaz ning D.n faqat agar shaxsiyatdan iborat bo'lsa n g'alati, ammo agar bo'lsa n hatto markazda ikkita element, ya'ni identifikator va r element mavjudn/2 (D. bilann O (2) kichik guruhi sifatida bu inversiya; chunki u shunday skalar ko'paytmasi $ -1 $ bilan, har qanday chiziqli o'zgarish bilan almashinishi aniq).

2 o'lchovli izometriyalarda, bu mavjud bo'lganlar orasida aylanishlar va nometalllarni berib, inversiyani qo'shishga to'g'ri keladi.

Uchun n ikki marta toq son, mavhum guruh D.n bilan izomorfik to'g'ridan-to'g'ri mahsulot ning D.n / 2 va Z2.Umumiy holda, agar m ajratadi n, keyin D.n bor n/m kichik guruhlar turdagi D.mva bitta kichik guruhm. Shuning uchun, ning kichik guruhlarining umumiy soni D.n (n ≥ 1), ga teng d(n) + σ (n), qaerda d(n) ijobiy son bo'linuvchilar ning n va σ(n) ning musbat bo'luvchilar yig'indisin. Qarang kichik guruhlar ro'yxati holatlar uchunn ≤ 8.

Buyurtmaning dihedral guruhi 8 (D.4) bu a bo'lmagan guruhning eng kichik namunasidir T guruhi. Ikkisidan biri Klein to'rt guruh kichik guruhlar (ular D da normaldir4) odatdagi kichik guruh tartibiga ega-2 kichik guruhlari Dda aks ettirish (aylantirish) natijasida hosil bo'ladi4, ammo bu kichik guruhlar D.da normal emas4.

Ko'zgularni konjugatsiya darslari

Barcha aks ettirishlar birlashtirmoq taqdirda bir-biringizga n g'alati, ammo ular ikkita konjugatsiya sinfiga bo'linadi, agar n hatto. Agar doimiyning izometriyalari haqida o'ylasak n-gon: toq uchun n guruhda har bir juft nometall o'rtasida aylanishlar mavjud, hatto bo'lsa ham n bu aylanmalar orqali oynalardan faqat yarmiga erishish mumkin. Geometrik ravishda g'alati ko'pburchakda har bir simmetriya o'qi vertikal va yon tomondan o'tadi, juft juftlikda esa har biri konjugatsiya sinfiga mos keladigan ikkita o'qlar to'plami mavjud: ikkita tepalikdan o'tadiganlar va ikki tomondan o'tadiganlar .

Algebraik ravishda, bu konjugatning misoli Slow teoremasi (uchun n toq): uchun n g'alati, har bir aks ettirish, identifikatsiya bilan birga, 2-tartibning kichik guruhini tashkil qiladi, bu a Sylow 2-kichik guruh (2 = 21 2 ta bo'linishning maksimal kuchi 2n = 2[2k + 1]) uchun esa n hatto, bu buyurtma 2 kichik guruhlar Sylow kichik guruhlari emas, chunki 4 (yuqori quvvat 2) guruh tartibini ajratadi.

Uchun n hatto buning o'rniga tashqi avtomorfizm aks ettirishning ikki turini almashtirish (to'g'ri, barchasi ichki avtomorfizm bilan birlashtirilgan tashqi avtomorfizmlar klassi).

Automorfizm guruhi

The avtomorfizm guruhi ning D.n uchun izomorfik holomorf ℤ / ningnℤ, ya'ni to Xol (ℤ /nℤ) = {bolta + b | (a, n) = 1} va tartibga ega (n), qaerda ϕ Eylerniki totient funktsiyasi, soni k yilda 1, …, n − 1 coprime to n.

Uni aks ettirish generatorlari va elementar aylanish (tushirish bo'yicha k(2π/n), uchun k koprime ga n); ichki va tashqi qaysi avtomorfizmlar tengligiga bog'liq n.

  • Uchun n g'alati, dihedral guruh markazsiz, shuning uchun har qanday element ahamiyatsiz ichki avtomorfizmni belgilaydi; uchun n hatto, 180 ° ga burilish (kelib chiqishi orqali aks ettirish) markazning ahamiyatsiz elementidir.
  • Shunday qilib n g'alati, ichki avtomorfizm guruhi 2-tartibga eganva uchun n hatto (tashqari n = 2) ichki avtomorfizm guruhi tartibga ega n.
  • Uchun n g'alati, barcha akslantirishlar konjuge; uchun n hattoki, ular tashqi avtomorfizm bilan bog'liq bo'lgan ikkita sinfga (ikkita tepalikdan va ikki yuzdan o'tganlarga) bo'linadi. π/n (minimal aylanishning yarmi).
  • Aylanishlar oddiy kichik guruhdir; aks ettirish orqali konjugatsiya aylanish belgisini (yo'nalishini) o'zgartiradi, aks holda ularni o'zgarishsiz qoldiradi. Shunday qilib burchaklarni ko'paytiradigan avtomorfizmlar k (nusxa ko'chirish n) agar tashqi bo'lmasa k = ±1.

Avtomorfizm guruhlariga misollar

D.9 18 ga ega ichki avtomorfizmlar. 2D izometriya guruhi sifatida D9, guruhda 20 ° oralig'ida nometall mavjud. 18 ta ichki avtomorfizm nometallning 20 ° ga ko'payishini va aks ettirishni ta'minlaydi. Izometriya guruhi sifatida bularning barchasi avtomorfizmlardir. Abstrakt guruh sifatida ularga qo'shimcha ravishda 36 ta tashqi avtomorfizmlar; masalan, burilish burchaklarini 2 ga ko'paytirish.

D.10 10 ta ichki avtomorfizmga ega. 2D izometriya guruhi sifatida D10, guruhda 18 ° oralig'ida nometall mavjud. 10 ta ichki avtomorfizm nometallning 36 ° ga ko'payishini va aks ettirishni ta'minlaydi. Izometriya guruhi sifatida yana 10 ta avtomorfizm mavjud; ular ichki avtomorfizmlarga nisbatan oynalarni 18 ° burab, guruhdan tashqaridagi izometriyalar bo'yicha konjugatlardir. Mavhum guruh sifatida ushbu 10 ta ichki va 10 ta tashqi avtomorfizmlar, yana 20 ta tashqi avtomorfizmlar mavjud; masalan, aylanishlarni 3 ga ko'paytirish.

6 va 4 qiymatlarini solishtiring Eylerning totient funktsiyasi, multiplikativ butun sonli guruh moduli n uchun n = 9 va 10 mos ravishda. Bu izometriyalar (aylantirish tartibini bir xilda ushlab turish yoki tartibni teskari tutish) bilan solishtirganda, ikki avtomorfizm bilan taqqoslaganda, bu uch marta va ikki barobar ko'payadi.

Ning yagona qiymatlari n buning uchun φ(n) = 2 3, 4 va 6 ni tashkil qiladi va natijada o'zlarining avtomorfizm guruhlari uchun izomorf bo'lgan uchta dihedral guruh mavjud, ya'ni D.3 (buyurtma 6), D.4 (buyurtma 8) va D.6 (buyurtma 12).[7][8][9]

Ichki avtomorfizm guruhi

Ning ichki avtomorfizm guruhi D.n izomorfik:[10]

  • D.n agar n toq;
  • D.n / Z2 agar n hatto (uchun n = 2, D.2 / Z2 = 1 ).

Umumlashtirish

Dihedral guruhlarning bir nechta muhim umumlashtirilishi mavjud:

Shuningdek qarang

Adabiyotlar

  1. ^ Vayshteyn, Erik V. "Dihedral guruhi". MathWorld.
  2. ^ Dammit, Devid S.; Fut, Richard M. (2004). Mavhum algebra (3-nashr). John Wiley & Sons. ISBN  0-471-43334-9.
  3. ^ "Dihedral guruhlari: yozuvlar". Matematik tasvirlar loyihasi. Arxivlandi asl nusxasi 2016-03-20. Olingan 2016-06-11.
  4. ^ Kemeron, Piter Jefson (1998), Algebra faniga kirish, Oksford universiteti matbuoti, p. 95, ISBN  9780198501954
  5. ^ Toth, Gabor (2006), Algebra va geometriya haqidagi tasavvurlar, Matematikadan bakalavr matnlari (2-nashr), Springer, p. 98, ISBN  9780387224558
  6. ^ a b Lovett, Stiven (2015), Abstrakt algebra: tuzilmalari va qo'llanilishi, CRC Press, p. 71, ISBN  9781482248913
  7. ^ Hamfreyz, Jon F. (1996). Guruh nazariyasi kursi. Oksford universiteti matbuoti. p. 195. ISBN  9780198534594.
  8. ^ Pedersen, Jon. "Kichik buyurtma guruhlari". Matematika bo'limi, Janubiy Florida universiteti.
  9. ^ Sommer-Simpson, Jasha (2013 yil 2-noyabr). "Tsiklik guruhlarning yarim yo'naltirilgan mahsulotlariga mo'ljallangan avtorfizm guruhlari" (pdf). p. 13. Xulosa 7.3. Avtomatik (D.n) = D.n agar va faqat agar φ(n) = 2
  10. ^ Miller, GA (1942 yil sentyabr). "Dihedral guruhlarning otomorfizmlari". Proc Natl Acad Sci U S A. 28: 368–71. doi:10.1073 / pnas.28.9.368. PMC  1078492. PMID  16588559.

Tashqi havolalar