Sistolik geometriya - Systolic geometry

A geodezik bo'yicha Amerika futboli Gromovning dalillarini aks ettiradi plomba maydonining gumoni giperelliptik holatda (qarang tushuntirish quyida).

Yilda matematika, sistolik geometriya sistolikani o'rganishdir invariantlar ning manifoldlar va polyhedra, dastlab tomonidan o'ylab topilgan Charlz Lovner tomonidan ishlab chiqilgan Mixail Gromov, Maykl Fridman, Piter Sarnak, Mixail Kats, Larri Gut va boshqalar, uning arifmetikasida, ergodik va topologik namoyishlar. Sekinroq yurganlarni ham ko'ring Sistolik geometriyaga kirish.

Sistola tushunchasi

Torusdagi eng qisqa halqa

The sistola a ixcham metrik bo'shliq X ning metrik invariantidir X, kelishmovchilikning eng kichik uzunligi deb belgilangan pastadir yilda X (ya'ni atrof-muhit makonidagi nuqtaga qisqartirilishi mumkin bo'lmagan tsikl X). Ko'proq texnik tilda biz uzunlikni minimallashtiramiz bepul ko'chadan nontrivialni ifodalaydi konjugatsiya darslari ichida asosiy guruh ning X. Qachon X a grafik, invariant odatda atrofi, tomonidan 1947 yildan beri atrofdagi maqoladan beri V. T. Tutte.^[1] Tuttening maqolasidan ilhomlanib, Loewner 1940 yillarning oxirlarida yuzalaridagi sistolik savollar haqida o'ylashni boshladi, natijada 1950 tezis uning shogirdi tomonidan Pao Ming Pu. Haqiqiy "sistol" atamasining o'zi chorak asr o'tgachgina paydo bo'lgan Marsel Berger.

Ushbu tadqiqot yo'nalishi, ehtimol, bir eslatma bilan yanada turtki bergan Rene Tomp, 1961-62 o'quv yili davomida Strasburg universiteti kutubxonasida Berger bilan suhbatda, R. Akkola va C. Blatterlarning maqolalari nashr etilganidan ko'p o'tmay. Xabarlarga ko'ra, ushbu sistolik tengsizliklarga murojaat qilib, Tom xitob qildi: Mais c'est fondastic! [Ushbu natijalar muhim ahamiyatga ega!]

Keyinchalik, Berger ushbu mavzuni bir qator maqolalar va kitoblarda ommalashtirdi, yaqinda 2008 yil mart oyida Amerika Matematik Jamiyati Xabarnomalari nashrida (quyida keltirilgan ma'lumotga qarang). Da bibliografiya Sistolik geometriya va topologiya uchun veb-sayt hozirda 160 dan ortiq maqola mavjud. Sistolik geometriya - tez rivojlanayotgan soha, so'nggi paytlarda etakchi jurnallarda chop etilgan bir qator nashrlar mavjud. Yaqinda (quyida Katz va Rudyakning 2006 yilgi maqolasiga qarang), bilan bog'langan Lusternik-Schnirelmann toifasi paydo bo'ldi. Bunday aloqaning mavjudligini teorema deb hisoblash mumkin sistolik topologiya.

3 fazodagi markaziy nosimmetrik ko'pburchakning xususiyati

Har bir qavariq markaziy nosimmetrik ko'pburchak P yilda R³ qarama-qarshi (antipodal) nuqta juftligini va ularga qo'shilib L chegarasida yotgan L uzunlikdagi yo'lni tan oladi.P ning P, qoniqarli

{ displaystyle L ^ {2} leq { frac { pi} {4}} mathrm {area} ( qismli P).}

Muqobil formulalar quyidagicha. Sirt maydonining har qanday markaziy nosimmetrik qavariq tanasi A uzunlikdagi ilmoq orqali siqib olinishi mumkin ${ displaystyle { sqrt { pi A}}}$ , sharsimon erishgan eng mahkam o'rnashish bilan. Ushbu xususiyat Pu ning tengsizligining maxsus holatiga teng (quyida qarang), bu dastlabki sistolik tengsizliklardan biri.

Tushunchalar

Maydonning lazzati to'g'risida dastlabki fikr berish uchun quyidagi kuzatishlarni o'tkazish mumkin. Tomsning Bergerga yuqorida keltirilgan so'zlarining asosiy yo'nalishi quyidagicha ko'rinadi. Geometrik invariantlar bilan bog'liq bo'lgan tengsizlikka duch kelganda, bunday hodisa o'zi qiziq; tengsizlik keskin bo'lganida (ya'ni, maqbul). Klassik izoperimetrik tengsizlik yaxshi misol.

Torus

Sirtlar haqidagi sistolik savollarda integral-geometrik identifikatorlar ayniqsa muhim rol o'ynaydi. Qo'pol qilib aytganda, bir tomondan, o'zaro bog'liqlik sohasi, ikkinchidan, mos tsikllar oilasining o'rtacha energiyasi mavjud. Tomonidan Koshi-Shvarts tengsizligi, energiya kvadratning uzunligi uchun yuqori chegara; shuning uchun sistolaning maydoni va kvadrati o'rtasida tengsizlik yuzaga keladi. Bunday yondashuv ikkala uchun ham ishlaydi Loewner tengsizligi

{ displaystyle mathrm {sys} ^ {2} leq { frac {2} { sqrt {3}}} cdot mathrm {area}}

uchun torus, bu erda tenglik holatiga tekis torus erishiladi, uning pastki o'zgarishi panjarani hosil qiladi Eyzenshteyn butun sonlari,

Ning animatsiyasi Rim yuzasi vakili P²(R) ichida R³

va uchun Pu ning haqiqiy proektsion tekislik uchun tengsizligi P²(R):

{ displaystyle mathrm {sys} ^ {2} leq { frac { pi} {2}} cdot mathrm {area}}

,

doimiy metrikani tavsiflovchi tenglik bilan Gauss egriligi.

Variantni hisoblash formulasini qo'llash aslida izodistolik nuqsonli Lyunerning torus tengsizligining quyidagi versiyasini beradi:

{ displaystyle mathrm {area} - { frac { sqrt {3}} {2}} mathrm {sys} ^ {2} geq mathrm {var} (f),}

qayerda f metrikaning konformal sinfidagi birlik metrikaga nisbatan konformal koeffitsientidir. Ushbu tengsizlikni shunga o'xshash deb hisoblash mumkin Bonnesen tengsizligi izoperimetrik nuqson bilan, izoperimetrik tengsizlikning kuchayishi.

Yaqinda ushbu turdagi bir qator yangi tengsizliklar, shu jumladan universal hajmning pastki chegaralari aniqlandi. Batafsil ma'lumot bu erda joylashgan yuzalar sistolalari.

Gromovning sistolik tengsizligi

Bu sohadagi eng chuqur natija Gromovning tengsizligi an-ning 1-gistotopi uchun muhim n- ko'p marta M:

{ displaystyle operator nomi {sys pi} _ {1} {} ^ {n} leq C_ {n} operator nomi {vol} (M),}

qayerda C_n ning o'lchamiga qarab faqat universal doimiydir M. Gomotopiya sistol sysopy₁ ning ta'rifi bo'yicha, kontraktsiz tsiklning eng kichik uzunligi M. Kollektor deyiladi muhim agar uning asosiy sinfi bo'lsa [M] ichida noan'anaviy sinfni ifodalaydi homologiya uning asosiy guruh. Buning isboti deb nomlangan yangi o'zgarmaslikni o'z ichiga oladi to'ldirish radiusi, Gromov tomonidan kiritilgan, quyidagicha ta'riflangan.

Belgilash A koeffitsient halqasi Z yoki Z₂yoki yo'qligiga qarab M yo'naltirilgan. Keyin asosiy sinf, belgilangan [M], ixcham n- o'lchovli ko'p qirrali M ning generatoridir ${ displaystyle H_ {n} (M; A) = A}$ . Ning ko'milganligi berilgan M Evklid fazosida E, biz o'rnatdik

{ displaystyle mathrm {FillRad} (M subset E) = inf left { epsilon> 0 left | ; iota _ { epsilon} ([M]) = 0 in H_ {n} (U _ { epsilon} M) o'ng. O'ng },}

qaerda_ε qo'shilishi natijasida kelib chiqqan inkluziv homomorfizmdir M uning ε-mahallasida U_ε M yilda E.

Ni aniqlash uchun mutlaq vaziyatni to'ldirish radiusi M Riemann metrikasi bilan jihozlangan g, Gromov quyidagicha davom etmoqda. C. Kuratovskiy tufayli ko'milgan narsadan foydalaniladi. Bitta imbed M Banach makonida L^∞(M) chegaralangan Borel funktsiyalari M, sup normasi bilan jihozlangan ${ displaystyle | ; |}$ . Ya'ni, biz bir nuqtani xaritada aks ettiramiz x ∈ M funktsiyaga f_x ∈ L^∞(M) formula bilan belgilanadi f_x(y) = d (x, y) Barcha uchun y ∈ M, qayerda d metrik bilan aniqlangan masofa funktsiyasi. Bizda mavjud bo'lgan uchburchak tengsizligi bilan ${ displaystyle d (x, y) = | f_ {x} -f_ {y} |,}$ va shuning uchun ko'mish ichki izometrik bo'lib, aniq ma'noda ichki masofa va atrofdagi masofa to'g'ri keladi. Bunday kuchli izometrik ko'milish mumkin emas, agar tashqi makon Xilbert maydoni bo'lsa ham M Riman doirasi (qarama-qarshi nuqtalar orasidagi masofa bo'lishi kerak π, 2 emas!). Keyin o'rnatdik E = L^∞(M) yuqoridagi formulada va aniqlang

{ displaystyle mathrm {FillRad} (M) = mathrm {FillRad} left (M subset L ^ { infty} (M) right).}

Ya'ni, Gromov sistol va plomba radiusi bilan bog'liq bo'lgan keskin tengsizlikni isbotladi,

{ displaystyle mathrm {sys pi} _ {1} leq 6 ; mathrm {FillRad} (M),}

barcha muhim manifoldlar uchun amal qiladi M; shuningdek, tengsizlik

{ displaystyle mathrm {FillRad} leq C_ {n} mathrm {vol} _ {n} {} ^ {1 / n} (M),}

barcha yopiq kollektorlar uchun amal qiladi M.

L. Ambrosio va B. Kirchgeymning avvalgi ishlariga asoslanib, S. Venger tomonidan geometrik o'lchovlar nazariyasining so'nggi natijalariga asoslangan dalillarning qisqacha mazmuni quyida keltirilgan "Sistolik geometriya va topologiya" kitobining 12.2-qismida keltirilgan. Yaqinda Gromovning tengsizligini isbotlashga butunlay boshqacha yondashuv taklif qilingan edi Larri Gut.^[2]

Gromovning barqaror tengsizligi

1-sistolik invariantlar (halqalar uzunligi bo'yicha aniqlangan) va undan yuqori o'rtasidagi farq, k-sistolik invariantlar (tsikllar sohalari bo'yicha belgilanadi va boshqalar) yodda tutilishi kerak. Hozirgi vaqtda 1-sistolalarni o'z ichiga olgan bir qator optimal sistolik tengsizliklar olingan bo'lsa-da, deyarli faqat yuqoriroq bo'lgan yagona optimal tengsizlik k- sistolalar Gromovning optimal barqaror 2-sistolik tengsizligi

{ displaystyle mathrm {stsys} _ {2} {} ^ {n} leq n! ; mathrm {vol} _ {2n} ( mathbb {CP} ^ {n})}

uchun murakkab proektsion makon, bu erda simmetrik bilan optimal chegaraga erishiladi Fubini - o'rganish metrikasi, ga havolani ko'rsatib kvant mexanikasi. Bu erda Riemann manifoldining barqaror 2-sistolasi M sozlash bilan belgilanadi

{ displaystyle mathrm {stsys} _ {2} = lambda _ {1} chap (H_ {2} (M, mathbb {Z}) _ { mathbb {R}}, | ; | o'ng),}

qayerda ${ displaystyle | ; |}$ bu barqaror me'yor, λ esa₁ panjaraning nolga teng bo'lmagan elementining eng kichik normasi. Gromovning barqaror tengsizligi qanchalik favqulodda ekanligi yaqinda aniq bo'ldi. Ya'ni, kutilganidan farqli o'laroq, simmetrik metrikasi aniqlandi kvaternionik proektsion tekislik bu emas uning sistolik jihatdan optimal metrikasi, murakkab holatdagi 2-sistoldan farqli o'laroq. Da kvaternion proektsion tekislik nosimmetrik metrikasi bilan o'rtacha o'lchovli barqaror sistolik nisbati 10/3 ga teng, murakkab proektsion 4 fazoning simmetrik metrikasi uchun o'xshash nisbati 6 qiymatini beradi, o'zboshimchalik metrikasining bunday nisbati uchun eng yaxshi yuqori chegara ikkala bo'shliqda 14. Bu yuqori chegara Lie algebrasining xususiyatlari bilan bog'liq E7. Agar Spin (7) holonomiyasi va 4-Betti raqami 1 bo'lgan 8-manifold mavjud bo'lsa, unda aslida 14 qiymati maqbuldir. Spin (7) holonomiyasi bilan ko'p qirrali tomonidan intensiv ravishda o'rganilgan Dominik Joys.

2-sistolalar uchun pastki chegaralar

Xuddi shunday, deyarli yagona nodavlat narsalar haqida pastroq a bilan bog'langan k-sistol bilan k = 2, so'nggi ish natijalari o'lchov nazariyasi va J-holomorfik egri chiziqlar. 4-manifoldlarning konformal 2-sistolasi uchun pastki chegaralarni o'rganish davr xaritasi tasvirining zichligini soddalashtirilgan isbotlashga olib keldi. Jeyk Sulaymon.

Shottki muammosi

Ehtimol, sistolalarning eng ajoyib dasturlaridan biri bu kontekstda bo'lishi mumkin Shottki muammosi, P. Buser va P. Sarnak, kim farq qilgan Yakobiyaliklar ning Riemann sirtlari sistolik arifmetikaga asos soluvchi asosan qutblangan abeliya navlari orasida.

Lusternik-Schnirelmann toifasi

Sistolik savollarni berish ko'pincha tegishli sohalarda savollarni rag'batlantiradi. Shunday qilib, tushunchasi sistolik kategoriya ga aloqadorligini ko'rsatib, manifold aniqlandi va tekshirildi Lusternik-Schnirelmann toifasi (LS toifasi). Sistolik toifasi (shuningdek, LS toifasi), ta'rifi bo'yicha, butun son ekanligini unutmang. Ikkala toifaning ikkala sirt va 3-manifold uchun mos kelishi ko'rsatilgan. Bundan tashqari, yo'naltirilgan 4-manifoldlar uchun sistolik toifasi LS toifasi uchun pastki chegaradir. Aloqa o'rnatilgandan so'ng, ta'sir o'zaro ta'sir qiladi: LS toifasi bo'yicha ma'lum natijalar sistolik savollarni rag'batlantiradi va aksincha.

Yangi invariant Katz va Rudyak tomonidan taqdim etildi (pastga qarang). O'zgarmas Lusternik-Shnirelman toifasi (LS toifasi) bilan chambarchas bog'liq bo'lib chiqqanligi sababli, u shunday nomlandi sistolik kategoriya.

Kollektorning sistolik kategoriyasi M har xil jihatidan belgilanadi k-sistolalari M. Taxminan aytganda, g'oya quyidagicha. Kollektor berilgan M, sistolalarning eng uzun mahsulotini qidiradi, ular umumiy hajm uchun "egriliksiz" pastki chegarani beradi. M (metrikadan doimiy ravishda mustaqil ravishda). Qopqoqlarning sistolik invariantlarini kiritish tabiiydir M ta'rifda ham. Bunday "eng uzun mahsulot" tarkibidagi omillar soni ta'rifi bo'yicha sistolik kategoriya M.

Masalan, Gromov muhimligini ko'rsatdi n-manifold 1-sistol gomotopiyasining n-chi kuchi bo'yicha pastki chegarani tan oladi (yuqoridagi bo'limga qarang). Bundan kelib chiqadiki, muhimning sistolik toifasi n- ko'p qirrali aniq n. Aslida, yopiq uchun nLS toifasining ham, sistolik toifasining ham maksimal qiymatiga bir vaqtning o'zida erishiladi.

Ikki toifadagi qiziquvchan munosabatlarning mavjudligiga yana bir ishora - bu chashka uzunligi deb ataladigan o'zgarmaslikka bo'lgan munosabatdir. Shunday qilib, haqiqiy kubok uzunligi ikkala toifaga nisbatan pastki chegaraga aylanadi.

Sistolik toifasi bir qator holatlarda LS toifasiga to'g'ri keladi, jumladan 2 va 3 o'lchovli manifoldlar holatida. 4-o'lchovda yaqinda sistolik toifasi LS toifasi uchun pastki chegara ekanligi ko'rsatildi.

Sistolik giperbolik geometriya

Katta jinslar uchun asimptotik xatti-harakatni o'rganish g giperbolik yuzalar sistolasida bir nechta qiziqarli konstantalar aniqlanadi. Shunday qilib, Hurvits sirtlari Σ_g ning asosiy muvofiqlik kichik guruhlari minorasi tomonidan belgilanadi (2,3,7) giperbolik uchburchak guruhi chegarani qondirish

{ displaystyle mathrm {sys} pi _ {1} ( Sigma _ {g}) geq { frac {4} {3}} log g,}

va umumiy arifmetikaning o'xshash chegarasi mavjud Fuksiya guruhlari. Katz, Shaps va Vishne tomonidan 2007 yilda qabul qilingan ushbu natijalar natijalarni umumlashtiradi Piter Sarnak va Piter Buser arifmetik guruhlar bo'yicha aniqlangan Q, ularning 1994 yilgi seminal qog'ozidan (pastga qarang).

In sistolalar uchun bibliografiya giperbolik geometriya hozirda qirq maqoladan iborat. Tomonidan qiziqarli misollar keltirilgan Bolza yuzasi, Klein kvartikasi, Macbeath yuzasi, Birinchi Xurvits uchligi.

Abel-Jakobi xaritalariga aloqadorlik

Burago va Ivanov usullaridan foydalangan holda maqbul sistolik tengsizliklar oilasi olinadi. Abel-Jakobi xaritalari, quyidagicha ta'riflangan.

Ruxsat bering M bo'lishi a ko'p qirrali, π = π₁(M), uning asosiy guruhi va f: π → π^ab uning bo'lishi abelianizatsiya xarita Ruxsat bering tor π ning burama kichik guruhi bo'ling^ab. Ruxsat bering g: π^ab → π^ab/tor burama bilan bo'ling. Shubhasiz, π^ab/tor= Z^b, qayerda b = b₁ (M). Φ: π → ga ruxsat bering Z^b tarkib topgan homomorfizm bo'ling.

Ta'rif: Muqova ${ displaystyle { bar {M}}}$ ko'p qirrali M Ker (φ) ⊂ the kichik guruhiga mos keladigan universal (yoki maksimal) erkin abeliya qopqog'i deyiladi.

Endi faraz qiling M bor Riemann metrikasi. Ruxsat bering E harmonik 1-shakllar maydoni bo'ling M, dual bilan E* bilan kanonik ravishda aniqlangan H₁(M,R). Integral harmonik 1-shaklni tayanch nuqtadan yo'llar bo'ylab birlashtirish orqali x₀ ∈ M, biz aylana xaritasini olamiz R/Z = S¹.

Xuddi shunday, xaritani aniqlash uchun M → H₁(M,R)/H₁(M,Z)_R kohomologiya uchun asos tanlamasdan, biz quyidagicha bahslashamiz. Ruxsat bering x nuqta bo'lishi universal qopqoq ${ displaystyle { tilde {M}}}$ ning M. Shunday qilib x ning nuqtasi bilan ifodalanadi M yo'l bilan birga v dan x₀ unga. Yo'l bo'ylab integratsiyalashgan holda v, biz chiziqli shaklni olamiz, ${ displaystyle h to int _ {c} h}$ , kuni E. Shunday qilib biz xaritani olamiz ${ displaystyle { tilde {M}} to E ^ {*} = H_ {1} (M, mathbf {R})}$ , shuningdek, xaritaga tushadi

{ displaystyle { overline {A}} _ {M}: { overline {M}} to E ^ {*}, ; ; c mapsto left (h mapsto int _ {c} h o'ng),}

qayerda ${ displaystyle { overline {M}}}$ universal bepul abeliya qopqog'i.

Ta'rif: The Jakobi xilma-xilligi (Jacobi torus) ning M torus J₁(M)= H₁(M,R)/H₁(M,Z)_R

Ta'rif: The Abel-Jakobi xaritasi ${ displaystyle A_ {M}: M dan J_ {1} (M),}$ kvotalarga o'tish orqali yuqoridagi xaritadan olinadi. Abel-Jakobi xaritasi Yakobi torusining tarjimalarida noyobdir.

Masalan, D. Burago, S. Ivanov va tufayli quyidagi tengsizlikni keltirish mumkin M. Gromov.

Ruxsat bering M bo'lish n- birinchi Betti raqamli o'lchovli Riemann kollektori n, shunday qilib xarita M uning Jacobi torusida nolga teng daraja. Keyin M optimal barqaror sistolik tengsizlikni qondiradi

{ displaystyle mathrm {stsys} _ {1} {} ^ {n} leq gamma _ {n} mathrm {vol} _ {n} (M),}

qayerda ${ displaystyle gamma _ {n}}$ klassik Hermit doimiy.

Tegishli maydonlar, hajm entropiyasi

Katta naslli yuzalar sistolasi uchun asimptotik hodisalar qiziqarli bo'lganligi isbotlangan ergodik hodisalar va muvofiqlik kichik guruhlarining xususiyatlariga arifmetik guruhlar.

Gomotopik sistolaga 1983 yilda Gromovning tengsizligi, xususan, uning sistolasi jihatidan asferik sirt maydoni uchun bir tekis pastki chegarani nazarda tutadi. Bunday chegara Loewner va Pu-ning tengsizligini maqbul bo'lmagan holda ham umumlashtiradi.

Gromovning 1983 yildagi seminal qog'ozida, shuningdek, sistol va maydonga tegishli bo'lgan assimtotik chegaralar mavjud bo'lib, ular bir xil bog'lanishni yaxshilaydi (barcha o'lchamlarda amal qiladi).

Yaqinda aniqlandi (quyida Katz va Saburoning qog'ozlarini ko'ring) hajm entropiyasi h, bilan birga A. Katokning optimal tengsizligi h, M. Gromovning katta naslga ega bo'lgan sirtlarning sistolik nisbati bilan bog'langan asimptotik isbotini shaffof isbotlovchi "o'ng" vositachidir.

A. Katokning klassik natijasi shuni ko'rsatadiki, har bir metrik yopiq yuzada M salbiy Eyler xarakteristikasi bilan entropiya va maydonga nisbatan optimal tengsizlikni qondiradi.

Ma'lum bo'lishicha, yopiq yuzaning minimal entropiyasi uning optimal sistolik nisbati bilan bog'liq bo'lishi mumkin. Aynan sistolik nuqtai nazardan sistolik ekstremal sirt entropiyasining yuqori chegarasi mavjud. Ushbu yuqori chegarani Katokning eng yaxshi pastki chegarasi bilan hajm jihatidan birlashtirib, Gromovning katta naslga o'tadigan sirtlarning optimal sistolik nisbati uchun asimptotik bahosining sodda muqobil isboti olinadi. Bundan tashqari, bunday yondashuv Gromov teoremasida yaxshilangan multiplikativ doimiylikni keltirib chiqaradi.

Ilova sifatida ushbu usul shuni anglatadiki, har bir turdagi jinslar yuzasi kamida 20 ta Loewnerning torus tengsizligini qondiradi. Bu Gromovning taxminidan kelib chiqqan 50 eng yaxshi oldingi baholarini yaxshilaydi.

To'ldirish maydonining gipotezasi

Gromov plomba maydonining gumoni giperelliptik sharoitda isbotlangan (quyida Bangert va boshqalarning ma'lumotnomasiga qarang).

The plomba maydonining gumoni Riman doirasining uzunligi 2π bo'lgan sirtni kuchli izometrik xususiyatga ega bo'lgan barcha plomba moddalari orasida dumaloq yarim sharning eng kichik maydoni borligini ta'kidlaydi. Bu erda Riemann doirasi jami 1 hajmli 2π va Riemann diametri of bo'lgan yagona yopiq 1 o'lchovli Riemann manifoldiga ishora qiladi.

Gipotezani tushuntirish uchun biz 2-shar birligining ekvatorial aylanasi, S² ⊂ R³, Riemann doirasi S¹ uzunligi 2π va diametri π.

Aniqrog'i, ning Riemann masofa funktsiyasi S¹ bu atrofdagi Riemann masofasining sharga cheklanishi. Ushbu xususiyat emas Evklid tekisligida birlik aylanasining standart ko'milishidan qoniqadi, bu erda qarama-qarshi nuqta juftligi π emas, balki 2 masofada joylashgan.

Biz barcha plombalarning ko'rib chiqamiz S¹ Shunday qilib, sirtni chegarasi sifatida doirani kiritish bilan aniqlangan cheklangan metrik, uzunligi 2 a bo'lgan aylananing Riman metriki. Aylananing chegara sifatida kiritilishi keyinchalik aylananing kuchli izometrik ko'milishi deb ataladi.

1983 yilda Gromov dumaloq yarim sharning barcha plomba sirtlari orasida aylanani to'ldirishning "eng yaxshi" usulini beradi deb taxmin qildi.

Sodda bog'langan plombalarning ishi tengdir Pu ning tengsizligi. Yaqinda tur -1 plomba ijobiy hal qilindi, shuningdek (quyida Bangert va boshqalarning ma'lumotlariga qarang). Ya'ni, J. Gershning yarim asrlik formulasini integral geometriyadan foydalanish mumkin ekan. Aytaylik, o'zaro kesishish nuqtasi ekvatorda joylashgan futbolda 8-tsikllar oilasini ko'rib chiqing (maqolaning boshidagi rasmga qarang). Xersch formulasi futbolning konformal sinfidagi metrikaning maydonini o'rtacha 8-gachasi tsikl energiyasining oilasi sifatida ifodalaydi. Rimann sirtining giperelliptik qismiga Hersch formulasini qo'llash, bu holda to'lg'azish maydonining gipotezasini isbotlaydi.

Ning boshqa sistolik ta'sirlari giperelliptiklik 2-turda aniqlangan.

So'rovnomalar

Ushbu sohadagi tadqiqotlar orasida M. Bergerning so'rovnomasi (1993), Gromovning so'rovi (1996), Gromovning kitobi (1999), Bergerning panoramali kitobi (2003), shuningdek Katsning kitobi (2007) mavjud. Ushbu ma'lumotnomalar boshlang'ichning maydonga kirishiga yordam berishi mumkin. Ularda ishlash uchun ochiq muammolar mavjud.

Shuningdek qarang

Izohlar

^ Tutte, Uilyam T. (1947). "Kubik grafikalar oilasi". Proc. Kembrij falsafasi. Soc. 43 (4): 459–474. Bibcode:1947PCPS ... 43..459T. doi:10.1017 / S0305004100023720. JANOB 0021678.
^ Gut, Larri (2011). "Katta Riemann manifoldlaridagi to'plar hajmi". Matematika yilnomalari. 173 (1): 51–76. arXiv:matematik / 0610212. doi:10.4007 / annals.2011.173.1.2. JANOB 2753599.

Adabiyotlar

Bangert, V.; Croke, C .; Ivanov, S .; Katz, M.: To'ldirish maydonining gipotezasi va ovalsiz haqiqiy giperelliptik yuzalar. Geometrik va funktsional tahlil (GAFA) 15 (2005), yo'q. 3, 577-597.
Berger, M.: Systoles and applications selon Gromov. (Frantsuzcha. Frantsuzcha xulosa) [Sistomalar va ularning Gromovga tegishli arizalari] Séminaire Bourbaki, Vol. 1992/93. Astérisque № 216 (1993), Exp. № 771, 5, 279—310.
Berger, M.: Riman geometriyasining panoramali ko'rinishi. Springer-Verlag, Berlin, 2003 yil.
Berger, M .: Sistol nima? AMS 55 (2008) xabarnomalari, № 3, 374-376.
Buser, P .; Sarnak, P.: Katta jinsli Riemann sirtining perimetri matritsasida. J. H. Conway va N. J. A. Sloane tomonidan qo'shilgan. Ixtiro qiling. Matematika. 117 (1994), yo'q. 1, 27—56.
Gromov, M.: Riemann manifoldlarini to'ldirish, J. Diff. Geom. 18 (1983), 1-147.
Gromov, M. Sistollar va interstistolik tengsizliklar. (Ingliz, frantsuzcha xulosa) Actes de la Table Ronde de Géééétrie Différentielle (Luminy, 1992), 291—362, Sémin. Kongr., 1, Sok. Matematika. Frantsiya, Parij, 1996 yil.
Gromov, M. Riemann va Riman bo'lmagan bo'shliqlar uchun metrik tuzilmalar. 1981 yil frantsuzcha asl nusxaga asoslangan. Tomonidan qo'shimchalar bilan Mixail Kats, Per Pansu va Stiven Semmes. Frantsiya tilidan Shon Maykl Bates tomonidan tarjima qilingan. Matematikadagi taraqqiyot, 152. Birxayuzer Boston, Inc., Boston, Massachusets, 1999 y.
Katz, M .: Ikki nuqtali bir hil bo'shliqlarning to'ldirish radiusi. Differentsial geometriya jurnali 18, 3-raqam (1983), 505-511.
Kats, M. Sistolik geometriya va topologiya. J. Sulaymonning qo'shimchasi bilan. Matematik tadqiqotlar va monografiyalar, 137-jild. Amerika matematik jamiyati, 2007.
Kats, M .; Rudyak, Y .: Sistolik toifasi va Lusternik-Shnirelman past o'lchovli manifoldlar toifasi. Sof va amaliy matematika bo'yicha aloqalar 59 ('06), 1433-1456.
Kats, M .; Sabourau, S.: Sistolik ekstremal yuzalar va asimptotik chegaralar entropiyasi. Ergo. Th. Dinam. Sys. 25 (2005), 1209–1220.
Kats, M .; Shaps, M.; Vishne, U .: Uyg'unlik kichik guruhlari bo'ylab arifmetik Riemann sirtlari sistolining logaritmik o'sishi. J. Differentsial Geom. 76 (2007), yo'q. 3, 399-422. Mavjud: arXiv:matematik / 0505007
Pu, P. M.: Ba'zi bir yo'naltirilmaydigan Riemann manifoldlaridagi ba'zi tengsizliklar. Tinch okeani J. matematikasi. 2 (1952), 55—71.

Tashqi havolalar

[1] Tutte, Uilyam T. (1947). "Kubik grafikalar oilasi". Proc. Kembrij falsafasi. Soc. 43 (4): 459–474. Bibcode:1947PCPS ... 43..459T. doi:10.1017 / S0305004100023720. JANOB 0021678.

[2] Gut, Larri (2011). "Katta Riemann manifoldlaridagi to'plar hajmi". Matematika yilnomalari. 173 (1): 51–76. arXiv:matematik / 0610212. doi:10.4007 / annals.2011.173.1.2. JANOB 2753599.

[1]

[2]

Sistolik geometriya
1-yuzalar sistolalari	Lewnerning torus tengsizligi Pu ning tengsizligi To'ldirish maydonining gipotezasi Bolza yuzasi Sirtlarning sistolalari Eyzenshteyn butun sonlari
Kollektorlarning 1-sistolalari	Gromovning muhim manifoldlar uchun sistolik tengsizligi Muhim manifold To'ldirish radiusi Hermit doimiy
Yuqori sistolalar	Gromovning murakkab proektsion makon uchun tengsizligi Sistolik erkinlik Sistolik toifasi