Klein kvartikasi - Klein quartic

Klein kvartikasi - bu buyurtma-7 uchburchak plitka.

Ikki tomonlama, Klein kvartikasi ikki qavatli plitka, the buyurtma-3 olti burchakli plitka.

Yilda giperbolik geometriya, Klein kvartikasinomi bilan nomlangan Feliks Klayn, a ixcham Riemann yuzasi ning tur $3$ mumkin bo'lgan eng yuqori buyurtma bilan avtomorfizm guruhi ushbu tur uchun, ya'ni buyurtma $168$ yo'nalishni saqlovchi avtomorfizmlar va $336$ agar yo'nalishni o'zgartirish mumkin bo'lsa, avtomorfizmlar. Shunday qilib, Klein kvartikasi Hurvits yuzasi mumkin bo'lgan eng past jins; qarang Xurvitsning avtomorfizmlar teoremasi. Uning (yo'nalishni saqlovchi) avtomorfizm guruhi izomorfikdir $PSL (2, 7)$ , ikkinchi eng kichigi abeliya bo'lmaganlar oddiy guruh. Kvartika birinchi marta (Klein 1878b ).

Klein kvartikasi matematikaning ko'plab sohalarida, shu jumladan kontekstda uchraydi vakillik nazariyasi, gomologiya nazariyasi, oktonionni ko'paytirish^{[iqtibos kerak ]}, Fermaning so'nggi teoremasi, va Stark-Xegner teoremasi kuni xayoliy kvadratik sonlar maydonlari ning sinf raqami bitta; qarang (Levy 1999 yil ) xususiyatlarini o'rganish uchun.

Dastlab, "Klein kvartikasi" ning pastki qismiga maxsus ishora qilingan murakkab proektsion tekislik $P 2 (C)$ tomonidan belgilanadi algebraik tenglama. Buning o'ziga xos xususiyati bor Riemann metrikasi (bu uni minimal sirtga aylantiradi $P 2 (C)$ ), uning ostida Gauss egriligi doimiy emas. Ammo odatda (ushbu maqolada bo'lgani kabi), endi bu algebraik egri chiziqqa mutanosib ravishda teng keladigan har qanday Riemann yuzasi va ayniqsa, giperbolik tekislik $H 2$ aniq tomonidan kokompakt guruh $G$ bu harakat qiladi erkin kuni $H 2$ izometriya bo'yicha. Bu Klein kvartikasiga doimiy egrilikning Riemann metrikasini beradi $-1$ u meros qilib olgan $H 2$ . Ushbu Riemann teng keladigan sirtlari to'plami, 3-turdagi barcha ixcham Riemann sirtlari bilan bir xil, ularning konformal avtomorfizm guruhi noyob oddiy tartib 168 guruhiga izomorfdir. Ushbu guruh shuningdek, $PSL (2, 7)$ , shuningdek izomorfik guruh sifatida $PSL (3, 2)$ . By bo'shliqni qoplash nazariya, guruh $G$ Yuqorida aytib o'tilganlar izomorfdir asosiy guruh jinslarning ixcham yuzasi $3$ .

Yopiq va ochiq shakllar

Kvartikaning ikki xil shaklini ajratib ko'rsatish muhimdir. The yopiq kvartika - bu odatda geometriyada nazarda tutilgan; topologik jihatdan u 3 turga ega va a ixcham joy. The ochiq yoki "teshilgan" kvartika raqamlar nazariyasiga qiziqish bildiradi; topologik jihatdan bu 3 ta sirt bo'lib, 24 ta teshilgan va geometrik jihatdan bu teshiklar chigirtkalar. Ochiq kvartikani (topologik jihatdan) quyida muhokama qilinganidek, plitkaning 24 markazida oddiy heptagonlar bilan teshish orqali olish mumkin. Ochiq va yopiq kvartikalar har xil ko'rsatkichlarga ega, garchi ular giperbolik va to'liq bo'lsa ham^[1] - geometrik nuqta, teshiklar emas, balki "cheksiz nuqtalar" dir, shuning uchun ochiq kvartika hali ham to'liqdir.

Algebraik egri chiziq sifatida

Klein kvartikasini a deb qarash mumkin loyihaviy algebraik egri chiziq ustidan murakkab sonlar $C$ , quyidagi quartik tenglama bilan aniqlangan bir hil koordinatalar $[x : y : z]$ kuni $P 2 (C)$ :

{ displaystyle x ^ {3} y + y ^ {3} z + z ^ {3} x = 0.}

Ushbu tenglamaning joylashuvi $P 2 (C)$ Klein ta'riflagan asl Riemann sirtidir.

Kvaternion algebra qurilishi

Ixcham Klein kvartikasini qism sifatida qurish mumkin giperbolik tekislik mos keladigan harakat bilan Fuksiya guruhi $Γ (Men)$ bu asosiy hisoblanadi muvofiqlik kichik guruhi ideal bilan bog'liq ${ displaystyle I = langle eta -2 rangle}$ algebraik tamsayılar halqasida $Z (η)$ maydonning $Q (η)$ qayerda $η = 2 cos (2.) π /7)$ . Shaxsiyatiga e'tibor bering

{ displaystyle (2- eta) ^ {3} = 7 ( eta -1) ^ {2},}

ko'rgazma $2 - η$ algebraik tamsayılar halqasida 7 asosiy omil sifatida.

Guruh $Γ (Men)$ ning kichik guruhidir (2,3,7) giperbolik uchburchak guruhi. Ya'ni, $Γ (Men)$ generatorlar tomonidan assotsiativ algebra sifatida yaratilgan kvaternion algebrasida birlik normasi elementlari guruhining kichik guruhi $men, j$ va munosabatlar

{ displaystyle i ^ {2} = j ^ {2} = eta, qquad ij = -ji.}

Biror kishi mos keladigan narsani tanlaydi Hurvits kvaternion buyurtmasi ${ displaystyle { mathcal {Q}} _ { mathrm {Hur}}}$ kvaternion algebrasida, $Γ (Men)$ u holda 1-elementlar guruhi ${ displaystyle 1 + I { mathcal {Q}} _ { mathrm {Hur}}}$ . Ichida giperbolik element izining eng kam absolyut qiymati $Γ (Men)$ bu ${ displaystyle eta ^ {2} +3 eta +2}$ uchun 3.936 qiymatiga mos keladi sistola Klein kvartikasi, bu turda eng yuqori ko'rsatkichlardan biri.

Plitka qo'yish

Kvartikani aks ettirish domenlari bilan plitkalash - bu 3-7 kisrombil.

Klein kvartikasi simmetriya guruhiga (a ") bog'langan plitkalarni tan oladimuntazam xarita "^[2]) va ular simmetriya guruhini tushunishda, Kleinning asl qog'ozidan kelib chiqqan holda ishlatiladi. Berilgan asosiy domen guruh harakati uchun (to'liq, yo'nalishni o'zgartiruvchi simmetriya guruhi uchun (2,3,7) uchburchak), aks ettirish domenlari (guruh ostidagi ushbu domenning rasmlari) kvartikaning plitkasini beradi, ya'ni avtomorfizm guruhi plitka yuzaning avtomorfizm guruhiga teng - plitka chiziqlaridagi akslantirishlar guruhdagi aks ettirishlarga mos keladi (ma'lum bir uchburchak chiziqlaridagi aks ettirishlar 3 ta hosil qiluvchi aks ettirishlar to'plamini beradi). Ushbu plitka buyurtma-3 ikki qirrali olti burchakli plitka ning giperbolik tekislik (the universal qopqoq kvartikadan) va Xurvitsning barcha sirtlari kvotentlar singari xuddi shu tarzda plitka bilan qoplangan.

Ushbu plitka bir xil, ammo odatiy emas (u tomonidan skalan uchburchagi ) va ko'pincha oddiy plitkalar o'rniga ishlatiladi. Plitadagi har qanday plitkalarning miqdori (2,3,7) oila ishlatilishi mumkin (va bir xil avtomorfizm guruhiga ega bo'ladi); Shulardan ikkitasi muntazam gilamchalar 24 ta doimiy giperbolik bilan plitkalardir olti burchakli, har bir daraja 3 (56 ta vertikada yig'ilish) va ikkitadan plitka 56 ga teng teng qirrali uchburchaklar, har bir daraja 7 (24 ta vertikada yig'ilish). Avtomorfizm guruhining tartibi bir-biriga bog'liq bo'lib, ikkala holatda ham ko'pburchakdagi qirralarning sonidan ko'pburchaklar soni.

24 × 7 = 168

56 × 3 = 168

Giperbolik tekislikdagi qoplama plitalari bu buyurtma-3 olti burchakli plitka va buyurtma-7 uchburchak plitka.

Avtomorfizm guruhini (plitka simmetriyasi bilan amalga oshirilmaydigan simmetriya bilan) oshirish mumkin. Mathieu guruhi M₂₄.^[3]

Har biriga mos keladi plitka kvartikaning (kvartik navning pastki qismlarga bo'linishi) an mavhum ko'pburchak, bu geometriyadan abstrakt va faqat plitka kombinatorikasini aks ettiradi (bu olishning umumiy usuli mavhum politop plitkadan) - ko'pburchakning tepalari, qirralari va yuzlari, xuddi shu hodisa munosabatlari bilan plitkaning tepalariga, qirralariga va yuzlariga o'rnatilgandek teng va mavhum ko'pburchakning (kombinatorial) avtomorfizm guruhi kvartikaning (geometrik) avtomorfizm guruhi. Shu tarzda geometriya kombinatorikaga kamayadi.

Affine kvartikasi

Yuqorida keltirilgan loyihaviy kvartik (yopiq kollektor); affine kvartikasida 24 ta tepa bor (topologik nuqtai nazardan), ular muntazam uchburchak plitkaning 24 tepasiga to'g'ri keladi yoki olti burchakli plitkada teng ravishda 24 ta oltitaning markazlariga to'g'ri keladi va quyidagicha amalga oshirilishi mumkin.

Ning harakatini hisobga olgan holda $SL (2, R)$ ustida yuqori yarim tekislik modeli $H 2$ ning giperbolik tekislik tomonidan Mobiusning o'zgarishi, affin Klein kvartikasini kvota sifatida amalga oshirish mumkin $Γ (7) H 2$ . (Bu yerda $Γ (7)$ bo'ladi muvofiqlik kichik guruhi ning $SL (2, Z)$ barcha yozuvlar qabul qilinganda identifikatsiya matritsasiga mos keladigan matritsalardan iborat modul 7.)

Asosiy domen va shimlarning parchalanishi

Klein kvartikasini giperbolik tekislikning bo'lagi sifatida Fuksiya guruhi ta'sirida olish mumkin. The asosiy domen maydoni muntazam bo'lgan 14 gon ${ displaystyle 8 pi}$ tomonidan Gauss-Bonnet teoremasi. Buni qo'shni shaklda ko'rish mumkin, u shuningdek sirtni tessellatuvchi va uning simmetriya guruhini hosil qiladigan 336 (2,3,7) uchburchaklarni o'z ichiga oladi.

Klein kvartikasining asosiy sohasi. Sirt tomonlarni teng sonlar bilan bog'lash orqali olinadi.

(2,3,7) uchburchaklar orasidagi tessellatsiya ichida 24 ta doimiy gektagonning tessellatsiyasi mavjud. Sirtning sistolasi 8 ta olti burchakli tomonlarning o'rta nuqtalari orqali o'tadi; shu sababli u adabiyotda "sakkiz pog'onali geodeziya" deb nomlangan va quyidagi bo'limda kitobning nomlanishiga sabab bo'lgan. Shimlarning parchalanishini ko'rsatadigan rasmdagi barcha rangli egri chiziqlar sistolalardir, ammo bu shunchaki kichik qism; jami 21 ta. Sistolaning uzunligi

{ displaystyle 16 sinh ^ {- 1} chap ( chap ({ tfrac {1} {2}} { sqrt { csc ^ {2} chap ({ tfrac { pi} {7} } o'ng) -4}} o'ng) sin chap ({ tfrac { pi} {7}} o'ng) o'ng) taxminan 3.93594624883.}

Ekvivalent yopiq formula

{ displaystyle 8 cosh ^ {- 1} chap ({ tfrac {3} {2}} - 2 sin ^ {2} chap ({ tfrac { pi} {7}} o'ng) o'ng).}

Klein kvartikasi 3-sinf sirtlari uchun simmetriya guruhini maksimal darajaga ko'targan bo'lsa-da, sistol uzunligini maksimal darajada oshirmaydi. Gipotezali kattalashtiruvchi "M3" deb nomlangan sirtdir (Shmut 1993 yil ). M3 (2,3,12) uchburchaklar tessellatsiyasidan kelib chiqadi va uning sistolasi ko'plik 24 va uzunlikka ega

{ displaystyle 2 cosh ^ {- 1} chap (2 + { sqrt {3}} o'ng) taxminan 3.9833047820988736.}

Klein kvartikasining shimlarning parchalanishi. Chapdagi rasmda asosiy domenning (2,3,7) tessellasiyasida chegara geodezikasi ko'rsatilgan. O'ngdagi rasmda shimlarning har biri har xil rangga bo'yalgan bo'lib, asosiy domenning qaysi qismi qaysi shimga tegishli ekanligi aniqlandi.

Klein kvartikasi to'rtga ajralishi mumkin shim uning oltita sistolasini kesib o'tib. Ushbu parchalanish nosimmetrik to'plamni beradi Fenchel-Nilsen koordinatalari, bu erda uzunlik parametrlari hammasi sistol uzunligiga, burama parametrlar hammasi teng ${ displaystyle { tfrac {1} {8}}}$ sistol uzunligining Xususan, qabul qilish ${ displaystyle l (S)}$ sistola uzunligi bo'lishi uchun koordinatalar bo'ladi

{ displaystyle left {l (S), { tfrac {l (S)} {8}}; l (S), { tfrac {l (S)} {8}}; l (S), { tfrac {l (S)} {8}}; l (S), { tfrac {l (S)} {8}}; l (S), { tfrac {l (S)} {8} }; l (S), { tfrac {l (S)} {8}} o'ng }.}

The kubik grafik bu shimlarning parchalanishiga mos keladigan tetraedr grafigi, ya'ni har biri boshqasiga ulangan 4 tugunning grafigi. Tetraedr grafigi proektsion grafigiga o'xshaydi Fano samolyoti; chindan ham Klein kvartikasining avtomorfizm guruhi Fano tekisligi bilan izomorfdir.

Spektral nazariya

Klein kvartikasining birinchi ijobiy o'ziga xos qiymatiga mos keladigan sakkizta funktsiya. Funksiyalar och ko'k chiziqlar bo'ylab nolga teng. Ushbu uchastkalar ishlab chiqarilgan FreeFEM ++.

Bu haqda ozgina isbotlangan spektral nazariya Klein kvartikasi, ammo u doimiy salbiy egrilikka ega bo'lgan 3-turdagi barcha ixcham Riemann sirtlari orasida Laplas operatorining birinchi ijobiy qiymatini maksimal darajaga ko'taradi, deb taxmin qilingan. Ushbu taxmin Klein kvartikasining topologik sinfidagi sirtlarning eng katta simmetriya guruhiga ega ekanligidan kelib chiqadi. Bolza yuzasi jinsda 2. Klein kvartikasining o'ziga xos qiymatlari har xil aniqlik darajalarida hisoblab chiqilgan. Birinchi 15 ta o'ziga xos ijobiy qiymatlar ularning ko'paytmalari bilan birga quyidagi jadvalda keltirilgan.

Klein kvartikasining dastlabki 15 ijobiy o'ziga xos qiymatining raqamli hisob-kitoblari
O'ziga xos qiymat	Raqamli qiymat	Ko'plik
${ displaystyle lambda _ {0}}$	0	1
${ displaystyle lambda _ {1}}$	2.67793	8
${ displaystyle lambda _ {2}}$	6.62251	7
${ displaystyle lambda _ {3}}$	10.8691	6
${ displaystyle lambda _ {4}}$	12.1844	8
${ displaystyle lambda _ {5}}$	17.2486	7
${ displaystyle lambda _ {6}}$	21.9705	7
${ displaystyle lambda _ {7}}$	24.0811	8
${ displaystyle lambda _ {8}}$	25.9276	6
${ displaystyle lambda _ {9}}$	30.8039	6
${ displaystyle lambda _ {10}}$	36.4555	8
${ displaystyle lambda _ {11}}$	37.4246	8
${ displaystyle lambda _ {12}}$	41.5131	6
${ displaystyle lambda _ {13}}$	44.8884	8
${ displaystyle lambda _ {14}}$	49.0429	6
${ displaystyle lambda _ {15}}$	50.6283	6

3 o'lchovli modellar

Tomonidan animatsiya Greg Egan tetraedrning simmetriyasiga ega bo'lgan shakldan boshlangan va keyingi simmetriyani namoyish qilish uchun ichkariga o'girilib, Kleinning kvartik egri chizig'ini uch o'lchovda joylashtirishni ko'rsatib beradi.

Klein kvartikasi bo'lishi mumkin emas amalga oshirildi hech qanday 3 o'lchovli raqam (aylanuvchi) simmetriyaga ega emasligi ma'nosida 3 o'lchovli raqam sifatida $PSL (2,7)$ , beri $PSL (2,7)$ ning kichik guruhi sifatida joylashtirilmaydi $SO (3)$ (yoki $O (3)$ ) - unda haqiqiy sonlar ustida (ahamiyatsiz) 3 o'lchovli chiziqli tasvir mavjud emas.

Shu bilan birga, Klein kvartikasining ko'plab 3 o'lchovli modellari berilgan, Kleinning asl qog'ozidan boshlab,^[2]^[4]^[5]^[6]^[7] kvartikaning xususiyatlarini namoyish etishga intiladigan va simmetriyani topologik jihatdan saqlaydigan, ammo barchasi geometrik bo'lmagan holda. Olingan modellarda ko'pincha tetraedral (tartib 12) yoki oktahedral (buyurtma 24) simmetriyalari mavjud; qolgan 7-simmetriyani osonlikcha tasavvur qilish mumkin emas va aslida Klaynning qog'ozi sarlavhasi.

Sakkizta yo'l - tomonidan haykaltaroshlik Helaman Fergyuson va unga qo'shilgan kitob.

Ko'pincha, kvartika silliq turdagi 3 sirt tomonidan tetraedral simmetriya bilan modellashtiriladi (oddiy tetraedrning chekkalarini naychalar / tutqichlar bilan almashtirish bunday shaklga ega bo'ladi), ular "tetruslar" deb nomlangan,^[7] yoki "tetroidlar" deb nomlangan ko'p qirrali taxminlar bo'yicha;^[7] ikkala holatda ham bu ko'mish 3 o'lchovdagi shakl. Eng ko'zga ko'ringan silliq model (tetrus) bu haykaldir Sakkizta yo'l tomonidan Helaman Fergyuson da Matematika fanlari ilmiy-tadqiqot instituti yilda Berkli, Kaliforniya, marmar va serpantindan yasalgan va 1993 yil 14 noyabrda ochilgan. Sarlavha shuni anglatadiki, uchburchak yuzaning istalgan tepasidan boshlab va har qanday chekka bo'ylab harakatlanish, agar siz tepaga etib borganingizda navbat bilan chapga va o'ngga burilsangiz, siz doimo sakkiz qirradan keyin asl nuqtaga qayting. Haykalni sotib olish o'z vaqtida qog'ozlar kitobini nashr etishiga olib keldi (Levy 1999 yil ), kvartikaning xususiyatlarini batafsil bayon qilgan va Klein qog'ozining birinchi inglizcha tarjimasini o'z ichiga olgan. Tetraedral simmetriyali ko'pburchak modellar ko'pincha mavjud qavariq korpus a kesilgan tetraedr - qarang (Schulte & Wills 1985 yil ) va (Scholl, Schürmann & Wills 2002 yil ) misollar va illyustratsiyalar uchun. Ushbu modellarning ba'zilari 20 ta uchburchak yoki 56 ta uchburchakdan iborat (mavhum ravishda, muntazam skew polyhedron {3,7 |, 4}, 56 yuzi, 84 qirrasi va 24 tepasi bilan), ularni teng tomonli qilib amalga oshirish mumkin emas, tetraedr qo'llarida burmalar mavjud; boshqalarida esa 24 heptagon mavjud - bu heptagonlarni tekislik shaklida qabul qilish mumkin, ammo ular qavariq emas,^[8] va modellar uchburchakka qaraganda ancha murakkab, chunki murakkablik (egiluvchan) tepaliklarda emas, balki (egiluvchan bo'lmagan) olti burchakli yuzlarning shakllarida aks etadi.^[2]

The kichik kububoktaedr oktaedral simmetriya bilan Klein kvartikasi plitkasini ko'p qirrali botirishdir.

Shu bilan bir qatorda, kvartikani sakkizburchak simmetriyasi bo'lgan ko'pburchak tomonidan modellashtirish mumkin: Klein kvartikani sakkizburchaklar simmetriyalari va cheksiz nuqtalari bilan ("ochiq ko'pburchak") shakl bilan modellashtirgan,^[5] ya'ni uchta giperboloidlar ortogonal o'qlar bo'yicha yig'ilish,^[2] shu bilan birga u bo'lishi kerak bo'lgan yopiq ko'pburchak sifatida modellashtirilishi mumkin suvga cho'mgan (o'z-o'zidan kesishgan joylar mavjud), o'rnatilgan emas.^[2] Bunday polyhedra turli konveks qobiqlarga ega bo'lishi mumkin, shu jumladan kesilgan kub,^[9] The kubik,^[8] yoki rombikuboktaedr, kabi kichik kububoktaedr o'ngda^[3] Kichik kububoktaedrli cho'milish ba'zi uchburchaklarni birlashtirib olinadi (2 uchburchak kvadrat hosil qiladi, 6 sekizgen hosil qiladi), ularni ingl. uchburchaklarni bo'yash (tegishli plitka topologik, ammo geometrik jihatdan emas 3 4 | 4 ta plitka ). Ushbu cho'milish geometrik ravishda qurish uchun ham ishlatilishi mumkin Mathieu guruhi M₂₄ PSL (2,7) ga kvadratlar va sakkizburchaklarning ikkiga bo'linish chiziqlarining qarama-qarshi nuqtalarini almashtiradigan almashtirishni qo'shish orqali.^[3]

Dessin d'enfants

The dessin d'enfant avtomatizm guruhi tomonidan kvitans xaritasi bilan bog'langan Klein kvartikasida (Riman sferasi bilan) aniq tartibda 3-olti burchakli kafelning 1-skeleti joylashgan.^[10] Ya'ni, kvotalar xaritasi nuqtalar ustida ramified qilingan $0, 1728$ va $\infty$ ; 1728 ga bo'linish natijasida hosil bo'ladi a Belyi funktsiyasi (ramified da $0, 1$ va $\infty$ ), bu erda 56 tepalik (dessindagi qora nuqta) 0 dan yuqori, 84 qirraning o'rtasi (dessindagi oq nuqta) 1 dan, 24 gektagonning markazlari esa cheksizlik ustida yotadi. Olingan dessin "platonik" dessindir, ya'ni chetga o'tuvchi va "toza" degan ma'noni anglatadi (har bir oq nuqta valentlikka 2 ega).

Tegishli yuzalar

Klein kvartikasi boshqa har xil yuzalar bilan bog'liq.

Geometrik jihatdan bu eng kichigi Hurvits yuzasi (eng past nasl); keyingisi Macbeath yuzasi (7-tur), va quyidagilar Birinchi Xurvits uchligi (14 turdagi 3 sirt). Umuman olganda, bu ma'lum bir naslning eng nosimmetrik yuzasi (Xurvits yuzasi); bu sinfda Bolza yuzasi eng nosimmetrik turdagi 2 sirtdir, shu bilan birga Yuzasini keltiring juda nosimmetrik turdagi 4 sirtdir - qarang Riemann sirtlarining izometriyalari keyingi muhokama uchun.

Algebraik ravishda Klein kvartikasi (affine) modul egri X (7) va proektsion Klein kvartikasi uning kompaktlashidir, xuddi dodekaedr (har bir yuzning markazida kusp bilan) X (5) modulli egri chiziq; bu raqamlar nazariyasi uchun dolzarbligini tushuntiradi.

Nozikroq qilib aytganda, (proektiv) Klein kvartikasi a Shimura egri chizig'i (7 va 14 turdagi Hurvits sirtlari kabi) va shunga o'xshash parametrlar asosan qutblangan abeliya navlari o'lchov 6.^[11]

Boshqa ham bor kvartik yuzalar qiziqish - qarang kvartikali maxsus yuzalar.

Klein kvartikasi "uchlik "ma'nosida Vladimir Arnold, deb ham ta'riflash mumkin McKay yozishmalari. Ushbu to'plamda proektsion maxsus chiziqli guruhlar PSL (2,5), PSL (2,7) va PSL (2,11) (60, 168, 660 buyurtmalar) o'xshash, mos keladigan ikosahedral simmetriya (0 tur), Klein kvartikasining simmetriyalari (3 tur) va bokbol yuzasi (70-avlod).^[12] Bular boshqa ko'plab boshqa hodisalar bilan bog'liq bo'lib, ular batafsil ishlab chiqilgan "uchlik ".

Shuningdek qarang

Adabiyotlar

^ (Levy 1999 yil, p. 24)
^ ^a ^b ^v ^d ^e (Scholl, Schürmann & Wills 2002 yil )
^ ^a ^b ^v (Rixter )
^ Kleinning kvartik egri chizig'i, Jon Baez, 2006 yil 28-iyul
^ ^a ^b Riemann sirtlarining platonik qoplamalari, Jerar Westendorp
^ Klein kvartikasining qog'oz modellari Arxivlandi 2011-06-07 da Orqaga qaytish mashinasi, Mayk Stay Arxivlandi 2010-09-07 da Orqaga qaytish mashinasi
^ ^a ^b ^v Klein kvartikasi-3 naqshlari, Carlo H. Séquin tomonidan, hamrohlik qilmoqda Ko'priklar Art-ko'rgazmasidagi buyumlar, London, 2006 yil 4–8 avgust, "Klein Quartic Quiltic" bilan, Eveline Séquin, Bill Thurstonning namunasi asosida
^ ^a ^b (Schulte & Wills 1985 yil )
^ Kleinning kvartik egri chizig'i, Greg Egan tomonidan
^ le Bryuyn, Liven (2007 yil 7 mart), Hozirgacha eng yaxshi rad etilgan taklif, dan arxivlangan asl nusxasi 2014 yil 27 fevralda.
^ Elkies, 4.4-bo'lim (94-97-betlar) ichida (Levy 1999 yil ).
^ Martin, Devid; Xonanda, Pablo (2008 yil 17 aprel), Biplanlardan Klein kvartikasi va Bekbolga qadar (PDF)

Adabiyot

Klayn, F. (1878). "Ueber die Transformation siebenter Ordnung der elliptischen Functionen" [Elliptik funktsiyalarning yettinchi tartibli o'zgarishi to'g'risida]. Matematik Annalen. 14 (3): 428–471. doi:10.1007 / BF01677143. Tarjima qilingan Levi, Silvio, tahrir. (1999). Sakkizta yo'l. Kembrij universiteti matbuoti. ISBN 978-0-521-66066-2. JANOB 1722410.CS1 maint: ref = harv (havola)
Elkies, N. (1998), "Shimura egri hisoblashlari", Algoritmik raqamlar nazariyasi (Portlend, OR, 1998), Kompyuter fanidan ma'ruza matnlari, 1423, Berlin: Springer, 1-47 betlar, arXiv:matematik.NT / 0005160, doi:10.1007 / BFb0054850, ISBN 978-3-540-64657-0, JANOB 1726059
Levi, Silvio, tahrir. (1999), Sakkizta yo'l, Matematika fanlari ilmiy-tadqiqot instituti nashrlari, 35, Kembrij universiteti matbuoti, ISBN 978-0-521-66066-2, JANOB 1722410. Qog'ozli nashr, Kembrij universiteti matbuoti, 2001, ISBN 978-0-521-00419-0. Buni o'qing: Sakkizta yo'l tomonidan ko'rib chiqilgan Rut I. Michler.
Shulte, Egon; Wills, J. M. (1985-12-01), "Feliks Klaynning xaritasini ko'p qirrali amalga oshirish {3, 7}₈ Riman yuzidagi 3-rasm ", J. London matematikasi. Soc., s2-32 (3): 539-547, doi:10.1112 / jlms / s2-32.3.539, olingan 2010-04-17
Karcher, H .; Weber, M. (1996), Kleinning Riemann yuzasida, CiteSeerX 10.1.1.47.1879, olingan 2010-04-17^{[o'lik havola ]}
Rixter, Devid A., Mathieu guruhini qanday yaratish M₂₄, olingan 2010-04-15
Schmutz, P. (1993). "Maksimal uzunlikdagi eng qisqa geodezikli Rimann sirtlari". GAFA. 3 (6): 564–631. doi:10.1007 / BF01896258.CS1 maint: ref = harv (havola)
Scholl, P .; Schürmann, A .; Wills, J. M. (sentyabr 2002), "Feliks Klayn guruhining ko'p qirrali modellari", Matematik razvedka, 24 (3): 37–42, doi:10.1007 / BF03024730, asl nusxasidan arxivlangan 2007-06-11CS1 maint: BOT: original-url holati noma'lum (havola)
Xonanda, Devid; Syddall, Robert I. (2003), "Bir xil Dessinning Riemann yuzasi", Beiträge zur Algebra und Geometrie, 44 (2): 413–430

Tashqi havolalar

Kleinning kvartik egri chizig'i, Jon Baez, 2006 yil 28-iyul
Kleinning kvartik egri chizig'i, Greg Egan tomonidan - rasmlar
Klaynning kvartik tenglamalari, Greg Egan tomonidan - rasmlar

[1] (Levy 1999 yil, p. 24)

[scholl-2] v ^d ^e (Scholl, Schürmann & Wills 2002 yil )

[richter-3] v (Rixter )

[baez-4] Kleinning kvartik egri chizig'i, Jon Baez, 2006 yil 28-iyul

[westendorp-5] Riemann sirtlarining platonik qoplamalari, Jerar Westendorp

[6] Klein kvartikasining qog'oz modellari Arxivlandi 2011-06-07 da Orqaga qaytish mashinasi, Mayk Stay Arxivlandi 2010-09-07 da Orqaga qaytish mashinasi

[sequin-7] v Klein kvartikasi-3 naqshlari, Carlo H. Séquin tomonidan, hamrohlik qilmoqda Ko'priklar Art-ko'rgazmasidagi buyumlar, London, 2006 yil 4–8 avgust, "Klein Quartic Quiltic" bilan, Eveline Séquin, Bill Thurstonning namunasi asosida

[schulte-8] (Schulte & Wills 1985 yil )

[egan-9] Kleinning kvartik egri chizig'i, Greg Egan tomonidan

[10] Bryuyn, Liven (2007 yil 7 mart), Hozirgacha eng yaxshi rad etilgan taklif, dan arxivlangan asl nusxasi 2014 yil 27 fevralda.

[11] Elkies, 4.4-bo'lim (94-97-betlar) ichida (Levy 1999 yil ).

[martin-12] Martin, Devid; Xonanda, Pablo (2008 yil 17 aprel), Biplanlardan Klein kvartikasi va Bekbolga qadar (PDF)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]