Abel-Jakobi xaritasi - Abel–Jacobi map

Yilda matematika, Abel-Jakobi xaritasi ning qurilishi algebraik geometriya bilan bog'liq bo'lgan algebraik egri chiziq unga Jacobian xilma-xilligi. Yilda Riemann geometriyasi, bu umumiy qurilish xaritasi a ko'p qirrali uning Jacobi torusiga.Nomi kelib chiqadi teorema ning Hobil va Jakobi bu ikkitasi samarali bo'luvchilar bor chiziqli ekvivalent agar Abel-Jakobi xaritasi bo'yicha ularni ajratib bo'lmaydigan bo'lsa.

Xaritani qurish

Yilda murakkab algebraik geometriya, egri chiziqli Jacobian C yo'l integratsiyasi yordamida qurilgan. Aytaylik, deylik C bor tur g, bu topologik jihatdan shuni anglatadi

${displaystyle H_ {1} (C, mathbb {Z}) cong mathbb {Z} ^ {2g}.}$

Geometrik ravishda ushbu homologiya guruhi (homologiya darslari) dan iborat. tsikllar yilda C, yoki boshqacha qilib aytganda, yopiq ko'chadan. Shuning uchun biz 2 ni tanlashimiz mumking ko'chadan ${displaystyle gamma _ {1}, ldots, gamma _ {2g}}$ uni yaratish. Boshqa tomondan, yana bir algebro-geometrik usul, deb aytish mumkin C bu g shu

${displaystyle H ^ {0} (C, K) cong mathbb {C} ^ {g},}$

qayerda K bo'ladi kanonik to'plam kuni C.

Ta'rifga ko'ra, bu global miqyosda aniqlangan holomorfik bo'shliq differentsial shakllar kuni C, shuning uchun biz tanlashimiz mumkin g chiziqli mustaqil shakllar ${displaystyle omega _ {1}, ldots, omega _ {g}}$. Berilgan shakllar va yopiq ko'chadan biz birlashtira olamiz va biz 2 ni aniqlaymizg vektorlar

${displaystyle Omega _ {j} = chap (int _ {gamma _ {j}} omega _ {1}, ldots, int _ {gamma _ {j}} omega _ {g} ight) matematikada {C} ^ { g}.}$

Dan kelib chiqadi Riemann bilinear munosabatlar bu ${displaystyle Omega _ {j}}$ noaniq ishlab chiqarish panjara ${displaystyle Lambda}$ (ya'ni ular uchun haqiqiy asosdir) ${displaystyle mathbb {C} ^ {g} cong mathbb {R} ^ {2g}}$) va Jacobian tomonidan belgilanadi

${displaystyle J (C) = mathbb {C} ^ {g} / Lambda.}$

The Abel-Jakobi xaritasi keyin quyidagicha ta'riflanadi. Biz ba'zi bir asosiy nuqtani tanlaymiz ${displaystyle p_ {0} in C}$ va, deyarli ta'rifini taqlid qilish ${displaystyle Lambda,}$ xaritani aniqlang

${displaystyle {egin {case} u: C o J (C) u (p) = left (int _ {p_ {0}} ^ {p} omega _ {1}, dots, int _ {p_ {0} } ^ {p} omega _ {g} ight) {mod {Lambda}} end {case}}}$

Garchi bu, ko'rinadigan yo'lga bog'liq bo'lsa-da ${displaystyle p_ {0}}$ ga ${displaystyle p,}$ har qanday ikkita bunday yo'l yopiq tsiklni belgilaydi ${displaystyle C}$ va shuning uchun ${displaystyle H_ {1} (C, mathbb {Z}),}$ shuning uchun uning ustiga integratsiya ning elementini beradi ${displaystyle Lambda.}$ Shunday qilib, bu qism tomonidan o'tilgan qismda o'chiriladi ${displaystyle Lambda}$. O'zgartirish tayanch nuqtasi ${displaystyle p_ {0}}$ xaritani o'zgartiradi, lekin faqat torus tarjimasi bilan.

Rimaniyalik ko'p qirrali Abel-Jakobi xaritasi

Ruxsat bering ${displaystyle M}$ silliq ixcham bo'ling ko'p qirrali. Ruxsat bering ${displaystyle pi = pi _ {1} (M)}$ uning asosiy guruhi bo'ling. Ruxsat bering ${displaystyle f: pi o pi ^ {ab}}$ uning bo'lishi abelianizatsiya xarita Ruxsat bering ${displaystyle operator nomi {tor} = operator nomi {tor} (pi ^ {ab})}$ ning torsion kichik guruhi bo'ling ${displaystyle pi ^ {ab}}$. Ruxsat bering ${displaystyle g: pi ^ {ab} o pi ^ {ab} / operatorname {tor}}$ burama bilan bo'ling. Agar ${displaystyle M}$ bu sirt, ${displaystyle pi ^ {ab} / operatorname {tor}}$ uchun kanonik bo'lmagan izomorfikdir ${displaystyle mathbb {Z} ^ {2g}}$, qayerda ${displaystyle g}$ bu jins; umuman, ${displaystyle pi ^ {ab} / operatorname {tor}}$ uchun kanonik bo'lmagan izomorfikdir ${displaystyle mathbb {Z} ^ {b}}$, qayerda ${displaystyle b}$ birinchi Betti raqami. Ruxsat bering ${displaystyle varphi = gcirc f: pi o mathbb {Z} ^ {b}}$ kompozitsion homomorfizm bo'ling.

Ta'rif. Muqova ${displaystyle {ar {M}}}$ ko'p qirrali ${displaystyle M}$ kichik guruhga mos keladi ${displaystyle ker (varphi) pastki to'plam pi}$ universal (yoki maksimal) erkin abeliya qopqog'i deyiladi.

Endi faraz qiling M bor Riemann metrikasi. Ruxsat bering ${displaystyle E}$ harmonik 1-shakllar maydoni bo'ling ${displaystyle M}$, dual bilan ${displaystyle E ^ {*}}$ bilan kanonik ravishda aniqlangan ${displaystyle H_ {1} (M, mathbb {R})}$. Integral harmonik 1-shaklni tayanch nuqtadan yo'llar bo'ylab birlashtirish orqali ${displaystyle x_ {0} in M}$, biz aylana xaritasini olamiz ${displaystyle mathbb {R} / mathbb {Z} = S ^ {1}}$.

Xuddi shunday, xaritani aniqlash uchun ${displaystyle M o H_ {1} (M, mathbb {R}) / H_ {1} (M, mathbb {Z}) _ {mathbb {R}}}$ kohomologiya uchun asos tanlamasdan, biz quyidagicha bahslashamiz. Ruxsat bering ${displaystyle x}$ nuqta bo'lishi universal qopqoq ${displaystyle {ilde {M}}}$ ning ${displaystyle M}$. Shunday qilib ${displaystyle x}$ ning nuqtasi bilan ifodalanadi ${displaystyle M}$ yo'l bilan birga ${displaystyle c}$ dan ${displaystyle x_ {0}}$ unga. Yo'l bo'ylab integratsiyalashgan holda ${displaystyle c}$, biz chiziqli shaklni olamiz ${displaystyle E}$:

${displaystyle h o int _ {c} h.}$

Bu xaritani keltirib chiqaradi

${displaystyle {ilde {M}} o E ^ {*} = H_ {1} (M, mathbb {R}),}$

bundan tashqari, xaritaga tushadi

${displaystyle {egin {case} {overline {A}} _ {M}: {overline {M}} o E ^ {*} cmapsto left (hmapsto int _ {c} hight) end {case}}}$

qayerda ${displaystyle {overline {M}}}$ universal bepul abeliya qopqog'i.

Ta'rif. Yakobi xilma-xilligi (Jacobi torus) ning ${displaystyle M}$ torus

${displaystyle J_ {1} (M) = H_ {1} (M, mathbb {R}) / H_ {1} (M, mathbb {Z}) _ {mathbb {R}}.}$

Ta'rif. The Abel-Jakobi xaritasi

${displaystyle A_ {M}: M o J_ {1} (M),}$

kvotalarga o'tish orqali yuqoridagi xaritadan olinadi.

Abel-Jakobi xaritasi Yakobi torusining tarjimalarida noyobdir. Xaritada dastur mavjud Sistolik geometriya. Riemann kollektorining Abel-Jakobi xaritasi davriy manifoldda issiqlik yadrosining katta vaqtdagi asimptotikasini ko'rsatadi (Kotani va Sunada (2000) va Sunada (2012) ).

Xuddi shu tarzda, Abel-Jakobi xaritasining grafik-nazariy analogini cheklangan grafadan tekis torusga (yoki cheklangan abeliya guruhi bilan bog'langan Keyli grafigiga) bo'lak-chiziqli xarita sifatida aniqlash mumkin, bu bir-biri bilan chambarchas bog'liq. kristalli panjaralarda tasodifiy yurishning asimptotik xatti-harakatlariga va kristalli konstruktsiyalarni loyihalashda foydalanish mumkin.

Abel-Yakobi teoremasi

Hobil quyidagi teoremani isbotladi: Faraz qilaylik

${displaystyle D = sum olimits _ {i} n_ {i} p_ {i}}$

bo'luvchi (nuqtalarning rasmiy butun sonli va chiziqli kombinatsiyasini bildiradi C). Biz aniqlay olamiz

${displaystyle u (D) = sum olimits _ {i} n_ {i} u (p_ {i})}$

va shuning uchun bo'linuvchilarda Abel-Jakobi xaritasining qiymati haqida gapiring. Teorema, agar shunday bo'lsa D. va E ikkitadir samarali bo'linuvchilar, ya'ni ${displaystyle n_ {i}}$ barchasi musbat tamsayılar, keyin

${displaystyle u (D) = u (E)}$ agar va faqat agar ${displaystyle D}$ bu chiziqli ekvivalent ga ${displaystyle E.}$ Bu shuni anglatadiki, Abel-Jakobi xaritasi in'ektsion xaritani (abeliya guruhlari) nol darajadagi bo'linish sinflari maydonidan Yakobianga olib keladi.

Jakobi ushbu xarita ham sur'ektiv ekanligini isbotladi, shuning uchun ikkala guruh tabiiy ravishda izomorfdir.

Abel-Yakobi teoremasi shuni anglatadiki Alban navlari ixcham murakkab egri chiziq (holomorfik 1-shaklli modulli davrlar duali) unga izomorfdir Jacobian xilma-xilligi (0 darajali modul ekvivalenti darajasining bo'linuvchilari). Yuqori o'lchovli ixcham proektsion navlar uchun Alban navlari va Pikard navlari ikkilangan, ammo izomorf bo'lmasligi kerak.

Adabiyotlar

• E. Arbarello; M. Kornalba; P. Griffits; J. Xarris (1985). "1.3, Hobil teoremasi". Algebraik egri chiziqlar geometriyasi, jild. 1. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. Springer-Verlag. ISBN  978-0-387-90997-4.
• Kotani, Motoko; Sunada, Toshikazu (2000), "alban xaritalari va issiqlik yadrosi uchun diagonali uzoq asimptotik", Kom. Matematika. Fizika., 209: 633–670, Bibcode:2000CMaPh.209..633K, doi:10.1007 / s002200050033
• Sunada, Toshikazu (2012), "Topologik kristallografiya bo'yicha ma'ruza", Yaponiya. J. Matematik., 7: 1–39, doi:10.1007 / s11537-012-1144-4