Algebraik geometriya lug'ati - Glossary of algebraic geometry

Bu algebraik geometriya lug'ati.

Shuningdek qarang komutativ algebra lug'ati, klassik algebraik geometriya lug'ati va halqa nazariyasining lug'ati. Raqamli nazariy dasturlar uchun qarang arifmetik va Diofant geometriyasining lug'ati.

Oddiylik uchun asosiy sxemaga havola ko'pincha qoldiriladi; ya'ni, sxema ba'zi bir qat'iy bazaviy sxemalar ustidan sxema bo'ladi S va morfizm an S-morphism.

!$@

${ displaystyle eta}$

A umumiy nuqta. Masalan, har qanday integral affin sxemasi uchun nol ideal bilan bog'langan nuqta.

F(n), F(D.)

1. Agar X bilan loyihaviy sxema Serrening burama shingil ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X} (1)}$ va agar F bu ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X}}$-modul, keyin ${ displaystyle F (n) = F otimes _ {{ mathcal {O}} _ {X}} { mathcal {O}} _ {X} (n).}$

2. Agar D. Cartier bo'luvchisi va F bu ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X}}$-modul (X o'zboshimchalik bilan), keyin ${ displaystyle F (D) = F otimes _ {{ mathcal {O}} _ {X}} { mathcal {O}} _ {X} (D).}$ Agar D. Vayl bo'luvchisi va F refleksiv, keyin biri o'rnini bosadi F(D.) reflektiv qobig'i bilan (va natijani hanuzgacha chaqiring F(D.).)

|D.|

The to'liq chiziqli tizim a Vayl bo'luvchisi D. oddiy to'liq nav bo'yicha X algebraik yopiq maydon ustida k; anavi, ${ displaystyle | D | = mathbf {P} ( Gamma (X, { mathcal {O}} _ {X} (D)))}$. To'plami o'rtasida biektsiya mavjud k- ning mantiqiy nuqtalariD.| va Vaylning samarali bo'linuvchilari to'plami X ga teng ravishda teng bo'lgan D..^[1] Xuddi shu ta'rif, agar ishlatiladi D. a Kartier bo'linuvchisi to'liq turlicha k.

[X / G]

The stack stack aytaylik, algebraik bo'shliq X guruh sxemasi harakati bilan G.

${ displaystyle X / ! / G}$

The GIT miqdori sxemaning X tomonidan guruh sxemasining harakati G.

Lⁿ

Aniq bo'lmagan yozuv. Odatda an degan ma'noni anglatadi n- ning tensor kuchi L balki o'z-o'zidan kesishgan sonini ham anglatishi mumkin L. Agar ${ displaystyle L = { mathcal {O}} _ {X}}$, strukturaning ustuni X, keyin bu to'g'ridan-to'g'ri yig'indisini anglatadi n nusxalari ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X}}$.

${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X} (- 1)}$

The tavtologik chiziq to'plami. Bu ikkilik Serrening burama shingil ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X} (1)}$.

${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X} (1)}$

Serrening burama shingil. Bu ikkilik tavtologik chiziq to'plami ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X} (- 1)}$. U shuningdek, giperplane to'plami deb ataladi.

${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X} (D)}$

1. Agar D. bu samarali Cartier bo'luvchisi kuni X, keyin bu ideal pog'onaning teskari tomoni D..

2. Ko'pincha, ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X} (D)}$ ning tasviri D. tabiiy guruh gomomorfizmi ostida Kartye bo'linuvchilar guruhidan Pikard guruhiga ${ displaystyle operatorname {Pic} (X)}$ ning X, chiziqli to'plamlarning izomorfizm sinflari guruhi X.

3. Umuman olganda, ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X} (D)}$ a ga to'g'ri keladigan pog'onadir Vayl bo'luvchisi D. (a oddiy sxema ). Bu mahalliy darajada bepul bo'lishi shart emas, faqat reflektiv.

4. Agar D. ℚ-bo'luvchi, keyin ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X} (D)}$ bu ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X}}$ ning ajralmas qismi D..

${ displaystyle Omega _ {X} ^ {p}}$

1.  ${ displaystyle Omega _ {X} ^ {1}}$ ning to'plami Kähler differentsiallari kuni X.

2.  ${ displaystyle Omega _ {X} ^ {p}}$ bo'ladi p- tashqi kuch ${ displaystyle Omega _ {X} ^ {1}}$.

${ displaystyle Omega _ {X} ^ {p} ( log D)}$

1. Agar p 1, bu shef logaritmik Kähler differentsiallari kuni X birga D. (bo'linuvchi bo'ylab oddiy qutblar bilan taxminan differentsial shakllar D..)

2.  ${ displaystyle Omega _ {X} ^ {p} ( log D)}$ bo'ladi p- tashqi kuch ${ displaystyle Omega _ {X} ^ {1} ( log D)}$.

P(V)

Notation noaniq. Uning an'anaviy ma'nosi loyihalashtirish cheklangan o'lchovli k- vektor maydoni V; ya'ni,

${ displaystyle mathbf {P} (V) = operatorname {Proj} (k [V]) = operatorname {Proj} ( operatorname {Sym} (V ^ {*}))}$

(the Proj ning polinom funktsiyalarining halqasi k[V]) va uning k-pinlar in satrlariga to'g'ri keladi V. Aksincha, Hartshorne va EGA yozadilar P(V) ning nosimmetrik algebra projesi uchun V.

Q faktorial

Oddiy nav ${ displaystyle mathbb {Q}}$- agar har biri bo'lsa ${ displaystyle mathbb {Q}}$-Vaylni ajratuvchi ${ displaystyle mathbb {Q}}$-Kartier.

Spec (R)

Ringdagi barcha asosiy ideallarning to'plami R Zariski topologiyasi bilan; bunga deyiladi asosiy spektr ning R.

Spec_X(F)

The nisbiy Spec ning O_X-algebra F. Shuningdek, u bilan belgilanadi Spec(F) yoki shunchaki Spec (F).

Spec^an(R)

Ring uchun barcha baholashlar to'plami R ma'lum bir zaif topologiya bilan; bunga deyiladi Berkovich spektri ning R.

A

abeliya

1. An abeliya xilma-xilligi to'liq guruh xilma-xilligi. Masalan, murakkab xilma-xillikni ko'rib chiqing ${ displaystyle mathbb {C} ^ {n} / mathbb {Z} ^ {2n}}$ yoki elliptik egri chiziq ${ displaystyle E}$ cheklangan maydon ustida ${ displaystyle mathbb {F} _ {q}}$.

2. An abeliya sxemasi abeliya navlarining (yassi) turkumi.

birikma formulasi

1. Agar D. algebraik xilma bo'yicha samarali Cartier bo'luvchisi X, ikkalasi ham tan oladilar dualing pog'onalari ${ displaystyle omega _ {D}, omega _ {X}}$, keyin birikma formulasi deydi:

${ displaystyle omega _ {D} = ( omega _ {X} otimes { mathcal {O}} _ {X} (D)) | _ {D}}$.

An algebraik to'plam maydon ustida k - bu cheklangan turdagi kamaytirilgan ajratilgan sxema ${ displaystyle operatorname {Spec} (k)}$. Qisqartirilmaydigan algebraik to'plam algebraik xilma deyiladi.

An algebraik xilma maydon ustida k - cheklangan turdagi ajralmas sxemasi ${ displaystyle operatorname {Spec} (k)}$. E'tibor bering, faraz qilmasdan k algebraik yopiq bo'lib, ba'zi patologiyalarni keltirib chiqaradi; masalan, ${ displaystyle operatorname {Spec} mathbb {C} times _ { mathbb {R}} operatorname {Spec} mathbb {C}}$ koordinata halqasidan beri turli xil emas ${ displaystyle mathbb {C} otimes _ { mathbb {R}} mathbb {C}}$ emas ajralmas domen.

The arifmetik tur proektiv xilma X o'lchov r bu ${ displaystyle (-1) ^ {r} ( chi ({ mathcal {O}} _ {X}) - 1)}$.

B

Behrend funktsiyasi

The vaznli Eyler xarakteristikasi (yaxshi) suyakka X ga nisbatan Behrend funktsiyasi ning darajasi virtual fundamental sinf ning X.

Berendning iz formulasi

Berendning iz formulasi umumlashtiradi Grotendikning iz formulasi; ikkala formulalar ham izini hisoblab chiqadi Frobenius kuni l-adik kohomologiya.

katta

A katta chiziqli to'plam L kuni X o'lchov n shunday chiziqli to'plamdir ${ displaystyle displaystyle limsup _ {l to infty} operator nomi {dim} Gamma (X, L ^ {l}) / l ^ {n}> 0}$.

biratsional morfizm

A biratsional morfizm sxemalar orasidagi morfizm bo'lib, ba'zi bir ochiq zich to'plam bilan chegaralanganidan keyin izomorfizmga aylanadi. Biratsion xaritaning eng keng tarqalgan misollaridan biri bu portlash natijasida hosil bo'lgan xarita.

portlatib

A portlatib Bu yopiq subkema o'rnini samarali Cartier bo'luvchisi bilan almashtiradigan birjali transformatsiya. Neteriya sxemasi berilgan X va yopiq pastki qism ${ displaystyle Z subset X}$, portlash X birga Z to'g'ri morfizmdir ${ displaystyle pi: { widetilde {X}} to X}$ shunday (1) ${ displaystyle pi ^ {- 1} (Z) hookrightarrow { widetilde {X}}}$ istisno bo'linuvchi deb nomlangan samarali Cartier bo'luvchisi va (2) ${ displaystyle pi}$ (1) ga nisbatan universaldir. Konkret ravishda, u Rees algebrasining nisbiy Proj sifatida qurilgan ${ displaystyle O_ {X}}$ ideal pog'onani aniqlashga nisbatan Z.

C

Kalabi – Yau

1. The Kalabi-Yau metrikasi Ricci egriligi nolga teng bo'lgan Kähler metrikasi.

kanonik

1. The kanonik sheaf oddiy nav bo'yicha X o'lchov n bu ${ displaystyle omega _ {X} = i _ {*} Omega _ {U} ^ {n}}$ qayerda men ning kiritilishi silliq lokus U va ${ displaystyle Omega _ {U} ^ {n}}$ - differentsial shakllar to'plami U daraja n. Agar bazaviy maydon normallik o'rniga xarakterli nolga ega bo'lsa, uni almashtirish mumkin men singularity qaroriga ko'ra.

2. The kanonik sinf ${ displaystyle K_ {X}}$ oddiy nav bo'yicha X bo'luvchi sinf shundaydir ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X} (K_ {X}) = omega _ {X}}$.

3. The kanonik bo'luvchi kanonik sinf vakilidir ${ displaystyle K_ {X}}$ bir xil belgi bilan belgilanadi (va aniq belgilanmagan).

4. The kanonik uzuk oddiy nav X ning halqasi kanonik sheaf.

kanonik model

1. The kanonik model bo'ladi Proj kanonik halqaning (uzuk cheklangan darajada hosil bo'lgan deb taxmin qiling.)

Cartier

1. Samarali Kartier bo'linuvchisi D. sxema bo'yicha X ustida S ning yopiq subkema hisoblanadi X bu tekis S va ideal pog'onasi o'zgaruvchan (mahalliy darajada birinchi darajadan xoli).

Castelnuovo - Mumford muntazamligi

The Castelnuovo - Mumford muntazamligi izchil bog ' F projektor maydonida ${ displaystyle f: mathbf {P} _ {S} ^ {n} to S}$ sxema bo'yicha S eng kichik butun son r shu kabi

${ displaystyle R ^ {i} f _ {*} F (r-i) = 0}$

Barcha uchun men > 0.

kateteriya

Sxema kateteriya, agar ikkita qisqartirilmaydigan yopiq pastki satrlar orasidagi barcha zanjirlar bir xil uzunlikka ega bo'lsa. Misollar deyarli hamma narsani o'z ichiga oladi, masalan. dala ustida navlar, va kateter bo'lmagan misollarni yaratish qiyin.

markaziy tola

1. Maxsus tola.

Chow guruhi

The k-chi Chow guruhi ${ displaystyle A_ {k} (X)}$ silliq nav X Bu o'lchovning yopiq kichik navlari tomonidan ishlab chiqarilgan erkin abeliya guruhidir k (guruh k-tsikllar ) modulo ratsional ekvivalentlar.

tasniflash to'plami

A analogi bo'shliqni tasniflash uchun torsorlar algebraik geometriyada; qarang tasniflash to'plami.

yopiq

Yopiq obunachilar sxemaning X quyidagi qurilishda yuz beradiganlar deb belgilanadi. Ruxsat bering J bo'lishi a yarim izchil to'plami ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X}}$-ideallar. The qo'llab-quvvatlash ning pog'ona ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X} / J}$ yopiq ichki qism Z ning X va ${ displaystyle (Z, ({ mathcal {O}} _ {X} / J) | _ {Z})}$ deb nomlangan sxema tomonidan belgilangan yopiq subcheme yarim izchil ideallar to'plami J.^[6] Yopiq pastki jadvallarni ta'rifi bunday tuzilishga asoslanishining sababi shundaki, ochiq pastki to'plamlardan farqli o'laroq, sxemaning yopiq kichik to'plami subsheme sifatida o'ziga xos tuzilishga ega emas.

Koen-Makolay

Sxema "Cohen-Macaulay" deb nomlanadi, agar barcha mahalliy halqalar bo'lsa Koen-Makolay.Masalan, muntazam sxemalar va Spec k[x, y]/(xy) Koen-Makolay, ammo emas.

izchil sheaf

A izchil sheaf noeteriya sxemasi bo'yicha X sifatida hosil qilingan kvazi-izchil sheafdir O_X-modul.

konus

An algebraik egri chiziq Ikkinchi daraja.

ulangan

Sxema ulangan topologik makon sifatida. Beri ulangan komponentlar yaxshilang kamaytirilmaydigan komponentlar har qanday qisqartirilmaydigan sxema ulanadi, aksincha emas. An afine sxemasi Spec (R) ulangan iff uzuk R ega emas idempotentlar 0 va 1dan tashqari; bunday uzuk ham a deb nomlanadi ulangan uzuk.Bog'langan sxemalarga misollar kiradi afin maydoni, proektsion maydon va ulanmagan sxemaga misolSpec(k[x]×k[x])

ixchamlashtirish

Masalan, qarang Nagata kompaktifikatsiya teoremasi.

Cox uzuk

Bir hil koordinatali halqani umumlashtirish. Qarang Cox uzuk.

krepant

A morfizm ${ displaystyle f: X to Y}$ oddiy navlar orasidagi morfizm shunday ${ displaystyle f ^ {*} omega _ {Y} = omega _ {X}}$.

egri chiziq

Bir o'lchovning algebraik xilma-xilligi.

D.

deformatsiya

Ruxsat bering ${ displaystyle S to S '}$ sxemalarining morfizmi bo'lishi va X an S-sxema. Keyin deformatsiya X"ning X bu S'- sxema, unda tortib olingan kvadrat X ning orqaga tortilishi X"(odatda X"deb taxmin qilinadi yassi ).

degeneratsiya lokusi

Vektorli to'plam xaritasi berilgan ${ displaystyle f: E to F}$ turli xil X (ya'ni sxema X-to'plamlarning umumiy bo'shliqlari orasidagi morfizm), degeneratsiya lokusi (sxema-nazariy) lokusdir

${ displaystyle X_ {k} (f) = {x in X | operatorname {rk} (f (x)) leq k }}$.

1. Sxema X deyiladi buzilib ketgan sxemaga ${ displaystyle X_ {0}}$ (chegarasi deb ataladi X) agar sxema mavjud bo'lsa ${ displaystyle pi: Y to mathbf {A} ^ {1}}$ bilan umumiy tola X va maxsus tola ${ displaystyle X_ {0}}$.

2. A tekis degeneratsiya bu degeneratsiya ${ displaystyle pi}$ tekis.

1. Chiziq to'plamining darajasi L to'liq nav bo'yicha butun son d shu kabi ${ displaystyle chi (L ^ { otimes m}) = {d over n!} m ^ {n} + O (m ^ {n-1})}$.

2. Agar x to'liq navli tsikl ${ displaystyle f: X to operatorname {Spec} k}$ maydon ustida k, keyin uning darajasi ${ displaystyle f _ {*} (x) A_ {0} ( operator nomi {Spec} k) = mathbb {Z}}$.

Proektivda Koen-Makoley sxemasi sof o'lchovli n, dualing sheaf izchil pog'ona ${ displaystyle omega}$ kuni X shu kabi

${ displaystyle H ^ {n-i} (X, F ^ { vee} otimes omega) simeq H ^ {i} (X, F) ^ {*}}$

har qanday mahalliy bepul to'plam uchun F kuni X; masalan, agar X silliq proektsion xilma, keyin u a kanonik sheaf.

E

Éléments de géométrie algébrique

The EGA tushunchasi asosida algebraik geometriyaga asos solishga tugallanmagan urinish edi sxema, algebraik xilma-xillikni umumlashtirish. Séminaire de géométrie algébrique EGA to'xtagan joyni oladi. Bugungi kunda bu algebraik geometriyadagi standart ma'lumotlardan biridir.

elliptik egri chiziq

An elliptik egri chiziq silliqdir proektsion egri chiziq bir jins.

asosan cheklangan turdagi

Cheklangan turdagi sxemani lokalizatsiya qilish.

etale

Morfizm f : Y → X bu etale agar u tekis va raqamlanmagan bo'lsa. Boshqa bir nechta teng ta'riflar mavjud. Silliq navlarga nisbatan ${ displaystyle X}$ va ${ displaystyle Y}$ algebraik tarzda yopiq maydon, etale morfizmlari aniq teginish bo'shliqlarining izomorfizmini keltirib chiqaradigan narsadir ${ displaystyle df: T_ {y} Y rightarrow T_ {f (y)} X}$, bu differentsial geometriyadagi odatiy etale xaritasi tushunchasiga to'g'ri keladi.Etale morfizmlari juda muhim morfizmlar sinfini tashkil qiladi; ular deb atalmish qurish uchun ishlatiladi etale topologiyasi va natijada etale kohomologiyasi, bu hozirgi kunda algebraik geometriyaning asoslaridan biri hisoblanadi.

Eyler ketma-ketligi

Qatlamlarning aniq ketma-ketligi:

${ displaystyle 0 to { mathcal {O}} _ { mathbf {P} ^ {n}} to { mathcal {O}} _ { mathbf {P} ^ {n}} (1) ^ { oplus (n + 1)} to T mathbf {P} ^ {n} dan 0,} gacha$

qayerda Pⁿ maydon bo'ylab proektsion bo'shliq va nolga teng bo'lmagan oxirgi muddat tangens boaf, deyiladi Eyler ketma-ketligi.

ekvariant kesishish nazariyasi

II bobga qarang http://www.math.ubc.ca/~behrend/cet.pdf

F

F- muntazam

Bog'liq bo'lgan Frobenius morfizmi.^[7]

Fano

A Fano xilma-xilligi silliqdir proektiv xilma X uning antikanonik to'plami ${ displaystyle omega _ {X} ^ {- 1}}$ etarli.

tola

Berilgan ${ displaystyle f: X to Y}$ sxemalari orasida f ustida y to'plam sifatida, oldindan tasvir ${ displaystyle f ^ {- 1} (y) = {x in X | f (x) = y }}$; u sxemaning tabiiy tuzilishiga ega qoldiq maydoni ning y tola mahsuloti sifatida ${ displaystyle X times _ {Y} {y }}$, qayerda ${ displaystyle {y }}$ sxemaning tabiiy tuzilishiga ega Y ning qoldiq maydonining Spec sifatida y.

tola mahsuloti

1. "uchun yana bir atamaorqaga tortish "toifalar nazariyasida.

2. suyakka ${ displaystyle F times _ {G} H}$ uchun berilgan ${ displaystyle f: F to G, g: H to G}$: ob'ekt tugadi B uch karra (x, y, ψ), x yilda F(B), y yilda H(B), izomorfizm ${ displaystyle f (x) { overset { sim} { to}} g (y)}$ yilda G(B); dan o'q (x, y, ψ) ga (x ', y', ψ ') - bu juftlik morfizmidir ${ displaystyle alpha: x to x ', beta: y to y'}$ shu kabi ${ displaystyle psi ' circ f ( alfa) = g ( beta) circ psi}$. Olingan kvadrat aniq proektsiyalar bilan emas qatnov; aksincha, bu tabiiy izomorfizmga to'g'ri keladi; ya'ni, u 2-qatnov.

final

Grotendikning asosiy g'oyalaridan biri ta'kidlashdir nisbiy tushunchalar, ya'ni sxema bo'yicha emas, balki morfizmdagi shartlar. Sxemalar toifasida a mavjud yakuniy ob'ekt, halqa spektri ${ displaystyle mathbb {Z}}$ butun sonlar; shunday qilib har qanday sxema ${ displaystyle S}$ bu ustida ${ displaystyle { textrm {Spec}} ( mathbb {Z})}$va o'ziga xos tarzda.

cheklangan

Morfizm f : Y → X bu cheklangan agar ${ displaystyle X}$ afinali ochiq to'plamlar bilan qoplanishi mumkin ${ displaystyle { text {Spec}} B}$ shunday qilib har biri ${ displaystyle f ^ {- 1} ({ text {Spec}} B)}$ affine - shakl haqida ayting ${ displaystyle { text {Spec}} A}$ - va bundan tashqari ${ displaystyle A}$ $ a $ sifatida yakuniy hosil bo'ladi ${ displaystyle B}$-modul. Qarang cheklangan morfizm.Finit morfizmlar kvazi-sonli, ammo cheklangan tolalarga ega bo'lgan barcha morfizmlar kvazitali emas va cheklangan tipdagi morfizmlar odatda kvazi-sonli emas.

cheklangan turi (mahalliy)

Morfizm f : Y → X bu cheklangan turdagi mahalliy agar ${ displaystyle X}$ afinali ochiq to'plamlar bilan qoplanishi mumkin ${ displaystyle { text {Spec}} B}$ har bir teskari rasm ${ displaystyle f ^ {- 1} ({ text {Spec}} B)}$ afinali ochiq to'plamlar bilan qoplangan ${ displaystyle { text {Spec}} A}$ har birida ${ displaystyle A}$ $ a $ sifatida yakuniy hosil bo'ladi ${ displaystyle B}$-algebra.Morfizm f : Y → X bu cheklangan turdagi agar ${ displaystyle X}$ afinali ochiq to'plamlar bilan qoplanishi mumkin ${ displaystyle { text {Spec}} B}$ har bir teskari rasm ${ displaystyle f ^ {- 1} ({ text {Spec}} B)}$ juda ko'p sonli affine ochiq to'plamlari bilan qoplangan ${ displaystyle { text {Spec}} A}$ har birida ${ displaystyle A}$ $ a $ sifatida yakuniy hosil bo'ladi ${ displaystyle B}$-algebra.

cheklangan tolalar

Morfizm f : Y → X bor cheklangan tolalar agar har bir nuqta ustidagi tola bo'lsa ${ displaystyle x in X}$ cheklangan to'plamdir. Morfizm bu yarim finalli agar u cheklangan turdagi bo'lsa va cheklangan tolalarga ega bo'lsa.

cheklangan taqdimot

Agar y ning nuqtasi Y, keyin morfizm f bu at sonli taqdimot y (yoki nihoyatda taqdim etilgan y) agar ochiq afinali mahalla bo'lsa U ning f (y) va ochiq afinali mahalla V ning y shu kabi f(V) ⊆ U va ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {Y} (V)}$ a cheklangan ravishda taqdim etilgan algebra ustida ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X} (U)}$. Morfizm f bu cheklangan taqdimotning mahalliy qismida agar u barcha nuqtalarda cheklangan tarzda taqdim etilsa Y. Agar X mahalliy Noetherian, keyin f Mahalliy ravishda cheklangan turdagi taqdimot bo'lsa va agar u cheklangan turdagi bo'lsa.^[8]Morfizm f : Y → X bu cheklangan taqdimot (yoki Y nihoyatda taqdim etiladi X) agar u cheklangan taqdimotdan iborat bo'lsa, kvazi-ixcham va kvazidan ajratilgan. Agar X mahalliy Noetherian, keyin f agar u cheklangan turdagi bo'lsa, cheklangan taqdimot hisoblanadi.^[9]

bayroqning xilma-xilligi

The bayroqning xilma-xilligi parametrlar a bayroq vektor bo'shliqlari.

yassi

Morfizm ${ displaystyle f}$ bu yassi agar u paydo bo'lsa tekis xarita poyalarda. Morfizmni ko'rishda f : Y → X nuqtalari bilan parametrlangan sxemalar oilasi sifatida ${ displaystyle X}$, tekislikning geometrik ma'nosini taxminan tolalar deb ta'riflash mumkin edi ${ displaystyle f ^ {- 1} (x)}$ juda vahshiyona farq qilmang.

rasmiy

Qarang rasmiy sxema.

G

g^r_d.

Egri chiziq berilgan C, bo'luvchi D. ustiga va vektor pastki fazosi ${ displaystyle V subset H ^ {0} (C, { mathcal {O}} (D))}$, biri chiziqli tizim deydi ${ displaystyle mathbb {P} (V)}$ g^r_d agar V o'lchovga ega r+1 va D. darajaga ega d. Bittasi aytadi C g ga ega^r_d agar shunday chiziqli tizim mavjud bo'lsa.

Gabriel-Rozenberg rekonstruksiya teoremasi

The Gabriel-Rozenberg rekonstruksiya teoremasi sxemasini bayon qiladi X toifasidan tiklanishi mumkin kvazi-izchil bintlar kuni X.^[10] Teorema boshlang'ich nuqtadir umumiy bo'lmagan algebraik geometriya chunki teoremani aksioma sifatida qabul qilib, a umumiy bo'lmagan sxema undagi kvazi-kogerent qatlamlar toifasini aniqlashga teng. Shuningdek qarang https://mathoverflow.net/q/16257

G-to'plami

Asosiy G to'plami.

umumiy nuqta

Zich nuqta.

tur

Qarang #arifmetik jins, #geometric jins.

jins formulasi

The jins formulasi proektsion tekislikdagi tugun egri chizig'i egri jinsi quyidagicha berilganligini aytadi

${ displaystyle g = (d-1) (d-2) / 2- delta}$

qayerda d egri chiziq darajasi va δ tugunlar soni (egri tekis bo'lsa nolga teng).

geometrik tur

The geometrik tur silliq proektsion xilma X o'lchov n bu

${ displaystyle dim Gamma (X, Omega _ {X} ^ {n}) = dim operatorname {H} ^ {n} (X, { mathcal {O}} _ {X})}$

(bu erda tenglik mavjud Serrning ikkilik teoremasi.)

geometrik nuqta

Algebraik yopiq maydonning asosiy spektri.

geometrik xususiyat

Sxema xususiyati X maydon ustida k bu "geometrik "agar u ushlab turilsa ${ displaystyle X_ {E} = X times _ { operatorname {Spec} k} { operatorname {Spec} E}}$ har qanday maydon kengaytmasi uchun ${ displaystyle E / k}$.

geometrik miqdor

The geometrik miqdor sxemaning X guruh sxemasi harakati bilan G tolalar orbitalar bo'lishi uchun yaxshi ko'rsatkichdir.

gerbe

A gerbe (qo'pol) a suyakka bu bo'sh joy emas va unda ikkita ob'ekt lokal ravishda izomorfdir.

GIT miqdori

The GIT miqdori ${ displaystyle X / ! / G}$ bu ${ displaystyle operatorname {Spec} (A ^ {G})}$ qachon ${ displaystyle X = operatorname {Spec} A}$ va ${ displaystyle operatorname {Proj} (A ^ {G})}$ qachon ${ displaystyle X = operatorname {Proj} A}$.

yaxshi miqdor

The yaxshi miqdor sxemaning X guruh sxemasi harakati bilan G o'zgarmas morfizmdir ${ displaystyle f: X to Y}$ shu kabi ${ displaystyle (f _ {*} { mathcal {O}} _ {X}) ^ {G} = { mathcal {O}} _ {Y}.}$

H

Hilbert polinomi

The Hilbert polinomi loyihaviy sxemaning X maydon ustida Eyler xarakteristikasi ${ displaystyle chi ({ mathcal {O}} _ {X} (s))}$.

Hodge to'plami

The Hodge to'plami ustida egri chiziqlar moduli (sobit jins) - bu taxminan vektor to'plami, uning tolasi egri chiziq ustida C vektor maydoni ${ displaystyle Gamma (C, omega _ {C})}$.

giperelliptik

Egri chiziq giperelliptik agar u bo'lsa g¹₂ (ya'ni 1-darajali va 2-darajali chiziqli tizim mavjud.)

giperplane to'plami

Yana bir atama Serrening burama shingil ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X} (1)}$. Bu ikkilik tavtologik chiziq to'plami (bu muddat).

Men

rasm

Agar f : Y → X - bu sxemalarning har qanday morfizmi sxema-nazariy tasvir ning f noyobdir yopiq pastki qism men : Z → X bu quyidagilarni qondiradi universal mulk:

1. f orqali omillar men,
2. agar j : Z′ → X ning har qanday yopiq subshektsiyasidir X shu kabi f orqali omillar j, keyin men orqali omillar j.^[11][12]

Ushbu tushuncha odatdagi set-nazariy qiyofasidan farq qiladi f, f(Y). Masalan, ning asosiy maydoni Z har doim Zariski yopilishini o'z ichiga oladi (lekin bunga teng bo'lishi shart emas) f(Y) ichida X, agar shunday bo'lsa Y har qanday ochiq (va yopiq bo'lmagan) pastki sub'ektdir X va f qo'shilish xaritasi, keyin Z dan farq qiladi f(Y). Qachon Y kamayadi, keyin Z ning Zariski yopilishi f(Y) qisqartirilgan yopiq subkema tuzilishi bilan ta'minlangan. Ammo umuman olganda, agar bo'lmasa f kvazi-ixchamdir, tuzilishi Z mahalliy emas X.

suvga cho'mish

Cho'milish f : Y → X subxemalar bilan izomorfizmlar orqali ta'sir qiluvchi xaritalardir. Xususan, an ochiq suvga cho'mish omillar izomorfizm orqali ochiq subkema va a yopiq suvga cho'mish yopiq subkema bilan izomorfizm orqali omillar.^[13] Teng ravishda, f yopiq immersiya bo'lib, agar u faqatgina va agar u topologik bo'shliqdan gomomorfizmni keltirib chiqaradigan bo'lsa. Y ning topologik makonining yopiq kichik qismiga Xva agar morfizm bo'lsa ${ displaystyle f ^ { sharp}: { mathcal {O}} _ {X} to f _ {*} { mathcal {O}} _ {Y}}$ sur'ektiv.^[14] Suvga cho'mish tarkibi yana suvga cho'mishdir.^[15]Ba'zi mualliflar, masalan Xartshorn o'z kitobida Algebraik geometriya va Q. Liu o'z kitobida Algebraik geometriya va arifmetik egri chiziqlar, immersionlarni ochiq immersiyaning birikmasi, so'ngra yopiq immersion deb ta'riflang. Ushbu cho'milishlar yuqoridagi ma'noda cho'milishdir, ammo aksincha yolg'ondir. Bundan tashqari, ushbu ta'rifga ko'ra, ikkita suvga cho'mishning kompozitsiyasi, albatta, suvga cho'mish emas. Biroq, ikkita ta'rif qachon teng keladi f yarim ixchamdir.^[16]E'tibor bering, ochiq immersiya uning tasviri bilan topologik bo'shliqlar ma'nosida to'liq tavsiflanadi, yopiq immersiya esa: ${ displaystyle operatorname {Spec} A / I}$ va ${ displaystyle operatorname {Spec} A / J}$ gomomorfik bo'lishi mumkin, ammo izomorfik emas. Bu, masalan, agar sodir bo'lsa Men ning radikalidir J lekin J radikal ideal emas. Sxema tuzilishini eslatmasdan, odatda, deb ataladigan sxemaning yopiq kichik qismini belgilaganda kamaytirilgan sxema tuzilishi, ya'ni ushbu yopiq ichki qismda yo'q bo'lib ketadigan barcha funktsiyalardan iborat noyob radikal idealga mos keladigan sxema tuzilishi nazarda tutilgan.

ind-sxema

An ind-sxema sxemalarning yopiq immersiyalarining induktiv chegarasi.

teskari bob

Mahalliy darajada bepul pog'ona. Bunga teng ravishda, bu a torsor multiplikativ guruh uchun ${ displaystyle mathbb {G} _ {m}}$ (ya'ni, chiziqlar to'plami).

ajralmas

Ham qisqartirilgan, ham kamaytirilmaydigan sxema deyiladi ajralmas. Mahalliy noeteriya sxemalari uchun ajralmas bo'lish spektrlari bilan qamrab olingan bog'langan sxemaga tengdir ajralmas domenlar. (To'liq aytganda, bu mahalliy mulk emas, chunki uyushmagan birlashma ikkita integral sxemaning ajralmas emasligi. Biroq, qisqartirilmaydigan sxemalar uchun bu mahalliy mulkdir.) Masalan, sxema Spec k[t]/f, f kamaytirilmaydigan polinom ajralmas, ammo A xususiyati×B. (A, B ≠ 0) emas.

qisqartirilmaydi

Sxema X deb aytilgan qisqartirilmaydi qachon (topologik bo'shliq sifatida), bu ikkita yopiq pastki to'plamning birlashishi emas, faqat bitta teng bo'lsa X. Afinaviy sxemada asosiy ideal va nuqtalarning yozishmalaridan foydalanish bu degani X qisqartirilmaydi iff X ulangan va halqalar A_men barchasi to'liq bitta minimalga ega asosiy ideal. (Shuning uchun bitta minimal asosiy idealga ega bo'lgan uzuklar ham deyiladi qisqartirilmaydi.) Har qanday noeteriya sxemasi noyob deb yozilishi mumkin, chunki bu juda ko'p sonli kamaytirilmaydigan bo'sh bo'lmagan yopiq kichik to'plamlarning birlashishi kamaytirilmaydigan komponentlar. Affin maydoni va proektsion maydon qisqartirilmaydi, ammo Spec k[x, y]/(xy) = emas.

J

Jacobian xilma-xilligi

The Jacobian xilma-xilligi proektsion egri chiziq X ning nol darajali qismi Picard xilma-xilligi ${ displaystyle operatorname {Pic} (X)}$.

K

Kempf yo'qolib borayotgan teorema

The Kempf yo'qolib borayotgan teorema bayroq navining yuqori kohomologiyasining yo'q bo'lib ketishiga taalluqlidir.

klt

"Uchun qisqartirishkawamata log terminali "

Kodaira o'lchovi

1. The Kodaira o'lchovi (deb ham nomlanadi Iitaka o'lchovi ) yarim keng chiziqli to'plam L ning kesma halqasining Proj o'lchovidir L.

2. Oddiy navning kodaira o'lchovi X uning kanonik to'plamining Kodaira o'lchovidir.

Kodaira yo'qolib borayotgan teorema

Ga qarang Kodaira yo'qolib borayotgan teorema.

Kuranishi xaritasi

Qarang Kuranishi tuzilishi.

L

Uzoq raqam

Qarang Uzoq raqam.

darajadagi tuzilish

qarang http://math.stanford.edu/~conrad/248BPage/handouts/level.pdf

chiziqlash

An tuzilishi uchun yana bir atama ekvariantli sheaf / vektor to'plami.

mahalliy

Sxemalarning eng muhim xususiyatlari mahalliy tabiat, ya'ni sxema X ma'lum bir xususiyatga ega P agar va faqat biron bir qopqoq uchun bo'lsa X ochiq subkontemalar orqali X_men, ya'ni X=${ displaystyle cup}$ X_men, har bir X_men mulkka ega P. Odatda bitta qopqoqni tekshirish mumkin, buning hammasi ham mumkin emas. Shuningdek, kimdir ma'lum bir xususiyat ekanligini aytadi Zariski-mahalliy, agar birini ajratish kerak bo'lsa Zariski topologiyasi va shunga o'xshash boshqa mumkin bo'lgan topologiyalar etale topologiyasi.Sxemani ko'rib chiqing X va affine ochiq subkontemalari bilan qopqoq A turi_men. O'rtasida lug'atdan foydalanish (kommutativ) uzuklar va afine sxemalari mahalliy xususiyatlar shu tariqa halqalarning xossalari A_men. Mulk P yuqoridagi ma'noda mahalliy, agar halqalarning tegishli xususiyati barqaror bo'lsa mahalliylashtirish.Masalan, biz gapirishimiz mumkin mahalliy Noetherian spektrlari bilan qamrab olingan sxemalar Noeteriya uzuklari. Noeteriya halqasini lokalizatsiya qilish hali ham noheriylik ekanligi, demak, noetriyalik bo'lish sxemasining xususiyati yuqoridagi ma'noda lokaldir (bu erda nom). Yana bir misol: agar uzuk bo'lsa kamaytirilgan (ya'ni, nolga teng bo'lmagan) nolpotent Masalan, mahalliy bo'lmagan xususiyatga misol ajralish (ta'rifi uchun pastga qarang). Har qanday afine sxemasi ajratiladi, shuning uchun har qanday sxema mahalliy ravishda ajratiladi. Shu bilan birga, affin bo'laklari patologik jihatdan yopishib, ajratilmagan sxemani hosil qilishi mumkin, quyida esa sxemalarga qo'llaniladigan halqalarning mahalliy xususiyatlarining (to'liq bo'lmagan) ro'yxati keltirilgan. Ruxsat bering X = ${ displaystyle cup}$ A xususiyati_men ochiq affine subkontemalari bilan sxemani qoplash. Aniqlik uchun, ruxsat bering k belgilang a maydon quyidagi. Ko'pgina misollar butun sonlar bilan ham ishlaydi Z Baza sifatida, garchi yoki hatto undan ham umumiy asoslar Bog'langan, kamaytirilmaydigan, qisqartirilgan, integral, normal, muntazam, Koen-Makolay, mahalliy noeteriya, o'lchov, katener,

mahalliy to'liq kesishma

Mahalliy uzuklar to'liq kesishgan halqalar. Shuningdek qarang: muntazam ko'mish.

mahalliy bir xillik

The mahalliy bir xillik ning kuchsizroq shaklini qurish usuli hisoblanadi o'ziga xosliklarning echimi orqali baholash uzuklari.

mahalliy faktorial

Mahalliy uzuklar noyob faktorizatsiya domenlari.

cheklangan turdagi mahalliy

Morfizm f : Y → X bu cheklangan turdagi mahalliy agar ${ displaystyle X}$ afinali ochiq to'plamlar bilan qoplanishi mumkin ${ displaystyle { text {Spec}} B}$ har bir teskari rasm ${ displaystyle f ^ {- 1} ({ text {Spec}} B)}$ afinali ochiq to'plamlar bilan qoplangan ${ displaystyle { text {Spec}} A}$ har birida ${ displaystyle A}$ $ a $ sifatida yakuniy hosil bo'ladi ${ displaystyle B}$-algebra.

mahalliy Noetherian

The A_men bor Noeteriya uzuklar. Agar qo'shimcha ravishda bunday afinaviy spektrlarning cheklangan soni bo'lsa X, sxema deyiladi noeteriya. Haqiqatan ham noeteriya halqasining spektri a noeteriya topologik makoni, aksincha yolg'on. Masalan, chekli o'lchovli algebraik geometriyadagi aksariyat sxemalar mahalliy noetheriyaga tegishli, ammo${ displaystyle GL _ { infty} = kubok GL_ {n}}$ emas.

logaritmik geometriya

log tuzilishi

Qarang log tuzilishi. Tushunchaga Fonteyn-Illusi va Kato sabab bo'lgan.

pastadir guruhi

Qarang pastadir guruhi (bog'langan maqola algebraik geometriyadagi tsikl guruhini muhokama qilmaydi; hozircha qarang ind-sxema ).

M

modullar

Masalan, qarang moduli maydoni.

Modullar ustida olib borilgan dastlabki ishlarning aksariyati, ayniqsa [Mum65], yupqa yoki qo'pol modulli bo'shliqlar qurilishiga katta ahamiyat bergan bo'lsa-da, so'nggi paytlarda turlar oilalarini o'rganishga, ya'ni modullar funktsiyalari va modullar to'plamlariga e'tibor qaratildi. Asosiy vazifa "qanday" oilalarni "yaxshi" oilalarni tashkil etishini tushunishdir. Yaxshi "yaxshi oilalar" kontseptsiyasi yaratilgandan so'ng, qo'pol modullar maydoni deyarli avtomatik bo'lishi kerak. Dag'al modullar maydoni endi asosiy ob'ekt emas, aksincha bu faqat modullar funktsiyasi yoki modullar to'plamida yashirin bo'lgan ba'zi ma'lumotlarni kuzatib borish uchun qulay usuldir.

Kollar, Yanos, 1-bob, "Sirt modullari bo'yicha kitob".

Morining minimal model dasturi

The minimal model dastur a tadqiqot dasturi qilishni maqsad qilgan biratsion tasnif o'lchov algebraik navlari 2 dan katta.

morfizm

1. A algebraik navlarning morfizmi mahalliy polinomlar tomonidan berilgan.

2. A sxemalarning morfizmi ning morfizmi mahalliy halqali bo'shliqlar.

3. Morfizm ${ displaystyle f: F to G}$ stacklar (ustidan, aytaylik, ning toifasi) S- sxemalar) shunday funktsiyadir ${ displaystyle P_ {G} circ f = P_ {F}}$ qayerda ${ displaystyle P_ {F}, P_ {G}}$ asosiy toifaga tuzilmalar xaritalari.

N

nef

Qarang nef liniyasi to'plami.

bema'ni

A-dagi kabi "silliq" degan arxaik atama silliq xilma-xillik.

normal

1. Integral sxema deyiladi normal, agar mahalliy halqalar bo'lsa yaxlit yopiq domenlar. Masalan, barcha muntazam sxemalar normal, singular egri chiziqlar esa normal emas.

2. Silliq egri chiziq ${ displaystyle C subset mathbf {P} ^ {r}}$ deb aytilgan k- daraja gipersurflari bo'lsa, normaldir k to'liq chiziqli ketma-ketlikni kesib tashlang ${ displaystyle | { mathcal {O}} _ {C} (k) |}$. Bu proektiv ravishda normal agar shunday bo'lsa k- hamma uchun odatiy k > 0. Shunday qilib, "agar egri chiziqli tizim to'liq bo'lsa, egri proektiv ravishda normal bo'ladi", deb aytadi. "Lineer normal" atamasi 1-normal bilan sinonimdir.

3. Yopiq subvariety ${ displaystyle X subset mathbf {P} ^ {r}}$ agar shunday bo'lsa, proektiv ravishda normal deb aytiladi afinali qopqoq ustida X a oddiy sxema; ya'ni, ning bir hil koordinatali halqasi X ajralmas yopiq domen. Ushbu ma'no 2 ga mos keladi.

normal

1. Agar X - bu sxemaning yopiq pastki chizig'i Y ideal to'plam bilan Men, keyin oddiy shof ga X bu ${ displaystyle (I / I ^ {2}) ^ {*} = { mathcal {H}} om _ {{ mathcal {O}} _ {Y}} (I / I ^ {2}, { mathcal {O}} _ {Y})}$. Agar o'rnatilgan bo'lsa X ichiga Y bu muntazam, u mahalliy darajada bepul va "deb nomlanadi oddiy to'plam.

2. The oddiy konus ga X bu ${ displaystyle operatorname {Spec} _ {X} ( oplus _ {0} ^ { infty} I ^ {n} / I ^ {n + 1})}$. agar X ichiga muntazam ravishda joylashtirilgan Y, keyin normal konus izomorfik bo'ladi ${ displaystyle operatorname {Spec} _ {X} ({ mathcal {S}} ym (I / I ^ {2}))}$, oddiy to'plamning umumiy maydoni X.

oddiy o'tish joylari

Qarang oddiy o'tish joylari.

odatda ishlab chiqarilgan

Bir qator to'plam L turli xil X deb aytilgan odatda ishlab chiqarilgan agar, har bir butun son uchun n > 0, tabiiy xarita ${ displaystyle Gamma (X, L) ^ { otimes n} to Gamma (X, L ^ { otimes n})}$ sur'ektiv.

O

ochiq

1. Morfizm f : Y → X sxemalari deyiladi ochiq (yopiq), agar topologik bo'shliqlarning asosiy xaritasi bo'lsa ochiq (navbati bilan yopiq), ya'ni agar ochiq obzektlari Y ning pastki sahifalarini ochish uchun xaritalashtirilgan X (va shunga o'xshash yopiq uchun). Masalan, cheklangan tekis tekis morfizmlar ochiq va tegishli xaritalar yopilgan.

2. An ochiq subheme sxemaning X ochiq ichki qism U tuzilish pog'onasi bilan ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X} | _ {U}}$.^[14]

orbifold

Hozirgi kunda an orbifold ko'pincha a sifatida belgilanadi Deligne-Mumford stack farqlanadigan manifoldlar toifasidan.^[17]

P

p- bo'linadigan guruh

Qarang p- bo'linadigan guruh (taxminan abeliya navining burish nuqtalarining analogi).

qalam

Bir o'lchovli chiziqli tizim.

Picard guruhi

The Picard guruhi ning X chiziqli to'plamlarning izomorfizm sinflari guruhidir X, ko'paytma tensor mahsuloti.

Plukerni joylashtirish

The Plukerni joylashtirish bo'ladi yopiq joylashtirish ning Grassmannian xilma-xilligi proektsion makonga.

plurigenus

The n-chi plurigenus silliq proektsion xilma ${ displaystyle dim Gamma (X, omega _ {X} ^ { otimes n})}$. Shuningdek qarang Hodge raqami.

Puankare qoldiqlari xaritasi

Qarang Puankare qoldig'i.

nuqta

Sxema ${ displaystyle S}$ a mahalliy qo'ng'iroq qilingan bo'shliq, shuning uchun fortiori a topologik makon, lekin ma'nosi nuqtasi ${ displaystyle S}$ uchtadan:

1. nuqta ${ displaystyle P}$ asosiy topologik makon;
2. a ${ displaystyle T}$-qiymatli nuqta ${ displaystyle S}$ dan morfizmdir ${ displaystyle T}$ ga ${ displaystyle S}$, har qanday sxema uchun ${ displaystyle T}$;
3. a geometrik nuqta, qayerda ${ displaystyle S}$ aniqlanadi (morfizm bilan jihozlangan) ${ displaystyle { textrm {Spec}} (K)}$, qayerda ${ displaystyle K}$ a maydon, dan morfizmdir ${ displaystyle { textrm {Spec}} ({ overline {K}})}$ ga ${ displaystyle S}$ qayerda ${ displaystyle { overline {K}}}$ bu algebraik yopilish ning ${ displaystyle K}$.

Geometrik nuqta - bu eng klassik holatlarda, masalan algebraik navlar bu murakkab manifoldlar, oddiy fikrlar bo'lishi mumkin. Ballar ${ displaystyle P}$ asosiy makonning analoglarini o'z ichiga oladi umumiy fikrlar (ma'nosida Zariski, bu emas Andr Vayl ) odatiy ma'noga ixtisoslashgan. The ${ displaystyle T}$-balangan fikrlar orqali, o'ylab topiladi Yonedaning lemmasi, aniqlash usuli sifatida ${ displaystyle S}$ bilan vakili funktsiya ${ displaystyle h_ {S}}$ u o'rnatadi. Tarixiy jihatdan bu jarayon bo'lgan proektsion geometriya qo'shimcha ball qo'shdi (masalan. murakkab fikrlar, cheksiz chiziq ) asosiy moslamalarni takomillashtirish orqali geometriyani soddalashtirish. The ${ displaystyle T}$-qimmatbaho ballar yanada katta qadam bo'lib, ustunlik qilishning bir qismi sifatida Grotendikka yondashish, ga tegishli uchta tushunchalar mavjud tola morfizm: birinchisi oddiy teskari rasm bir nuqta. Qolgan ikkitasi yaratish orqali hosil bo'ladi tola mahsulotlari ikki morfizm. Masalan, a geometrik tola morfizm ${ displaystyle S ^ { prime} dan S} ga$ deb o'ylashadi

${ displaystyle S ^ { prime} times _ {S} { textrm {Spec}} ({ overline {K}})}$.

Bu kengaytmani afine sxemalari, qaerda u shunchaki R-algebralarning tensor hosilasi, tolaga ishlov berishning barcha sxemalariga sezilarli (agar anodin bo'lsa) natija.

qutblanish

proektsion makonga singdirish

Proj

Qarang Proj qurilishi.

proektsiya formulasi

The proektsiya formulasi morfizm uchun shunday deydi ${ displaystyle f: X to Y}$ sxemalar, an ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X}}$-modul ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ va a mahalliy darajada bepul ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {Y}}$-modul ${ displaystyle { mathcal {E}}}$ cheklangan darajadagi tabiiy izomorfizm mavjud

${ displaystyle f _ {*} (F otimes f ^ {*} E) = (f _ {*} F) otimes E}$

(qisqasi, ${ displaystyle f _ {*}}$ mahalliy erkin pog'onalar ta'siriga nisbatan chiziqli.)

loyihaviy

1. A proektiv xilma proektsion makonning yopiq kichik o'zgaruvchisi.

2. A loyihaviy sxema sxema bo'yicha S bu S- ba'zi proektsion makon orqali ta'sir qiluvchi sxema ${ displaystyle mathbf {P} _ {S} ^ {N} to S}$ yopiq subsheme sifatida.

3. Proektiv morfizmlar afin morfizmlariga o'xshash tarzda ta'riflanadi: f : Y → X deyiladi loyihaviy agar u yopiq immersiya sifatida paydo bo'lsa va undan keyin a proektsiyasi kuzatilsa proektsion maydon ${ displaystyle mathbb {P} _ {X} ^ {n}: = mathbb {P} ^ {n} times _ { mathrm {Spec} mathbb {Z}} X}$ ga ${ displaystyle X}$.^[18] E'tibor bering, ushbu ta'rif ta'rifga qaraganda ancha cheklangan EGA, II.5.5.2. Ikkinchisi belgilaydi ${ displaystyle f}$ tomonidan berilgan bo'lsa, proektiv bo'lishi kerak global Proj kvazi-izchil baholangan O_X-Algebra ${ displaystyle { mathcal {S}}}$ shu kabi ${ displaystyle { mathcal {S}} _ {1}}$ nihoyatda hosil bo'ladi va algebra hosil qiladi ${ displaystyle { mathcal {S}}}$. Ikkala ta'rif ham qachon to'g'ri keladi ${ displaystyle X}$ agar u yarim ixcham bo'lsa, ajratilgan bo'lsa va mo'l-ko'l to'plamni tan olsa, afinali yoki umuman ko'proq,^[19] masalan. agar ${ displaystyle X}$ proektsion makonning ochiq subshemiyasi ${ displaystyle mathbb {P} _ {A} ^ {n}}$ uzuk ustidan ${ displaystyle A}$.

proektsion to'plam

Agar E bu sxema bo'yicha mahalliy bepul sheaf X, proektsion to'plam P(E) ning E bo'ladi global Proj dualning nosimmetrik algebrasi E:

${ displaystyle mathbf {P} (E) = mathbf {Proj} ( operatorname {Sym} _ {{ mathcal {O}} _ {X}} (E ^ { vee})).}$

E'tibor bering, ushbu ta'rif bugungi kunda standart (masalan, Fultonniki) Kesishmalar nazariyasi), ammo EGA va Hartshorndan farq qiladi (ular dualni qabul qilmaydi).

proektiv ravishda normal

Qarang # normal.

to'g'ri

Morfizm bu to'g'ri agar u ajratilgan bo'lsa, universal yopiq (ya'ni u bilan tola mahsulotlari yopiq xaritalar bo'lishi mumkin) va cheklangan turdagi. Proektsion morfizmlar to'g'ri keladi; ammo aksincha, umuman to'g'ri emas. Shuningdek qarang to'liq xilma-xillik. Tegishli morfizmlarning chuqur xususiyati - bu mavjudlik Stein faktorizatsiyasi, ya'ni morfizmni bog'langan tolalar bilan ifodalash mumkin bo'lgan oraliq sxemaning mavjudligi, so'ngra cheklangan morfizm.

mulk P

Ruxsat bering P sxemaning o'ziga xos xususiyati bo'lib, bazaning o'zgarishi ostida barqaror bo'ladi (cheklangan tip, to'g'ri, silliq, etal va boshqalar). Keyin vakili morfizm ${ displaystyle f: F to G}$ mulkiga ega deyiladi P agar bo'lsa, kimdir uchun ${ displaystyle B to G}$ bilan B sxema, bazaning o'zgarishi ${ displaystyle F times _ {G} B to B}$ mulkka ega P.

sof o'lchov

Sxema aniq o'lchovga ega d agar har bir kamaytirilmaydigan komponent o'lchovga ega bo'lsa d.

Q

yarim izchil

Noetheiran sxemasi bo'yicha kvazi-izchil parcha X a to'plami O_X-modullar mahalliy ravishda modullar tomonidan berilgan.

yarim ixcham

Morfizm f : Y → X deyiladi yarim ixcham, agar ba'zi birlari uchun (ekvivalent sifatida: har bir) ochiq affine cover bo'lsa X kimdir tomonidan U_men = B turi_men, oldingi rasmlar f⁻¹(U_men) bor yarim ixcham.

yarim finalli

Morfizm f : Y → X bor cheklangan tolalar agar har bir nuqta ustidagi tola bo'lsa ${ displaystyle x in X}$ cheklangan to'plamdir. Morfizm bu yarim finalli agar u cheklangan turdagi bo'lsa va cheklangan tolalarga ega bo'lsa.

kvazi-proektiv

A kvazi-proektiv xilma-xillik proektsion makonning mahalliy yopiq kichikligi.

yarim ajratilgan

Morfizm f : Y → X deyiladi yarim ajratilgan yoki (Y is quasi-separated over X) if the diagonal morphism Y → Y ×_XY is quasi-compact. A scheme Y deyiladi yarim ajratilgan agar Y is quasi-separated over Spec(Z).^[20]

Kotirovka sxemasi

A Kotirovka sxemasi parametrizes quotients of locally free sheaves on a projective scheme.

stack stack

Usually denoted by [X/G], a stack stack generalizes a quotient of a scheme or variety.

R

oqilona

1. Over an algebraically closed field, a variety is oqilona if it is birational to a projective space. Masalan, ratsional egri chiziqlar va ratsional yuzalar are those birational to ${displaystyle mathbb {P} ^{1},mathbb {P} ^{2}}$.

2. Given a field k and a relative scheme X → S, a k-ratsional nuqta ning X bu S-morphism ${displaystyle operatorname {Spec} (k) o X}$.

ratsional funktsiya

Elementi funktsiya maydoni ${displaystyle k(X)=varinjlim k[U]}$ where the limit runs over all coordinates rings of open subsets U of an (irreducible) algebraic variety X. Shuningdek qarang funktsiya maydoni (sxema nazariyasi).

ratsional normal egri chiziq

A ratsional normal egri chiziq ning tasviri

${displaystyle mathbf {P} ^{1} o mathbf {P} ^{d},,(s:t)mapsto (s^{d}:s^{d-1}t:cdots :t^{d})}$.

Agar d = 3, it is also called the burmalangan kub.

oqilona o'ziga xosliklar

Turli xillik X over a field of characteristic zero has oqilona o'ziga xosliklar if there is a resolution of singularities ${ displaystyle f: X ' to X}$ shu kabi ${displaystyle f_{*}({mathcal {O}}_{X'})={mathcal {O}}_{X}}$ va ${displaystyle R^{i}f_{*}({mathcal {O}}_{X'})=0,,igeq 1}$.

kamaytirilgan

1. A commutative ring ${ displaystyle R}$ bu kamaytirilgan if it has no nonzero nilpotent elements, i.e., its nilradical is the zero ideal, ${displaystyle {sqrt {(0)}}=(0)}$. Teng ravishda, ${ displaystyle R}$ is reduced if ${displaystyle operatorname {Spec} (R)}$ is a reduced scheme.

2. A scheme X is reduced if its stalks ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X, x}}$ are reduced rings. Equivalently X is reduced if, for each open subset ${ displaystyle U subset X}$, ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X} (U)}$ is a reduced ring, i.e., ${ displaystyle X}$ has no nonzero nilpotent sections.

reflektiv sheaf

A coherent sheaf is reflektiv if the canonical map to the second dual is an isomorphism.

muntazam

A muntazam sxema is a scheme where the local rings are muntazam mahalliy halqalar. Masalan, smooth varieties over a field are regular, whileSpec k[x, y]/(x²+x³-y²)= emas.

muntazam ko'mish

A yopiq suvga cho'mish ${displaystyle i:Xhookrightarrow Y}$ a muntazam ko'mish agar har bir nuqta X has an affine neighborhood in Y so that the ideal of X there is generated by a muntazam ketma-ketlik. Agar men is a regular embedding, then the g'ayritabiiy sheaf ning men, anavi, ${displaystyle {mathcal {I}}/{mathcal {I}}^{2}}$ qachon ${ displaystyle { mathcal {I}}}$ is the ideal sheaf of X, is locally free.

regular function

A morfizm from an algebraic variety to the affine line.

representable morphism

Morfizm ${displaystyle F o G}$ of stacks such that, for any morphism ${displaystyle B o G}$ from a scheme B, taglik o'zgarishi ${displaystyle F imes _{G}B}$ is an algebraic space. If "algebraic space" is replaced by "scheme", then it is said to be strongly representable.

o'ziga xosliklarning echimi

A o'ziga xosliklarning echimi of a scheme X is a proper biratsional morfizm ${displaystyle pi :Z o X}$ shu kabi Z bu silliq.

Riman-Xurvits formulasi

Given a finite separable morphism ${displaystyle pi :X o Y}$ between smooth projective curves, if ${ displaystyle pi}$ bu butunlay ramified (no wild ramification); for example, over a field of characteristic zero, then the Riman-Xurvits formulasi relates the degree of π, the genera of X, Y va ramification indices:

${displaystyle 2g(X)-2=operatorname {deg} (pi )(2g(Y)-2)+sum _{yin Y}(e_{y}-1)}$.

Nowadays, the formula is viewed as a consequence of the more general formula (which is valid even if π is not tame):

${displaystyle K_{X}sim pi ^{*}K_{Y}+R}$

qayerda ${ displaystyle sim}$ degan ma'noni anglatadi chiziqli ekvivalentlik va ${displaystyle R=sum _{Pin X}operatorname {length} _{{mathcal {O}}_{P}}(Omega _{X/Y})P}$ is the divisor of the relative cotangent sheaf ${displaystyle Omega _{X/Y}}$ (deb nomlangan boshqacha ).

Riemann–Roch formula

1. Agar L is a line bundle of degree d on a smooth projective curve of genus g, keyin Riemann–Roch formula computes the Eyler xarakteristikasi ning L:

${displaystyle chi (L)=d-g+1}$.

For example, the formula implies the degree of the canonical divisor K 2 ga tengg - 2.

2. The general version is due to Grothendieck and called the Grothendieck–Riemann–Roch formula. It says: if ${displaystyle pi :X o S}$ is a proper morphism with smooth X, S va agar E is a vector bundle on X, then as equality in the rational Chow guruhi

${displaystyle operatorname {ch} (pi _{!}E)cdot operatorname {td} (S)=pi _{*}(operatorname {ch} (E)cdot operatorname {td} (X))}$

qayerda ${displaystyle pi _{!}=sum _{i}(-1)^{i}R^{i}pi _{*}}$, ${displaystyle operatorname {ch} }$ degan ma'noni anglatadi Chern xarakteri va ${displaystyle operatorname {td} }$ a Todd class of the tangent bundle of a space, and, over the complex numbers, ${displaystyle pi _{*}}$ bu integration along fibers. For example, if the base S is a point, X is a smooth curve of genus g va E chiziqli to'plamdir L, then the left-hand side reduces to the Euler characteristic while the right-hand side is ${displaystyle pi _{*}(e^{c_{1}(L)}(1-c_{1}(T^{*}X)/2))=operatorname {deg} (L)-g+1.}$

Har bir infinitesimal deformation ahamiyatsiz. Masalan, proektsion maydon is rigid since ${displaystyle operatorname {H} ^{1}(mathbf {P} ^{n},T_{mathbf {P} ^{n}})=0}$ (and using the Kodaira - Spencer xaritasi ).

S

On Grothendieck’s own view there should be almost no history of schemes, but only a history of the resistance to them: ... There is no serious historical question of how Grothendieck found his definition of schemes. It was in the air. Serre has well said that no one invented schemes (conversation 1995). The question is, what made Grothendieck believe he should use this definition to simplify an 80 page paper by Serre into some 1000 pages of Éléments de géométrie algébrique ?

[1]

sxema

A sxema a mahalliy qo'ng'iroq qilingan bo'shliq that is locally a asosiy spektr a komutativ uzuk.

Shubert

1. A Shubert xujayrasi a B-orbit on the Grassmannian ${displaystyle operatorname {Gr} (d,n)}$ qayerda B is the standard Borel; i.e., the group of upper triangular matrices.

2. A Shubert navi is the closure of a Schubert cell.

sekant xilma

The sekant xilma to a projective variety ${displaystyle Vsubset mathbb {P} ^{r}}$ is the closure of the union of all secant lines to V yilda ${displaystyle mathbb {P} ^{r}}$.

bo'lim halqasi

The bo'lim halqasi or the ring of sections of a line bundle L sxema bo'yicha X gradusli uzuk ${displaystyle oplus _{0}^{infty }Gamma (X,L^{n})}$.

Serre's conditions S_n

Qarang Serre's conditions on normality. Shuningdek qarang https://mathoverflow.net/q/22228

Ikki tomonlama serre

Qarang #dualizing sheaf

ajratilgan

A separated morphism morfizmdir ${ displaystyle f}$ shunday tola mahsuloti ning ${ displaystyle f}$ with itself along ${ displaystyle f}$ bor diagonal as a closed subscheme — in other words, the diagonal morphism a yopiq suvga cho'mish.

sheaf generated by global sections

A sheaf with a set of global sections that span the stalk of the sheaf at every point. Qarang Sheaf generated by global sections.

oddiy

The term "simple point" is an old term for a "smooth point".

silliq

1.  

Asosiy maqola: silliq morfizm

The higher-dimensional analog of étale morphisms are silliq morfizmlar. There are many different characterisations of smoothness. The following are equivalent definitions of smoothness of the morphism f : Y → X:

1) for any y ∈ Y, there are open affine neighborhoods V va U ning y, x=f(y), respectively, such that the restriction of f ga V factors as an étale morphism followed by the projection of afine n- bo'shliq ustida U.

2) f is flat, locally of finite presentation, and for every geometric point ${ displaystyle { bar {y}}}$ ning Y (a morphism from the spectrum of an algebraically closed field ${displaystyle k({ar {y}})}$ ga Y), the geometric fiber ${displaystyle X_{ar {y}}:=X imes _{Y}mathrm {Spec} (k({ar {y}}))}$ silliqdir n-dimensional variety over ${displaystyle k({ar {y}})}$ in the sense of classical algebraic geometry.

3. A smooth scheme over a field k bu sxema X that is geometrically smooth: ${ displaystyle X times _ {k} { overline {k}}}$ silliq.

Ajratuvchi D. silliq egri chiziqda C bu maxsus agar ${ displaystyle h ^ {0} ({ mathcal {O}} (K-D))}$, bu mutaxassislik ko'rsatkichi deb ataladi, ijobiydir.

Portlash berilgan ${ displaystyle pi: { widetilde {X}} to X}$ yopiq subsheme bo'ylab Z va morfizm ${ displaystyle f: Y to X}$, qat'iy o'zgartirish ning Y (shuningdek, to'g'ri konvertatsiya deb ataladi) - bu portlash ${ displaystyle { widetilde {Y}} to Y}$ ning Y yopiq subxema bo'yicha ${ displaystyle f ^ {- 1} Z}$. Agar f yopiq suvga cho'mish, keyin induktsiya qilingan xarita ${ displaystyle { widetilde {Y}} hookrightarrow { widetilde {X}}}$ shuningdek, yopiq suvga cho'mishdir.

T

teginsli bo'shliq

Qarang Zariski teginish maydoni.

tavtologik chiziq to'plami

The tavtologik chiziq to'plami loyihaviy sxemaning X ning dualidir Serrening burama shingil ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X} (1)}$; anavi, ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X} (- 1)}$.

teorema

Qarang Zariskiyning asosiy teoremasi, rasmiy funktsiyalar haqidagi teorema, kohomologiya asosini o'zgartirish teoremasi, Kategoriya: Algebraik geometriyadagi teoremalar.

torusni joylashtirish

A uchun eski atama torik xilma-xilligi

torik xilma-xilligi

A torik xilma-xilligi torus harakati bilan normal xilma bo'lib, torus ochiq zich orbitaga ega bo'ladi.

tropik geometriya

Parcha-chiziqli algebraik geometriyaning bir turi. Qarang tropik geometriya.

torus

A bo'linadigan torus juda ko'p sonli mahsulot multiplikativ guruhlar ${ displaystyle mathbb {G} _ {m}}$.

U

universal

1. Agar a moduli funktsiyasi F ba'zi bir sxema yoki algebraik bo'shliq bilan ifodalanadi M, keyin a universal ob'ekt ning elementidir F(M) identifikator morfizmiga mos keladigan M → M (bu an M- nuqtasi M). Agar qiymatlari F qo'shimcha tuzilishga ega egri chiziqlarning izomorfizm sinflari, deylik, keyin universal ob'ekt a deb nomlanadi universal egri chiziq. A tavtologik to'plam universal ob'ektning yana bir misoli bo'lar edi.

2. Keling ${ displaystyle { mathcal {M}} _ {g}}$ jinsning tekis proektsiyali egri chiziqlari moduli bo'ling g va ${ displaystyle { mathcal {C}} _ ​​{g} = { mathcal {M}} _ {g, 1}}$ jinsning tekis proektsiyali egri chiziqlari g bitta belgilangan ball bilan. Adabiyotda unutilgan xarita

${ displaystyle pi: { mathcal {C}} _ ​​{g} to { mathcal {M}} _ {g}}$

ko'pincha universal egri chiziq deb ataladi.

universal

Agar morfizmning barcha asosiy o'zgarishlari ushbu xususiyatga ega bo'lsa, morfizm universal ravishda ba'zi xususiyatlarga ega. Bunga misollar kiradi universal katenary, universal in'ektsiya.

rasmiylashtirilmagan

Bir nuqta uchun ${ displaystyle y}$ yilda ${ displaystyle Y}$, mahalliy halqalarning tegishli morfizmini ko'rib chiqing

${ displaystyle f ^ { #} colon { mathcal {O}} _ {X, f (y)} to { mathcal {O}} _ {Y, y}}$.

Ruxsat bering ${ displaystyle { mathfrak {m}}}$ ning maksimal ideal bo'lishi ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X, f (y)}}$va ruxsat bering

${ displaystyle { mathfrak {n}} = f ^ { #} ({ mathfrak {m}}) { mathcal {O}} _ {Y, y}}$

ning tasviri bilan yaratilgan ideal bo'lish ${ displaystyle { mathfrak {m}}}$ yilda ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {Y, y}}$. Morfizm ${ displaystyle f}$ bu rasmiylashtirilmagan (resp. G-raqamlanmagan) agar u cheklangan turdagi mahalliy bo'lsa (cheklangan taqdimotning mahalliy qismida) va agar barchasi uchun bo'lsa ${ displaystyle y}$ yilda ${ displaystyle Y}$, ${ displaystyle { mathfrak {n}}}$ ning maksimal idealidir ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {Y, y}}$ va induktsiya qilingan xarita

${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X, f (y)} / { mathfrak {m}} to { mathcal {O}} _ {Y, y} / { mathfrak {n}} }$

a cheklangan ajratiladigan maydon kengaytmasi.^[21] Bu an ning geometrik versiyasi (va umumlashtirish) raqamsiz kengaytirilgan maydon yilda algebraik sonlar nazariyasi.

V

xilma-xillik

"algebraik xilma" bilan sinonim.

juda keng

Bir qator to'plam L turli xil X bu juda keng agar X projektor maydoniga joylashtirilishi mumkin, shunday qilib L Serrening burama shamchasini cheklashdir O(1) proektsion maydonda.

V

zaif normal

agar unga bog'liq bo'lgan biron bir sonli morfizm izomorfizm bo'lsa, sxema zaif normaldir.

Vayl bo'luvchisi

"Kodimensiya-bitta tsikl" uchun yana bir, lekin ko'proq standart atama; qarang bo'luvchi.

Vaylning o'zaro aloqasi

Qarang Vaylning o'zaro aloqasi.

Z

Zariski-Riman maydoni

A Zariski-Riman maydoni nuqtalari baholash halqalari bo'lgan mahalliy halqali bo'shliq.

Izohlar

Adabiyotlar

• Fulton, Uilyam (1998), Kesishmalar nazariyasi, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Qatlam. Matematikadan zamonaviy tadqiqotlar turkumi [Matematikaning natijalari va turdosh sohalar. 3-seriya. Matematikadan zamonaviy tadqiqotlar seriyasi], 2, Berlin, Nyu-York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-1700-8, ISBN  978-3-540-62046-4, JANOB  1644323
• Grotendik, Aleksandr; Dieudonne, Jan (1960). "Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas". Mathématiques de l'IHÉS nashrlari. 4. doi:10.1007 / bf02684778. JANOB  0217083.
• Grotendik, Aleksandr; Dieudonne, Jan (1961). "Éléments de géométrie algébrique: II. Étude globale élémentaire de quelques de morfismes". Mathématiques de l'IHÉS nashrlari. 8. doi:10.1007 / bf02699291. JANOB  0217084.
• Grotendik, Aleksandr; Dieudonne, Jan (1961). "Eléments de géométrie algébrique: III. Étude cohomologique des faisceaux cohérents, Première partie". Mathématiques de l'IHÉS nashrlari. 11. doi:10.1007 / bf02684274. JANOB  0217085.
• Grotendik, Aleksandr; Dieudonne, Jan (1963). "Éléments de géométrie algébrique: III. Étude cohomologique des faisceaux cohérents, Seconde partie". Mathématiques de l'IHÉS nashrlari. 17. doi:10.1007 / bf02684890. JANOB  0163911.
• Grotendik, Aleksandr; Dieudonne, Jan (1964). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude local des des schémas et des morfismes de schémas, Première partie". Mathématiques de l'IHÉS nashrlari. 20. doi:10.1007 / bf02684747. JANOB  0173675.
• Grotendik, Aleksandr; Dieudonne, Jan (1965). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude lokal des schémas et des morfismes de schémas, Seconde partie". Mathématiques de l'IHÉS nashrlari. 24. doi:10.1007 / bf02684322. JANOB  0199181.
• Grotendik, Aleksandr; Dieudonne, Jan (1966). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude lokal des schémas et des morfismes de schémas, Troisième partie". Mathématiques de l'IHÉS nashrlari. 28. doi:10.1007 / bf02684343. JANOB  0217086.
• Grotendik, Aleksandr; Dieudonne, Jan (1967). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude lokal des schémas et des morfismes de schémas, Quatrième partie". Mathématiques de l'IHÉS nashrlari. 32. doi:10.1007 / bf02732123. JANOB  0238860.
• Xartshorn, Robin (1977), Algebraik geometriya, Matematikadan aspirantura matnlari, 52, Nyu-York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90244-9, JANOB  0463157
• Kollar, Yanos, "Sirt modullari bo'yicha kitob" uning veb-saytida mavjud [2]
• Martin Olssonning Anton tomonidan yozilgan kurs yozuvlari, https://web.archive.org/web/20121108104319/http://math.berkeley.edu/~anton/written/Stacks/Stacks.pdf
• A kitob ko'plab mualliflar tomonidan ishlab chiqilgan.

Shuningdek qarang

• Arifmetik va Diofant geometriyasining lug'ati
• Klassik algebraik geometriya lug'ati
• Differentsial geometriya va topologiya lug'ati
• Riemann va metrik geometriya lug'ati
• Murakkab va algebraik yuzalar ro'yxati
• Sirtlarning ro'yxati
• Egri chiziqlar ro'yxati