Buralgan kub - Twisted cubic

Yilda matematika, a burmalangan kub silliq, ratsional egri chiziq C ning daraja uchtasi proektsion 3-makon P³. Bu a ning asosiy namunasidir egri chiziq. Bu mohiyatan noyobdir proektiv o'zgarish (The burilgan kub, shuning uchun). Yilda algebraik geometriya, o'ralgan kub a ning oddiy misoli proektiv xilma bu chiziqli emas yoki a yuqori sirt, aslida emas a to'liq kesishish. Bu uch o'lchovli holat ratsional normal egri chiziq, va rasm a Veron xaritasi Uchinchi daraja proektsion chiziq.

Ta'rif

Buralgan kubik osonlikcha beriladi parametrli ravishda xaritaning tasviri sifatida

${ displaystyle nu: mathbf {P} ^ {1} to mathbf {P} ^ {3}}$

ga tayinlaydigan bir hil koordinata ${ displaystyle [S: T]}$ qiymati

${ displaystyle nu: [S: T] mapsto [S ^ {3}: S ^ {2} T: ST ^ {2}: T ^ {3}].}$

Bittasida koordinatali yamoq proektsion maydonning xaritasi shunchaki moment egri

${ displaystyle nu: x mapsto (x, x ^ {2}, x ^ {3})}$

Ya'ni, bu bitta tomonidan yopilishdir cheksizlikka ishora ning afin egri chizig'i ${ displaystyle (x, x ^ {2}, x ^ {3})}$.

Buralgan kubik a proektiv xilma, uchlikning kesishishi sifatida aniqlanadi kvadrikalar. Bir hil koordinatalarda ${ displaystyle [X: Y: Z: W]}$ kuni P³, o'ralgan kub yopiq pastki qism uchtasining yo'q bo'lib ketishi bilan belgilanadi bir hil polinomlar

${ displaystyle F_ {0} = XZ-Y ^ {2}}$

${ displaystyle F_ {1} = YW-Z ^ {2}}$

${ displaystyle F_ {2} = XW-YZ.}$

Bu uchta ekanligi tekshirilishi mumkin kvadratik shakllar yuqoridagi aniq parametrlardan foydalanganda bir xil yo'qoladi; ya'ni o'rnini bosuvchi x³ uchun X, va hokazo.

Keyinchalik kuchli bir hil ideal burama kubik C 2-darajadagi ushbu uchta bir xil polinomlar tomonidan hosil bo'ladi.

Xususiyatlari

Bükülü kub elementar xususiyatlarga ega:

• Bu to'siq-nazariy to'liq kesishgan ${ displaystyle XZ-Y ^ {2}}$ va ${ displaystyle Z (YW-Z ^ {2}) - W (XW-YZ)}$, lekin sxema-nazariy yoki ideal-nazariy to'liq kesishma emas (natijada olingan ideal emas) radikal, beri ${ displaystyle (YW-Z ^ {2}) ^ {2}}$ unda bor, lekin ${ displaystyle YW-Z ^ {2}}$ emas).
• To'rt nuqta C oraliq P³.
• Olti ochko berilgan P³ to'rtta koplanarisiz, ular orqali noyob burama kubik o'tadi.
• The birlashma ning teginish va sekant chiziqlar (the sekant xilma ) burama kubik C to'ldirish P³ va chiziqlar juftlik bilan bo'linib ketgan, faqat egri chiziqning o'zi. Aslida, teginish va sekant har qanday tekis bo'lmagan silliq chiziqlar algebraik egri chiziq uch o'lchovli. Bundan tashqari, har qanday silliq algebraik xilma har bir uzunlikdagi to'rtta pastki qismni qamrab oladigan xususiyat bilan P³ tangens va sekant chiziqlar juftlikning bo'linish xususiyatiga ega, faqat navning o'zi nuqtalaridan tashqari.
• Ning proektsiyasi C ning to g ri chiziqidagi nuqtadan tekislikka C hosil beradi a kubik kubik.
• Ning sekant chizig'idagi nuqtadan proektsiya C hosil beradi a tugun kub.
• Nuqtadan proyeksiya C hosil beradi a konus bo'limi.

Adabiyotlar

• Xarris, Djo (1992), Algebraik geometriya, birinchi kurs, Nyu-York: Springer-Verlag, ISBN  0-387-97716-3.