Yolg'on guruhining vakili - Representation of a Lie group

Yolg'on guruhlar
Klassik guruhlar Umumiy chiziqli GL (n) Maxsus chiziqli SL (n) Ortogonal O (n) Maxsus ortogonal SO (n) Unitar U (n) Maxsus unitar SU (n) Simpektik Sp (n)
Simple Lie guruhlari Oddiy Yolg'on guruhlari ro'yxati Klassik An Bn Cn D.n Istisno G2 F4 E6 E7 E8
Boshqa yolg'on guruhlar Doira Lorents Puankare Norasmiy guruh Diffeomorfizm Loop Evklid
Yolg'on algebralar Yolg'on guruhi - Yolg'on algebra yozishmalari Eksponensial xarita Qo'shma vakillik Qotillik shakli Indeks Yolg'on nuqtasi simmetriyasi Lie oddiy algebra
Semisimple Lie algebra Dynkin diagrammalari Cartan subalgebra Ildiz tizimi Veyl guruhi Haqiqiy shakl Komplekslashtirish Split Lie algebra Yilni algebra
Vakillik nazariyasi Yolg'on guruhining vakili Yolg'on algebra Lie algebralarining yarimo'tkazuvchanlik nazariyasi Eng katta vazn teoremasi Borel-Vayl-Bot teoremasi
Yolg'on guruhlar fizika Zarralar fizikasi va vakillik nazariyasi Lorents guruhi vakolatxonalari Puankare guruhi vakolatxonalari Galiley guruhi vakolatxonalari
Olimlar Sofus yolg'on Anri Puankare Vilgelm o'ldirish Élie Cartan Hermann Veyl Klod Chevalley Xarish-Chandra Armand Borel
Lug'at Yolg'on guruhlari jadvali

Yilda matematika va nazariy fizika, a vakili a Yolg'on guruh Lie guruhining vektor fazosidagi chiziqli harakati. Bunga teng ravishda, vakillik - bu guruhning vektor makonidagi qaytariladigan operatorlar guruhiga silliq homomorfizmi. Vakillar doimiylikni o'rganishda muhim rol o'ynaydi simmetriya. Bunday namoyishlar haqida ko'p narsa ma'lum, ularni o'rganishdagi asosiy vosita mos keladigan "cheksiz" dan foydalanish Lie algebralarining namoyishlari.

Sonli o'lchovli tasvirlar

Vakolatxonalar

Avval maydon bo'ylab cheklangan o'lchovli vektor fazosida harakat qiluvchi guruhlarning tasavvurlarini muhokama qilaylik ${ displaystyle mathbb {C}}$. (Ba'zida haqiqiy sonlar maydonidagi bo'shliqlarga oid tasavvurlar ham ko'rib chiqiladi.) A vakillik ning Yolg'on guruh G, an n- o'lchovli vektor maydoni V ustida ${ displaystyle mathbb {C}}$ keyin silliq bo'ladi guruh homomorfizmi

${ displaystyle Pi: G rightarrow operatorname {GL} (V)}$,

qayerda ${ displaystyle operatorname {GL} (V)}$ bo'ladi umumiy chiziqli guruh ning barcha o'zgaruvchan chiziqli o'zgarishlari ${ displaystyle V}$ ularning tarkibi ostida. Hammasidan beri n-O'lchovli bo'shliqlar izomorfik, guruhdir ${ displaystyle operatorname {GL} (V)}$ teskari, murakkab guruh bilan aniqlanishi mumkin ${ displaystyle n times n}$ matritsalar, umuman deb nomlangan ${ displaystyle operatorname {GL} (n; mathbb {C}).}$ Xaritaning ravonligi ${ displaystyle Pi}$ har qanday doimiy gomomorfizm avtomatik ravishda silliq bo'lishiga texniklik deb qarash mumkin.^[1]

Biz Lie guruhining vakolatxonasini muqobil ravishda tavsiflashimiz mumkin ${ displaystyle G}$ kabi chiziqli harakat ning ${ displaystyle G}$ vektor maydonida ${ displaystyle V}$. Notatsional ravishda biz keyin yozamiz ${ displaystyle g cdot v}$ o'rniga ${ displaystyle Pi (g) v}$ guruh elementi uchun ${ displaystyle g in G}$ vektorda ishlaydi ${ displaystyle v in V}$.

Simmetriya guruhiga ega bo'lgan chiziqli qisman differentsial tenglamani o'rganish fizikada namoyishlar paydo bo'lishining odatiy namunasi bo'lishi mumkin. ${ displaystyle G}$. Garchi tenglamaning individual echimlari ta'sirida o'zgarmas bo'lmasligi mumkin ${ displaystyle G}$, bo'sh joy ${ displaystyle V}$ ta'sirida barcha echimlar o'zgarmasdir ${ displaystyle G}$. Shunday qilib, ${ displaystyle V}$ ning vakolatxonasini tashkil qiladi ${ displaystyle G}$. Quyida muhokama qilingan SO (3) misoliga qarang.

Asosiy ta'riflar

Agar gomomorfizm ${ displaystyle Pi}$ in'ektsion (ya'ni, a monomorfizm ), vakillik deyiladi sodiq.

Agar a asos murakkab vektor maydoni uchun V tanlanadi, vakili gomomorfizm sifatida ifodalanishi mumkin umumiy chiziqli guruh ${ displaystyle operator nomi {GL} (n; mathbb {C})}$. Bu a sifatida tanilgan matritsaning namoyishi. Ning ikkita vakili G vektor bo'shliqlarida V, V bor teng agar ular bazalarning ba'zi tanlovlariga nisbatan bir xil matritsali ko'rinishga ega bo'lsa V va V.

Vakolat berilgan ${ displaystyle Pi: G rightarrow operatorname {GL} (V)}$, biz subspace deb aytamiz V ning V bu o'zgarmas subspace agar ${ displaystyle Pi (g) w in W}$ Barcha uchun ${ displaystyle g in G}$ va ${ displaystyle w in W}$. Vakillik deyilgan qisqartirilmaydi ning yagona o'zgarmas subspaces bo'lsa V nol bo'shliq va V o'zi. Yolg'on guruhlarining ayrim turlari uchun, ya'ni ixcham^[2] va yarim sodda^[3] guruhlar, har bir sonli o'lchovli vakillik kamaytirilmaydigan tasavvurlarning to'g'ridan-to'g'ri yig'indisi sifatida ajralib chiqadi, bu to'liq kamaytirilish deb nomlanadi. Bunday guruhlar uchun vakillik nazariyasining odatiy maqsadi - izomorfizmga qadar ushbu guruhning barcha cheklangan o'lchovli qisqartirilmaydigan tasavvurlarini tasniflash. (Quyidagi tasnif bo'limiga qarang.)

A unitar vakillik cheklangan o'lchovli ichki mahsulot maydoni xuddi shu tarzda aniqlanadi, bundan mustasno ${ displaystyle Pi}$ guruhiga qo'shish uchun talab qilinadi unitar operatorlar. Agar G a ixcham Yolg'on guruhi, har bir sonli o'lchovli vakolat birlikka tengdir.^[4]

Yolg'on algebra tasvirlari

Yolg'on guruhining har bir vakili G uning Lie algebrasini aks ettirishga imkon beradi; ushbu yozishmalar keyingi bo'limlarda batafsil muhokama qilinadi. Qarang Lie algebralarining vakili Lie algebra nazariyasi uchun.

Misol: SO (3) aylanish guruhi

Kvant mexanikasida vaqtga bog'liq emas Shredinger tenglamasi, ${ displaystyle { hat {H}} psi = E psi}$ muhim rol o'ynaydi. Uch o'lchovli holatda, agar ${ displaystyle { hat {H}}}$ aylanish simmetriyasiga ega, keyin bo'shliq ${ displaystyle V_ {E}}$ uchun echimlar ${ displaystyle { hat {H}} psi = E psi}$ SO (3) ta'sirida o'zgarmas bo'ladi. Shunday qilib, ${ displaystyle V_ {E}}$ will - har bir belgilangan qiymati uchun ${ displaystyle E}$- odatda cheklangan o'lchovli SO (3) tasvirini yaratish. Yechishga urinishda ${ displaystyle { hat {H}} psi = E psi}$, bu SO (3) ning mumkin bo'lgan barcha cheklangan o'lchovli tasvirlari qanday ko'rinishini bilishga yordam beradi. SO (3) ning nazariya nazariyasi asosiy rol o'ynaydi, masalan, ning matematik tahlilida vodorod atomi.

Kvant mexanikasi bo'yicha har bir standart darslikda SO (3) ning cheklangan o'lchovli kamaytirilmaydigan tasavvurlarini Lie algebrasi orqali tasniflaydigan tahlil mavjud. (Burchak momentum operatorlari orasidagi kommutatsiya munosabatlari faqat Lie algebra uchun munosabatlardir ${ displaystyle { mathfrak {so}} (3)}$ SO (3).) Ushbu tahlilning bir nozik tomoni shundaki, guruh va Lie algebrasining tasvirlari birma-bir yozishmalarda emas, bu farqni tushunishda juda muhimdir. butun sonli aylanma va yarim butun aylanish.

Oddiy vakolatxonalar

The aylanish guruhi SO (3) - bu ixcham Lie guruhi va shuning uchun SO (3) ning har bir sonli o'lchovli tasviri qisqartirilmaydigan tasavvurlarning to'g'ridan-to'g'ri yig'indisi sifatida ajralib chiqadi. SO (3) guruhi har bir g'alati o'lchovda bitta qisqartirilmaydigan ko'rinishga ega.^[5] Har bir salbiy bo'lmagan butun son uchun ${ displaystyle k}$, o'lchovning qisqartirilmaydigan ko'rinishi ${ displaystyle 2k + 1}$ makon sifatida amalga oshirilishi mumkin ${ displaystyle V_ {k}}$ bir hil harmonik polinomlar yoqilgan ${ displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$ daraja ${ displaystyle k}$.^[6] Bu erda SO (3) harakat qiladi ${ displaystyle V_ {k}}$ aylanishlar funktsiyalarga ta'sir qiladigan odatiy tarzda ${ displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$:

${ displaystyle ( Pi (R) f) (x) = f (R ^ {- 1} x) quad R in operatorname {SO} (3).}$

Birlik doirasiga cheklov ${ displaystyle S ^ {2}}$ elementlarining ${ displaystyle V_ {k}}$ ular sferik harmonikalar daraja ${ displaystyle k}$.

Agar aytaylik, ${ displaystyle k = 1}$, keyin bir darajali bir hil bo'lgan barcha polinomlar harmonikdir va biz uch o'lchovli bo'shliqni olamiz ${ displaystyle V_ {1}}$ chiziqli polinomlar tomonidan yoyilgan ${ displaystyle x}$, ${ displaystyle y}$va ${ displaystyle z}$. Agar ${ displaystyle k = 2}$, bo'sh joy ${ displaystyle V_ {2}}$ polinomlar tomonidan tarqaladi ${ displaystyle xy}$, ${ displaystyle xz}$, ${ displaystyle yz}$, ${ displaystyle x ^ {2} -y ^ {2}}$va ${ displaystyle x ^ {2} -z ^ {2}}$.

Yuqorida ta'kidlab o'tilganidek, SO (3) ning chegaralangan o'lchovlari, tabiiy ravishda, vaqtdan mustaqil Shredinger tenglamasini, masalan, radial potentsial uchun o'rganilganda paydo bo'ladi. vodorod atomi, masalaning aylanish simmetriyasining aksi sifatida. (Sferik harmonikalar rolini qarang vodorodni matematik tahlil qilish.)

Proektsion vakolatxonalar

Agar biz Lie algebrasini ko'rib chiqsak ${ displaystyle { mathfrak {so}} (3)}$ SO (3) ning bu Lie algebrasi Lie algebrasiga izomorfdir ${ displaystyle { mathfrak {su}} (2)}$ SU ning (2). Tomonidan vakillik nazariyasi ${ displaystyle { mathfrak {su}} (2)}$, keyin bitta qisqartirilmaydigan tasvir mavjud ${ displaystyle { mathfrak {so}} (3)}$ yilda har bir o'lchov. Ammo bir tekis o'lchovli tasvirlar, ning ko'rsatmalariga to'g'ri kelmaydi guruh SO (3).^[7] Ushbu "fraksiyonel spin" deb nomlangan vakillar, shunga mos keladi loyihaviy vakolatxonalar SO (3). Ushbu tasavvurlar fraksiyonel spinli zarrachalarning kvant mexanikasida, masalan, elektronda paydo bo'ladi.

Vakilliklar bo'yicha operatsiyalar

Ushbu bo'limda biz tasvirlar bo'yicha uchta asosiy operatsiyani tasvirlaymiz.^[8] Shuningdek qarang tegishli inshootlar Lie algebrasi uchun.

To'g'ridan-to'g'ri summalar

Agar bizda guruhning ikkita vakili bo'lsa ${ displaystyle G}$, ${ displaystyle Pi _ {1}: G rightarrow GL (V_ {1})}$ va ${ displaystyle Pi _ {2}: G rightarrow GL (V_ {2})}$, keyin to'g'ridan-to'g'ri summa bo'lar edi ${ displaystyle V_ {1} oplus V_ {2}}$ tomonidan berilgan guruh harakati bilan asosiy vektor maydoni sifatida

${ displaystyle Pi (g) (v_ {1}, v_ {2}) = ( Pi _ {1} (g) v_ {1}, Pi _ {2} (g) v_ {2}), }$

Barcha uchun ${ displaystyle v_ {1} V_ {1} da,}$ ${ displaystyle v_ {2} in V_ {2}}$va ${ displaystyle g in G}$.

Yolg'on guruhlarining ayrim turlari, xususan, ixcham Yolg'on guruhlari - bu xususiyatga ega har bir chekli o'lchovli tasvir to'g'ridan-to'g'ri qisqartirilmaydigan tasavvurlarning yig'indisiga izomorfdir.^[9] Bunday hollarda vakolatxonalarning tasnifi kamaytirilmaydigan vakolatxonalar tasnifiga kamayadi. Qarang Veylning to'liq kamaytirilishi haqidagi teoremasi.

Vakolatxonalarning tenzor mahsulotlari

Agar bizda guruhning ikkita vakili bo'lsa ${ displaystyle G}$, ${ displaystyle Pi _ {1}: G rightarrow GL (V_ {1})}$ va ${ displaystyle Pi _ {2}: G rightarrow GL (V_ {2})}$, keyin tensor mahsuloti vakolatxonalari quyidagilarga ega bo'lar edi tensor mahsuloti vektor maydoni ${ displaystyle V_ {1} otimes V_ {2}}$ ning ta'siri bilan asosiy vektor maydoni sifatida ${ displaystyle G}$ noyob deb taxmin qilish bilan aniqlanadi

${ displaystyle Pi (g) (v_ {1} otimes v_ {2}) = ( Pi _ {1} (g) v_ {1}) otimes ( Pi _ {2} (g) v_ {) 2})}$

Barcha uchun ${ displaystyle v_ {1} in V_ {1}}$ va ${ displaystyle v_ {2} in V_ {2}}$. Demak, ${ displaystyle Pi (g) = Pi _ {1} (g) otimes Pi _ {2} (g)}$.

Yolg'on algebra tasviri ${ displaystyle pi}$ tenzor mahsulotining namoyishi bilan bog'liq ${ displaystyle Pi}$ quyidagi formula bilan berilgan:^[10]

${ displaystyle pi (X) = pi _ {1} (X) otimes I + I otimes pi _ {2} (X).}$

Ikkita qisqartirilmaydigan tasvirlarning tenzor mahsuloti odatda kamaytirilmaydi; vakillik nazariyasining asosiy muammosi, keyinchalik qisqartirilmaydigan tasvirlarning tenzor mahsulotlarini to'g'ridan-to'g'ri qisqartirilmaydigan pastki bo'shliqlarning yig'indisi sifatida ajratishdir. Ushbu muammo "burchak momentumini qo'shish" yoki "Klibs-Gordan nazariyasi "fizika adabiyotida.

Ikki tomonlama vakolatxonalar

Ruxsat bering ${ displaystyle G}$ yolg'onchi guruh bo'ling va ${ displaystyle Pi: G rightarrow GL (V)}$ G.ning vakili bo'ling ${ displaystyle V ^ {*}}$ er-xotin bo'shliq, ya'ni chiziqli funktsionallar maydoni bo'ling ${ displaystyle V}$. Keyin biz vakolatxonani aniqlay olamiz ${ displaystyle Pi ^ {*}: G rightarrow GL (V ^ {*})}$ formula bo'yicha

${ displaystyle Pi ^ {*} (g) = ( Pi (g ^ {- 1})) ^ { operator nomi {tr}},}$

har qanday operator uchun qaerda ${ displaystyle A: V rightarrow V}$, transpozitsiya operatori ${ displaystyle A ^ { operatorname {tr}}: V ^ {*} rightarrow V ^ {*}}$ bilan "tarkibi" deb ta'riflanadi ${ displaystyle A}$"operatori:

${ displaystyle (A ^ { operator nomi {tr}} phi) (v) = phi (Av).}$

(Agar biz asosda ishlasak, demak ${ displaystyle A ^ { operator nomi {tr}}}$ faqat odatdagi matritsa transpozitsiyasi ${ displaystyle A}$.) Ning ta'rifidagi teskari ${ displaystyle Pi ^ {*}}$ buni ta'minlash uchun zarur ${ displaystyle Pi ^ {*}}$ aslida ning vakili hisoblanadi ${ displaystyle G}$, shaxsiyatni hisobga olgan holda ${ displaystyle (AB) ^ { operator nomi {tr}} = B ^ { operator nomi {tr}} A ^ { operator nomi {tr}}}$.

Kamaytirilgan vakolatxonaning ikkilamchi har doim kamaytirilmaydi,^[11] lekin asl tasvir uchun izomorf bo'lishi mumkin yoki bo'lmasligi mumkin. SU (3) guruhi misolida, masalan qisqartirilmaydigan vakolatxonalar juftlik bilan belgilanadi ${ displaystyle (m_ {1}, m_ {2})}$ manfiy bo'lmagan butun sonlar. Bilan bog'liq bo'lgan vakolatxonaning ikkilanganligi ${ displaystyle (m_ {1}, m_ {2})}$ bilan bog'liq bo'lgan vakolatdir ${ displaystyle (m_ {2}, m_ {1})}$.^[12]

Yolg'on algebra tasvirlariga qarshi guruh

Umumiy nuqtai

Ko'p hollarda, Lie algebra bilan bog'liq Lge algebrasini o'rganish orqali Lie guruhining vakilliklarini o'rganish qulay. Ammo, umuman olganda, Lie algebrasining har qanday vakili ham guruh vakilligidan kelib chiqmaydi. Bu haqiqat, masalan, orasidagi farqning orqasida yotadi butun sonli aylanma va yarim butun aylanish kvant mexanikasida. Boshqa tomondan, agar G a oddiygina ulangan guruh, keyin teorema^[13] aslida biz guruh va Lie algebra tasvirlari o'rtasida birma-bir yozishmalar olamiz, deydi.

Ruxsat bering G Lie algebra bilan Lie guruhi bo'ling ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$va vakillik deb taxmin qiling ${ displaystyle pi}$ ning ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ yaqinda. The Yalang'och yozishmalar ning bog'langan komponentining guruhli ko'rinishini olish uchun ishlatilishi mumkin G. Taxminan aytganda, bu qabul qilish orqali amalga oshiriladi matritsali eksponent Lie algebra tasvirining matritsalari. Agar noziklik paydo bo'ladi, agar G emas oddiygina ulangan. Buning sababi bo'lishi mumkin proektsion vakolatxonalar yoki, fizika tilida, ko'p qiymatli tasvirlar G. Bu aslida universal qoplama guruhi ning G.

Ushbu natijalar quyida to'liqroq tushuntiriladi.

Yolg'on yozishmalar faqat guruhlarning birlashtirilgan komponenti uchun natijalar beradi va shu tariqa to'liq guruhning boshqa tarkibiy qismlari ushbu komponentlarni ifodalovchi matritsalar uchun vakillarni har bir komponent uchun bittadan berish orqali alohida ko'rib chiqiladi. Ushbu shakl (vakillari) nol gomotopiya guruhi ning G. Masalan, to'rt komponentli masalada Lorents guruhi, vakillari kosmik inversiya va vaqtni qaytarish qo'yish kerak qo'l bilan. Qo'shimcha rasmlar Lorents guruhining vakillik nazariyasi quyida.

Eksponensial xaritalash

Sofus yolg'on, asoschisi Yolg'on nazariyasi. Nazariyasi manifoldlar Lie davrida topilmadi, shuning uchun u ishladi mahalliy ning pastki to'plamlari bilan ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}.}$ Bugungi kunda tuzilish a deb nomlanadi mahalliy guruh.

Agar ${ displaystyle G}$ Lie algebrasiga ega Lie guruhi ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$, keyin bizda eksponent xarita mavjud ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ ga ${ displaystyle G}$sifatida yozilgan

${ displaystyle X mapsto e ^ {X}, quad X in { mathfrak {g}}.}$

Agar ${ displaystyle G}$ bu matritsa Lie guruhi, ifoda ${ displaystyle e ^ {X}}$ eksponent uchun odatiy quvvat seriyali tomonidan hisoblab chiqilishi mumkin. Har qanday Lie guruhida mahallalar mavjud ${ displaystyle U}$ identifikator ${ displaystyle G}$ va ${ displaystyle V}$ kelib chiqishi ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ har bir mulk bilan ${ displaystyle g}$ yilda ${ displaystyle U}$ kabi noyob tarzda yozilishi mumkin ${ displaystyle g = e ^ {X}}$ bilan ${ displaystyle X in V}$. Ya'ni, eksponent xaritada a mavjud mahalliy teskari. Ko'pgina guruhlarda bu faqat mahalliy; ya'ni eksponent xarita odatda birma-bir emas va ustiga qo'yilmaydi.

Guruh vakilliklaridan algebra tasvirlari

Yolg'on guruhi vakolatxonasidan o'tish har doim ham mumkin G uning algebra algebrasi tasviriga ${ displaystyle { mathfrak {g}}.}$ Agar Π: G → GL (V) - bu ba'zi bir vektor maydoni uchun guruh vakili V, keyin uning oldinga (differentsial) identifikatorda yoki Yolg'on xaritasi, ${ displaystyle pi: { mathfrak {g}} to { text {End}} V}$ Lie algebra tasviridir. Yordamida aniq hisoblab chiqilgan^[14]

${ displaystyle pi (X) = chap. { frac {d} {dt}} Pi (e ^ {tX}) right | _ {t = 0}, quad X in { mathfrak { g}}.}$

(G6)

Bunga tegishli asosiy xususiyat ${ displaystyle Pi}$ va ${ displaystyle pi}$ eksponent xaritani o'z ichiga oladi:^[15]

${ displaystyle Pi (e ^ {X}) = e ^ { pi (X)}.}$

Biz tekshirmoqchi bo'lgan savol - bu har bir vakolatxonaning ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ shu tarzda guruh vakillaridan kelib chiqadi ${ displaystyle G}$. Ko'rib turganimizdek, bu holat ${ displaystyle G}$ shunchaki ulangan.

Lie algebra tasvirlaridan guruh tasvirlari

Ushbu bo'limning asosiy natijasi quyidagilar:^[16]

Teorema: Agar ${ displaystyle G}$ shunchaki bog'langan, keyin har bir vakillik ${ displaystyle pi}$ yolg'on algebra ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ ning ${ displaystyle G}$ vakolatxonadan keladi ${ displaystyle Pi}$ ning ${ displaystyle G}$ o'zi.

Shundan biz quyidagilarni osongina chiqaramiz:

Xulosa: Agar ${ displaystyle G}$ bog'langan, ammo oddiygina bog'lanmagan, har bir vakillik ${ displaystyle pi}$ ning ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ vakolatxonadan keladi ${ displaystyle Pi}$ ning ${ displaystyle { tilde {G}}}$, ning universal qopqog'i ${ displaystyle G}$. Agar ${ displaystyle pi}$ kamaytirilmaydi, keyin ${ displaystyle Pi}$ a ga tushadi proektsion vakillik ning ${ displaystyle G}$.

Proektsion vakillik - bu har biri bo'lgan vakolat ${ displaystyle Pi (g), , g in G,}$ doimiy bilan ko'paytirilgunga qadar aniqlanadi. Kvant fizikasida odatdagidan tashqari proektsion tasvirlarga yo'l qo'yilishi tabiiy, chunki holatlar haqiqatan ham doimiygacha aniqlanadi. (Ya'ni, agar shunday bo'lsa ${ displaystyle psi}$ kvant Hilbert fazosidagi vektor, keyin ${ displaystyle c psi}$ har qanday doimiy uchun bir xil jismoniy holatni ifodalaydi ${ displaystyle c}$.) Har bir cheklangan o'lchovli bog'langan Lie guruhining proektsion vakili ${ displaystyle G}$ universal qopqoqning oddiy vakolatxonasidan kelib chiqadi ${ displaystyle { tilde {G}}}$ ning ${ displaystyle G}$.^[17] Aksincha, biz quyida muhokama qiladigan bo'lsak, har bir qisqartirilmaydigan oddiy vakillik ${ displaystyle { tilde {G}}}$ ning proektiv tasviriga tushadi ${ displaystyle G}$. Fizika bo'yicha adabiyotlarda proektsion tasvirlar ko'pincha ko'p qiymatli tasvirlar (ya'ni har biri) sifatida tavsiflanadi ${ displaystyle Pi (g)}$ yagona qiymatga ega emas, balki butun qadriyatlar oilasiga ega). Ushbu hodisa o'rganish uchun muhimdir fraksiyonel spin kvant mexanikasida.

Bu yerda V cheklangan o'lchovli vektor maydoni, GL (V) - barcha teskari chiziqli o'zgarishlarning to'plami V va ${ displaystyle { mathfrak {gl}} (V)}$ uning algebrasi. Xaritalar π va Π Lie algebra va guruh tasvirlari, va tugatish eksponent xaritalashdir. Diagramma faqat bitta belgiga qadar ishlaydi, agar Π proektivdir.

Endi yuqoridagi asosiy natijalarning isbotini bayon qilamiz. Aytaylik ${ displaystyle pi: { mathfrak {g}} dan { mathfrak {gl}} (V)} gacha$ ning vakili ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ vektor maydonida V. Agar bog'liq bo'lgan Lie guruhining vakili bo'lsa ${ displaystyle Pi}$, u avvalgi kichik bo'limning eksponent munosabatini qondirishi kerak. Endi, eksponentning mahalliy o'zgaruvchanligini hisobga olgan holda, biz qila olamiz aniqlang xarita ${ displaystyle Pi}$ mahalladan ${ displaystyle U}$ identifikator ${ displaystyle G}$ shu munosabat bilan:

${ displaystyle Pi (e ^ {X}) = e ^ { pi (X)}, quad g = e ^ {X} in U.}$

Shunda asosiy savol quyidagicha: ushbu mahalliy xarita "mahalliy homomorfizm" bo'ladimi? (Bu savol eksponent xaritalash global miqyosda birma-bir va bir-biriga mos keladigan maxsus holatda ham qo'llanilishi mumkin; u holda, ${ displaystyle Pi}$ dunyo miqyosida belgilangan xarita bo'lar edi, ammo nima uchun bu aniq emas ${ displaystyle Pi}$ Bu homomorfizm bo'ladi.) Bu savolga javob ha: ${ displaystyle Pi}$ mahalliy gomomorfizmdir va buni yordamida o'rnatilishi mumkin Beyker-Kempbell-Xausdorff formulasi.^[18]

Agar ${ displaystyle G}$ ulanadi, keyin ning har bir elementi ${ displaystyle G}$ kamida a mahsulot elementlarining eksponentlari ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$. Shunday qilib, biz taxminiy ravishda aniqlashimiz mumkin ${ displaystyle Pi}$ global miqyosda quyidagicha.

${ displaystyle { begin {aligned} Pi (g = e ^ {X}) & equiv e ^ { pi (X)}, && X in { mathfrak {g}}, quad g = e ^ {X} in operator nomi {im} ( exp), Pi (g = g_ {1} g_ {2} cdots g_ {n}) & equiv Pi (g_ {1}) Pi (g_ {2}) cdots Pi (g_ {n}), && g notin operatorname {im} ( exp), quad g_ {1}, g_ {2}, ldots, g_ {n} ichida operatorname {im} ( exp). end {hizalangan}}}$

(G2)

Shunga qaramay, ma'lum bir guruh elementining eksponentlar mahsuloti sifatida ifodalanishi noyoblikdan uzoqroq ekanligini unutmang, shuning uchun bu aniq emas ${ displaystyle Pi}$ aslida aniq belgilangan.

Degan savolga javob berish uchun ${ displaystyle Pi}$ yaxshi aniqlangan, biz har bir guruh elementlarini birlashtiramiz ${ displaystyle g in G}$ uzluksiz yo'l yordamida identifikatorga. Keyinchalik aniqlash mumkin ${ displaystyle Pi}$ yo'l bo'ylab va qiymatini ko'rsatish uchun ${ displaystyle Pi (g)}$ so'nggi nuqta aniqlangan yo'lning doimiy deformatsiyasi ostida o'zgarmaydi. Agar ${ displaystyle G}$ shunchaki bog'langan, har qanday yo'l identifikatordan boshlanib, tugaydi ${ displaystyle g}$ buni ko'rsatib turib, har qanday boshqa yo'lga doimiy ravishda deformatsiyalanishi mumkin ${ displaystyle Pi (g)}$ yo'l tanlashdan to'liq mustaqil. Ning dastlabki ta'rifi berilganligini hisobga olib ${ displaystyle Pi}$ identifikator yaqinida mahalliy homomorfizm bo'lgan, global miqyosda aniqlangan xarita ham qoniqarli bo'lgan homomorfizm ekanligini ko'rsatish qiyin emas. (G2).^[19]

Agar ${ displaystyle G}$ shunchaki ulanmagan, biz yuqoridagi protsedurani universal qopqoqqa qo'llashimiz mumkin ${ displaystyle { tilde {G}}}$ ning ${ displaystyle G}$. Ruxsat bering ${ displaystyle p: { tilde {G}} rightarrow G}$ qoplama xaritasi bo'ling. Agar shunday bo'lishi kerak bo'lsa ${ displaystyle Pi: { tilde {G}} rightarrow operator nomi {GL} (V)}$ ning yadrosini o'z ichiga oladi ${ displaystyle p}$, keyin ${ displaystyle Pi}$ asl guruhning vakolatxonasiga tushadi ${ displaystyle G}$. Agar bunday bo'lmasa ham, ning yadrosi ${ displaystyle p}$ ning diskret normal kichik guruhi ${ displaystyle { tilde {G}}}$, shuning uchun bu markazda joylashgan ${ displaystyle { tilde {G}}}$. Shunday qilib, agar ${ displaystyle pi}$ qisqartirilmaydi, Shur lemmasi ning yadrosi shuni nazarda tutadi ${ displaystyle p}$ identifikatsiyaning skalar ko'paytmasi bilan harakat qiladi. Shunday qilib, ${ displaystyle Pi}$ a ga tushadi loyihaviy vakili ${ displaystyle G}$, ya'ni identifikatsiyaning faqat modulli skalar ko'paytmasi aniqlanadigan narsa.

Umumjahon qoplama guruhi qanday tarkib topganligi haqidagi tasviriy ko'rinish barchasi bunday homotopiya darslari va uning texnik tavsifi (to'plam va guruh sifatida) berilgan geometrik ko'rinish.

Masalan, qachonki bu ixtisoslashgan bo'lsa ikki marta ulangan SO (3, 1)⁺, universal qoplama guruhi ${ displaystyle { text {SL}} (2, mathbb {C})}$va uning tegishli vakili sodiq yoki yo'qligini hal qiladi Π bu loyihaviy.

Yilni holatda tasniflash

Agar G ulangan ixcham Yolg'on guruhi, uning cheklangan o'lchovli tasvirlari quyidagicha ajralishi mumkin to'g'ridan-to'g'ri summalar ning qisqartirilmaydigan vakolatxonalar.^[20] Qaytarib bo'lmaydigan narsalar "bilan tasniflanadieng katta vazn teoremasi "Biz bu erda ushbu nazariyaning qisqacha tavsifini beramiz; batafsil ma'lumot uchun maqolalarga qarang bog'langan ixcham Lie guruhining vakillik nazariyasi va parallel nazariya Lie algebralarining yarim namunalarini tasniflash.

Ruxsat bering T bo'lishi a maksimal torus yilda G. By Shur lemmasi, ning qisqartirilmaydigan vakolatxonalari T bir o'lchovli. Ushbu tasvirlarni osongina tasniflash mumkin va ular ma'lum "analitik integral elementlar" yoki "og'irliklar" bilan belgilanadi. Agar ${ displaystyle Sigma}$ ning qisqartirilmaydigan vakili G, ning cheklanishi ${ displaystyle Sigma}$ ga T odatda kamaytirilmaydi, lekin u to'g'ridan-to'g'ri qisqartirilmaydigan tasvirlarning yig'indisi sifatida ajralib chiqadi T, bog'liq og'irliklar bilan etiketlenmiş. (Xuddi shu vazn bir necha marta sodir bo'lishi mumkin.) Ruxsat etilgan uchun ${ displaystyle Sigma}$, og'irliklardan birini "eng yuqori" deb aniqlash mumkin va vakolatxonalar ushbu eng yuqori vazn bo'yicha tasniflanadi.

Vakillik nazariyasining muhim jihati bu bog'liq nazariya belgilar. Bu erda, vakillik uchun ${ displaystyle Sigma}$ ning G, belgi bu funktsiya

${ displaystyle chi _ {G}: G rightarrow mathbb {C}}$

tomonidan berilgan

${ displaystyle chi _ {G} (g) = operatorname {trace} ( Sigma (g))}.$

Bir xil xarakterga ega bo'lgan ikkita tasvir izomorf bo'lib chiqadi. Bundan tashqari, Weyl belgilar formulasi vakili xarakterining eng katta vazni jihatidan ajoyib formulani beradi. Ushbu formula nafaqat vakillik haqida juda ko'p foydali ma'lumotlarni beradi, balki u eng katta vazn teoremasini isbotlashda hal qiluvchi rol o'ynaydi.

Xilbert bo'shliqlarida unitar vakolatxonalar

Ruxsat bering V cheksiz o'lchovli bo'lishi mumkin bo'lgan murakkab Hilbert fazosi bo'lsin va bo'lsin ${ displaystyle U (V)}$ unitar operatorlar guruhini belgilang V. A unitar vakillik a Yolg'on guruh G kuni V a guruh homomorfizmi ${ displaystyle Pi: G rightarrow U (V)}$ har biri uchun belgilangan mulk bilan ${ displaystyle v in V}$, xarita

${ displaystyle g mapsto Pi (g) v}$

ning doimiy xaritasi G ichiga V.

Cheklangan o'lchovli unitar vakolatxonalar

Agar Hilbert maydoni V cheklangan o'lchovli, u bilan bog'liq tasvir mavjud ${ displaystyle pi}$ yolg'on algebra ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ ning ${ displaystyle G}$. Agar ${ displaystyle G}$ ulanadi, keyin vakillik ${ displaystyle Pi}$ ning ${ displaystyle G}$ faqat va faqat agar unitar bo'lsa ${ displaystyle pi (X)}$ har bir kishi uchun o'z-o'zidan bog'langan ${ displaystyle X in { mathfrak {g}}}$.^[21]

Agar ${ displaystyle G}$ bu ixcham, keyin har bir vakillik ${ displaystyle Pi}$ ning ${ displaystyle G}$ cheklangan o'lchovli vektor makonida V "birlashtirilishi mumkin", ya'ni ichki mahsulotni tanlash mumkin V shuning uchun har biri ${ displaystyle Pi (g), , g in G}$ unitar.^[22]

Cheksiz o'lchovli unitar vakolatxonalar

Agar Hilbert maydoni V cheksiz o'lchovli bo'lishga ruxsat beriladi, unitar tasvirlarni o'rganish cheklangan o'lchovli holatda bo'lmagan bir qator qiziqarli xususiyatlarni o'z ichiga oladi. Masalan, Lie algebrasining tegishli vakilligini qurish ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ texnik jihatdan qiyinlashadi. Yolg'on algebra tasvirini yaxshi tushunadigan parametrlardan biri yarim oddiy (yoki reduktiv) yolg'on guruhlar, bu erda bog'liq algebra vakili a hosil qiladi (g, K) -modul.

Unitar vakolatxonalarga misollar kvant mexanikasi va kvant maydon nazariyasida paydo bo'ladi, lekin Furye tahlili quyidagi misolda ko'rsatilgandek. Ruxsat bering ${ displaystyle G = mathbb {R}}$va murakkab Hilbert makoniga ruxsat bering V bo'lishi ${ displaystyle L ^ {2} ( mathbb {R})}$. Biz vakolatxonani aniqlaymiz ${ displaystyle psi: mathbb {R} rightarrow U (L ^ {2} ( mathbb {R}))}$ tomonidan

${ displaystyle [ psi (a) (f)] (x) = f (x-a).}$

Lie guruhining unitar vakolatxonalari tahlil qilingan ba'zi muhim misollar.

• The Stoun-fon Neyman teoremasi ning kamaytirilmaydigan unitar vakolatxonalari tasnifini berish deb tushunish mumkin Heisenberg guruhi.
• Wigner tasnifi vakili uchun Puankare guruhi zarralar massasi va spinini guruh-nazariy jihatdan qanday tushunish mumkinligini ko'rsatib, kvant maydon nazariyasida katta kontseptual rol o'ynaydi.
• The SL (2, R) ning nazariya nazariyasi V. Bargmann tomonidan ishlab chiqilgan va ixcham bo'lmagan yarim yarim Lie guruhlarining unitar vakilliklarini o'rganish uchun prototip bo'lib xizmat qiladi.

Proektsion vakolatxonalar

Kvant fizikasida ko'pincha odam qiziqadi loyihaviy Lie guruhining unitar vakolatxonalari ${ displaystyle G}$. Bunday qiziqishning sababi shundaki, kvant tizimining holatlari Xilbert fazosidagi vektorlar bilan ifodalanadi ${ displaystyle mathbf {H}}$- lekin doimiylik bilan farq qiladigan ikkita holat aslida bir xil jismoniy holat ekanligini anglash bilan. Keyinchalik Hilbert fazosining simmetriyalari unitar operatorlar tomonidan tavsiflanadi, ammo identifikatorning ko'paytmasi bo'lgan unitar operator tizimning fizik holatini o'zgartirmaydi. Shunday qilib, bizni oddiy unitar tasvirlar qiziqtirmaydi - ya'ni, homomorfizmlari ${ displaystyle G}$ unitar guruhga ${ displaystyle U ( mathbf {H})}$- aksincha, proektsion unitar vakolatxonalarda - ya'ni, ning homomorfizmlari ${ displaystyle G}$ loyihaviy unitar guruhga

${ displaystyle PU ( mathbf {H}): = U ( mathbf {H}) / {e ^ {i theta} I }.}$

Boshqacha qilib aytganda, proektsion vakillik uchun biz unitar operatorlar oilasini quramiz ${ displaystyle rho (g), , , g in G}$, bu erda o'zgaruvchan deb tushunilgan ${ displaystyle rho (g)}$ mutlaq muttasil 1 bilan "bir xil" operator deb hisoblanadi. Operatorlar ${ displaystyle rho (g)}$ keyinchalik homomorfizm xususiyatini qondirish uchun talab qilinadi doimiygacha:

${ displaystyle rho (g) rho (h) = e ^ {i theta _ {g, h}} rho (gh).}$

Yuqorida SO (3) aylanish guruhining kamaytirilmaydigan proektsion unitar vakolatxonalarini muhokama qildik; proektsion vakilliklarni hisobga olgan holda butun spinga qo'shimcha ravishda fraksiyonel aylantirishga imkon beradi.

Bargman teoremasi yolg'on guruhlarining ayrim turlari uchun ${ displaystyle G}$, ning qisqartirilmas proektsion unitar vakolatxonalari ${ displaystyle G}$ ning universal qopqog'ining oddiy unitar tasvirlari bilan birma-bir yozishmalarda ${ displaystyle G}$. Bargman teoremasi qo'llaniladigan muhim misollar SO (3) (yuqorida aytib o'tilganidek) va Puankare guruhi. Ikkinchi ish juda muhimdir Wigner tasnifi kvant maydon nazariyasiga tatbiq etiladigan Puankare guruhining proektsion vakolatxonalari.

Bargman teoremasi bajaradigan misol emas murojaat qilish guruhdir ${ displaystyle mathbb {R} ^ {2n}}$. Vaziyat va momentum bo'yicha tarjimalar to'plami ${ displaystyle L ^ {2} ( mathbb {R} ^ {n})}$ ning proektiv unitar vakolatxonasini shakllantiradi ${ displaystyle mathbb {R} ^ {2n}}$ ammo ular universal qopqoqning oddiy vakolatxonasidan kelib chiqmaydi ${ displaystyle mathbb {R} ^ {2n}}$- bu adolatli ${ displaystyle mathbb {R} ^ {2n}}$ o'zi. Bunday holda, oddiy vakillikni olish uchun, ga o'tish kerak Heisenberg guruhi, bu bir o'lchovli markaziy kengaytma ${ displaystyle mathbb {R} ^ {2n}}$. (Muhokamaga qarang Bu yerga.)

Yengil ish

Agar ${ displaystyle G}$ kommutativ hisoblanadi Yolg'on guruh, keyin har bir kamaytirilmaydigan unitar vakolatxonasi ${ displaystyle G}$ murakkab vektor bo'shliqlarida bitta o'lchovli bo'ladi. (Ushbu da'vo kelib chiqadi Shur lemmasi va vakolatxonalar muddatidan oldin cheklangan o'lchovli deb hisoblanmasa ham ushlab turiladi.) Shunday qilib, ${ displaystyle G}$ ning oddiy gomomorfizmlari ${ displaystyle G}$ birlik doira guruhiga, U (1). Masalan, agar ${ displaystyle G = mathbb {R}}$, qisqartirilmaydigan unitar vakolatxonalar shaklga ega

${ displaystyle Pi (x) = [e ^ {iax}]}$,

haqiqiy son uchun ${ displaystyle a}$.

Shuningdek qarang Pontryagin ikkilik bu ish uchun.

Shuningdek qarang

• Bog'langan ixcham guruhlarning vakillik nazariyasi
• Yolg'on algebra
• Proektsion vakillik
• SU ning vakillik nazariyasi (2)
• Lorents guruhining vakillik nazariyasi
• Hopf algebralarining vakillik nazariyasi
• Yolg'on guruhining qo'shma vakili
• Yolg'on guruhi mavzulari ro'yxati
• Kvant mexanikasidagi simmetriya
• Wigner D-matritsasi

Izohlar

Izohlar

Adabiyotlar

• Fulton, Vashington; Xarris, J. (1991). Vakillik nazariyasi. Birinchi kurs. Matematikadan aspirantura matnlari. 129. Nyu-York: Springer-Verlag. ISBN  978-0-387-97495-8. JANOB  1153249.CS1 maint: ref = harv (havola)
• Xoll, Brayan S (2013), Matematiklar uchun kvant nazariyasi, Matematikadan magistrlik matnlari, 267, Springer, ISBN  978-1461471158.
• Hall, Brian C. (2015), Yolg'on guruhlari, yolg'on algebralar va vakolatxonalar: boshlang'ich kirish, Matematikadan magistrlik matnlari, 222 (2-nashr), Springer, ISBN  978-3319134666.
• Knapp, Entoni V. (2002), Kirishdan tashqari yolg'on guruhlar, Matematikadagi taraqqiyot, 140 (2-nashr), Boston: Birkxauzer.
• Rossmann, Vulf (2001), Yolg'on guruhlari: Lineer guruhlar orqali kirish, Oksford matematikasi bo'yicha magistrlik matni, Oksford universiteti matbuoti, ISBN  978-0-19-859683-7. 2003 yildagi qayta nashr bir nechta tipografik xatolarni tuzatdi.
• Vaynberg, S. (2002) [1995], Jamg'arma, Maydonlarning kvant nazariyasi, 1, Kembrij: Kembrij universiteti matbuoti, ISBN  0-521-55001-7