Zarralar fizikasi va vakillik nazariyasi - Particle physics and representation theory - Wikipedia

Yolg'on guruhlar
Klassik guruhlar Umumiy chiziqli GL (n) Maxsus chiziqli SL (n) Ortogonal O (n) Maxsus ortogonal SO (n) Unitar U (n) Maxsus unitar SU (n) Simpektik Sp (n)
Simple Lie guruhlari Oddiy Yolg'on guruhlari ro'yxati Klassik An Bn Cn D.n Istisno G2 F4 E6 E7 E8
Boshqa yolg'on guruhlar Doira Lorents Puankare Norasmiy guruh Diffeomorfizm Loop Evklid
Yolg'on algebralar Yolg'on guruhi - Yolg'on algebra yozishmalari Eksponensial xarita Qo'shma vakillik Qotillik shakli Indeks Yolg'on nuqtasi simmetriyasi Lie oddiy algebra
Semisimple Lie algebra Dynkin diagrammalari Cartan subalgebra Ildiz tizimi Veyl guruhi Haqiqiy shakl Komplekslashtirish Split Lie algebra Yilni algebra
Vakillik nazariyasi Yolg'on guruhining vakili Yolg'on algebra Lie algebralarining semisimplementi nazariyasi Eng katta vazn teoremasi Borel-Vayl-Bot teoremasi
Yolg'on guruhlar fizika Zarralar fizikasi va vakillik nazariyasi Lorents guruhi vakolatxonalari Puankare guruhi vakolatxonalari Galiley guruhi vakolatxonalari
Olimlar Sofus yolg'on Anri Puankare Vilgelm o'ldirish Élie Cartan Hermann Veyl Klod Chevalley Xarish-Chandra Armand Borel
Lug'at Yolg'on guruhlari jadvali

O'rtasida tabiiy bog'liqlik mavjud zarralar fizikasi va vakillik nazariyasi, birinchi bo'lib 30-yillarda qayd etilgan Evgeniya Vigner.^[1] Bu xususiyatlarini bog'laydi elementar zarralar tuzilishiga Yolg'on guruhlar va Yolg'on algebralar. Ushbu aloqaga ko'ra, boshqacha kvant holatlari elementar zarrachani hosil qiladi qisqartirilmaydigan vakillik ning Puankare guruhi. Bundan tashqari, turli xil zarralarning xususiyatlari, shu jumladan ularning spektrlar, koinotning "taxminiy simmetriyalari" ga mos keladigan Lie algebralarining tasvirlari bilan bog'liq bo'lishi mumkin.

Umumiy rasm

Kvant tizimining nosimmetrikliklari

Yilda kvant mexanikasi, har qanday ma'lum bir zarracha holati a sifatida ifodalanadi vektor a Hilbert maydoni ${ displaystyle { mathcal {H}}}$. Zarralarning qanday turlari mavjudligini tushunishga yordam berish uchun imkoniyatlarni tasniflash muhimdir ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ tomonidan ruxsat berilgan simmetriya va ularning xususiyatlari. Ruxsat bering ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ ma'lum bir kvant tizimini tavsiflovchi Hilbert maydoni bo'lsin va bo'lsin ${ displaystyle G}$ kvant tizimining simmetriya guruhi bo'ling. Relativistik kvant tizimida, masalan ${ displaystyle G}$ bo'lishi mumkin Puankare guruhi vodorod atomi uchun esa ${ displaystyle G}$ bo'lishi mumkin aylanish guruhi SO (3). Zarrachalar holati aniqroq bog'liqdir projektor Hilbert maydoni ${ displaystyle mathrm {P} { mathcal {H}}}$deb nomlangan nurli bo'shliq, chunki nolga teng bo'lmagan skalar koeffitsienti bilan farq qiladigan ikkita vektor bir xil fizikaga to'g'ri keladi kvant holati bilan ifodalanadi nur Hilbert fazosida, ya'ni ekvivalentlik sinfi yilda ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ va tabiiy proektsiyalash xaritasi ostida ${ displaystyle { mathcal {H}} rightarrow mathrm {P} { mathcal {H}}}$, ning elementi ${ displaystyle mathrm {P} { mathcal {H}}}$.

Kvant tizimining simmetriyasi ta'rifi bo'yicha a mavjud guruh harakati kuni ${ displaystyle mathrm {P} { mathcal {H}}}$. Har biriga ${ displaystyle g in G}$, tegishli o'zgarish mavjud ${ displaystyle V (g)}$ ning ${ displaystyle mathrm {P} { mathcal {H}}}$. Aniqrog'i, agar ${ displaystyle g}$ bu tizimning ba'zi bir simmetriyasi (masalan, x o'qi atrofida 12 ° ga aylanish), keyin mos keladigan transformatsiya ${ displaystyle V (g)}$ ning ${ displaystyle mathrm {P} { mathcal {H}}}$ bu nurlanish fazosidagi xarita. Masalan, a aylanayotganda statsionar (nol impuls) spin-5 zarrachasi uning markazi haqida, ${ displaystyle g}$ bu 3D fazodagi aylanishdir (ning elementi ${ displaystyle mathrm {SO (3)}}$), esa ${ displaystyle V (g)}$ domeni va diapazoni har biri ushbu zarrachaning mumkin bo'lgan kvant holatlari fazosi bo'lgan operator, bu misolda proektsion bo'shliq ${ displaystyle mathrm {P} { mathcal {H}}}$ 11 o'lchovli kompleks Hilbert fazosi bilan bog'liq ${ displaystyle { mathcal {H}}}$.

Har bir xarita ${ displaystyle V (g)}$ saqlaydi, simmetriya ta'rifi bo'yicha nurli mahsulot kuni ${ displaystyle mathrm {P} { mathcal {H}}}$ ichki mahsulot tomonidan ishlab chiqarilgan ${ displaystyle { mathcal {H}}}$; ga binoan Vigner teoremasi, ning bu o'zgarishi ${ displaystyle mathrm {P} { mathcal {H}}}$ unitar yoki anti-unitar transformatsiyadan kelib chiqadi ${ displaystyle U (g)}$ ning ${ displaystyle { mathcal {H}}}$. Ammo, e'tibor bering ${ displaystyle U (g)}$ berilgan bilan bog'liq ${ displaystyle V (g)}$ noyob emas, balki faqat noyobdir fazaviy omilgacha. Operatorlarning tarkibi ${ displaystyle U (g)}$ shuning uchun tarkib qonunini aks ettirishi kerak ${ displaystyle G}$, lekin faqat fazaviy omilgacha:

${ displaystyle U (gh) = e ^ {i theta} U (g) U (h)}$,

qayerda ${ displaystyle theta}$ bog'liq bo'ladi ${ displaystyle g}$ va ${ displaystyle h}$. Shunday qilib, xaritani yuborish ${ displaystyle g}$ ga ${ displaystyle U (g)}$ a loyihaviy unitar vakolatxona ning ${ displaystyle G}$, yoki ehtimol unitar va anti-unitar aralashmasi, agar bo'lsa ${ displaystyle G}$ uzilgan. Amalda, unitarlikka qarshi operatorlar doimo bog'liqdir vaqtni qaytarish simmetriyasi.

Oddiy va proektsion vakolatxonalar

Umuman olganda jismoniy jihatdan muhimdir ${ displaystyle U ( cdot)}$ ning oddiy vakili bo'lishi shart emas ${ displaystyle G}$; ta'rifida fazaviy omillarni tanlash mumkin bo'lmasligi mumkin ${ displaystyle U (g)}$ ularning tarkibiy qonunidagi fazaviy omillarni yo'q qilish. Elektron, masalan, spin-yarim zarrachadir; uning Hilbert fazosi to'lqin funktsiyalaridan iborat ${ displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$ ikki o'lchovli spinor maydonidagi qiymatlar bilan. Ning harakati ${ displaystyle mathrm {SO (3)}}$ spinor bo'shliqda faqat proektsion: Bu oddiy tasvirdan kelib chiqmaydi ${ displaystyle mathrm {SO (3)}}$. Shu bilan birga, universal qopqoqning odatdagi vakili mavjud ${ displaystyle mathrm {SU (2)}}$ ning ${ displaystyle mathrm {SO (3)}}$ spinor maydonida.^[2]

Guruhlarning ko'plab qiziqarli darslari uchun ${ displaystyle G}$, Bargman teoremasi bizga har bir proektsion unitar vakolatxonasi ${ displaystyle G}$ universal qopqoqning oddiy vakolatxonasidan kelib chiqadi ${ displaystyle { tilde {G}}}$ ning ${ displaystyle G}$. Aslida, agar ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ cheklangan o'lchovli, keyin guruhga qaramasdan ${ displaystyle G}$, ning har bir proektsion unitar vakolatxonasi ${ displaystyle G}$ ning oddiy unitar vakolatxonasidan kelib chiqadi ${ displaystyle { tilde {G}}}$.^[3] Agar ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ cheksiz o'lchovli, so'ngra kerakli xulosani olish uchun ba'zi algebraik taxminlar qilish kerak ${ displaystyle G}$ (pastga qarang). Ushbu sozlamada natija a Bargman teoremasi.^[4] Yaxshiyamki, Puankare guruhining hal qiluvchi ishida Bargman teoremasi amal qiladi.^[5] (Qarang Wigner tasnifi Puankare guruhining universal qopqog'i vakolatxonalari.)

Yuqorida aytib o'tilgan talab, Lie algebra ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ noan'anaviy bir o'lchovli markaziy kengaytmani qabul qilmaydi. Agar shunday bo'lsa, bu shunday bo'ladi ikkinchi kohomologiya guruhi ning ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ ahamiyatsiz. Bunday holda, guruh a tomonidan markaziy kengaytmani tan olganligi hali ham to'g'ri bo'lishi mumkin diskret guruh. Ammo kengaytmalari ${ displaystyle G}$ diskret guruhlar bo'yicha qopqoqlar ${ displaystyle G}$. Masalan, universal qopqoq ${ displaystyle { tilde {G}}}$ bilan bog'liq ${ displaystyle G}$ kotirovka orqali ${ displaystyle G approx { tilde {G}} / Gamma}$ markaziy kichik guruh bilan ${ displaystyle Gamma}$ ning markazi bo'lish ${ displaystyle { tilde {G}}}$ o'zi uchun izomorfik asosiy guruh yopiq guruh.

Shunday qilib, qulay holatlarda kvant tizimi universal qopqoqning unitar ko'rinishini taqdim etadi ${ displaystyle { tilde {G}}}$ simmetriya guruhining ${ displaystyle G}$. Bu maqsadga muvofiqdir, chunki ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ vektorli bo'lmagan maydonga qaraganda ishlash ancha oson ${ displaystyle mathrm {P} { mathcal {H}}}$. Agar ${ displaystyle { tilde {G}}}$ imkoniyatlari va xususiyatlari haqida ko'proq ma'lumotni tasniflash mumkin ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ mavjud.

Geyzenberg ishi

Bargman teoremasi amal qilmaydigan misol, harakatlanayotgan kvant zarrasidan kelib chiqadi ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$. Bog'liq faza makonining tarjima simmetriya guruhi, ${ displaystyle mathbb {R} ^ {2n}}$, komutativ guruhdir ${ displaystyle mathbb {R} ^ {2n}}$. Oddiy kvant mexanik rasmda ${ displaystyle mathbb {R} ^ {2n}}$ simmetriya unitar vakolatxonasi tomonidan amalga oshirilmaydi ${ displaystyle mathbb {R} ^ {2n}}$. Axir, kvant sharoitida pozitsiya maydonidagi tarjimalar va impuls fazosidagi tarjimalar almashinmaydi. Kommutatsiyaning bu muvaffaqiyatsizligi, impuls fazosida va pozitsiya makonida tarjimalarning cheksiz kichik generatorlari bo'lgan pozitsiya va impuls operatorlarining almashinuvni buzilishini aks ettiradi. Shunga qaramay, pozitsiya maydonidagi tarjimalar va momentum makonidagi tarjimalar qil faza omiliga qadar qatnov. Shunday qilib, bizda aniq belgilangan proektsion namoyish mavjud ${ displaystyle mathbb {R} ^ {2n}}$, lekin bu oddiy vakolatxonadan kelib chiqmaydi ${ displaystyle mathbb {R} ^ {2n}}$, Garchi; .. bo'lsa ham ${ displaystyle mathbb {R} ^ {2n}}$ shunchaki ulangan.

Bunday holda, oddiy vakillikni olish uchun, ga o'tish kerak Heisenberg guruhi, bu noan'anaviy bir o'lchovli markaziy kengaytma ${ displaystyle mathbb {R} ^ {2n}}$.

Puankare guruhi

Tarjimalar guruhi va Lorentsning o'zgarishi shakllantirish Puankare guruhi, va bu guruh relyativistik kvant tizimining simmetriyasi bo'lishi kerak (e'tiborsiz qoldirish) umumiy nisbiylik effektlar yoki boshqacha qilib aytganda tekis joy ). Puankare guruhining vakolatxonalari ko'p hollarda salbiy bo'lmaganligi bilan ajralib turadi massa va yarim tamsayı aylantirish (qarang Wigner tasnifi ); bu zarrachalarning spinni kvantlanganligi sababi deb o'ylash mumkin. (E'tibor bering, aslida boshqa mumkin bo'lgan vakolatxonalar mavjud, masalan taxyonlar, infrapartikulalar va hokazo., bu ba'zi hollarda kvantlangan spin yoki sobit massaga ega emas.)

Boshqa nosimmetrikliklar

Ning namunasi kuchsiz izospinlar, zaif giper zaryadlar va rang da ma'lum bo'lgan barcha elementar zarralarning zaryadlari (og'irliklari) Standart model, tomonidan aylantirilgan zaif aralashtirish burchagi taxminan vertikal bo'ylab elektr zaryadini ko'rsatish.

Da kosmik vaqt simmetriyalari Poincaré guruhida tasavvur qilish va ishonish ayniqsa oson, simmetriyaning boshqa turlari ham mavjud ichki simmetriya. Bir misol rang SU (3), uchtasining uzluksiz almashinuviga mos keladigan aniq simmetriya kvark ranglar.

Yolg'on algebralari va yolg'on guruhlari

Ko'p (lekin hammasi emas) simmetriya yoki taxminiy simmetriya shakllanadi Yolg'on guruhlar. O'rganishdan ko'ra vakillik nazariyasi Ushbu yolg'on guruhlardan ko'pincha bir-biriga yaqin bo'lganlarni o'rganish afzaldir vakillik nazariyasi odatda hisoblash osonroq bo'lgan tegishli Lie algebralaridan.

Endi Lie algebrasining tasvirlari universal qopqoq asl guruh.^[6] In chekli o'lchovli holat - va cheksiz o'lchovli holat Bargman teoremasi taalluqlidir - asl guruhning qisqartirilmaydigan proektsion namoyishlari universal qopqoqning oddiy unitar vakolatxonalariga to'g'ri keladi. Bunday hollarda Lie algebra darajasida hisoblash mos keladi. Bu, xususan, SO (3) aylanish guruhining kamayib bo'lmaydigan proektiv tasavvurlarini o'rganish uchun qo'llaniladi. Bu oddiy tasvirlar bilan birma-bir yozishmalarda SO (3) ning SU (2) universal qopqog'i. So'ngra SU (2) ning tasvirlari SO (3) ning Lie algebrasi so (3) ga izomorf bo'lgan uning Lie algebra su (2) tasvirlari bilan birma-bir yozishmalarda bo'ladi.

Shunday qilib, SO (3) ning qisqartirilmas proektsion tasvirlari uning Lie algebrasining so (3) kamaytirilmaydigan oddiy tasvirlari bilan birma-bir yozishmalarda. Lie algebra so (3) ning ikki o'lchovli "spin 1/2" tasviri, masalan, SO (3) guruhining oddiy (bitta qiymatli) tasviriga to'g'ri kelmaydi. ("Agar siz elektronning to'lqin funktsiyasini 360 gradusga aylantirsangiz, asl to'lqin funktsiyasining manfiyligini olasiz" degan mulohazalarning kelib chiqishi shu.) Shunga qaramay, spin 1/2 vakili aniq belgilangan loyihaviy SO (3) ning ifodalanishi, bu jismonan zarur bo'lgan narsadir.

Taxminan simmetriya

Yuqoridagi nosimmetrikliklar aniq deb hisoblansa-da, boshqa nosimmetrikliklar faqat taxminiy hisoblanadi.

Gipotetik misol

Taxminan simmetriya nimani anglatishiga misol sifatida, eksperimentalist cheksiz ichida yashagan deb taxmin qiling ferromagnet, ba'zi bir yo'nalishda magnitlanish bilan. Ushbu vaziyatda eksperimentalist bitta emas, balki ikkita aniq elektron turini topadi: biri magnitlanish yo'nalishi bo'yicha spinli, bir oz pastroq energiya (va natijada, past massa), ikkinchisi esa spin anti-hizalanadigan, yuqori massa. Bizning odatiy SO (3) Spin-up elektronni spin-down elektron bilan bog'laydigan aylanma simmetriya, bu taxminiy holatda faqat taxminiy simmetriya zarrachalarning har xil turlari bir-biriga.

Umumiy ta'rif

Umuman olganda, taxminiy simmetriya o'sha simmetriyaga bo'ysunadigan juda kuchli o'zaro ta'sirlar mavjud bo'lganda, kuchsizroq o'zaro ta'sirlar bilan birga paydo bo'ladi. Yuqoridagi elektron misolida elektronlarning ikkita "turi" xuddi shunday harakat qiladi kuchli va kuchsiz kuchlar, lekin ostida boshqacha elektromagnit kuch.

Misol: izospin simmetriyasi

Haqiqiy dunyodan misol izospin simmetriyasi, an SU (2) orasidagi o'xshashlikka mos keladigan guruh kvarklar va pastga kvarklar. Bu taxminiy simmetriya: yuqoriga va pastga qarab kvarklar ularning ostida o'zaro ta'sirida bir xil kuchli kuch, ular turli xil massalarga va har xil elektroweak ta'siriga ega. Matematik jihatdan mavhum ikki o'lchovli vektor maydoni mavjud

${ displaystyle { text {up quark}} rightarrow { begin {pmatrix} 1 0 end {pmatrix}}, qquad { text {down quark}} rightarrow { begin {pmatrix} 0 1 end {pmatrix}}}$

va fizika qonunlari taxminan determinantni qo'llash ostida o'zgarmas-1 unitar transformatsiya ushbu bo'shliqqa:^[7]

${ displaystyle { begin {pmatrix} x y end {pmatrix}} mapsto A { begin {pmatrix} x y end {pmatrix}}, quad { text {qaerda}} A { text {}} SU (2)} da joylashgan$

Masalan, ${ displaystyle A = { begin {pmatrix} 0 & 1 - 1 & 0 end {pmatrix}}}$ olamdagi barcha kvarklarni pastga kvarklarga va aksincha Ba'zi bir misollar ushbu o'zgarishlarning mumkin bo'lgan oqibatlarini aniqlab olishga yordam beradi:

• Ushbu unitar transformatsiyalar a ga qo'llanilganda proton, uni a ga aylantirish mumkin neytron yoki proton va neytronning superpozitsiyasida, lekin boshqa zarrachalarda emas. Shuning uchun transformatsiyalar protonni ikki o'lchovli kvant holatlari atrofida aylantiradi. Proton va neytron "" deb nomlanadiizospin dubleti ", qanday qilib matematik jihatdan o'xshash spin-½ zarracha oddiy aylanish jarayonida o'zini tutadi.
• Ushbu unitar transformatsiyalar har qanday uchtasiga qo'llanilganda pionlar (
  π⁰
  ,
  π⁺
  va
  π⁻
  ), u har qanday pionni boshqasiga o'zgartirishi mumkin, ammo pion bo'lmagan zarrachaga o'zgartirishi mumkin. Shuning uchun transformatsiyalar pionlarni kvant holatlarining uch o'lchovli fazosi atrofida harakatlantiradi. Pionlar "izospin uchligi ", spin-1 zarrachasining oddiy aylanish jarayonida o'zini tutishiga matematik jihatdan o'xshash.
• Ushbu o'zgarishlar hech qanday ta'sir qilmaydi elektron, chunki unda na yuqoriga, na pastga kvarklar mavjud emas. Elektron spin-0 zarrachasining oddiy aylanish jarayonida qanday ishlashiga o'xshash matematik jihatdan izospin singlet deb ataladi.

Umuman olganda, zarralar hosil bo'ladi izospin multiplets, ning qisqartirilmaydigan tasvirlariga mos keladigan Yolg'on algebra SU (2). Izospin multipletidagi zarrachalar juda o'xshash, ammo bir xil bo'lmagan massaga ega, chunki yuqoriga va pastga qarab kvarklar juda o'xshash, ammo bir xil emas.

Misol: lazzat simmetriyasi

Isospin simmetriyasini umumlashtirish mumkin lazzat simmetriyasi, an SU (3) orasidagi o'xshashlikka mos keladigan guruh kvarklar, pastga kvarklar va g'alati kvarklar.^[7] Bu yana bir bor taqqoslanadigan simmetriya, kvark massasi farqlari va elektro zaif ta'sirlar natijasida buzilgan - aslida g'alati kvarkning massasi sezilarli darajada yuqori bo'lganligi sababli izospindan kambag'al taqqoslash hisoblanadi.

Shunga qaramay, zarrachalarni chindan ham kamaytirib bo'lmaydigan tasavvurlarni hosil qiluvchi guruhlarga ajratish mumkin Yolg'on algebra SU (3), birinchi bo'lib ta'kidlanganidek Myurrey Gell-Mann va mustaqil ravishda Yuval Neeman.

Shuningdek qarang

• Zaryad (fizika)
• Vakillik nazariyasi:
  • Yolg'on algebralaridan
  • Yolg'on guruhlari
• Proektsion vakillik
• Maxsus unitar guruh

Izohlar

Adabiyotlar

• Koulman, Sidni (1985) Simmetriya aspektlari: Sidney Koulmanning tanlangan Erice ma'ruzalari. Kembrij universiteti. Matbuot. ISBN  0-521-26706-4.
• Jorgi, Xovard (1999) Yolg'on algebralari zarralar fizikasida. Reading, Massachusets shtati: Persey kitoblari. ISBN  0-7382-0233-9.
• Xoll, Brayan S (2013), Matematiklar uchun kvant nazariyasi, Matematikadan magistrlik matnlari, 267, Springer, ISBN  978-1461471158.
• Hall, Brian C. (2015), Yolg'on guruhlari, yolg'on algebralar va vakolatxonalar: boshlang'ich kirish, Matematikadan magistrlik matnlari, 222 (2-nashr), Springer, ISBN  978-3319134666.
• Sternberg, Shlomo (1994) Guruh nazariyasi va fizika. Kembrij universiteti. Matbuot. ISBN  0-521-24870-1. Ayniqsa, 148-150-betlar.
• Vaynberg, Stiven (1995). Maydonlarning kvant nazariyasi, 1-jild: asoslar. Kembrij universiteti. Matbuot. ISBN  0-521-55001-7. Ayniqsa, 2-bobning A va B qo'shimchalari.

Tashqi havolalar

• Baez, Jon S.; Huerta, Jon (2010). "Buyuk birlashtirilgan nazariyalar algebrasi". Buqa. Am. Matematika. Soc. 47 (3): 483–552. arXiv:0904.1556. doi:10.1090 / S0273-0979-10-01294-2. S2CID  2941843.