Puankare guruhining vakillik nazariyasi - Representation theory of the Poincaré group

H Puankare

Yilda matematika, ning nazariya nazariyasi Puankare guruhi ning misoli vakillik nazariyasi a Yolg'on guruh bu ham emas ixcham guruh na a yarim yarim guruh. Bu asosiy hisoblanadi nazariy fizika.

Fizikaviy nazariyada Minkovskiy maydoni asos sifatida bo'sh vaqt, jismoniy holatlar maydoni odatda Puankare guruhining vakili. (Umuman olganda, bu a bo'lishi mumkin proektsion vakillik, bu .ning ifodasiga to'g'ri keladi ikki qavatli qopqoq guruhning.)

A klassik maydon nazariyasi, jismoniy holatlar - bu Puanare-ekvariantning bo'limlari vektor to'plami Minkovskiy maydoni orqali. Ekvivalentlik sharti shuni anglatadiki, guruh vektor to'plamining umumiy maydonida ishlaydi va Minkovskiy fazosiga proektsiya ekvariant xarita. Shuning uchun, Puankare guruhi bo'limlar maydonida ham harakat qiladi. Shu tarzda paydo bo'lgan vakolatxonalar (va ularning subquotientslari) kovariant maydon tasvirlari deb nomlanadi va odatda unitar bo'lmaydi.

Bundaylarni muhokama qilish uchun unitar vakolatxonalar, qarang Wigner tasnifi.

Kvant mexanikasida tizimning holati Shredinger tenglamasi bilan aniqlanadi o'zgarmasdir Galiley o'zgarishlari ostida. Kvant maydoni nazariyasi - bu kvant mexanikasining relyativistik kengayishi, bu erda relyativistik (Lorents / Puankare o'zgarmas) to'lqinlar tenglamalari echilib, "kvantlangan" va Fok holatlaridan tashkil topgan Hilbert fazosiga ta'sir qiladi; nazariyaning Hamiltonianning o'ziga xos davlatlari, ular individual 4 impulsli zarrachalarning aniq soniga ega bo'lgan holatlar.

Lorentsning kuchaytirilishining ixcham bo'lmagan tabiati (bo'shliq va vaqt o'qi bo'ylab Minkovskiy kosmosdagi aylanishlar) tufayli to'liq Lorents (va shu tariqa Puankare) transformatsiyalarining cheklangan unitar tasvirlari mavjud emas. Shu bilan birga, beqaror zarralarni modellashtirish uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan Puankare algebrasining cheklangan birlashtirilmaydigan tasvirlari mavjud.^[1]^[2]

Spin 1/2 zarrachada 4 komponentli birikma bilan cheklangan o'lchovli tasvirni ham, ushbu tasvir bilan saqlanib qolgan skaler mahsulotni ham o'z ichiga olgan qurilishni topish mumkin. Dirac spinor ${ displaystyle psi}$ har bir zarracha bilan. Ushbu spinorlar Lorentsning transformatsiyalari ostida hosil bo'ladi gamma matritsalari ( ${ displaystyle gamma _ { mu}}$ ). Skaler mahsulot ekanligini ko'rsatish mumkin

{ displaystyle langle psi | phi rangle = { bar { psi}} phi = psi ^ { dagger} gamma _ {0} phi}

saqlanib qolgan. Biroq, bu ijobiy aniq emas, shuning uchun vakillik unitar emas.

Adabiyotlar

Greiner, V.; Myuller, B. (1994). Kvant mexanikasi: nosimmetrikliklar (2-nashr). Springer. ISBN 978-3540580805.CS1 maint: ref = harv (havola)
Greiner, Vashington; Reinhardt, J. (1996), Maydonlarni kvantlash, Springer, ISBN 978-3-540-59179-5
Xarish-Chandra (1947), "Lorents guruhining cheksiz qisqartirilmaydigan namoyishlari", Proc. Roy. Soc. A, 189 (1018): 372–401, Bibcode:1947RSPSA.189..372H, doi:10.1098 / rspa.1947.0047
Hall, Brian C. (2015), Yolg'on guruhlari, yolg'on algebralari va namoyishlar: boshlang'ich kirish, Matematikadan magistrlik matnlari, 222 (2-nashr), Springer, doi:10.1007/978-3-319-13467-3, ISBN 978-3319134666, ISSN 0072-5285
Wigner, E. P. (1939), "Bir hil bo'lmagan Lorents guruhining unitar vakolatxonalari to'g'risida", Matematika yilnomalari, 40 (1): 149–204, Bibcode:1939AnMat..40..149W, doi:10.2307/1968551, JSTOR 1968551, JANOB 1503456.

Izohlar

^ Lenjevski, R.; Gruber, B. (1986). "Puankare algebrasining ajralmas tasvirlari". Fizika jurnali A: matematik va umumiy. 19 (1): 1–20. doi:10.1088/0305-4470/19/1/006. ISSN 0305-4470.
^ Paneits, Stiven M. (1984). "Poincaré guruhining 8-o'lchovgacha bo'lgan barcha chiziqli tasvirlari". Annales de l'I.H.P. Fizika teorikasi. 40 (1): 35–57.

Shuningdek qarang

[1] Lenjevski, R.; Gruber, B. (1986). "Puankare algebrasining ajralmas tasvirlari". Fizika jurnali A: matematik va umumiy. 19 (1): 1–20. doi:10.1088/0305-4470/19/1/006. ISSN 0305-4470.

[2] Paneits, Stiven M. (1984). "Poincaré guruhining 8-o'lchovgacha bo'lgan barcha chiziqli tasvirlari". Annales de l'I.H.P. Fizika teorikasi. 40 (1): 35–57.

[1]

[2]