Galiley guruhining vakillik nazariyasi - Representation theory of the Galilean group

Yilda nonrelativistik kvant mexanikasi, mavjudligi haqida hisobot berilishi mumkin massa va aylantirish (odatda tushuntiriladi Wigner tasnifi relyativistik mexanika) jihatidan ning nazariya nazariyasi Galiley guruhi, bu bo'sh vaqt simmetriya guruhi nonrelativistik kvant mexanikasi.

Yilda $3 + 1$ o'lchamlari, bu. ning kichik guruhi afin guruhi kuni ( $t, x, y, z$ ), uning chiziqli qismi metrikani ham o'zgarmas qoldiradi ( $g mkν = diag (1, 0, 0, 0)$ ) va (mustaqil) dual metrik ( $g mkν = diag (0, 1, 1, 1)$ ). Shunga o'xshash ta'rif uchun amal qiladi $n + 1$ o'lchamlari.

Biz qiziqmoqdamiz proektsion vakolatxonalar ga teng bo'lgan ushbu guruhning unitar vakolatxonalar nontrivial markaziy kengaytma ning universal qoplama guruhi ning Galiley guruhi bir o'lchovli Yolg'on guruhi tomonidan $R$ , qarang maqola Galiley guruhi uchun markaziy kengaytma uning Yolg'on algebra. Usuli kelib chiqadigan vakolatxonalar bularni o'rganish uchun foydalaniladi.

Biz bu erda (markazlashtirilgan, Bargmann) Lie algebrasiga e'tibor qaratamiz, chunki uni tahlil qilish osonroq va natijalarni har doim Lie guruhiga etkazishimiz mumkin. Frobenius teoremasi.

{ displaystyle [E, P_ {i}] = 0}

{ displaystyle [P_ {i}, P_ {j}] = 0}

{ displaystyle [L_ {ij}, E] = 0}

{ displaystyle [C_ {i}, C_ {j}] = 0}

{ displaystyle [L_ {ij}, L_ {kl}] = i hbar [ delta _ {ik} L_ {jl} - delta _ {il} L_ {jk} - delta _ {jk} L_ {il } + delta _ {jl} L_ {ik}]}

{ displaystyle [L_ {ij}, P_ {k}] = i hbar [ delta _ {ik} P_ {j} - delta _ {jk} P_ {i}]}

{ displaystyle [L_ {ij}, C_ {k}] = i hbar [ delta _ {ik} C_ {j} - delta _ {jk} C_ {i}]}

{ displaystyle [C_ {i}, E] = i hbar P_ {i}}

{ displaystyle [C_ {i}, P_ {j}] = i hbar M delta _ {ij} ~.}

$E$ vaqt tarjimalarining yaratuvchisi (Hamiltoniyalik ), P_men tarjimalarning yaratuvchisi (momentum operatori ), C_men Galileyning kuchaytiruvchisi va L_ij aylanish generatorini bildiradi (burchak momentum operatori ). The markaziy zaryad $M$ a Casimir o'zgarmas.

Mass-qobiq o'zgarmasdir

{ displaystyle ME- {P ^ {2} over 2}}

qo'shimcha hisoblanadi Casimir o'zgarmas.

Yilda $3 + 1$ o'lchovlar, uchdan biri Casimir o'zgarmas bu $V 2$ , qayerda

{ displaystyle { vec {W}} equiv M { vec {L}} + { vec {P}} times { vec {C}} ~,}

ga o'xshashdir Pauli-Lubanski psevdovektori relyativistik mexanika.

Umuman olganda, ichida $n + 1$ o'lchovlar, o'zgarmas funktsiyalar bo'ladi

{ displaystyle W_ {ij} = ML_ {ij} + P_ {i} C_ {j} -P_ {j} C_ {i}}

va

{ displaystyle W_ {ijk} = P_ {i} L_ {jk} + P_ {j} L_ {ki} + P_ {k} L_ {ij} ~,}

shuningdek, yuqoridagi massa qobig'i o'zgarmas va markaziy zaryad.

Foydalanish Shur lemmasi, an qisqartirilmaydi unitar vakillik, bu barcha Casimir invariantlari identifikatsiyaning ko'paytmasi. Ushbu koeffitsientlarni chaqiring $m$ va $mE 0$ va (holatida $3 + 1$ o'lchamlari) $w$ navbati bilan. Biz bu erda unitar vakolatxonalarni ko'rib chiqayotganimizni eslab, bu o'zgacha qiymatlar bo'lishi kerakligini ko'ramiz haqiqiy raqamlar.

Shunday qilib, $m > 0$ , $m = 0$ va $m < 0$ . (Oxirgi holat birinchisiga o'xshaydi.) In $3 + 1$ o'lchovlar, qachon In $m > 0$ , biz yozishimiz mumkin, $w = Xonim$ uchinchi o'zgarmas uchun, qaerda $s$ spinni yoki ichki burchak momentumini ifodalaydi. Umuman olganda, ichida $n + 1$ o'lchovlar, generatorlar $L$ va $C$ tegishlicha umumiy burchak momentumiga va massa markaziga bog'liq bo'ladi

{ displaystyle W_ {ij} = MS_ {ij}}

{ displaystyle L_ {ij} = S_ {ij} + X_ {i} P_ {j} -X_ {j} P_ {i}}

{ displaystyle C_ {i} = MX_ {i} -P_ {i} t ~.}

Faqatgina vakillik-nazariy nuqtai nazardan, barcha vakilliklarni o'rganish kerak bo'ladi; ammo, bu erda biz faqat kvant mexanikasiga qo'llaniladigan dasturlarga qiziqamiz. U yerda, $E$ ifodalaydi energiya, agar termodinamik barqarorlik zarur bo'lsa, uni quyida cheklash kerak. Avval qaerda bo'lgan holatni ko'rib chiqing $m$ nolga teng emas.

Hisobga olgan holda ( $E$ , P→) cheklov bilan bo'shliq

{ displaystyle mE = mE_ {0} + {P ^ {2} 2} dan ortiq ~,}

biz Galileyni kuchaytirayotganini ko'rayapmiz o'tish davri bilan bu giper sirt ustida. Aslida, energiyani davolash $E$ Hamiltoniyalik sifatida, farqli o'laroq $P$ va Gemilton tenglamalarini qo'llagan holda massa-tezlik munosabatini olamiz $m v \to = P \to$ .

Giper sirt bu tezlik bilan parametrlangan $v \to$ . Ni ko'rib chiqing stabilizator bir nuqtaning orbitada, ( $E 0, 0$ ), bu erda tezlik $0$ . Transitivlik tufayli biz unitarlikni bilamiz irrep nontrivialni o'z ichiga oladi chiziqli pastki bo'shliq bu energiya momentumining o'ziga xos qiymatlari bilan. (Ushbu subspace faqat a da mavjud soxtalashtirilgan Hilbert maydoni, chunki impuls spektri doimiydir.)

Subspace kengaytirilgan $E$ , $P \to$ , $M$ va $L ij$ . Biz allaqachon bilamizki, irrep subspace barcha operatorlar ostida qanday o'zgaradi, lekin burchak momentum. Aylantirish kichik guruhi ekanligini unutmang Spin (3). Biz unga qarashimiz kerak ikki qavatli qopqoq, chunki biz proektsion vakolatxonalarni ko'rib chiqmoqdamiz. Bunga kichik guruh tomonidan berilgan ism Evgeniya Vigner. Uning induktsiya qilingan namoyishlar usuli irrep ning tomonidan berilganligini belgilaydi to'g'ridan-to'g'ri summa barcha tolalar a vektor to'plami ustidan $mE = mE 0 + P 2 /2$ gipersurf, uning tolalari unitar irrepdir $Spin (3)$ .

$Spin (3)$ boshqa hech kim emas $SU (2)$ . (Qarang SU ning vakillik nazariyasi (2), bu erda unitar irreps ekanligi ko'rsatilgan $SU (2)$ tomonidan belgilanadi $s$ , salbiyning butun yarmining ko'pligi. Bu deyiladi aylantirish, tarixiy sabablarga ko'ra.)

Binobarin, uchun $m \neq 0$ , unitar irreps tomonidan tasniflanadi $m$ , $E 0$ va aylanma $s$ .
Spektriga qarab $E$ , agar aniq bo'lsa $m$ salbiy, spektri $E$ quyida chegaralanmagan. Demak, faqat ijobiy massa bo'lgan holat jismoniydir.
Endi ishni ko'rib chiqing $m = 0$ . Birlik bo'yicha,

{ displaystyle mE- {P ^ {2} over 2} = {- P ^ {2} over 2}}

ijobiy emas. Deylik, u nolga teng. Bu erda, shuningdek, kichik guruhni tashkil etadigan ko'tarilishlar va aylanishlar ham mavjud. Ushbu kichik guruhning har qanday unitar irrepi ham Galiley guruhining proektiv irrepini keltirib chiqaradi. Aytishimiz mumkinki, kichik guruh ostida ahamiyatsiz ravishda o'zgaradigan holat faqatgina har qanday fizik izohga ega va u zarrachalarsiz holatga mos keladi, vakuum.

Invariant salbiy bo'lgan holat qo'shimcha izohni talab qiladi. Bu uchun vakillik sinfiga mos keladi $m$ = 0 va nolga teng emas $P \to$ . Kengaytirilmoqda bradyon, lyuks, taxyon Puankare guruhining vakillik nazariyasidan shunga o'xshash tasnifga qadar tasniflash, bu erda ushbu holatlarni shunday atash mumkin. sinxronlar. Ular nolga teng bo'lmagan momentumni (katta bo'lishi mumkin) masofa bo'yicha bir zumda uzatilishini anglatadi. Yuqorida, ular bilan bog'liq bo'lgan "vaqt" operatori

{ displaystyle t = - {{ vec {P}} cdot { vec {C}} over P ^ {2}} ~,}

pul o'tkazish muddati bilan aniqlanishi mumkin. Tabiiyki, bu holatlar bir zumda harakatga keluvchi kuchlarni tashuvchisi sifatida talqin qilinadi.

N.B. In $3 + 1$ - o'lchovli Galiley guruhi, kuchaytiruvchi generator parchalanishi mumkin

{ displaystyle { vec {C}} = {{ vec {W}} times { vec {P}} over P ^ {2}} - { vec {P}} t ~,}

bilan V→ o'xshash rol o'ynaydi merosxo'rlik.

Shuningdek qarang

Adabiyotlar

Bargmann, V. (1954). "Doimiy guruhlarning unitar nurli vakolatxonalari to'g'risida", Matematika yilnomalari, Ikkinchi seriya, 59, № 1 (1954 yil yanvar), 1-46 betlar
Levi-Leblond, Jan-Mark (1967), "Norelyativistik zarralar va to'lqin tenglamalari", Matematik fizikadagi aloqalar, Springer, 6 (4): 286–311, Bibcode:1967CMaPh ... 6..286L, doi:10.1007 / bf01646020.
Balentin, Lesli E. (1998). Kvant mexanikasi, zamonaviy rivojlanish. World Scientific Publishing Co Pte Ltd. ISBN 981-02-4105-4.
Gilmor, Robert (2006). Yolg'on guruhlari, yolg'on algebralari va ularning ba'zi ilovalari (Matematikadan Dover kitoblari) ISBN 0486445291