O'yin hal qilindi - Solved game

A hal qilingan o'yin a o'yin kimning natijasi (g'alaba, mag'lubiyat yoki chizish ) har ikkala o'yinchi ham mukammal o'ynaydi deb taxmin qilib, har qanday pozitsiyadan to'g'ri taxmin qilish mumkin.Bu tushuncha odatda qo'llaniladi mavhum strategiya o'yinlari va ayniqsa, to'liq ma'lumotga ega bo'lgan va hech qanday imkoniyatga ega bo'lmagan o'yinlarga; bunday o'yinni hal qilishda foydalanish mumkin kombinatorial o'yin nazariyasi va / yoki kompyuterda yordam.

Umumiy nuqtai

A ikki o'yinchi o'yini bir necha darajalarda echilishi mumkin:[1][2]

Ultra zaif
Birinchi o'yinchi g'alaba qozonadimi, yutqazadimi yoki boshlang'ich pozitsiyadan durang o'ynaganligini isbotlang mukammal o'yin ikkala tomonda. Bu bo'lishi mumkin konstruktiv bo'lmagan dalil (ehtimol a bilan bog'liq strategiyani o'g'irlash argumenti ) bu aslida mukammal o'yinning biron bir harakatini aniqlamasligi kerak.
Zaif
O'yin boshidanoq bitta raqibning mumkin bo'lgan harakatlariga qarshi bitta o'yinchiga g'alaba yoki ikkitasiga durangni ta'minlaydigan algoritmni taqdim eting. Ya'ni, har bir harakat uni amalga oshiradigan o'yinchi uchun maqbul ekanligiga ishora bilan kamida bitta to'liq ideal o'yinni ishlab chiqaring (barcha harakatlar tugaydi). Bu, albatta, echimdan foydalanadigan kompyuter dasturi nomukammal raqibga qarshi optimal tarzda o'ynaydi degani emas.
Kuchli
Hatto bir yoki ikkala tomonda xatolarga yo'l qo'yilgan bo'lsa ham, har qanday pozitsiyadan mukammal harakatlarni keltirib chiqaradigan algoritmni taqdim eting.

Nomiga qaramay, ko'plab o'yin nazariyotchilari "o'ta zaif" dalillarni eng chuqur, eng qiziqarli va qimmatli deb hisoblashadi. "Ultra zaif" dalillar olimdan o'yinning mavhum xususiyatlari haqida mulohaza yuritishni talab qiladi va agar mukammal o'yin amalga oshirilsa, bu xususiyatlar qanday natijalarga olib kelishini ko'rsatib beradi.[iqtibos kerak ]

Aksincha, "kuchli" dalillar ko'pincha qo'pol kuch bilan amalga oshiriladi - kompyuter yordamida o'yin daraxtini to'liq qidirish uchun mukammal o'yin amalga oshirilsa nima bo'lishini aniqlash uchun. Olingan dalil taxtadagi har qanday pozitsiya uchun maqbul strategiyani beradi. Biroq, ushbu dalillar ba'zi o'yinlarning durang kabi hal etilishi mumkin bo'lgan chuqurroq sabablarni tushunishda foydali emas, va juda o'xshash ko'rinadigan boshqa o'yinlarni g'alaba sifatida hal qilish mumkin.

Cheklangan pozitsiyalarga ega bo'lgan har qanday ikki kishilik o'yin qoidalarini hisobga olgan holda, har doim ahamiyatsiz ravishda a qurish mumkin minimaks algoritmini to'liq bajaradigan o'yin daraxti. Biroq, ko'pgina ahamiyatsiz o'yinlar uchun bunday algoritm ma'lum bir holatda harakatlanishni amalga oshirish uchun vaqtni talab qilmaydigan vaqtni talab qilishi kerakligi sababli, algoritmni mavjud bo'lgan apparat tomonidan boshqarilmasa, o'yin zaif yoki kuchli echilgan deb hisoblanmaydi. oqilona vaqt. Ko'pgina algoritmlar oldindan yaratilgan ulkan ma'lumotlar bazasiga tayanadi va samarali boshqa narsa emas.

Kuchli echimning misoli sifatida barmoq uchi mukammal o'yin bilan ikkala o'yinchi uchun ham durang sifatida hal qilinadi (natija hatto maktab o'quvchilari tomonidan qo'lda aniqlanadi). Kabi o'yinlar nim yordamida aniq tahlilni ham tan oling kombinatorial o'yin nazariyasi.

O'yin hal etiladimi yoki yo'qmi, bu odamlar uchun qiziqarli bo'lib qolishi bilan bir xil emas. Hatto kuchli hal qilingan o'yin ham qiziqarli bo'lishi mumkin, agar uning echimi yodlash uchun juda murakkab bo'lsa; aksincha, zaif echilgan o'yin, agar g'alaba qozonish strategiyasi eslash uchun etarlicha sodda bo'lsa, jozibadorligini yo'qotishi mumkin (masalan, Maharaja va Sepoylar ). Ultra zaif echim (masalan, Chomp yoki Olti burchak etarlicha katta taxtada) odatda o'ynashga ta'sir qilmaydi.

Bundan tashqari, agar o'yin hal qilinmasa ham, algoritm taxminiy echimni berishi mumkin: masalan, maqola Ilm-fan 2015 yil yanvaridan ularning da'volari oldindan qisqa ma'lumot berish chegara Texas ularni ushlab turadi poker bot Kefey inson hayoti davomida uning strategiyasi aniq echim emasligini statistik ahamiyatga ega bo'lish uchun etarli emasligini kafolatlaydi.[3][4][5]

Zo'r o'yin

Yilda o'yin nazariyasi, mukammal o'yin raqibning javobidan qat'i nazar, ushbu o'yinchi uchun eng yaxshi natijaga olib keladigan o'yinchining xatti-harakati yoki strategiyasi. O'yin uchun mukammal o'yin, o'yin hal etilganda ma'lum bo'ladi.[1] O'yin qoidalariga asoslanib, har qanday yakuniy pozitsiyani (g'alaba, mag'lubiyat yoki durang kabi) baholash mumkin. By orqaga qarab fikr yuritish, yakuniy bo'lmagan pozitsiyani bitta yurish pozitsiyasiga o'xshash deb baholash mumkin va u harakat qilgan o'yinchi uchun eng yaxshi baholanadi. Shunday qilib, pozitsiyalar orasidagi o'tish hech qachon harakatlanayotgan o'yinchi uchun yaxshiroq baho berishga olib kelmaydi va pozitsiyada mukammal harakat teng baholanadigan pozitsiyalar orasidagi o'tish bo'ladi. Masalan, chizilgan pozitsiyadagi mukammal o'yinchi har doim durangga erishadi yoki g'alaba qozonadi, hech qachon yutqazmaydi. Agar bir xil natijaga ega bo'lgan bir nechta variant mavjud bo'lsa, ba'zida mukammal o'yin yaxshi natijaga olib keladigan eng tezkor usul yoki yomon natijaga olib keladigan eng sekin usul hisoblanadi.

Zo'r o'yinni umumlashtirilishi mumkin.mukammal ma'lumot o'yinlar, eng yuqori minimalni kafolatlaydigan strategiya sifatida kutilgan natija raqibning strategiyasidan qat'i nazar. Misol tariqasida, uchun mukammal strategiya tosh qog'oz qaychi variantlarning har birini teng (1/3) ehtimollik bilan tasodifiy tanlash kerak bo'ladi. Ushbu misoldagi kamchilik shundan iboratki, ushbu strategiya hech qachon raqibning optimal bo'lmagan strategiyalaridan foydalanmaydi, shuning uchun ushbu strategiyaning kutilgan natijasi har qanday strategiyaga nisbatan har doim minimal kutilgan natijaga teng bo'ladi.

O'yinning eng maqbul strategiyasi (hali) ma'lum bo'lmasligi mumkin bo'lsa-da, o'yin o'ynaydigan kompyuter o'yin echimlaridan ma'lum narsalardan foydalanishi mumkin so'nggi o'yin pozitsiyalar (shaklida so'nggi o'yin stollari ), bu o'yinda bir muncha vaqt o'tgach mukammal o'ynashga imkon beradi. Kompyuter shaxmat dasturlari buni amalga oshirish uchun yaxshi ma'lum.

Hal qilingan o'yinlar

Avari (o'yin Mankala oila)
Ning varianti Oware "grand slam" larga yakun yasashga imkon beradigan qaror Anri Bal va John Romein da Vrije Universiteit yilda Amsterdam, Gollandiya (2002). Har qanday o'yinchi o'yinni durangga majbur qilishi mumkin.
Chopsticks
Ikkinchi o'yinchi har doim g'alaba qozonishga majbur qilishi mumkin.[iqtibos kerak ]
To'rtni ulang
Birinchi bo'lib 1988 yil 1 oktyabrda Jeyms D. Allen tomonidan hal qilingan va mustaqil ravishda Viktor Allis 1988 yil 16 oktyabrda.[6] Birinchi o'yinchi g'alaba qozonishga majbur qilishi mumkin. Jon Trompning 8 qavatli ma'lumotlar bazasi tomonidan qat'iyan hal qilindi[7] (1995 yil 4-fevral). Kengligi + balandligi eng ko'pi 15 ga teng bo'lgan barcha plitalar uchun zaif echilgan (shuningdek, 2015 yil oxirida 8 × 8)[6] (2006 yil 18-fevral).
Inglizcha qoralamalar (shashka)
Ning 8 × 8 varianti qoralamalar edi zaif hal qilindi jamoasi tomonidan 2007 yil 29 aprelda Jonathan Seffer. Standart boshlang'ich pozitsiyadan ikkala futbolchi ham mukammal o'yin bilan durangga kafolat berishlari mumkin.[8] Shashka - bu 5 × 10 qidiruv maydoniga ega bo'lgan, bugungi kungacha hal qilingan eng katta o'yin20.[9] Hisob-kitoblar soni 10 tani tashkil etdi1418 yil davomida amalga oshirildi. Jarayon 200 dan ish stoli kompyuterlar eng yuqori nuqtasida 50 atrofida.[10]
Fanorona
Maarten Shadd tomonidan zaif hal qilingan. O'yin durang.[iqtibos kerak ]
Ozod gomoku
Tomonidan hal qilingan Viktor Allis (1993). Birinchi o'yinchi ochilish qoidalarisiz g'alaba qozonishga majbur qilishi mumkin.
Arvoh
Dan foydalanib Alan Frank tomonidan hal qilingan Scrabble pleyerlarining rasmiy lug'ati 1987 yilda.[iqtibos kerak ]
Toping kim?
Mixay Nika tomonidan 2016 yilda qat'iy hal qilindi.[11] Birinchi o'yinchi ikkala tomonning optimal o'yinlari ostida g'alaba qozonish uchun 63% imkoniyatga ega.
Olti burchak
  • A strategiyani o'g'irlash argumenti (ishlatilganidek Jon Nesh ) barcha kvadrat taxtalarning o'lchamlarini birinchi o'yinchi yo'qotishi mumkin emasligini ko'rsatadi. Durangning mumkin emasligi isboti bilan birlashganda, bu o'yin birinchi kuchsiz g'alaba sifatida juda zaif echilganligini ko'rsatadi.
  • 6 × 6 gacha bo'lgan taxta o'lchamlari uchun bir nechta kompyuterlar tomonidan qat'iyan hal qilingan.
  • Jing Yang taxta o'lchamlari 7 × 7, 8 × 8 va 9 × 9 uchun g'olib strategiyani (zaif echim) namoyish etdi.
  • Hex uchun yutuqli strategiya almashtirish 7 × 7 taxtasi bilan tanilgan.
  • Hex-ni kuchli ravishda echish N×N taxta bo'lishi mumkin emas, chunki muammo ko'rsatildi PSPACE tugallandi.
  • Agar Hex an N×(N+1) taxta, keyin ulanish uchun kamroq masofaga ega bo'lgan o'yinchi har doim ham oddiy juftlik strategiyasi bilan g'alaba qozonishi mumkin, hattoki soniyada o'ynash kamligi bilan ham.
  • Zaif echim 8 × 8 kartadagi barcha ochilish harakatlari uchun ma'lum.[12]
Hexapawn
3 × 3 variant qora uchun yutuq sifatida hal qilindi, boshqa bir nechta katta variantlar ham hal qilindi.[13]
Kalah
Kalah (6/6) dan tashqari Geoffrey Irving, Jeroen Donkers va Jos Uiterwijk (2000) tomonidan hal qilingan variantlarning aksariyati. (6/6) variantini Anders Karstensen (2011) hal qildi. Ko'p holatlarda birinchi o'yinchining kuchli ustunligi isbotlangan.[14][15] Gaithersburgdan, tibbiyot xodimi Mark Roulings (6/6) variantidagi (2015) birinchi o'yinchi g'alabasining miqdorini aniqladi. 39 Gb so'nggi o'yin ma'lumotlar bazalari yaratilgandan so'ng, jami 106 kunlik protsessor vaqtini va 55 trilliondan ortiq tugunni izlash natijasida, mukammal o'yin bilan birinchi o'yinchi 2 ga g'alaba qozonishi isbotlandi. Shuni e'tiborga olingki, bu natijalar Empty-pit Capture variant va shuning uchun standart o'yin uchun juda cheklangan qiziqish mavjud. Endi Kalah (6,4) uchun standart qoida o'yinining tahlili e'lon qilindi, bu birinchi o'yinchi uchun 8 ta g'alaba va Kalah (6,5) uchun birinchi g'alaba uchun 10 ta g'alaba. Kalahni (6,6) standart qoidalar bilan tahlil qilish davom etmoqda, ammo bu birinchi o'yinchi uchun kamida 4 ga g'alaba ekanligi isbotlangan.
L o'yini
Osonlik bilan hal qilinadi. Har qanday o'yinchi o'yinni durangga majbur qilishi mumkin.
Shaxmatni yo'qotish
1. e3 bilan boshlangan oq uchun yutuq sifatida zaif echim.[16]
Maharaja va Sepoylar
Ushbu assimetrik o'yin sepoys o'yinchisi uchun to'g'ri o'yin bilan yutuqdir.
Nim
Qattiq hal qilindi.
To'qqiz erkakning xuruji
Ralf Gasser tomonidan hal qilingan (1993). Har qanday o'yinchi o'yinni durangga majbur qilishi mumkin.[17]
Tartib va ​​betartiblik
Buyurtma (Birinchi o'yinchi) yutadi.[18]
Ohvalhu
Odamlar tomonidan zaif echilgan, ammo kompyuterlar tomonidan tasdiqlangan. (Ammo Dakon Ohvalxu bilan bir xil emas, aslida de Voogt tomonidan kuzatilgan o'yin)
Pangki
Jeyson Duket (2001) tomonidan qat'iy hal qilingan.[19] O'yin durang. Agar siz oynali pozitsiyalarni tashlasangiz, faqat ikkita noyob birinchi harakatlar mavjud. Ulardan biri durangni majbur qiladi, ikkinchisi raqibga 15-da majburiy g'alaba beradi.
Pentago
Qattiq hal qilindi.[20] Birinchi o'yinchi g'alaba qozonadi.
Pentominolar
H. K. Orman tomonidan zaif hal qilindi.[21] Bu birinchi o'yinchi uchun yutuq.
Poddavki ("Ruscha sovg'alar shashkalari")
2011 yilda Osipov va Morozev tomonidan hal qilingan. Oq g'alaba.[iqtibos kerak ]
Kvarto
Luc Goossens tomonidan hal qilingan (1998). Ikki mukammal o'yinchi har doim durang o'ynaydi.
Kubik
Zaif tomonidan hal qilindi Oren Patashnik (1980) va Viktor Allis. Birinchi o'yinchi g'alaba qozonadi.
Renju - ochilish qoidalari bo'lmagan o'yin kabi
Yanos Vagner va Istvan Virag (2001) tomonidan hal qilinishi talab qilingan. Birinchi o'yinchining g'alabasi.
Sim
Zaif hal qilindi: ikkinchi o'yinchi uchun g'alaba.
Teeko
Tomonidan hal qilingan Gay Stil (1998). Variantga qarab, birinchi o'yinchining g'alabasi yoki durang.[22]
Uch erkak morris
Arzimas echim. Har qanday o'yinchi o'yinni durangga majbur qilishi mumkin.
Uch mushketyor
Yoxannes Laire tomonidan 2009 yilda, Ali Elabridi tomonidan esa 2017 yilda kuchsiz hal qilindi.[23] Bu ko'k qismlarning yutug'i (Kardinal Rishelening odamlari yoki dushman).[24]
Tic-tac-barmog'i
Kichkina o'yin daraxti tufayli juda oson hal qilinadi.[25] O'yin, agar xatolarga yo'l qo'yilmasa, ochilish paytida xatoga yo'l qo'yilmasa, durang bo'ladi.
Yo'lbarslar va echkilar
Yew Jin Lim (2007) tomonidan zaif hal qilindi. O'yin durang.[26]

Qisman hal qilingan o'yinlar

Shaxmat
Asosiy maqola: Shaxmatni echish
Shaxmatni to'liq hal qilish qiyin bo'lib qolmoqda va taxminlarga ko'ra, o'yinning murakkabligi uning hal qilinishiga xalaqit berishi mumkin. Orqali retrograd kompyuter tahlili, so'nggi o'yin stollari (kuchli echimlar) uchdan etti qismgacha bo'lgan barcha narsalar uchun topilgan so'nggi o'yinlar, ikkalasini sanash shohlar qismlar sifatida.
Biroz kichraytirilgan dona bilan kichikroq taxtada shaxmat variantlari hal qilindi. Boshqa ba'zi mashhur variantlar ham hal qilindi; Masalan, zaif echim Maharaja va Sepoylar bu "sepoys" o'yinchisiga g'alabani kafolatlaydigan osonlikcha esda qolarli harakatlar seriyasi.
Boring
5 × 5 taxtasi 2002 yilda barcha ochilish harakatlari uchun kuchsiz hal qilindi.[27] 7 × 7 taxtasi 2015 yilda zaif hal qilingan.[28] Odamlar odatda 19 × 19 taxtada o'ynaydilar, bu 7 × 7 dan 145 daraja murakkabroq.[29]
Xalqaro shashka
Ikki qismdan etti qismgacha bo'lgan barcha so'nggi o'yin pozitsiyalari, shuningdek har bir tomonda bitta yoki undan kichik shoh bo'lgan 4 × 4 va 5 × 3 qismli pozitsiyalar, besh kishidan to'rt kishiga qarshi pozitsiyalar, besh kishidan uchta erkak va bitta pozitsiyalar echildi. to'rtta odam va bitta podshoh bilan to'rtta odam. Oxirgi o'yin pozitsiyalari 2007 yilda amerikalik Ed Gilbert tomonidan hal qilingan. Kompyuter tahlillari shuni ko'rsatdiki, agar ikkala futbolchi ham mukammal o'ynagan bo'lsa, durang bilan tugash ehtimoli yuqori bo'lgan.[30][yaxshiroq manba kerak ]
m, n, k-o'yin
Ikkinchi o'yinchi hech qachon g'alaba qozona olmasligini ko'rsatish juda ahamiyatsiz; qarang strategiyani o'g'irlash argumenti. Deyarli barcha holatlar zaif hal qilindi k ≤ 4. Ba'zi natijalar ma'lum k = 5. O'yinlar uchun qur'a tashlandi k ≥ 8.
Reversi (Otello)
1993 yil iyul oyida Joel Faynshteyn ikkinchi o'yinchi g'olibi sifatida 4 × 4 va 6 × 6 taxtada zaif echim topdi.[31] 8 × 8 taxtada (standart) u matematik jihatdan hal qilinmagan, ammo kompyuter tahlili ehtimol durangni ko'rsatmoqda. 10 × 10 va undan katta taxtalarda boshlang'ich o'yinchi (Qora) uchun imkoniyatni oshirishdan tashqari, taxmin qilinadigan taxminlar mavjud emas.

Shuningdek qarang

Adabiyotlar

  1. ^ a b Viktor Allis (1994). "Doktorlik dissertatsiyasi: o'yinlar va sun'iy intellektda echimlarni izlash" (PDF). Kompyuter fanlari kafedrasi. Limburg universiteti. Olingan 2012-07-14.
  2. ^ H. Yaap van den Herik, Jos W.H.M. Uitervayk, Jek van Rayvayk, O'yinlar hal qilindi: hozir va kelajakda, Sun'iy intellekt 134 (2002) 277–311.
  3. ^ Bowling, M .; Burch, N .; Yoxanson, M .; Tammelin, O. (Yanvar 2015). "Pokerni boshqarish chegarasi hal qilindi" (PDF). Ilm-fan. 347 (6218): 145–9. CiteSeerX  10.1.1.697.72. doi:10.1126 / science.1259433. PMID  25574016. S2CID  3796371.
  4. ^ Filipp Ball (2015-01-08). "O'yin nazariyotchilari pokerni buzmoqdalar". Tabiat. Tabiat. doi:10.1038 / tabiat.2015.16683. S2CID  155710390. Olingan 2015-01-13.
  5. ^ Robert Li Xots (2015-01-08). "Kompyuter Texasni ushlab turibdi, deydi tadqiqotchilar". Wall Street Journal.
  6. ^ a b "John's Connect to'rt o'yin maydonchasi". tromp.github.io.
  7. ^ "UCI Machine Learning Repository: Connect-4 Ma'lumotlar to'plami". Archive.ics.uci.edu.
  8. ^ Schaeffer, Jonathan (2007-07-19). "Shashka hal qilindi". Ilm-fan. 317 (5844): 1518–22. doi:10.1126 / science.1144079. PMID  17641166. S2CID  10274228. Olingan 2007-07-20.
  9. ^ "Loyiha - Chinook - avtomat shashka bo'yicha jahon chempioni". Olingan 2007-07-19.
  10. ^ Mullins, Jastin (2007-07-19). "Bir necha yil davom etgan raqamlardan so'ng shashka" hal qilindi ". NewScientist.com yangiliklar xizmati. Olingan 2007-07-20.
  11. ^ "Kimni taxmin qilasiz?" Filmidagi optimal strategiya: Ikkilik qidiruvdan tashqari Mixay Nika tomonidan.
  12. ^ P. Xenderson, B. Arneson va R. Xeyvard [webdocs.cs.ualberta.ca/~hayward/papers/solve8.pdf, Solving 8 × 8 Hex], Proc. IJCAI-09 505-510 (2009) 29 iyun 2010 yilda qabul qilingan.
  13. ^ Narx, Robert. "Hexapawn". www.chessvariants.com.
  14. ^ Kalahni echish Geoffrey Irving, Jeroen Donkers va Jos Uiterwijk tomonidan.
  15. ^ Yechish (6,6) -Kalaha Anders Karstensen tomonidan.
  16. ^ Uotkins, Mark. "Yo'qotilgan shaxmat: Oq uchun 1. e3 g'alaba qozondi" (PDF). Olingan 17 yanvar 2017.
  17. ^ To'qqiz erkak Morris - bu durang Ralf Gasser tomonidan
  18. ^ "hal qilindi: Buyurtma g'oliblari - Buyurtma va betartiblik".
  19. ^ Pangki Draw sifatida juda yaxshi hal qilingan Jeyson Duzet tomonidan
  20. ^ Geoffri Irving: "Pentago - bu birinchi o'yinchi g'alabasi" http://perfect-pentago.net/details.html
  21. ^ Xilarie K. Orman: Pentominolar: Birinchi o'yinchi g'olib yilda Tasodifiy o'yinlar, MSRI nashrlari - 1996 yil 29-jild, 339-344-betlar. Onlayn: pdf.
  22. ^ Teeko, E. Vayshteyn tomonidan
  23. ^ Elabridi, Ali. "Sun'iy aql va o'yin nazariyasi yordamida uchta mushketyor o'yinini kuchsiz hal qilish" (PDF).
  24. ^ Uch mushketyor, J. Lemaire tomonidan
  25. ^ Tic-Tac-Toe, R. Munro tomonidan
  26. ^ Yew Jin Lim. O'yin-daraxtlarni qidirishda oldinga Azizillo to'g'risida. Ph.D. Tezis, Singapur Milliy universiteti, 2007.
  27. ^ 5 × 5 Go hal qilindi Erik van der Verf tomonidan
  28. ^ "首期 喆 理 围棋 沙龙 举行 李 喆 7 路 盘 最优 具有 里程碑 意义 _ 下棋 想赢 怕输 _ ​​新浪 博客". blog.sina.com.cn. (bu 7x7 eritma faqat kuchsiz hal qilingan deb aytiladi va u hali ham izlanmoqda, 1. to'g'ri komi 9 (4,5 tosh); 2. bir nechta maqbul daraxtlar bor - dastlabki 3 ta harakat noyobdir, lekin dastlabki 7 ta harakat ichida 5 ta optimal daraxt; 3. natijaga ta'sir qilmaydigan o'ynashning ko'p usullari mavjud)
  29. ^ Go-dagi yuridik pozitsiyalarni hisoblash Arxivlandi 2007-09-30 da Orqaga qaytish mashinasi, Tromp va Farnebäck, 2007-08-24.
  30. ^ To'qqiz qismli so'nggi o'yin bazasi Ed Gilbert tomonidan
  31. ^ "6 × 6 Otello kuchsiz hal qilindi". Arxivlandi asl nusxasi 2009-11-01 kunlari.

Qo'shimcha o'qish

  • Allis, Jahon chempionini mag'lub qilyapsizmi? Kompyuter o'yinlarini o'ynashning eng zamonaviy uslubi. Stol o'yinlarini tadqiq qilishning yangi yondashuvlarida.

Tashqi havolalar