Birxof-Grotendik teoremasi - Birkhoff–Grothendieck theorem

Yilda matematika, Birxof-Grotendik teoremasi tasniflaydi holomorfik vektorli to'plamlar majmua ustida proektsion chiziq. Xususan, har bir holomorfik vektor to'plami tugadi ${displaystyle mathbb {CP} ^ {1}}$ to'g'ridan-to'g'ri holomorfik yig'indidir chiziqli to'plamlar. Teorema isbotlandi Aleksandr Grothendieck (1957, Teorema 2.1),^[1] va unga ozmi-ko'pmi tengdir Birxof faktorizatsiyasi tomonidan kiritilgan Jorj Devid Birxof (1909 ).^[2]

Bayonot

Aniqrog'i, teorema bayonoti quyidagicha.

Har bir holomorfik vektor to'plami ${displaystyle {mathcal {E}}}$ kuni ${displaystyle mathbb {CP} ^ {1}}$ chiziqli to'plamlarning to'g'ridan-to'g'ri yig'indisiga holomorfik ravishda izomorfdir:

{displaystyle {mathcal {E}} cong {mathcal {O}} (a_ {1}) oplus cdots oplus {mathcal {O}} (a_ {n}).}

Yozuv har bir chaqiriqni anglatadi Serre burilish ning bir necha marta ahamiyatsiz to'plam. Vakolat, o'zgaruvchan omillarga qadar noyobdir.

Umumlashtirish

Xuddi shu natija uchun algebraik geometriya mavjud algebraik vektor to'plami ustida ${displaystyle mathbb {P} _ {k} ^ {1}}$ har qanday maydon uchun ${displaystyle k}$ .^[3]Bundan tashqari, u ushlab turadi ${displaystyle mathbb {P} ^ {1}}$ bitta yoki ikkita orbifold nuqta bilan va tugunlar bo'ylab uchrashadigan proektsion chiziqlar zanjirlari uchun.^[4]

Ilovalar

Ushbu teoremaning bitta qo'llanilishi shundaki, u barcha izchil qatlamlarning tasnifini beradi ${displaystyle mathbb {CP} ^ {1}}$ . Bizda ikkita holat mavjud, vektor to'plamlari va bir xillik bo'yicha qo'llab-quvvatlanadigan izchil chiziqlar, shuning uchun ${displaystyle {mathcal {O}} (k), {mathcal {O}} _ {np}}$ bu erda n - yog 'nuqtasining darajasi ${displaystyle x}$ . Faqatgina kichik navlar ochko bo'lganligi sababli, biz izchil pog'onalarning to'liq tasnifiga egamiz.

Shuningdek qarang

Adabiyotlar

^ Grothendieck, Aleksandr (1957). "Sur la classification des fibrés holomorphes sur la sphère de Riemann". Amerika matematika jurnali. 79 (1): 121–138. doi:10.2307/2372388. JSTOR 2372388.
^ Birxof, Jorj Devid (1909). "Oddiy chiziqli differentsial tenglamalarning singular nuqtalari". Amerika Matematik Jamiyatining operatsiyalari. 10 (4): 436–470. doi:10.2307/1988594. ISSN 0002-9947. JFM 40.0352.02. JSTOR 1988594.
^ Xazewinkel, Michiel; Martin, Klayd F. (1982). "Prognoz chizig'i ustidagi algebraik vektor to'plamlari bo'yicha Grothendiek teoremasining qisqa elementar isboti". Sof va amaliy algebra jurnali. 25 (2): 207–211. doi:10.1016/0022-4049(82)90037-8.
^ Martens, Yoxan; Taddeys, Maykl (2016). "Grothendiek mavzusidagi variantlar". Compositio Mathematica. 152: 62–98. arXiv:1210.8161. Bibcode:2012arXiv1210.8161M. doi:10.1112 / S0010437X15007484. S2CID 119716554.

Qo'shimcha o'qish

Okonek, C .; Shnayder, M.; Spindler, H. (1980). Murakkab proektsion bo'shliqlardagi vektor to'plamlari. Matematikadagi taraqqiyot. Birxauzer.

Bu topologiya bilan bog'liq maqola a naycha. Siz Vikipediyaga yordam berishingiz mumkin uni kengaytirish.

[1] Grothendieck, Aleksandr (1957). "Sur la classification des fibrés holomorphes sur la sphère de Riemann". Amerika matematika jurnali. 79 (1): 121–138. doi:10.2307/2372388. JSTOR 2372388.

[2] Birxof, Jorj Devid (1909). "Oddiy chiziqli differentsial tenglamalarning singular nuqtalari". Amerika Matematik Jamiyatining operatsiyalari. 10 (4): 436–470. doi:10.2307/1988594. ISSN 0002-9947. JFM 40.0352.02. JSTOR 1988594.

[3] Xazewinkel, Michiel; Martin, Klayd F. (1982). "Prognoz chizig'i ustidagi algebraik vektor to'plamlari bo'yicha Grothendiek teoremasining qisqa elementar isboti". Sof va amaliy algebra jurnali. 25 (2): 207–211. doi:10.1016/0022-4049(82)90037-8.

[4] Martens, Yoxan; Taddeys, Maykl (2016). "Grothendiek mavzusidagi variantlar". Compositio Mathematica. 152: 62–98. arXiv:1210.8161. Bibcode:2012arXiv1210.8161M. doi:10.1112 / S0010437X15007484. S2CID 119716554.

[1]

[2]

[3]

[4]