Modullik teoremasi - Modularity theorem

The modullik teoremasi (ilgari Taniyama - Shimura gumoni, Taniyama-Vayl gumoni yoki elliptik egri chiziqlar uchun modullik gumoni) ta'kidlaydi elliptik egri chiziqlar maydonida ratsional sonlar bilan bog'liq modulli shakllar. Endryu Uayls uchun modullik teoremasini isbotladi yarim elliptik egri chiziqlar, bu shuni anglatishi uchun etarli edi Fermaning so'nggi teoremasi. Keyinchalik, Uaylsning sobiq talabalarining bir qator hujjatlari Brayan Konrad, Fred Diamond va Richard Teylor, bilan qo'shma qog'ozda yakunlanadi Kristof Breuil, 2001 yilda to'liq modullik teoremasini isbotlash uchun Wiles-ning texnikasini kengaytirdi.

Bayonot

The teorema har qanday elliptik egri chiziq ustida Q orqali olish mumkin ratsional xarita bilan tamsayı koeffitsientlar dan klassik modulli egri chiziq ${ displaystyle X_ {0} (N)}$ butun son uchun N; bu aniq ta'rifga ega bo'lgan butun son koeffitsientlari bilan egri chiziq. Ushbu xaritalash darajaning modulli parametrlanishi deb ataladi N. Agar N uchun bunday parametrlashni topish mumkin bo'lgan eng kichik tamsayı (modullik teoremasining o'zi endi "raqam" deb nomlangan dirijyor ), keyin parametrlash ma'lum bir turdagi og'irlik ikki va darajadagi modul shaklida hosil bo'lgan xaritalash bo'yicha aniqlanishi mumkin N, normallashtirilgan yangi shakl butun son bilan q- kengayish, agar kerak bo'lsa, keyin izogeniya.

Tegishli bayonotlar

Modullik teoremasi chambarchas bog'liq analitik bayonotni nazarda tutadi:

elliptik egri chiziqqa E ustida Q biz mos keladigan biriktiramiz L seriyali. The L-series a Dirichlet seriyasi, odatda yozilgan

${ displaystyle L (E, s) = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {a_ {n}} {n ^ {s}}}.}$

The ishlab chiqarish funktsiyasi koeffitsientlarning ${ displaystyle a_ {n}}$ keyin

${ displaystyle f (E, q) = sum _ {n = 1} ^ { infty} a_ {n} q ^ {n}.}$

Agar almashtirishni amalga oshirsak

${ displaystyle q = e ^ {2 pi i tau}}$

biz yozganimizni ko'ramiz Fourier kengayishi funktsiya ${ displaystyle f (E, tau)}$ murakkab o'zgaruvchining τ, shuning uchun ning koeffitsientlari q-seriyalar Furye koeffitsientlari deb ham qaraladi ${ displaystyle f}$. Shu tarzda olingan funktsiya, diqqatga sazovor, a shakl og'irligi ikki va darajasi N va shuningdek, o'ziga xos shakl (barchaning o'ziga xos vektori) Hecke operatorlari ); bu Xasse-Vayl taxminlari, bu modullik teoremasidan kelib chiqadi.

Og'irlikning ikkita modulli shakllari, o'z navbatida, mos keladi holomorfik differentsiallar elliptik egri chiziq uchun. Modulli egri chiziqning yakobiani (izogenezgacha) kamaytirilmaydigan mahsulot sifatida yozilishi mumkin Abeliya navlari, vaznning Hekke xos shakllariga mos keladi. 1-o'lchovli omillar elliptik egri chiziqlardir (yuqori o'lchovli omillar ham bo'lishi mumkin, shuning uchun ham Hekke xos shakllarining hammasi ham ratsional elliptik egri chiziqlarga to'g'ri kelmaydi). Tegishli kesma shaklini topib, so'ngra undan egri chiziq hosil qilish natijasida olingan egri chiziq izogen asl egri chiziqqa (lekin umuman, unga izomorf emas).

Tarix

Yutaka Taniyama  (1956 ) 1955 yilgi algebraik sonlar nazariyasi bo'yicha xalqaro simpoziumda taxminning dastlabki (biroz noto'g'ri) versiyasini bayon qildi. Tokio va Nikko. Goro Shimura va Taniyama 1957 yilgacha uning qat'iyligini yaxshilash ustida ishladi. Andr Vayl  (1967 ) gumonni qayta kashf etdi va uning elliptik egri chiziqning ba'zi burilgan L-qatorlari uchun (taxmin qilingan) funktsional tenglamalardan kelib chiqishini ko'rsatdi; bu gumon haqiqat bo'lishi mumkinligiga birinchi jiddiy dalil edi. Vayl shuningdek, elliptik egri chiziqning o'tkazuvchisi mos keladigan modulli shaklning darajasi bo'lishi kerakligini ko'rsatdi. Taniyama-Shimura-Vayl gipotezasi uning bir qismiga aylandi Langlands dasturi.

Gumon qachon katta qiziqish uyg'otdi Gerxard Frey  (1986 ) shuni nazarda tutadi Fermaning so'nggi teoremasi. U buni Fermatning Oxirgi teoremasiga qarshi har qanday misol, kamida bitta modul bo'lmagan elliptik egri chiziq mavjudligini anglatishini ko'rsatishga urinish orqali qildi. Ushbu dalil qachon yakunlandi Jan-Per Ser  (1987 ) yo'qolgan havolani aniqladi (endi. nomi bilan tanilgan epsilon gumoni yoki Ribet teoremasi) Freyning asl asarida, keyin ikki yil o'tgach Ken Ribet  (1990 ) epsilon gipotezasining isboti tugallanishi.

Taniyama-Shimura-Vayl gipotezasi jiddiy e'tiborni jalb qilganidan keyin ham zamonaviy matematiklar tomonidan isbotlanishi o'ta qiyin yoki hatto isbot etish qiyin deb topilgan (Singx 1997 yil, 203–205, 223, 226-betlar). Masalan, Uaylsning sobiq rahbari John Coates "haqiqatan ham isbotlash imkonsiz" bo'lib tuyuldi va Ken Ribet o'zini "unga mutlaqo kirish imkonsiz deb hisoblagan odamlarning aksariyati" deb hisobladi.

Wiles  (1995 ), ba'zi yordamlari bilan Richard Teylor Taniyama-Shimura-Vayl gumoni hamma uchun isbotlandi yarim elliptik egri chiziqlar, u Fermaning so'nggi teoremasini isbotlash uchun ishlatgan va to'liq Taniyama - Shimura - Vayl gipotezasi nihoyat isbotlangan Olmos (1996), Konrad, Diamond va Teylor (1999) va Breuil va boshq. (2001) Uaylzning ishiga asoslanib, qolgan natijalarni to'liq natija isbotlangunga qadar asta-sekin chippakka chiqardi.

To'liq isbotlangandan so'ng, taxmin modullik teoremasi sifatida tanildi.

Fermaning Oxirgi teoremasiga o'xshash sonlar nazariyasidagi bir nechta teoremalar modullik teoremasidan kelib chiqadi. Masalan: hech qanday kub ikkitaning yig'indisi sifatida yozib bo'lmaydi koprime n- uchinchi kuchlar, n ≥ 3. (ish n = 3 tomonidan allaqachon ma'lum bo'lgan Eyler.)

Umumlashtirish

Modullik teoremasi ko'proq umumiy taxminlarning o'ziga xos holatidir Robert Langlend. The Langlands dasturi biriktirishga intiladi avtomorf shakl yoki avtomorfik vakillik (modulli shaklni mos keladigan umumlashtirish) arifmetik algebraik geometriyaning umumiy ob'ektlariga, masalan, a ustidagi har bir elliptik egri chiziqqa raqam maydoni. Ushbu kengaytirilgan taxminlarning aksariyat holatlari hali isbotlanmagan. Biroq, Freitas, Le Hung & Siksek (2015) haqiqiy kvadratik maydonlar bo'yicha aniqlangan elliptik egri chiziqlar modulli ekanligini isbotladi.

Adabiyotlar

• Breuil, Kristof; Konrad, Brayan; Olmos, Fred; Teylor, Richard (2001), "Elliptik egri chiziqlarning modulligi to'g'risida Q: yovvoyi 3-adic mashqlari ", Amerika Matematik Jamiyati jurnali, 14 (4): 843–939, doi:10.1090 / S0894-0347-01-00370-8, ISSN  0894-0347, JANOB  1839918
• Konrad, Brayan; Olmos, Fred; Teylor, Richard (1999), "Muayyan potentsial Barsotti-Teyt Galua vakolatxonalarining modulligi", Amerika Matematik Jamiyati jurnali, 12 (2): 521–567, doi:10.1090 / S0894-0347-99-00287-8, ISSN  0894-0347, JANOB  1639612
• Kornell, Gari; Silverman, Jozef H.; Stivens, Glenn, tahr. (1997), Modulli shakllar va Fermaning so'nggi teoremasi, Berlin, Nyu-York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-94609-2, JANOB  1638473
• Darmon, Anri (1999), "Shimura - Taniyama - Vayl gumonining to'liq isboti e'lon qilindi" (PDF), Amerika Matematik Jamiyati to'g'risida bildirishnomalar, 46 (11): 1397–1401, ISSN  0002-9920, JANOB  1723249Teoremaga yumshoq kirish va dalilning konturini o'z ichiga oladi.
• Diamond, Fred (1996), "Deformatsiya halqalari va Hek halqalari to'g'risida", Matematika yilnomalari, Ikkinchi seriya, 144 (1): 137–166, doi:10.2307/2118586, ISSN  0003-486X, JSTOR  2118586, JANOB  1405946
• Freitas, Nuno; Le Xang, Bao V.; Siksek, Samir (2015), "Haqiqiy kvadratik maydonlar ustidagi elliptik egri chiziqlar modulli", Mathematicae ixtirolari, 201 (1): 159–206, arXiv:1310.7088, Bibcode:2015InMat.201..159F, doi:10.1007 / s00222-014-0550-z, ISSN  0020-9910, JANOB  3359051
• Frey, Gerxard (1986), "Barqaror elliptik egri chiziqlar va ba'zi bir Diofant tenglamalari orasidagi bog'lanishlar", Annales Universitatis Saraviensis. Mathematicae seriyasi, 1 (1): iv + 40, ISSN  0933-8268, JANOB  0853387
• Mazur, Barri (1991), "Gadfly kabi sonlar nazariyasi", Amerika matematikasi oyligi, 98 (7): 593–610, doi:10.2307/2324924, ISSN  0002-9890, JSTOR  2324924, JANOB  1121312 Taniyama-Shimura-Vayl gipotezasini 3 yil oldin muhokama qiladi, bu juda ko'p holatlarda isbotlangan.
• Ribet, Kennet A. (1990), "Galning modulli namoyishlari to'g'risida (Q/ Q) modul shakllaridan kelib chiqadi ", Mathematicae ixtirolari, 100 (2): 431–476, Bibcode:1990InMat.100..431R, doi:10.1007 / BF01231195, hdl:10338.dmlcz / 147454, ISSN  0020-9910, JANOB  1047143
• Ser, Jan-Per (1987), "Sur les représentations modulaires de degré 2 de Gal (Q/ Q) ", Dyuk Matematik jurnali, 54 (1): 179–230, doi:10.1215 / S0012-7094-87-05413-5, ISSN  0012-7094, JANOB  0885783
• Shimura, Goro (1989), "Yutaka Taniyama va uning davri. Juda shaxsiy xotiralar", London Matematik Jamiyatining Axborotnomasi, 21 (2): 186–196, doi:10.1112 / blms / 21.2.186, ISSN  0024-6093, JANOB  0976064
• Singx, Simon (1997), Fermaning so'nggi teoremasi, ISBN  978-1-85702-521-7
• Taniyama, Yutaka (1956), "Muammo 12", Sugaku (yapon tilida), 7: 269 Ingliz tilidagi tarjimasi (Shimura 1989 yil, p. 194)
• Teylor, Richard; Uayls, Endryu (1995), "Ayrim Hek algebralarining halqa-nazariy xususiyatlari", Matematika yilnomalari, Ikkinchi seriya, 141 (3): 553–572, CiteSeerX  10.1.1.128.531, doi:10.2307/2118560, ISSN  0003-486X, JSTOR  2118560, JANOB  1333036
• Vayl, Andre (1967), "Über die Bestimmung Dirichletscher Reihen durch Funktionalgleichungen", Matematik Annalen, 168: 149–156, doi:10.1007 / BF01361551, ISSN  0025-5831, JANOB  0207658
• Uayls, Endryu (1995), "Modulli elliptik egri chiziqlar va Fermaning so'nggi teoremasi", Matematika yilnomalari, Ikkinchi seriya, 141 (3): 443–551, CiteSeerX  10.1.1.169.9076, doi:10.2307/2118559, ISSN  0003-486X, JSTOR  2118559, JANOB  1333035
• Uayls, Endryu (1995), "Modulli shakllar, elliptik egri chiziqlar va Fermaning so'nggi teoremasi", Xalqaro matematiklar Kongressi materiallari, jild. 1, 2 (Tsyurix, 1994), Bazel, Boston, Berlin: Birkxauzer, 243–245-betlar, JANOB  1403925

Tashqi havolalar

• Darmon, H. (2001) [1994], "Shimura-Taniyama gumoni", Matematika entsiklopediyasi, EMS Press
• Vayshteyn, Erik V. "Taniyama-Shimura gumoni". MathWorld.