Nagell-Luts teoremasi - Nagell–Lutz theorem

Yilda matematika, Nagell-Luts teoremasi ning natijasi diofantin geometriyasi ning elliptik egri chiziqlar, tavsiflovchi oqilona burish butun sonlar ustidagi elliptik egri chiziqlaridagi nuqtalar Trygve Nagell va Elisabet Luts.

Shartlarning ta'rifi

Faraz qilaylik, tenglama

${ displaystyle y ^ {2} = x ^ {3} + ax ^ {2} + bx + c}$

belgilaydi a yagona bo'lmagan kub egri butun son bilan koeffitsientlar a, b, vva ruxsat bering D. bo'lishi diskriminant kubning polinom o'ng tomonda:

${ displaystyle D = -4a ^ {3} c + a ^ {2} b ^ {2} + 18abc-4b ^ {3} -27c ^ {2}.}$

Teorema bayoni

Agar P = (x,y) a ratsional nuqta cheklangan buyurtma kuni C, uchun egri chiziq egri guruh qonuni, keyin:

• 1) x va y butun sonlar
• 2) ham y = 0, bu holda P ikkita buyurtma bor, yoki boshqasi y ajratadi D., bu darhol buni anglatadi y² ajratadi D..

Umumlashtirish

Nagell-Luts teoremasi ixtiyoriy sonlar maydonlari va umumiy kubik tenglamalarini umumlashtiradi.^[1] Mantiqiy asosdagi egri chiziqlar uchun, generallashtirish, Weierstrass hosil qiladigan bir xil bo'lmagan kubik egri uchun aytadi.

${ displaystyle y ^ {2} + a_ {1} xy + a_ {3} y = x ^ {3} + a_ {2} x ^ {2} + a_ {4} x + a_ {6}}$

tamsayı koeffitsientlari, har qanday ratsional nuqta bor P=(x,y) sonli tartibda butun koordinatalari bo'lishi kerak, aks holda shaklning 2 va koordinatalari bo'lishi kerak x=m/4, y=n/ 8, uchun m va n butun sonlar.

Tarix

Natijada uning ikkita mustaqil kashfiyotchisi - norvegiyalik nom oldi Trygve Nagell (1895-1988), uni 1935 yilda nashr etgan va Elisabet Luts (1937).

Shuningdek qarang

• Mordell - Vayl teoremasi

Adabiyotlar

• Elisabet Luts (1937). "Sur l'équation y² = x³ − Balta − B dans les corps p-adiqatlar ". J. Reyn Anju. Matematika. 177: 237–247.
• Jozef X. Silverman, Jon Teyt (1994), "Elliptik egri chiziqlaridagi ratsional ballar", Springer, ISBN  0-387-97825-9.