Xasse-Vitt matritsasi - Hasse–Witt matrix

Yilda matematika, Xasse-Vitt matritsasi H a yagona bo'lmagan algebraik egri chiziq C ustidan cheklangan maydon F bo'ladi matritsa ning Frobenius xaritasi (p- qaerda quvvatni xaritalash F bor q elementlar, q ning kuchi asosiy raqam p) uchun asosga nisbatan birinchi turdagi differentsiallar. Bu g × g matritsa qaerda C bor tur g. Xasse-Vitt matritsasining darajasi bu Hasse yoki Xasse-Vitt o'zgarmasdir.

Ta'rifga yondashish

Ushbu ta'rif, muqaddimada keltirilganidek, klassik ma'noda tabiiydir va shu sababli Helmut Hasse va Ernst Vitt (1936). Degan savolga echim topadi p-dan Jacobian xilma-xilligi J ning C; The p-rank bilan chegaralanadi daraja ning H, xususan, bu o'zi bilan tuzilgan Frobenius xaritalash darajasidir g marta. Bu, shuningdek, printsipial jihatdan algoritmik bo'lgan ta'rifdir. Amaliy qo'llanilish sifatida yaqinda bunga katta qiziqish paydo bo'ldi kriptografiya, bo'lgan holatda C a giperelliptik egri chiziq. Egri chiziq C bu maxsus agar H = 0.

Ushbu ta'rifga, hech bo'lmaganda, ikkita ogohlantirish kerak. Birinchidan, Frobenius xaritalari to'g'risida konventsiya mavjud va zamonaviy tushuncha ostida nima talab qilinadi H bo'ladi ko'chirish Frobenius (qarang. qarang arifmetik va geometrik Frobenius ko'proq muhokama qilish uchun). Ikkinchidan, Frobenius xaritasi bunday emas F- chiziqli; u chiziqli asosiy maydon Z/pZ yilda F. Shuning uchun matritsani yozish mumkin, lekin to'g'ridan-to'g'ri ma'noda chiziqli xaritani aks ettirmaydi.

Kogomologiya

Uchun talqin sheaf kohomologiyasi bu: p- kuch xaritasi ishlaydi

H1(C,OC),

yoki boshqacha qilib aytganda C uning koeffitsientlari bilan tuzilish pog'onasi. Bu endi Cartier-Manin operatori (ba'zan shunchaki Cartier operatori), uchun Per Kartier va Yuriy Manin. Hasse-Witt ta'rifi bilan bog'liqlik Serre ikkilik, egri chiziq uchun ushbu guruhga tegishli

H0(C, ΩC)

qaerda ΩC = Ω1C ning to'plami Kähler differentsiallari kuni C.

Abelyan navlari va ularning turlari p- ichdi

The p- an abeliya xilma-xilligi A ustidan maydon K ning xarakterli p tamsayı k buning uchun yadro A[p] ga ko'paytirish p bor pk ochkolar. 0 dan har qanday qiymatni olishi mumkin d, ning o'lchamlari A; aksincha boshqa har qanday tub son uchun l lar bor l2d ball A[l]. Buning sababi p-rank pastroq, bu bilan ko'paytma p kuni A bu ajralmas izogeniya: differentsial p bu 0 dyuym K. Yadroga a sifatida qarab guruh sxemasi to'liqroq tuzilishga ega bo'lish mumkin (ma'lumotnoma) Devid Mumford Abeliya navlari 146-7 betlar); ammo, masalan, kimdir qarasa kamaytirish mod p a bo'linish tenglamasi, echimlar soni tushishi kerak.

Shuning uchun Cartier-Manin operatorining darajasi yoki Hasse-Witt matritsasi uchun yuqori chegarani beradi p- ichdi. The p-rank - bu o'zi bilan tuzilgan Frobenius operatorining darajasi g marta. Hasse va Vittning asl qog'ozida muammo ichki nuqtai nazardan ifodalangan C, ishonmaslik J. Mumkin bo'lgan narsalarni tasniflash masalasi mavjud Artin-Shrayer kengaytmalari ning funktsiya maydoni F(C) (bu holda analog Kummer nazariyasi ).

1-turdagi holat

Ishi elliptik egri chiziqlar 1934 yilda Xasse tomonidan ishlab chiqilgan. Jins 1 bo'lganligi sababli, matritsa uchun yagona imkoniyat H ular: H nol, Hasse o'zgarmas 0, p- 0, the supersingular ish; yoki H nolga teng bo'lmagan, Hasse o'zgarmas 1, p- 1-chi, oddiy ish.[1] Mana, buni aytadigan muvofiqlik formulasi mavjud H mos modul p raqamga N ochkolar C ustida F, hech bo'lmaganda qachon q = p. Sababli Elliptik egri chiziqlar bo'yicha Xasse teoremasi, bilish N modul p belgilaydi N uchun p ≥ 5. Bilan bog'liqlik mahalliy zeta-funktsiyalar chuqur tergov qilingan.

Kub bilan aniqlangan tekislik egri chizig'i uchun f(X,Y,Z) = 0, agar koeffitsient bo'lsa, Hasse o'zgarmasligi nolga teng.XYZ)p−1 yilda fp−1 nolga teng.[1]

Izohlar

  1. ^ a b Xartshorn, Robin (1977). Algebraik geometriya. Matematikadan aspirantura matnlari. 52. Springer-Verlag. p. 332. ISBN  0-387-90244-9. JANOB  0463157. Zbl  0367.14001.

Adabiyotlar