Polar egri - Polar curve

The elliptik egri chiziq E : 4Y2Z =X3 − XZ2 ko'k va uning qutb egri chizig'ida (E) : 4Y2 = 2.7X2 − 2XZ - 0,9Z2 nuqta uchun Q = (0,9, 0) qizil rangda. Qora chiziqlar tangenslarni ko'rsatadi E ning kesishish nuqtalarida E va unga nisbatan birinchi qutb Q uchrashuv Q.

Yilda algebraik geometriya, birinchi qutbyoki oddiygina qutbli ning algebraik tekislik egri chizig'i C daraja n nuqta bo'yicha Q darajaning algebraik egri chizig‘idir n$ 1 $ har bir nuqtasini o'z ichiga oladi C uning chiziqli chizig'i o'tadi Q. Bu egri chiziq va uning orasidagi bog'liqlikni tekshirish uchun ishlatiladi ikkilamchi, masalan, ning hosilasida Pluker formulalari.

Ta'rif

Ruxsat bering C ichida belgilanishi bir hil koordinatalar tomonidan f(x, y, z) = 0 qaerda f a bir hil polinom daraja nva ning bir hil koordinatalariga ruxsat bering Q bo'l (abv). Operatorni aniqlang

Keyin ΔQf daraja bir jinsli polinomidir n−1 va ΔQf(x, y, z) = 0 daraja egriligini aniqlaydi n$ 1 $ deb nomlangan birinchi qutb ning C hurmat bilan Q.

Agar P=(pqr) a yagona bo'lmagan nuqta egri chiziqda C keyin atangentaning tenglamasi P bu

Jumladan, P ning chorrahasida C va unga nisbatan birinchi qutb Q agar va faqat agar Q ga tegishlidir C da P. Ikki nuqta uchun C, ning qisman hosilalari f barchasi 0, shuning uchun birinchi qutbda bu fikrlar ham mavjud.

Egri chiziq

The sinf ning C tortilishi mumkin bo'lgan tangenslar soni sifatida aniqlanishi mumkin C bir nuqtadan emas C (ko'pliklarni va shu jumladan xayoliy tangenslarni hisoblash). Ushbu teginishlarning har biri tegadi C ning kesishish nuqtalaridan birida C va birinchi qutb, va tomonidan Bezut teoremasi eng ko'pi bor n(n−1) shulardan. Bu yuqori chegarani qo'yadi n(n−1) daraja egri chizig'i klassi bo'yicha n. Sinf aniq sonlar sonini va turini hisoblash orqali aniqlanishi mumkin C (qarang Pluker formulasi ).

Yuqori qutblar

The p-chi qutb a C tabiiy son uchun p Δ deb belgilanadiQpf(x, y, z) = 0. Bu daraja egri chizig'i np. Qachon p bu nThe1 p- qutb - bu chiziq deb ataladi qutb chizig'i ning C munosabat bilan Q. Xuddi shunday, qachon p bu n−2 egri chizig'i deyiladi qutbli konus ning C.

Foydalanish Teylor seriyasi o'zgaruvchan va bir xillikdan foydalanadigan, fa+ mp, λb+ mq, λv+ mr) ni ikki usul bilan kengaytirish mumkin

va

Λ koeffitsientlarini taqqoslashpmnp buni ko'rsatadi

Xususan, p- qutb C munosabat bilan Q nuqtalar joyidir P shunday qilib (np) - qutb C munosabat bilan P orqali o'tadi Q.[1]

Qutblar

Agar qutb chizig'i C nuqta bo'yicha Q bu chiziq L, keyin Q deb aytiladi a qutb ning L. Berilgan qatorda (n−1)2 qutblar (ko'pliklarni hisoblash va boshqalar) qaerda n darajasi C. Buni ko'rish uchun ikkita nuqtani tanlang P va Q kuni L. Qutbiy chiziqlari o'tadigan nuqtalarning joylashuvi P ning birinchi qutbidir P va bu daraja egri n1. Xuddi shunday, qutb chiziqlari o'tadigan nuqtalarning joylashuvi Q ning birinchi qutbidir Q va bu ham darajaning egri chizig'i n1. Nuqtaning qutb chizig'i bu L va agar u ikkalasini ham o'z ichiga olgan bo'lsa P va Q, shuning uchun qutblari L aynan ikkita birinchi qutbning kesishish nuqtalari. Bézout teoremasi bo'yicha bu egri chiziqlar (n−1)2 kesishish nuqtalari va bu qutblar L.[2]

Gessian

Berilgan nuqta uchun Q=(abv), qutbli konus - bu nuqta joylashgan joy P Shuning uchun; ... uchun; ... natijasida Q ning ikkinchi qutbida joylashgan P. Boshqacha qilib aytganda, qutb konusining tenglamasi

Konus tanazzulga uchraydi, agar va faqatgina Gessian ning f,

yo'qoladi. Shuning uchun, tenglama |H(f) | = 0 egri chiziqni aniqlaydi, qutb konuslari degeneratsiya qilingan nuqtalarning joylashuvi 3 daraja (n2) deb nomlangan Gessian egri chizig'i ning C.

Shuningdek qarang

Adabiyotlar

  1. ^ Salmonning 49-50 betlarini kuzatib boradi, lekin aslida turli xil belgilar bilan bir xil dalillar Basset 16-17 betlarida keltirilgan.
  2. ^ Basset p. 20, qizil ikra p. 51
  • Basset, Alfred Barnard (1901). Kubik va kvartik egri chiziqlar haqida boshlang'ich risola. Deighton Bell & Co. pp. 16ff.
  • Salmon, Jorj (1879). Yuqori tekislik egri chiziqlari. Xodjes, Foster va Figgis. 49ff pp.
  • Fultonning 1.2-qismi, Algebraik geometriyada kesishmalar nazariyasiga kirish, CBMS, AMS, 1984 yil.
  • Ivanov, A.B. (2001) [1994], "Qutb", Matematika entsiklopediyasi, EMS Press
  • Ivanov, A.B. (2001) [1994], "Gessian (algebraik egri chiziq)", Matematika entsiklopediyasi, EMS Press