Supersingular elliptik egri chiziq - Supersingular elliptic curve

Yilda algebraik geometriya, supersingular elliptik egri chiziqlar ning ma'lum bir sinfini tashkil qiladi elliptik egri chiziqlar ustidan maydon xarakterli p > 0 juda katta endomorfizm halqalari. Bunday maydonlar ustidagi elliptik egri chiziqlar bir tekis bo'lmagan oddiy va bu elliptik egri chiziqlarning ikkita klassi ko'p jihatdan turlicha harakat qiladi. Hasse (1936) ijobiy xarakterli elliptik egri chiziqlarda g'ayrioddiy katta darajadagi endomorfizm halqalariga ega bo'lishini kuzatish orqali elliptik egri chiziqlar bo'yicha Riman gipotezasi ustida ish olib borishda supersingular elliptik egri chiziqlarni kashf etdi va Deuring (1941) ularning asosiy nazariyasini ishlab chiqdi.

"Supersingular" atamasining hech qanday aloqasi yo'q egri chiziqlarning singular nuqtalari va barcha supersingular elliptik egri chiziqlar yagona emas. Bu "" iborasidan kelib chiqadibirlik qiymatlari ning qiymatlari uchun ishlatiladigan j-invariant "ning j-o'zgarmas buning uchun murakkab elliptik egri chiziq mavjud murakkab ko'paytirish. Murakkab ko'paytma bilan murakkab elliptik egri chiziqlar, ular uchun endomorfizm halqasi mumkin bo'lgan maksimal darajaga ega 2. xarakterli endomorfizm halqasi bundan ham kattaroq bo'lishi mumkin: u bo'lishi mumkin buyurtma a kvaternion algebra o'lchov 4, bu holda elliptik egri ustki tilda bo'ladi. $ P $ asoslari, shuning uchun $ p $ xarakteristikasidagi har bir supersingular elliptik egri chiziqni pastki pastki maydon bo'yicha aniqlash mumkin ${ displaystyle F_ {p}}$ dan ko'ra ${ displaystyle F_ {p ^ {m}}}$ deyiladi supersingular primes.

Ta'rif

Supersingular elliptik egri chiziqlarni aniqlashning turli xil, ammo ularga tenglashtirilgan usullari ishlatilgan. Ularni aniqlashning ba'zi usullari quyida keltirilgan. Ruxsat bering ${ displaystyle K}$ bilan maydon bo'ling algebraik yopilish ${ displaystyle { overline {K}}}$ va E an elliptik egri chiziq ustida K.

• The ${ displaystyle { overline {K}}}$- baholangan ballar ${ displaystyle E ({ overline {K}})}$ tuzilishga ega abeliy guruhi. Har bir n uchun bizda ko'paytirish xaritasi mavjud ${ displaystyle [n]: E dan E} gacha$. Uning yadrosi bilan belgilanadi ${ displaystyle E [n]}$. Endi xarakteristikasini taxmin qiling K bu p > 0. Keyin buni ko'rsatish mumkin

${ displaystyle E [p ^ {r}] ({ overline {K}}) cong { begin {case} 0 & { mbox {or}} mathbb {Z} / p ^ {r} mathbb {Z} end {case}}}$

uchun r = 1, 2, 3, ... Birinchi holda, E deyiladi supersingular. Aks holda u deyiladi oddiy. Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, elliptik egri chiziq, agar geometrik tartibli guruhlar guruhi bo'lsa p ahamiyatsiz.

• Supersingular elliptik egri chiziqlar algebraik yopilishida ko'plab endomorfizmlarga ega ${ displaystyle { overline {K}}}$ agar elliptik egri chiziq endussi algebra bo'lsa ${ displaystyle { overline {K}}}$) - kvaternion algebrasidagi tartib. Shunday qilib, ularning endomorfizm algebrasi (tugadi ${ displaystyle { overline {K}}}$) 4-darajaga ega, boshqa har qanday elliptik egri chiziqning endomorfizm guruhi faqat 1 yoki 2-darajaga ega. Superslingular elliptik egri chiziqning endomorfizm halqasi 4 darajadan past bo'lishi mumkin va bazaviy maydonning cheklangan kengayishini olish kerak bo'lishi mumkin. K 4. endomorfizm halqasini martabasini hosil qilish. 4. Xususan, elliptik egri chiziqning boshlang'ich tartib sohasi ustidagi endomorfizm halqasi hech qachon 4-darajaga ega bo'lmaydi, hatto elliptik egri chizig'i ustma-ust bo'lsa ham.
• Ruxsat bering G bo'lishi rasmiy guruh bilan bog'liqE. Beri K ijobiy xususiyatga ega, biz uni aniqlashimiz mumkin balandlik ht (G), agar bu $ 2 $, faqat $ E $ $ supersingular va $ 1 $ bo'lsa.
• Bizda Frobenius morfizmi ${ displaystyle F: E to E}$, bu kohomologiyada xaritani keltirib chiqaradi

${ displaystyle F ^ {*}: H ^ {1} (E, { mathcal {O}} _ {E}) to H ^ {1} (E, { mathcal {O}} _ {E} )}$.

Elliptik egri chiziq E agar va faqat shunday bo'lsa, supersingular hisoblanadi ${ displaystyle F ^ {*}}$ 0 ga teng.

• Bizda Verschiebung operatori ${ displaystyle V: E to E}$, bu global 1-shakllarda xaritani keltirib chiqaradi

${ displaystyle V ^ {*}: H ^ {0} (E, Omega _ {E} ^ {1}) to H ^ {0} (E, Omega _ {E} ^ {1})}$.

Elliptik egri chiziq E agar va faqat shunday bo'lsa, supersingular hisoblanadi ${ displaystyle V ^ {*}}$ 0 ga teng.

• Elliptik egri, agar shunday bo'lsa, supersingulardir Hasse o'zgarmas 0 ga teng.
• Elliptik egri chiziq, agar faqat tartib nuqtalarining guruh sxemasi bo'lsa p ulangan.
• Elliptik egri chiziq, agar faqat Frobenius xaritasining ikkiliklari mutlaqo ajralmas bo'lsa.
• Elliptik egri chiziq "ustma-ust" ko'paytirilsa, supersingular bo'ladi p"xaritasi mutlaqo ajralmas va j- egri chiziqning o'zgarmasligi bosh maydonning kvadratik kengaytmasida yotadi K, cheklangan tartib maydoni p².
• Aytaylik E ichida Legendre shakli, tenglama bilan belgilanadi ${ displaystyle y ^ {2} = x (x-1) (x- lambda)}$va p g'alati Keyin E agar summa bo'lsa va bu juda katta bo'lsa

${ displaystyle sum _ {i = 0} ^ {n} {n select {i}} ^ {2} lambda ^ {i}}$

yo'qoladi, qaerda ${ displaystyle n = (p-1) / 2}$. Ushbu formuladan foydalanib, cheksiz ko'p supersingular elliptik egri chiziqlar mavjudligini ko'rsatish mumkin K (izomorfizmgacha).

• Aytaylik E bir hil kubik polinom tomonidan berilgan proektsion tekislikda kubik egri chiziq sifatida berilgan f(x,y,z). Keyin E koeffitsienti (va)xyz)^p–1 yilda f^p–1 nolga teng.
• Agar maydon bo'lsa K bu cheklangan tartib sohasi q, keyin elliptik egri chizig'i tugadi K ning izi bo'lsa va bu juda katta bo'lsa q- Frobenius kuchi endomorfizmi nol modulga mos keladi p.

Qachon q=p 3 dan katta bosh, bu Frobenius izining nolga teng bo'lishiga teng (tomonidan Hasse bog'langan ); bu ushlab turilmaydi p= 2 yoki 3.

Misollar

• Agar K bu xarakteristikaning maydoni, har qanday egri chiziq shaklning tenglamasi bilan belgilanadi

${ displaystyle y ^ {2} + a_ {3} y = x ^ {3} + a_ {4} x + a_ {6}}$

bilan a₃ nol nol - bu supersingular elliptik egri va aksincha, har bir supersingular egri ushbu shaklning biriga izomorfdir (qarang: Washington2003, 122-bet).

• Ikki elementli maydon ustida har qanday supersingular elliptik egri chiziq superslingular elliptik egri chiziqlardan biriga izomorfdir.

${ displaystyle y ^ {2} + y = x ^ {3} + x + 1}$

${ displaystyle y ^ {2} + y = x ^ {3} +1}$

${ displaystyle y ^ {2} + y = x ^ {3} + x}$

1, 3 va 5 ball bilan. Bunda har xil sonli nuqtalarga ega bo'lgan asosiy maydon ustidagi supersingular elliptik egri chiziqlarga misollar keltirilgan.

• 2 xarakteristikasining algebraik yopiq maydonida (izomorfizmga qadar) to'liq bitta supersingular elliptik egri mavjud.

${ displaystyle y ^ {2} + y = x ^ {3}}$,

bilan j-invariant 0. Uning endomorfizm halqasi halqa Hurvits kvaternionlari, ikkita avtomorfizm tomonidan hosil qilingan ${ displaystyle x rightarrow x + omega}$ va ${ displaystyle y rightarrow y + x + omega, x rightarrow x + 1}$ qayerda ${ displaystyle omega ^ {2} + omega + 1 = 0}$ birlikning ibtidoiy kub ildizi. Uning avtomorfizmlar guruhi - bu Xurvits kvaternionlarining birliklari guruhi bo'lib, ular 24-qatorga ega bo'lib, 8-tartibli izomorfik tartibdagi normal kichik guruhni o'z ichiga oladi. quaternion guruhi, va ikkilik tetraedral guruh

• Agar K - bu xarakterli maydon 3, har qanday egri chiziq shaklning tenglamasi bilan belgilanadi

${ displaystyle y ^ {2} = x ^ {3} + a_ {4} x + a_ {6}}$

bilan a₄ nol nol - bu supersingular elliptik egri va aksincha, har bir supersingular egri ushbu shaklning biriga izomorfdir (qarang: Washington2003, 122-bet).

• Uch elementli maydon ustida biron bir supersingular elliptik egri chiziq superslingular elliptik egri chiziqlardan biriga izomorfik bo'ladi.

${ displaystyle y ^ {2} = x ^ {3} -x}$

${ displaystyle y ^ {2} = x ^ {3} -x + 1}$

${ displaystyle y ^ {2} = x ^ {3} -x + 2}$

${ displaystyle y ^ {2} = x ^ {3} + x}$

• 3 xarakteristikasining algebraik yopiq maydonida (izomorfizmga qadar) to'liq bitta supersingular elliptik egri mavjud.

${ displaystyle y ^ {2} = x ^ {3} -x}$,

bilan j-invariant 0. Uning endomorfizm halqasi shakldagi kvaternionlar halqasi a+bj bilan a va b Eyzenshteyn butun sonlari. , ikkita avtomorfizm tomonidan hosil qilingan ${ displaystyle x rightarrow x + 1}$ va ${ displaystyle y rightarrow iy, x rightarrow -x}$ qayerda men birlikning ibtidoiy to'rtinchi ildizi. Uning avtomorfizmlar guruhi - bu to'rtinchi qismlarning birliklari guruhi, ular 12-tartibga ega va 3-tartibli tsiklik tartibli guruhga ega 3-tartibli normal kichik guruhni o'z ichiga oladi.

• Uchun ${ displaystyle mathbb {F} _ {p}}$ p> 3 bilan aniqlangan elliptik egri chiziq bilan ${ displaystyle y ^ {2} = x ^ {3} +1}$ bilan j-invariant 0, agar faqat shunday bo'lsa, supersingular hisoblanadi ${ displaystyle p equiv 2 { text {(mod 3)}}}$ va tomonidan belgilangan elliptik egri chiziq ${ displaystyle y ^ {2} = x ^ {3} + x}$ bilan j-invariant 1728 supersingular hisoblanadi va agar shunday bo'lsa ${ displaystyle p equiv 3 { text {(mod 4)}}}$ (qarang: Washington2003, 4.35).
• Tomonidan berilgan elliptik egri chiziq ${ displaystyle y ^ {2} = x (x-1) (x + 2)}$ bema'ni ${ displaystyle mathbb {F} _ {p}}$ uchun ${ displaystyle p neq 2,3}$. Bu $ p = 23 $ uchun supersingular va har bir kishi uchun odatiy ${ displaystyle p leq 73}$ (Qarang: Hartshorne1977, 4.23.6).
• The modul egri X₀(11) ega j-variant −2¹²11⁻⁵31³, va egri chiziqqa izomorfdir y² + y = x³ − x² − 10x - 20. Asoslar p buning uchun u supersingulardir, ular uchun koeffitsient q^p η (τ) ichida²η (11τ)² yo'qoladi p, va ro'yxat tomonidan berilgan

2, 19, 29, 199, 569, 809, 1289, 1439, 2539, 3319, 3559, 3919, 5519, 9419, 9539, 9929,... OEIS: A006962

• Agar ratsionalliklar ustidagi elliptik egri chiziq murakkab ko'paytirishga ega bo'lsa, u holda u supersingular bo'lgan asosiy sonlar to'plamining zichligi 1/2 ga teng. Agar u murakkab ko'paytirishga ega bo'lmasa Serre u supersingular bo'lgan asosiy sonlar to'plami zichlikning nolga ega ekanligini ko'rsatdi. Elkies (1987) mantiqiy asoslar bo'yicha aniqlangan har qanday elliptik egri chiziq cheksiz sonli sonlar uchun ustma-ust ekanligini ko'rsatdi.

Tasnifi

Har bir ijobiy xususiyat uchun faqat cheklangan son mavjud j-supersingular elliptik egri chiziqlarning variantlari, algebraik yopiq maydon ustidan K elliptik egri chiziq unga qarab aniqlanadi j-invariant, shuning uchun juda ko'p sonli supersingular elliptik egri chiziqlar mavjud. Agar har bir bunday egri chiziq 1 / | Aut (E) | u holda supersingular egri chiziqlarning umumiy og'irligi (p–1) / 24. Elliptik egri chiziqlar 2 tartibli avtomorfizm guruhlariga ega, agar ular bo'lmasa j-invariant 0 yoki 1728 ga teng, shuning uchun supersingular elliptik egri chiziqlar quyidagicha tasniflanadi.p/ 12⌋ tartibli avtomorfizm guruhlari bilan supersingular elliptik egri chiziqlar 2. Bundan tashqari, agar pMod3 mod 4 supersingular elliptik egri chiziq bilan (bilan j-invariant 1728), agar uning avtomorfizm guruhi tsiklik bo'lsa yoki 4-tartib bo'lsa, agar p= 3 bu holda u 12-tartibga ega, va agar p≡2 mod 3 supersingular elliptik egri chiziq bilan (bilan j-invariant 0), agar uning avtomorfizm guruhi 6-tartibli tsiklik bo'lsa, agar p= 2, unda 24-tartib bor.

Birch & Kuyk (1975) hammaga jadval bering j-307 gacha bo'lgan tub sonlar uchun supersingular egri chiziqlarning o'zgaruvchan variantlari. Birinchi bir necha tub sonlar uchun supersingular elliptik egri chiziqlar quyidagicha berilgan. 0 yoki 1728 dan tashqari j ning supersingular qiymatlari soni (p-1) / 12 ning butun qismidir.

asosiy	supersingular j invariantlari
2	0
3	1728
5	0
7	1728
11	0, 1728
13	5
17	0,8
19	7, 1728
23	0,19, 1728
29	0,2, 25
31	2, 4, 1728
37	8, 3±√15

Shuningdek qarang

• Supersingular prime

Adabiyotlar

• Birch, B. J.; Kuyk, W., eds. (1975), "6-jadval", Bir o'zgaruvchining modulli funktsiyalari. IV, Matematikadan ma'ruza matnlari, 476, Berlin, Nyu-York: Springer-Verlag, 142–144 betlar, doi:10.1007 / BFb0097591, ISBN  978-3-540-07392-5, JANOB  0376533, Zbl  0315.14014
• Deuring, Maks (1941), "Die Typen der Multiplikatorenringe elliptischer Funktionenkörper", Abh. Matematika. Sem. Univ. Gamburg, 14: 197–272, doi:10.1007 / BF02940746, JANOB  0005125
• Elkies, Noam D. (1987), "Q bo'yicha har bir elliptik egri chiziq uchun cheksiz ko'p supersingular tub sonlarning mavjudligi", Mathematicae ixtirolari, 89 (3): 561–567, doi:10.1007 / BF01388985, ISSN  0020-9910, JANOB  0903384, Zbl  0631.14024
• Robin Xartshorn (1977), Algebraik geometriya, Springer. ISBN  1-4419-2807-3
• Hasse (1936), "Zur Theorie der abstrakten elliptischen Funktionenkörper I. Die Struktur der Gruppe der Divisorenklassen endlicher Ordnung. II. Automorphismen und Meromorphismen. Das Additionstheorem. III. Die Struktur des Meromorphismenrings. Die Riemannsche Vermutung.", J. Reyn Anju. Matematika., 175: 55–62, 69–88, 193–208
• Jozef X. Silverman (2009), Elliptik egri chiziqlar arifmetikasi, Springer. ISBN  0-387-09493-8
• Lourens C. Vashington (2003), Elliptik egri chiziqlar, Chapman va Xoll. ISBN  1-58488-365-0