Ramsey-Cass-Koopmans modeli - Ramsey–Cass–Koopmans model

The Ramsey-Cass-Koopmans modeli, yoki Ramsey o'sish modeli, a neoklassik modeli iqtisodiy o'sish asosan ishiga asoslangan Frank P. Ramsey,^[1] tomonidan sezilarli kengaytmalar bilan Devid Kass va Tjalling Koopmans.^[2]^[3] Ramsey-Cass-Koopmans modeli quyidagilardan farq qiladi Solow-Swan modeli bu tanlov iste'mol aniq mikrofounded vaqt nuqtasida va shunday endogenizatsiya qiladi jamg'arma stavkasi. Natijada, Slow-Swan modelidan farqli o'laroq, uzoq muddatga o'tish davomida tejash stavkasi doimiy bo'lmasligi mumkin barqaror holat. Modelning yana bir ma'nosi shundaki, natija Pareto optimal yoki Pareto samarali.^{[eslatma 1]}

Dastlab Ramsey a modelini o'rnatdi ijtimoiy rejalashtiruvchi Keyingi avlodlar davomida iste'mol darajasini maksimal darajaga ko'tarish muammosi.^[4] Keyinchalik faqat Kass va Kopmans tomonidan a bilan markazlashmagan dinamik iqtisodiyot tavsifi sifatida qabul qilingan model qabul qilindi vakil agent. Ramsey-Cass-Koopmans modeli faqat biznes tsiklining o'zgarishini emas, balki uzoq muddatli iqtisodiy o'sishni tushuntirishga qaratilgan va bozor nomukammalligi, uy xo'jaliklari o'rtasida bir xillik yoki ekzogen kabi bezovtalik manbalarini o'z ichiga olmaydi. zarbalar. Shuning uchun keyingi tadqiqotchilar ushbu modelni kengaytirdilar va davlat tomonidan sotib olinadigan zarbalar, ish joyidagi farqlar va boshqa bezovtalik manbalari sifatida tanilgan. real tsikl nazariyasi.

Matematik tavsif

Ramsey-Cass-Koopmans modeli an bilan boshlanadi agregat ishlab chiqarish funktsiyasi qoniqtiradigan Inada sharoitlari, ko'pincha bo'lishi kerakligi ko'rsatilgan Kobb-Duglas turi, ${displaystyle F (K, L)}$ , omillar bilan kapital ${displaystyle K}$ va mehnat ${displaystyle L}$ . Ushbu ishlab chiqarish funktsiyasi qabul qilinganligi sababli 1 darajali bir hil, uni ifodalash mumkin Aholi jon boshiga shartlar, ${displaystyle F (K, L) = Lcdot Fleft ({frac {K} {L}}, 1ight) = Lcdot f (k)}$ . Mehnat miqdori iqtisodiyotdagi aholi soniga teng va doimiy sur'atlarda o'sib boradi ${displaystyle n}$ , ya'ni ${displaystyle L = L_ {0} e ^ {nt}}$ qayerda ${displaystyle L_ {0}> 0}$ dastlabki davrda aholi edi.

Ramsey-Cass-Koopmans modelining birinchi asosiy tenglamasi kapital to'plash uchun davlat tenglamasidir:

{displaystyle {nuqta {k}} = f (k) - (n + delta) k-c}

ga o'xshash chiziqli bo'lmagan differentsial tenglama Solow-Swan modeli, qayerda ${displaystyle k}$ bu kapital intensivligi (ya'ni, poytaxt bir ishchiga), ${displaystyle {nuqta {k}} = {frac {mathrm {d} k} {mathrm {d} t}}}$ stenografiya Nyutonning yozuvi vaqt o'tishi bilan kapital intensivligining o'zgarishi uchun, ${displaystyle c}$ bir ishchiga to'g'ri keladigan iste'mol, ${displaystyle f (k)}$ ma'lum bir ishchiga to'g'ri keladi ${displaystyle k}$ va ${displaystyle delta,}$ bo'ladi amortizatsiya kapital stavkasi. Aholining o'sishi yo'q degan soddalashtirilgan taxmin bo'yicha ushbu tenglama shuni ta'kidlaydi sarmoya yoki o'sish poytaxt bir ishchiga ishlab chiqarishning sarflanmagan qismi, kapitalning amortizatsiya stavkasini olib tashlang. Shuning uchun sarmoyalar xuddi shunday tejash.

Modelning ikkinchi tenglamasi - ning echimi ijtimoiy rejalashtiruvchi maksimallashtirish muammosi ijtimoiy ta'minot funktsiyasi, ${displaystyle U_ {0} = int _ {0} ^ {infty} e ^ {- ho t} U (C), mathrm {d} t}$ , bu oqimdan iborat haddan tashqari chegirmali bir zumda qulaylik iste'moldan, qaerda ${displaystyle ho in (0, infty)}$ a chegirma stavkasi aks ettiradi vaqtni afzal ko'rish. Iqtisodiyotda bir xil shaxslar yashaydi, deb taxmin qilinadi optimal nazorat muammoni cheksiz yashaydigan so'zlar bilan ifodalash mumkin vakil agent vaqt o'zgarmas yordam dasturi bilan: ${displaystyle U (C) = Lu (c) = L_ {0} e ^ {nt} u (c)}$ . Yordamchi funktsiya qat'iy ravishda oshib boradi (ya'ni, yo'q) baxtiyorlik ) va konkav ${displaystyle c}$ , bilan ${displaystyle lim _ {c o 0} u_ {c} = infty}$ ,^[2-eslatma] qayerda ${displaystyle u_ {c}}$ uchun qisqa belgi marginal yordam dasturi iste'mol ${displaystyle {frac {qisman u} {qisman c}}}$ . Dastlabki populyatsiyani normalizatsiya qilish ${displaystyle L_ {0}}$ biriga, muammo quyidagicha ifodalanishi mumkin:

{displaystyle max _ {c} U_ {0} = int _ {0} ^ {infty} e ^ {- (ho -n) t} u (c), mathrm {d} t}

{displaystyle {ext {subject to}} quad c = f (k) - (n + delta) k- {nuqta {k}}}

bu erda dastlabki nolga teng bo'lmagan kapital ${displaystyle k (0) = k_ {0}> 0}$ berilgan. Ushbu muammoning echimi, odatda Gamilton funktsiyasi,^[3-eslatma]^[4-eslatma] iste'molning optimal evolyutsiyasini tavsiflovchi chiziqli bo'lmagan differentsial tenglama,

{displaystyle {nuqta {c}} = - {frac {u_ {c} (c)} {ccdot u_ {cc} (c)}} chap [f_ {k} (k) -delta -ho ight] cdot c}

deb nomlanuvchi Keyns-Remsi qoidasi.^[5] Atama ${displaystyle f_ {k} (k) -delta}$ , qayerda ${displaystyle f_ {k}}$ uchun qisqa belgi kapitalning cheklangan mahsuloti ${displaystyle {frac {qisman f} {qisman k}}}$ , marginal rentabellikni aks ettiradi sof investitsiya. Ifoda ${displaystyle -left.u_ {c} (c) ight / ccdot u_ {cc} (c)}$ aks ettiradi egrilik yordamchi funktsiya; uning o'zaro sifatida tanilgan (vaqtinchalik) almashtirishning elastikligi va vakil vakili qancha istaganligini bildiradi silliq iste'mol vaqt o'tishi bilan. Ko'pincha bu elastiklik musbat konstantadir, ya'ni. ${displaystyle sigma = -left.ccdot u_ {cc} (c) ight / u_ {c} (c)> 0}$ .

Faza maydoni Ramsey modelining grafigi (yoki faz diagrammasi). Moviy chiziq iqtisodiyotda dinamik sozlash (yoki egar) yo'lini anglatadi, unda modeldagi barcha cheklovlar qondiriladi. Bu dinamik tizimning barqaror yo'lidir. Qizil chiziqlar transversallik sharti bilan chiqarib tashlanadigan dinamik yo'llarni aks ettiradi.

Uchun ikkita bog'langan differentsial tenglama ${displaystyle k}$ va ${displaystyle c}$ Ramsey-Cass-Koopmansni tashkil qiladi dinamik tizim. Uning barqaror holat, sozlash orqali topilgan ${displaystyle {nuqta {k}}}$ va ${displaystyle {nuqta {c}}}$ nolga teng, juftlik bilan berilgan ${displaystyle (k ^ {ast}, c ^ {ast})}$ tomonidan aniq belgilanmagan

{displaystyle f_ {k} chap (k ^ {ast} ight) = delta + ho quad {ext {and}} quad c ^ {ast} = fleft (k ^ {ast} ight) - (n + delta) k ^ {ast}}

Haqida sifatli bayonot eritmaning barqarorligi ${displaystyle (k ^ {ast}, c ^ {ast})}$ birinchi tartib bo'yicha chiziqlashni talab qiladi Teylor polinomi

{displaystyle {egin {bmatrix} {nuqta {k}} {nuqta {c}} oxir {bmatrix}} taxminan mathbf {J} (k ^ {ast}, c ^ {ast}) {egin {bmatrix} (kk ^ {ast}) (cc ^ {ast}) end {bmatrix}}}

qayerda ${displaystyle mathbf {J} (k ^ {ast}, c ^ {ast})}$ bo'ladi Yakobian matritsasi barqaror holatda baholanadi,^[5-eslatma] tomonidan berilgan

{displaystyle mathbf {J} chap (k ^ {ast}, c ^ {ast} ight) = {egin {bmatrix} ho -n & -1 {frac {1} {sigma}} f_ {kk} (k) cdot c ^ {ast} va 0end {bmatrix}}}

qaysi bor aniqlovchi ${displaystyle left | mathbf {J} left (k ^ {ast}, c ^ {ast} ight) ight | = {frac {1} {sigma}} f_ {kk} (k) cdot c ^ {ast} <0 }$ beri ${displaystyle c}$ har doim ijobiy, ${displaystyle sigma}$ taxmin bo'yicha ijobiy va faqat ${displaystyle f_ {kk}}$ beri salbiy ${displaystyle f}$ bu konkav. Determinant ko'paytmasiga teng bo'lgani uchun o'zgacha qiymatlar, o'z qiymatlari haqiqiy va belgi bilan qarama-qarshi bo'lishi kerak.^[6] Shuning uchun barqaror manifold teoremasi, muvozanat a egar nuqtasi va muvozanatga yaqinlashadigan, fazalar diagrammasidagi ko'k egri chiziq bilan ko'rsatilgan noyob barqaror qo'l yoki "egar yo'li" mavjud. Tizim "egar yo'li barqaror" deb nomlanadi, chunki barcha beqaror traektoriyalar "yo'q" tomonidan bekor qilinadi Ponzi sxemasi ”Sharti:^[7]

{displaystyle lim _ {t o infty} kcdot e ^ {- int _ {0} ^ {t} chap (f_ {k} -n-delta ight) mathrm {d} s} geq 0}

shuni anglatadiki hozirgi qiymat kapitalning salbiy bo'lishi mumkin emas.^[6-eslatma]

Tarix

Nayza va Yang 1950 va 1960 yillarda optimal o'sish tarixini qayta ko'rib chiqmoqdalar,^[8] qisman da'vo qilingan bir vaqtning o'zida va mustaqil ravishda ishlab chiqilgan Kassning "Kapital to'plashning agregativ modelidagi optimal o'sish" (1965 yilda nashr etilgan Iqtisodiy tadqiqotlar sharhi ) va Tjalling Kopmanning "Optimal iqtisodiy o'sish kontseptsiyasi to'g'risida" (Taraqqiyotni rejalashtirish bo'yicha ekonometrik yondashuv bo'yicha Study Week-da nashr etilgan, 1965, Rim: Pontifik akademiyasi).

Ularning hayoti davomida na Kass, na Kopmans hech qachon ularning bir tarmoqli va doimiy o'sish modelidagi optimal o'sishni tavsiflovchi natijalarini "bir vaqtning o'zida va mustaqil" bo'lishidan boshqa narsa deb taxmin qilishmagan. Prioritet masalasi har doim muhokama nuqtasiga aylanganligi, faqatgina Kopmansning ishining nashr etilgan versiyasida, keyinchalik Kassning tezisining bobini keltirganligi bilan bog'liq edi. RES qog'oz. Kopmans o'z maqolasida Kass mustaqil ravishda Kopmans topganga o'xshash sharoitlarni olganligini va Kass diskontlash stavkasi nolga teng bo'lgan cheklovni ko'rib chiqishini ta'kidladi. O'z navbatida, Kass "ushbu maqolaning asl nusxasi tugagandan so'ng, Koopmans tomonidan shunga o'xshash tahlillar bizning e'tiborimizga tushdi. Biz uning natijalariga ko'ra cheklangan ishni muhokama qilamiz, bu erda samarali ijtimoiy diskontlash stavkasi nolga teng bo'ladi" . Kass bergan intervyusida Makroiqtisodiy dinamikasi, u Kopmansni Frank Ramsining avvalgi ishiga ishora qilgani sababli, buni bilmaganligidan uyalganini aytdi, lekin uning ishi va Kopmansning aslida mustaqil bo'lganligi haqidagi asosiy da'voni bekor qilish uchun hech narsa demaydi.

Nayza va Yang ushbu tarixni, Kopmansning ilgari esdan chiqarilgan ish qog'ozi versiyasiga asoslanib,^[9] tomonidan tashkil qilingan konferentsiyada Koopmans tomonidan tez-tez keltirilgan taqdimot uchun asos bo'lgan Pontifik Fanlar akademiyasi 1963 yil oktyabrda.^[10] Ushbu Cowles munozarasi qog'ozida xato bor. Kupmans o'zining asosiy natijasida Eyler tenglamalari modeldagi optimal traektoriyalarni tavsiflash uchun zarur va etarli ekanligini ta'kidlaydi, chunki Eyler tenglamalariga optimal barqaror holatga yaqinlashmagan har qanday echimlar nol iste'molga yoki kapitalning nol chegarasiga to'g'ri keladi. cheklangan vaqt. Ushbu xato, ehtimol, Vatikan konferentsiyasida keltirilgan edi, ammo Kopmans uni taqdim etgan paytda hech bir ishtirokchi muammoga izoh bermadi. Buni taxmin qilish mumkin, chunki Vatikan konferentsiyasidagi har bir ma'ruza nutqidan keyingi munozara konferentsiya hajmida so'zma-so'z saqlanib qoladi.

Vatikan jildidagi muhokamada, tomonidan taqdim etilgan maqoladan keyin Edmond Malinvaud, masala Malinvaudning "transversallik sharti" (Malinvaud I shart deb ataydigan) deb nomlangan hujjatni aniq kiritganligi sababli paydo bo'ldi. Taqdimot yakunida Kopmans Malinvuddan I sharti shunchaki Eyler tenglamalari echimlari maqbul barqaror holatga yaqinlashmaganligi uchun cheklangan vaqt ichida chegarani bosib o'tishiga kafolat beradimi, deb so'raydi. Malinvaud bunday emas deb javob beradi va Kopmansga misolni log utility funktsiyalari va Cobb-Duglas ishlab chiqarish funktsiyalari bilan qarashni taklif qiladi.

Shu o'rinda, Kopmans o'zining muammosi borligini aniq anglaydi, ammo Vatikan konferentsiyasidan so'ng nashr etilgan maqolaning keyingi versiyasiga chalkash qo'shimchaga asoslanib, u Malinvaudning I sharti bilan ko'tarilgan masalani qanday hal qilishni hal qilolmaydiganga o'xshaydi.

Dan Makroiqtisodiy dinamikasi Kass bilan suhbat, Koopmans Kassning tezis bo'yicha maslahatchisi bilan uchrashgani aniq, Xirofumi Uzawa, ning qishki yig'ilishlarida Ekonometrik jamiyat 1964 yil yanvar oyida Uzawa unga shogirdi [Kass] allaqachon bu muammoni hal qilgan deb maslahat bergan edi. Keyinchalik Uzawa Kopmansga Kassning tezislar bobining nusxasini taqdim etgan bo'lishi kerak, u uni, ehtimol, Kopmans o'z maqolasining nashr qilingan versiyasida keltirgan IMSSS Texnik Hisoboti niqobi ostida yuborgan. Bu erda "guise" so'zi o'rinli, chunki Kopmansning iqtibosida keltirilgan TR raqami hisobotning chiqarilgan kunini 1950-yillarning boshlarida qo'ygan bo'lar edi, ammo bu aniq emas edi.

Koopmansning qog'ozining nashr etilgan versiyasida u Eyler tenglamalariga qo'shimcha ravishda yangi shartli Alfa-ni o'rnatdi, chunki u Eyler tenglamalarini qondiradiganlar orasida yagona maqbul model traektoriyalar modelning barqaror barqaror holatiga yaqinlashadi. Ushbu natija Kassning qog'ozida, Kassning kitobning tegishli qismlaridan chiqargan transversallik sharti asosida olingan. Lev Pontryagin.^[11] Koopmans bu yo'lni Malinvaud yoki Kassning transversalite texnologiyasini ham "qarz" qilganday tuyulmoqchi emasligi uchun olib borgan degan Nayza va Yangning taxminlari.

Malinvaudning 1950-yillarda qo'shgan hissalarini va shu bilan birga transversallik holatining muhimligini sezgi-nayzasini tadqiq qilish asosida - Nayza va Yangning ta'kidlashicha, o'sishning yangi-klassik modelini Ramsey-Malinvaud-Kass modeli deb nomlash yaxshiroqdir. Cass-Koopmans sharafli.

Izohlar

^ Bu natija nafaqat tejash stavkasining bir xilligi, balki modeldagi agentlarning rejalashtirish ufqining cheksizligi bilan ham bog'liq; u endogen tejash stavkalari bo'lgan boshqa modellarda mavjud emas, ammo avlodlararo dinamikasi ancha murakkab, masalan Samuelsonniki yoki Olmosniki bir-birini takrorlaydigan avlodlar modellari.
^ Bu taxmin ${displaystyle lim _ {c o 0} u_ {c} = infty}$ aslida tahlil uchun hal qiluvchi ahamiyatga ega. Agar ${displaystyle u_ {c} (0)$ , keyin past qiymatlari uchun ${displaystyle k}$ ning optimal qiymati ${displaystyle c}$ 0 ga teng va shuning uchun agar ${displaystyle k (0)}$ etarlicha past bo'lsa, u erda dastlabki vaqt oralig'i mavjud ${displaystyle {nuqta {c}} = 0}$ xatto .. bo'lganda ham ${displaystyle f_ {k} -delta -ho> 0}$ , qarang Nvdal, E. (2019). "Ramsey-Kass-Kupmans o'sishining kanonik modelidan yangi tushunchalar". Makroiqtisodiy dinamikasi. doi:10.1017 / S1365100519000786.
^ Ramsey-Kass-Kopmans muammosi uchun Hamiltonian
${displaystyle H = e ^ {- ho t} u (c) + mu chap [f (k) - (n + delta) k-cight]}$
qayerda ${displaystyle mu}$ bo'ladi costate o'zgaruvchan odatda iqtisodiy jihatdan izohlanadi soya narxi. Chunki terminal qiymati ${displaystyle k}$ bepul, ammo salbiy bo'lmasligi mumkin, a transversallik sharti ${displaystyle lim _ {t o infty} mu cdot k = 0}$ ga o'xshash Karush-Kann-Takerning "qo'shimcha sustligi" holati zarur. Hamiltoniyani maksimal darajaga ko'tarish uchun birinchi darajadagi shartlardan iste'mol uchun harakat tenglamasini olish mumkin, qarang. Fergyuson, Brayan S.; Lim, G. C. (1998). Dinamik iqtisodiy modellarga kirish. Manchester universiteti matbuoti. 174–175 betlar. ISBN 978-0-7190-4997-2, yoki Gandolfo, Jankarlo (1996). Iqtisodiy dinamikalar (3-nashr). Berlin: Springer. 381-384-betlar. ISBN 978-3-540-60988-9.
^ Muammoni klassik bilan ham hal qilish mumkin o'zgarishlarni hisoblash usullari, qarang Xadli, G.; Kemp, M. C. (1971). Iqtisodiyotda o'zgaruvchan usullar. Nyu-York: Elsevier. 50-71 betlar. ISBN 978-0-444-10097-9.
^ Ramsey-Cass-Koopmans tizimining Yakobian matritsasi
${displaystyle mathbf {J} chap (k, cight) = {egin {bmatrix} {frac {qisman {nuqta {k}}} {qisman k}} va {frac {qisman {nuqta {k}}} {qisman c} } {frac {qisman {nuqta {c}}} {qisman k}} va {frac {qisman {nuqta {c}}} {qisman c}} oxir {bmatrix}} = {egin {bmatrix} f_ {k} (k) - (n + delta) & - 1 {frac {1} {sigma}} f_ {kk} (k) cdot c & {frac {1} {sigma}} chap [f_ {k} (k) - delta -ho ight] end {bmatrix}}}$
Qarang Afonso, Oskar; Vasconcelos, Paulo B. (2016). Hisoblash iqtisodiyoti: qisqacha kirish. Nyu-York: Routledge. p. 163. ISBN 978-1-138-85965-4.
^ "Ponzi yo'q sxemasi" sharti Hamiltonianning transversallik holatidan kelib chiqishini ko'rsatish mumkin, qarang Barro, Robert J.; Sala-i-Martin, Xaver (2004). Iqtisodiy o'sish (Ikkinchi nashr). Nyu-York: McGraw-Hill. 91-92 betlar. ISBN 978-0-262-02553-9.

Adabiyotlar

^ Ramsey, Frank P. (1928). "Saqlashning matematik nazariyasi". Iqtisodiy jurnal. 38 (152): 543–559. doi:10.2307/2224098. JSTOR 2224098.
^ Kass, Devid (1965). "Kapital to'plashning agregativ modelidagi optimal o'sish". Iqtisodiy tadqiqotlar sharhi. 32 (3): 233–240. doi:10.2307/2295827. JSTOR 2295827.
^ Koopmans, T. C. (1965). "Optimal iqtisodiy o'sish kontseptsiyasi to'g'risida". Rivojlanishni rejalashtirishga iqtisodiy yondashuv. Chikago: Rand McNally. 225-287 betlar.
^ Collard, Devid A. (2011). "Ramsey, tejash va avlodlar". Iqtisodchilar avlodlari. London: Routledge. 256-273 betlar. ISBN 978-0-415-56541-7.
^ Blanshard, Olivye Jan; Fischer, Stenli (1989). Makroiqtisodiyot bo'yicha ma'ruzalar. Kembrij: MIT Press. 41-43 betlar. ISBN 978-0-262-02283-5.
^ Beavis, Brayan; Dobbs, Yan (1990). Iqtisodiy tahlil uchun optimallashtirish va barqarorlik nazariyasi. Nyu-York: Kembrij universiteti matbuoti. p. 157. ISBN 978-0-521-33605-5.
^ Ri, Terri L.; Smit, Rodni B. V.; Saraçoğlu, D. Sirin (2009). Multisektorli o'sish modellari: nazariyasi va qo'llanilishi. Nyu-York: Springer. p. 48. ISBN 978-0-387-77358-2.
^ Nayza, S. E .; Young, W. (2014). "Tegmaslik tejash va optimal o'sish: Cass-Malinvaud-Koopmans Nexus". Makroiqtisodiy dinamikasi. 18 (1): 215–243. doi:10.1017 / S1365100513000291.
^ Koopmans, Tjalling (1963 yil dekabr). "Optimal iqtisodiy o'sish kontseptsiyasi to'g'risida" (PDF). Cowles Foundation munozarasi 163.
^ McKenzie, Lionel (2002). "O'sish nazariyasi bo'yicha ba'zi dastlabki konferentsiyalar". Bitrosda Jorj; Katsoulakos, Yannis (tahrir). Iqtisodiy nazariya, o'sish va mehnat bozorlarida insholar. "Cheltenxem": Edvard Elgar. 3-8 betlar. ISBN 978-1-84064-739-6.
^ Pontryagin, Lev; Boltyanskiy, Vladimir; Gamkrelidze, Revaz; Mishchenko, Evgenii (1962). Optimal jarayonlarning matematik nazariyasi. Nyu-York: Jon Uili.

Qo'shimcha o'qish

Acemoglu, Daron (2009). "Neoklassik o'sish modeli". Zamonaviy iqtisodiy o'sishga kirish. Prinston: Prinston universiteti matbuoti. 287–326 betlar. ISBN 978-0-691-13292-1.
Barro, Robert J.; Sala-i-Martin, Xaver (2004). "Iste'molchilarni optimallashtirish bilan o'sish modellari". Iqtisodiy o'sish (Ikkinchi nashr). Nyu-York: McGraw-Hill. 85–142 betlar. ISBN 978-0-262-02553-9.
Benassi, Jan-Paskal (2011). "Ramsey modeli". Makroiqtisodiy nazariya. Nyu-York: Oksford universiteti matbuoti. 145-160 betlar. ISBN 978-0-19-538771-1.
Blanshard, Olivye Jan; Fischer, Stenli (1989). "Iste'mol va sarmoyalar: asosiy cheksiz ufq modellari". Makroiqtisodiyot bo'yicha ma'ruzalar. Kembrij: MIT Press. 37-89 betlar. ISBN 978-0-262-02283-5.
Miao, Tszianjun (2014). "Neoklassik o'sish modellari". Diskret vaqtdagi iqtisodiy dinamikalar. Kembrij: MIT Press. 353-364 betlar. ISBN 978-0-262-02761-8.
Novales, Alfonso; Fernandes, Ester; Ruiz, Jezus (2009). "Optimal o'sish: vaqtni doimiy tahlil qilish". Iqtisodiy o'sish: nazariya va raqamli echim usullari. Berlin: Springer. 101-154 betlar. ISBN 978-3-540-68665-1.
Romer, Dovud (2011). "Cheksiz-ufq va bir-birini takrorlaydigan avlodlar modellari". Kengaytirilgan makroiqtisodiyot (To'rtinchi nashr). Nyu-York: McGraw-Hill. 49-77 betlar. ISBN 978-0-07-351137-5.

Tashqi havolalar

Orazio Attanasio tomonidan Ramsining asl ishini muhokama qilish kuni YouTube

[4] Bu natija nafaqat tejash stavkasining bir xilligi, balki modeldagi agentlarning rejalashtirish ufqining cheksizligi bilan ham bog'liq; u endogen tejash stavkalari bo'lgan boshqa modellarda mavjud emas, ammo avlodlararo dinamikasi ancha murakkab, masalan Samuelsonniki yoki Olmosniki bir-birini takrorlaydigan avlodlar modellari.

[6] Bu taxmin ${displaystyle lim _ {c o 0} u_ {c} = infty}$ aslida tahlil uchun hal qiluvchi ahamiyatga ega. Agar ${displaystyle u_ {c} (0)$ , keyin past qiymatlari uchun ${displaystyle k}$ ning optimal qiymati ${displaystyle c}$ 0 ga teng va shuning uchun agar ${displaystyle k (0)}$ etarlicha past bo'lsa, u erda dastlabki vaqt oralig'i mavjud ${displaystyle {nuqta {c}} = 0}$ xatto .. bo'lganda ham ${displaystyle f_ {k} -delta -ho> 0}$ , qarang Nvdal, E. (2019). "Ramsey-Kass-Kupmans o'sishining kanonik modelidan yangi tushunchalar". Makroiqtisodiy dinamikasi. doi:10.1017 / S1365100519000786.

[7] Ramsey-Kass-Kopmans muammosi uchun Hamiltonian
${displaystyle H = e ^ {- ho t} u (c) + mu chap [f (k) - (n + delta) k-cight]}$
qayerda ${displaystyle mu}$ bo'ladi costate o'zgaruvchan odatda iqtisodiy jihatdan izohlanadi soya narxi. Chunki terminal qiymati ${displaystyle k}$ bepul, ammo salbiy bo'lmasligi mumkin, a transversallik sharti ${displaystyle lim _ {t o infty} mu cdot k = 0}$ ga o'xshash Karush-Kann-Takerning "qo'shimcha sustligi" holati zarur. Hamiltoniyani maksimal darajaga ko'tarish uchun birinchi darajadagi shartlardan iste'mol uchun harakat tenglamasini olish mumkin, qarang. Fergyuson, Brayan S.; Lim, G. C. (1998). Dinamik iqtisodiy modellarga kirish. Manchester universiteti matbuoti. 174–175 betlar. ISBN 978-0-7190-4997-2, yoki Gandolfo, Jankarlo (1996). Iqtisodiy dinamikalar (3-nashr). Berlin: Springer. 381-384-betlar. ISBN 978-3-540-60988-9.

[8] Muammoni klassik bilan ham hal qilish mumkin o'zgarishlarni hisoblash usullari, qarang Xadli, G.; Kemp, M. C. (1971). Iqtisodiyotda o'zgaruvchan usullar. Nyu-York: Elsevier. 50-71 betlar. ISBN 978-0-444-10097-9.

[10] Ramsey-Cass-Koopmans tizimining Yakobian matritsasi
${displaystyle mathbf {J} chap (k, cight) = {egin {bmatrix} {frac {qisman {nuqta {k}}} {qisman k}} va {frac {qisman {nuqta {k}}} {qisman c} } {frac {qisman {nuqta {c}}} {qisman k}} va {frac {qisman {nuqta {c}}} {qisman c}} oxir {bmatrix}} = {egin {bmatrix} f_ {k} (k) - (n + delta) & - 1 {frac {1} {sigma}} f_ {kk} (k) cdot c & {frac {1} {sigma}} chap [f_ {k} (k) - delta -ho ight] end {bmatrix}}}$
Qarang Afonso, Oskar; Vasconcelos, Paulo B. (2016). Hisoblash iqtisodiyoti: qisqacha kirish. Nyu-York: Routledge. p. 163. ISBN 978-1-138-85965-4.

[13] "Ponzi yo'q sxemasi" sharti Hamiltonianning transversallik holatidan kelib chiqishini ko'rsatish mumkin, qarang Barro, Robert J.; Sala-i-Martin, Xaver (2004). Iqtisodiy o'sish (Ikkinchi nashr). Nyu-York: McGraw-Hill. 91-92 betlar. ISBN 978-0-262-02553-9.

[1] Ramsey, Frank P. (1928). "Saqlashning matematik nazariyasi". Iqtisodiy jurnal. 38 (152): 543–559. doi:10.2307/2224098. JSTOR 2224098.

[2] Kass, Devid (1965). "Kapital to'plashning agregativ modelidagi optimal o'sish". Iqtisodiy tadqiqotlar sharhi. 32 (3): 233–240. doi:10.2307/2295827. JSTOR 2295827.

[3] Koopmans, T. C. (1965). "Optimal iqtisodiy o'sish kontseptsiyasi to'g'risida". Rivojlanishni rejalashtirishga iqtisodiy yondashuv. Chikago: Rand McNally. 225-287 betlar.

[5] Collard, Devid A. (2011). "Ramsey, tejash va avlodlar". Iqtisodchilar avlodlari. London: Routledge. 256-273 betlar. ISBN 978-0-415-56541-7.

[9] Blanshard, Olivye Jan; Fischer, Stenli (1989). Makroiqtisodiyot bo'yicha ma'ruzalar. Kembrij: MIT Press. 41-43 betlar. ISBN 978-0-262-02283-5.

[11] Beavis, Brayan; Dobbs, Yan (1990). Iqtisodiy tahlil uchun optimallashtirish va barqarorlik nazariyasi. Nyu-York: Kembrij universiteti matbuoti. p. 157. ISBN 978-0-521-33605-5.

[12] Ri, Terri L.; Smit, Rodni B. V.; Saraçoğlu, D. Sirin (2009). Multisektorli o'sish modellari: nazariyasi va qo'llanilishi. Nyu-York: Springer. p. 48. ISBN 978-0-387-77358-2.

[14] Nayza, S. E .; Young, W. (2014). "Tegmaslik tejash va optimal o'sish: Cass-Malinvaud-Koopmans Nexus". Makroiqtisodiy dinamikasi. 18 (1): 215–243. doi:10.1017 / S1365100513000291.

[15] Koopmans, Tjalling (1963 yil dekabr). "Optimal iqtisodiy o'sish kontseptsiyasi to'g'risida" (PDF). Cowles Foundation munozarasi 163.

[16] McKenzie, Lionel (2002). "O'sish nazariyasi bo'yicha ba'zi dastlabki konferentsiyalar". Bitrosda Jorj; Katsoulakos, Yannis (tahrir). Iqtisodiy nazariya, o'sish va mehnat bozorlarida insholar. "Cheltenxem": Edvard Elgar. 3-8 betlar. ISBN 978-1-84064-739-6.

[17] Pontryagin, Lev; Boltyanskiy, Vladimir; Gamkrelidze, Revaz; Mishchenko, Evgenii (1962). Optimal jarayonlarning matematik nazariyasi. Nyu-York: Jon Uili.

[1]

[2]

[3]

[eslatma 1]

[4]

[2-eslatma]

[3-eslatma]

[4-eslatma]

[5]

[5-eslatma]

[6]

[7]

[6-eslatma]

[8]

[9]

[10]

[11]

Iqtisodiyot
Iqtisodiy nazariya Siyosiy iqtisod Amaliy iqtisodiyot
Metodika	Iqtisodiy model Iqtisodiy tizimlar Mikrofondlar Matematik iqtisodiyot Ekonometriya Hisoblash iqtisodiyoti Eksperimental iqtisodiyot Nashrlar
Mikroiqtisodiyot	Birlashtirish muammosi Byudjet belgilandi Iste'molchilar tanlovi Qavariqlik Narxi O'rtacha Marginal Imkoniyat Ijtimoiy Cho'kib ketgan Tranzaksiya Xarajatlar va foyda tahlili O'lik vazn yo'qotish Tarqatish Miqyos iqtisodiyoti Iqtisodiyot ko'lami Elastiklik Muvozanat Umumiy Tashqi Firma Tovarlar va xizmatlar Tovarlar Xizmat Befarqlik egri chizig'i Qiziqish Vaqtlararo tanlov Bozor Bozor muvaffaqiyatsizligi Bozor tarkibi Musobaqa Monopolistik Zo'r Monopoliya Ikki tomonlama Monopsoniya Oligopoliya Oligopsoniya Qavariq emas Pareto samaradorligi Afzallik Narx Ishlab chiqarish to'plami Foyda Jamiyat foydasi Foyda darajasi Rationing Ijara O'lchovga qaytadi Xatarlardan qochish Kamlik Kamchilik Ortiqcha Ijtimoiy tanlov Talab va talab Savdo Noaniqlik Qulaylik Kutilmoqda Marginal Qiymat Ish haqi Nashrlar
Makroiqtisodiyot	Umumiy talab To'lov balansi Biznes tsikli Imkoniyatlardan foydalanish Kapital parvoz Markaziy bank Iste'molchiga bo'lgan ishonch Valyuta Deflyatsiya Shokni talab qiling Depressiya Ajoyib Dezinflyatsiya DSGE Samarali talab Kutishlar Moslashuvchan Ratsional Fiskal siyosat Umumiy nazariya Keyns O'sish Ko'rsatkichlar Inflyatsiya Giperinflyatsiya Stavka foizi Sarmoya IS-LM modeli Milliy daromad va mahsulot o'lchovlari Modellar Pul Yaratilish Talab Ta'minot Pul-kredit siyosati NAIRU Milliy hisoblar Narx darajasi PPP Turg'unlik Saqlash Shrinkflyatsiya Stagflyatsiya Ta'minot shoki Ishsizlik Nashrlar
Matematik iqtisodiyot	Shartnoma nazariyasi Qarorlar nazariyasi Ekonometriya O'yin nazariyasi Kirish-chiqarish modeli Matematik moliya Mexanizm dizayni Operatsion tadqiqotlar
Amaliy maydonlar	Qishloq xo'jaligi Biznes Demografik Rivojlanish Iqtisodiy geografiya Iqtisodiy tarix Ta'lim Sanoat muhandisligi Qurilish ishi Atrof-muhit Moliyaviy Sog'liqni saqlash Sanoat tashkiloti Xalqaro Bilim Mehnat Huquq va iqtisodiyot Pul Tabiiy resurs Iqtisodiy rejalashtirish Iqtisodiy siyosat Jamiyat iqtisodiyoti Ommaviy tanlov Mintaqaviy Xizmat Ijtimoiy-iqtisodiy Iqtisodiy sotsiologiya Iqtisodiy statistika Transport Shahar Ijtimoiy farovonlik
Maktablar (tarix ) iqtisodiy fikr	Amerika (milliy) Qadimgi fikr Anarxist Mutualizm Avstriyalik Xulq-atvorga oid Buddist Chartalizm Zamonaviy pul nazariyasi Chikago Klassik Muvozanat Ekologik Evolyutsion Feminist Georgizm Heterodoks Tarixiy Institutsional Keynscha Neo- (neoklassik-keynesian sintez ) Yangi Post- O'chirish Asosiy oqim Maltuziylik Marginalizm Markscha Neo Merkantilizm Neoklassik Lozanna Yangi klassik Haqiqiy biznes-tsikl nazariyasi Yangi institutsional Fiziokratiya Sotsialistik Stokgolm Ta'minot tomoni Termoiqtisodiyot
E'tiborli iqtisodchilar va mutafakkirlar iqtisodiyot doirasida	Fransua Kuesnay Adam Smit Devid Rikardo Tomas Robert Maltus Iogann Geynrix fon Tyunen Fridrix ro'yxati Hermann Geynrix Gossen Jyul Dyupit Antuan Avgustin Kurso John Stuart Mill Karl Marks Uilyam Stenli Jevons Genri Jorj Leon Valras Alfred Marshall Georg Fridrix Knapp Frensis Ysidro Edgevort Vilfredo Pareto Fridrix fon Vizer Jon Bates Klark Torshteyn Veblen John R. Commons Irving Fisher Uesli Kler Mitchell Jon Maynard Keyns Jozef Shumpeter Artur Sesil Pigu Frank Nayt Jon fon Neyman Alvin Xansen Jeykob Viner Edvard Chemberlin Ragnar Frish Garold Hotelling Mixal Kalecki Oskar R. Lange Yoqub Marschak Gunnar Mirdal Abba P. Lerner Roy Xarrod Piero Sraffa Simon Kuznets Joan Robinson E. F. Shumaxer Fridrix Xayek Jon Xiks Tjalling Koopmans Nikolas Georgesku-Rogen Vasili Leontiv Jon Kennet Galbraith Ximan Minskiy Gerbert A. Simon Milton Fridman Pol Samuelson Kennet Arrow Uilyam Baumol Gari Beker Elinor Ostrom Robert Solou Amartya Sen Robert Lukas Jr. Jozef Stiglitz Richard Taler Pol Krugman Tomas Piketi Ko'proq
Xalqaro tashkilotlar	Osiyo-Tinch okeani iqtisodiy hamkorligi Iqtisodiy hamkorlik tashkiloti Evropa erkin savdo uyushmasi Xalqaro valyuta fondi Iqtisodiy hamkorlik va taraqqiyot tashkiloti Jahon banki Jahon savdo tashkiloti
Turkum Indeks Ro'yxatlar Kontur Nashrlar Biznes-portal