Lukes variatsion printsipi - Lukes variational principle - Wikipedia

Yilda suyuqlik dinamikasi, Luqoning variatsion printsipi a Lagrangian o'zgaruvchan harakatining tavsifi sirt to'lqinlari a suyuqlik bilan erkin sirt, harakati ostida tortishish kuchi. Ushbu tamoyil uni 1967 yilda nashr etgan J.K.Lukning nomi bilan atalgan.^[1] Ushbu o'zgaruvchanlik tamoyili siqilmaydigan va noaniq potentsial oqimlar, va shunga o'xshash taxminiy to'lqin modellarini olish uchun ishlatiladi yumshoq qiyalik tenglamasi,^[2] yoki yordamida o'rtacha Lagrangian bir hil bo'lmagan muhitda to'lqin tarqalishi uchun yondashuv.^[3]

Luqraning Lagranjiy formulasini a ga qayta tiklash mumkin Hamiltoniyalik erkin sirtdagi sirt balandligi va tezlik potentsiali bo'yicha formulalar.^[4]^[5]^[6] Bu ko'pincha modellashtirishda ishlatiladi spektral zichlik a-da erkin sirt evolyutsiyasi dengiz davlati, ba'zan chaqiriladi to'lqin turbulentligi.

Ikkala Lagranj va Hamilton formulalarini o'z ichiga olgan holda kengaytirish mumkin sirt tarangligi effektlari va foydalanish orqali Clebsch potentsiali qo'shmoq girdob.^[1]

Luqoning lagrangiani

Luqoning Lagrangian shakllantirish uchun chiziqli emas sirt tortishish to'lqinlarisiqilmaydigan, irrotatsion va noaniq —potentsial oqim.

Ushbu oqimni tavsiflash uchun zarur bo'lgan tarkibiy qismlar:

Φ(x,z,t) bo'ladi tezlik potentsiali,
r suyuqlikdir zichlik,
g tomonidan tezlanish Yerning tortishish kuchi,
x komponentlar bilan gorizontal koordinata vektori x va y,
x va y gorizontal koordinatalar,
z vertikal koordinata,
t vaqt, va
G - gorizontal gradient operator, shuning uchun ∇Φ gorizontal oqim tezligi dan tashkil topganΦ/∂x va ∂Φ/∂y,
V(t) bu bo'shliqqa ega bo'lgan vaqtga bog'liq suyuqlik sohasi.

Lagranj ${ displaystyle { mathcal {L}}}$ Luqo tomonidan berilgan:

{ displaystyle { mathcal {L}} = - int _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} left { iiint _ {V (t)} rho left [{ frac { qismli Phi} { qismli t}} + { frac {1} {2}} chap | { boldsymbol { nabla}} Phi right | ^ {2} + { frac {1} { 2}} chap ({ frac { qismli Phi} { qismli z}} o'ng) ^ {2} + g , z right] ; { text {d}} x ; { matn {d}} y ; { text {d}} z ; right } ; { text {d}} t.}

Kimdan Bernulli printsipi, bu Lagrangianni ko'rish mumkin ajralmas suyuqlik bosim butun vaqtga bog'liq bo'lgan suyuqlik domenida V(t). Bu topilgan erkin sirtsiz inviskid oqimining variatsion printsiplariga mos keladi Garri Beytmen.^[7]

O'zgarish tezlik potentsialiga nisbatan Φ(x,z,t) va shunga o'xshash erkin harakatlanadigan yuzalar z=η(x,t) natijalari Laplas tenglamasi suyuq ichki qismdagi potentsial uchun va barcha kerakli narsalar chegara shartlari: kinematik barcha suyuqlik chegaralaridagi chegara shartlari va dinamik erkin sirtlarda chegara shartlari.^[8] Bunga harakatlanuvchi to'lqin ishlab chiqaruvchi devorlar va kema harakati ham kirishi mumkin.

Erkin suyuqlik yuzasi gorizontal ravishda chegaralanmagan domen uchun z=η(x,t) va belgilangan yotoq z=−h(x), Luqoning variatsion printsipi Lagrangianga olib keladi:

{ displaystyle { mathcal {L}} = - , int _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} iint left { int _ {- h ({ boldsymbol {x}} )} ^ { eta ({ boldsymbol {x}}, t)} rho , chap [{ frac { kısalt Phi} { qismli t}} + , { frac {1} { 2}} chap | { boldsymbol { nabla}} Phi o'ng | ^ {2} + , { frac {1} {2}} chap ({ frac { qismli Phi} { qisman z}} o'ng) ^ {2} o'ng] ; { matn {d}} z ; + , { frac {1} {2}} , rho , g , eta ^ {2} right } ; { text {d}} { boldsymbol {x}} ; { text {d}} t.}

To'shak darajasidagi atama mutanosib h² potentsial energiyaga e'tibor berilmagan, chunki u doimiy va o'zgarishlarga hissa qo'shmaydi. Quyida potentsial oqimdagi chiziqli bo'lmagan sirt tortishish to'lqinlari uchun oqim tenglamalariga kelish uchun Luqoning variatsion printsipi qo'llaniladi.

Lyukning variatsion printsipidan kelib chiqadigan oqim tenglamalarini chiqarish

Turlanish ${ displaystyle delta { mathcal {L}} = 0}$ tezlik potentsialining o'zgarishiga nisbatan Lagrangiyada Φ(x,z,t), shuningdek, sirt balandligiga nisbatan η(x,t), nol bo'lishi kerak. Keyinchalik ikkala o'zgarishni ham ko'rib chiqamiz.

Tezlik potentsialiga nisbatan o'zgarish

Kichkina o'zgarishni ko'rib chiqing δΦ tezlik potentsialida Φ.^[8] Keyin Lagranjdagi o'zgarish quyidagicha:

{ displaystyle { begin {aligned} delta _ { Phi} { mathcal {L}} , & = , { mathcal {L}} ( Phi + delta Phi, eta) , - , { mathcal {L}} ( Phi, eta) & = , - , int _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} iint left { int _ {- h ({ boldsymbol {x}})} ^ { eta ({ boldsymbol {x}}, t)} rho , left ({ frac { partional ( delta Phi)}) { qismli t}} + , { boldsymbol { nabla}} Phi cdot { boldsymbol { nabla}} ( delta Phi) + , { frac { qism Phi} { qism z}} , { frac { qismli ( delta Phi)} { qismli z}} , o'ng) ; { text {d}} z , right } ; { text {d}} { boldsymbol {x}} ; { text {d}} t. end {aligned}}}

Foydalanish Leybnitsning integral qoidasi, bu doimiy zichlikda bo'ladi r:^[8]

{ displaystyle { begin {aligned} delta _ { Phi} { mathcal {L}} , = , & - , rho , int _ {t_ {0}} ^ {t_ {1 }} iint left {{ frac { qismli} { qismli t}} int _ {- h ({ boldsymbol {x}})} ^ { eta ({ boldsymbol {x}}, t)} delta Phi ; { text {d}} z ; + , { boldsymbol { nabla}} cdot int _ {- h ({ boldsymbol {x}})} ^ ^ { eta ({ boldsymbol {x}}, t)} delta Phi , { boldsymbol { nabla}} Phi ; { text {d}} z , right } ; { matn {d}} { boldsymbol {x}} ; { text {d}} t & + , rho , int _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} iint left { int _ {- h ({ boldsymbol {x}})} ^ { eta ({ boldsymbol {x}}, t)} delta Phi ; left ({ boldsymbol {) nabla}} cdot { boldsymbol { nabla}} Phi , + , { frac { qismli ^ {2} Phi} { qismli z ^ {2}}} o'ng) ; { matn {d}} z , right } ; { text {d}} { boldsymbol {x}} ; { text {d}} t & + , rho , int _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} iint left [ left ({ frac { kısalt eta} { qismli t}} , + , { boldsymbol { nabla}} Phi cdot { boldsymbol { nabla}} eta , - , { frac { kısalt Phi} { qisman z}} o'ng) , delta Phi right] _ {z = eta ({ boldsymbol {x}}, t)} ; { text {d}} { bolds ymbol {x}} ; { text {d}} t & - , rho , int _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} iint left [ left ({ boldsymbol { nabla}} Phi cdot { boldsymbol { nabla}} h , + , { frac { qism Phi} { qismli z}} o'ng) , delta Phi o'ng] _ {z = -h ({ boldsymbol {x}})} ; { text {d}} { boldsymbol {x}} ; { text {d}} t = , & 0 . end {hizalangan}}}

O'ng tomondagi birinchi integral, chegaralar bilan birlashadi x va t, integratsiya domenining va o'zgargandan beri nolga teng δΦ ushbu chegaralarda nolga teng deb qabul qilinadi. Variantlar uchun δΦ erkin yuzada va yotoqda nolga teng bo'lgan ikkinchi integral qoladi, bu o'zboshimchalik uchun atigi nolga teng δΦ mavjud bo'lsa, suyuq ichki qismida Laplas tenglamasi ushlab turadi:

{ displaystyle Delta Phi , = , 0 qquad { text {for}} - h ({ boldsymbol {x}}) , <, z , <, eta ({ boldsymbol) {x}}, t),}

ph = ∇ · ∇ + ∂ bilan²/∂z² The Laplas operatori.

Agar farqlar bo'lsa δΦ erkin sirtda faqat nolga teng bo'lmagan, faqat uchinchi integral qoladi va erkin yuzaning kinematik chegara shartini keltirib chiqaradi:

{ displaystyle { frac { qismli eta} { qismli t}} , + , { boldsymbol { nabla}} Phi cdot { boldsymbol { nabla}} eta , - , { frac { qismli Phi} { qismli z}} , = , 0. qquad { text {at}} z , = , eta ({ boldsymbol {x}}, t) .}

Xuddi shunday, farqlar δΦ pastki qismida faqat nolga teng bo'lmagan z = -h Natijada kinematik yotoq holati:

{ displaystyle { boldsymbol { nabla}} Phi cdot { boldsymbol { nabla}} h , + , { frac { qism Phi} { qismli z}} , = , 0 qquad { text {at}} z , = , - h ({ boldsymbol {x}}).}

Sirt balandligiga nisbatan o'zgarishi

Lagranjning kichik o'zgarishlarga nisbatan o'zgarishini hisobga olgan holda δη beradi:

{ displaystyle delta _ { eta} { mathcal {L}} , = , { mathcal {L}} ( Phi, eta + delta eta) , - , { mathcal { L}} ( Phi, eta) = , - , int _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} iint left [ rho , delta eta , left ( { frac { qismli Phi} { qismli t}} + , { frac {1} {2}} , chap | { boldsymbol { nabla}} Phi right | ^ {2} , + , { frac {1} {2}} , chap ({ frac { qismli Phi} { qismli z}} o'ng) ^ {2} + , g , eta right) , right] _ {z = eta ({ boldsymbol {x}}, t)} ; { text {d}} { boldsymbol {x}} ; { text {d} } t , = , 0.}

O'zboshimchalik uchun bu nolga teng bo'lishi kerak δη, erkin sirtdagi dinamik chegara holatini keltirib chiqaradi:

{ displaystyle { frac { kısmi Phi} { qismli t}} + , { frac {1} {2}} , chap | { boldsymbol { nabla}} Phi right | ^ {2} , + , { frac {1} {2}} , chap ({ frac { qismli Phi} { qismli z}} o'ng) ^ {2} + , g , eta , = , 0 qquad { text {at}} z , = , eta ({ boldsymbol {x}}, t).}

Bu Bernulli tenglamasi erkin sirtda qo'llaniladigan va erkin sirt ustidagi bosim doimiy bo'lgan beqaror potentsial oqim uchun - soddalik uchun doimiy bosim nolga teng bo'ladi.

Gamilton formulasi

The Hamiltoniyalik potentsial oqimdagi sirt tortishish to'lqinlarining tuzilishi tomonidan kashf etilgan Vladimir E. Zaxarov 1968 yilda va tomonidan mustaqil ravishda qayta kashf etilgan Bert Broer va Jon Maylz:^[4]^[5]^[6]

{ displaystyle { begin {aligned} rho , { frac { qismli eta} { qismli t}} , & = , + , { frac { delta { mathcal {H}} } { delta varphi}}, rho , { frac { kısmi varphi} { qisman t}} , & = , - , { frac { delta { mathcal {H }}} { delta eta}}, end {aligned}}}

bu erda sirt balandligi η va sirt potentsiali φ - bu potentsial Φ erkin yuzada z=η(x,t) - ular kanonik o'zgaruvchilar. Hamiltoniyalik ${ displaystyle { mathcal {H}} ( varphi, eta)}$ ning yig'indisi kinetik va potentsial energiya suyuqlik:

{ displaystyle { mathcal {H}} , = , iint left { int _ {- h ({ boldsymbol {x}})} ^ { eta ({ boldsymbol {x}}, t)} { frac {1} {2}} , rho , left [ left | { boldsymbol { nabla}} Phi right | ^ {2} , + , left ( { frac { qismli Phi} { qismli z}} o'ng) ^ {2} o'ng] , { matn {d}} z , + , { frac {1} {2}} , rho , g , eta ^ {2} right } ; { text {d}} { boldsymbol {x}}.}

Qo'shimcha cheklov shundaki, suyuqlik sohasidagi oqim qondirilishi kerak Laplas tenglamasi pastki qismida tegishli chegara sharti bilan z=-h(x) va erkin sirtdagi potentsial z=η ga teng φ: ${ displaystyle delta { mathcal {H}} / delta Phi , = , 0.}$

Lagranj formulasi bilan bog'liqlik

Gamilton formulasini Luqoning Lagranj tavsifidan foydalanib olish mumkin Leybnitsning integral qoidasi ∂ integrali bo'yichaΦ/∂t:^[6]

{ displaystyle { mathcal {L}} _ {H} = int _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} iint left { varphi ({ boldsymbol {x}}, t) , { frac { qismli eta ({ boldsymbol {x}}, t)} { qismli t}} , - , H ( varphi, eta; { boldsymbol {x}}, t ) right } ; { text {d}} { boldsymbol {x}} ; { text {d}} t,}

bilan ${ displaystyle varphi ({ boldsymbol {x}}, t) = Phi ({ boldsymbol {x}}, eta ({ boldsymbol {x}}, t), t)}$ erkin sirtdagi tezlik potentsialining qiymati va ${ displaystyle H ( varphi, eta; { boldsymbol {x}}, t)}$ Hamilton zichligi - kinetik va potentsial energiya zichligi yig'indisi va Hamiltonian bilan quyidagicha bog'liq:

{ displaystyle { mathcal {H}} ( varphi, eta) , = , iint H ( varphi, eta; { boldsymbol {x}}, t) ; { text {d} } { boldsymbol {x}}.}

Gamilton zichligi yordamida sirt potentsiali bo'yicha yoziladi Yashilning uchinchi shaxsiyati kinetik energiya bo'yicha:^[9]

{ displaystyle H , = , { frac {1} {2}} , rho , { sqrt {1 , + , left | { boldsymbol { nabla}} eta right | ^ {2}}} ; ; varphi , { bigl (} D ( eta) ; varphi { bigr)} , + , { frac {1} {2}} , rho , g , eta ^ {2},}

qayerda D.(η) φ ga teng normal ∂ ning hosilasiΦ/∂n erkin yuzada. Laplas tenglamasi chiziqli bo'lgani uchun - suyuqlikning ichki qismida va yotoqdagi chegara holatiga bog'liq z=-h va erkin sirt z=η - normal lotin ∂Φ/∂n a chiziqli sirt potentsialining funktsiyasi φ, lekin sirt balandligiga chiziqli emas η. Bu bilan ifodalanadi Dirichlet-Neyman operator D.(η), chiziqli harakat qiladi φ.

Hamilton zichligi quyidagicha yozilishi mumkin:^[6]

{ displaystyle H , = , { frac {1} {2}} , rho , varphi , { Bigl [} w , left (1 , + , left | { boldsymbol { nabla}} eta right | ^ {2} right) - , { boldsymbol { nabla}} eta cdot { boldsymbol { nabla}} , varphi { Bigr] } , + , { frac {1} {2}} , rho , g , eta ^ {2},}

bilan w(x,t) = ∂Φ/∂z erkin sirtdagi vertikal tezlik z = η. Shuningdek w a chiziqli sirt potentsialining funktsiyasi φ Laplas tenglamasi orqali, lekin w sirt balandligiga chiziqli emas η:^[9]

{ displaystyle w , = , W ( eta) , varphi,}

bilan V ishlaydigan chiziqli φ, lekin chiziqli emas η. Natijada, Gamiltonian kvadratikdir funktsional sirt potentsialining φ. Shuningdek, Gamiltonianning potentsial energiya qismi kvadratikdir. Sirtning tortishish to'lqinlaridagi chiziqli bo'lmagan manbalar kinetik energiya orqali erkin sirt shakliga bog'liq η.^[9]

Keyinchalik ∇φ gorizontal tezlik bilan adashmaslik kerak ∇Φ erkin sirtda:

{ displaystyle { boldsymbol { nabla}} varphi , = , { boldsymbol { nabla}} Phi { bigl (} { boldsymbol {x}}, eta ({ boldsymbol {x}) }, t), t { bigr)} , = , chap [{ boldsymbol { nabla}} Phi , + , { frac { qism Phi} { qismli z}} , { boldsymbol { nabla}} eta right] _ {z = eta ({ boldsymbol {x}}, t)} , = , { Bigl [} { boldsymbol { nabla}} Phi { Bigr]} _ {z = eta ({ boldsymbol {x}}, t)} , + , w , { boldsymbol { nabla}} eta.}

Lagranjning o'zgarishini hisobga olgan holda ${ displaystyle { mathcal {L}} _ {H}}$ kanonik o'zgaruvchilarga nisbatan ${ displaystyle varphi ({ boldsymbol {x}}, t)}$ va ${ displaystyle eta ({ boldsymbol {x}}, t)}$ beradi:

{ displaystyle { begin {aligned} rho , { frac { kısalt eta} { qismli t}} , & = , + , { frac { delta { mathcal {H}} } { delta varphi}}, rho , { frac { kısmi varphi} { qisman t}} , & = , - , { frac { delta { mathcal {H }}} { delta eta}}, end {aligned}}}

suyuq ichki qismida taqdim etilgan Φ Laplas tenglamasini Δ qondiradiΦ= 0, shuningdek, pastki chegara sharti z=-h va Φ=φ erkin yuzada.

Adabiyotlar va eslatmalar

^ ^a ^b J. C. Lyuk (1967). "Erkin sirtli suyuqlik uchun o'zgaruvchanlik printsipi". Suyuqlik mexanikasi jurnali. 27 (2): 395–397. Bibcode:1967JFM .... 27..395L. doi:10.1017 / S0022112067000412.
^ M. V. Dingemans (1997). Tengsiz tekisliklar bo'ylab suv to'lqinlarini ko'paytirish. Okean muhandisligi bo'yicha ilg'or seriyalar. 13. Singapur: Jahon ilmiy. p. 271. ISBN 981-02-0427-2.
^ G. B. Uitham (1974). Lineer va nonlineer to'lqinlar. Wiley-Intertersience. p. 555. ISBN 0-471-94090-9.
^ ^a ^b V. E. Zaxarov (1968). "Chuqur suyuqlik yuzasida cheklangan amplituda davriy to'lqinlarning barqarorligi". Amaliy mexanika va texnik fizika jurnali. 9 (2): 190–194. Bibcode:1968 yil JAMTP ... 9..190Z. doi:10.1007 / BF00913182. Dastlab paydo bo'lgan Jurnal Prildadnoi Mekhaniki i Texnikheskoi Fiziki 9(2): 86–94, 1968.
^ ^a ^b L. J. F. Broer (1974). "Yuzaki to'lqinlarning Gamilton nazariyasi to'g'risida". Amaliy ilmiy tadqiqotlar. 29: 430–446. doi:10.1007 / BF00384164.
^ ^a ^b ^v ^d J. W. Miles (1977). "Gemiltonning sirt to'lqinlari printsipi to'g'risida". Suyuqlik mexanikasi jurnali. 83 (1): 153–158. Bibcode:1977JFM .... 83..153M. doi:10.1017 / S0022112077001104.
^ X.Beteman (1929). "Siqilgan suyuqlikning ikki o'lchovli harakatida yuzaga keladigan differentsial tenglama va unga bog'liq o'zgaruvchan muammolar to'g'risida eslatmalar". London Qirollik jamiyati materiallari A. 125 (799): 598–618. Bibcode:1929RSPSA.125..598B. doi:10.1098 / rspa.1929.0189.
^ ^a ^b ^v G. V. Uitam (1974). Lineer va nonlineer to'lqinlar. Nyu York: Vili. 434-436 betlar. ISBN 0-471-94090-9.
^ ^a ^b ^v D. M. Milder (1977). "Gemiltonning sirt to'lqinlari printsipi to'g'risida'". Suyuqlik mexanikasi jurnali. 83 (1): 159–161. Bibcode:1977JFM .... 83..159M. doi:10.1017 / S0022112077001116.

[Luke-1] J. C. Lyuk (1967). "Erkin sirtli suyuqlik uchun o'zgaruvchanlik printsipi". Suyuqlik mexanikasi jurnali. 27 (2): 395–397. Bibcode:1967JFM .... 27..395L. doi:10.1017 / S0022112067000412.

[Ding1997-2] M. V. Dingemans (1997). Tengsiz tekisliklar bo'ylab suv to'lqinlarini ko'paytirish. Okean muhandisligi bo'yicha ilg'or seriyalar. 13. Singapur: Jahon ilmiy. p. 271. ISBN 981-02-0427-2.

[Whit1974-3] G. B. Uitham (1974). Lineer va nonlineer to'lqinlar. Wiley-Intertersience. p. 555. ISBN 0-471-94090-9.

[Zakharov1968-4] V. E. Zaxarov (1968). "Chuqur suyuqlik yuzasida cheklangan amplituda davriy to'lqinlarning barqarorligi". Amaliy mexanika va texnik fizika jurnali. 9 (2): 190–194. Bibcode:1968 yil JAMTP ... 9..190Z. doi:10.1007 / BF00913182. Dastlab paydo bo'lgan Jurnal Prildadnoi Mekhaniki i Texnikheskoi Fiziki 9(2): 86–94, 1968.

[Broer1974-5] L. J. F. Broer (1974). "Yuzaki to'lqinlarning Gamilton nazariyasi to'g'risida". Amaliy ilmiy tadqiqotlar. 29: 430–446. doi:10.1007 / BF00384164.

[Miles1977-6] v ^d J. W. Miles (1977). "Gemiltonning sirt to'lqinlari printsipi to'g'risida". Suyuqlik mexanikasi jurnali. 83 (1): 153–158. Bibcode:1977JFM .... 83..153M. doi:10.1017 / S0022112077001104.

[Bateman1929-7] X.Beteman (1929). "Siqilgan suyuqlikning ikki o'lchovli harakatida yuzaga keladigan differentsial tenglama va unga bog'liq o'zgaruvchan muammolar to'g'risida eslatmalar". London Qirollik jamiyati materiallari A. 125 (799): 598–618. Bibcode:1929RSPSA.125..598B. doi:10.1098 / rspa.1929.0189.

[Whitham1974-8] v G. V. Uitam (1974). Lineer va nonlineer to'lqinlar. Nyu York: Vili. 434-436 betlar. ISBN 0-471-94090-9.

[Milder1977-9] v D. M. Milder (1977). "Gemiltonning sirt to'lqinlari printsipi to'g'risida'". Suyuqlik mexanikasi jurnali. 83 (1): 159–161. Bibcode:1977JFM .... 83..159M. doi:10.1017 / S0022112077001116.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

Jismoniy okeanografiya
To'lqinlar	Havo to'lqinlari nazariyasi Ballantin shkalasi Benjamin - Feirning beqarorligi Bussinesqga yaqinlashish To'lqinni sindirish Klapotis Knoidal to'lqin Dengizni kesib o'tish Tarqoqlik To'lqin to'lqini Ekvatorial to'lqinlar Qabul qiling Gravitatsiya to'lqini Yashil qonun Infragravitatsiya to'lqini Ichki to'lqin Iribarren raqami Kelvin to'lqini Kinematik to'lqin Longhore drift Luqoning variatsion printsipi Yumshoq nishabli tenglama Radiatsion stress Rog'un GESi to'lqini Rossbi to'lqini Rossby-tortishish to'lqinlari Dengiz davlati Seiche To'lqinning sezilarli balandligi Soliton Stokning chegara qatlami Stoks drift Stoklar to'lqinlanmoqda Shish Troxoidal to'lqin Tsunami megatsunami Undertow Ursell raqami To'lqin harakati To'lqinlar bazasi To'lqin balandligi To'lqin kuchi To'lqinli radar To'lqinlarni sozlash To'lqinlarni shoaling To'lqin turbulentligi To'lqin va oqimning o'zaro ta'siri To'lqinlar va sayoz suvlar bir o'lchovli Sen-Venant tenglamalari sayoz suv tenglamalari Shamol to'lqini model
Sirkulyatsiya	Atmosfera aylanishi Baroklinlik Chegaraviy oqim Koriolis kuchi Koriolis - Stoks kuchi Kreyk-Leybovich girdob kuchi Pastga tushish Eddi Ekman qatlami Ekman spirali Ekman transporti El-Nino-Janubiy tebranish Umumiy aylanish modeli Okeanning geokimyoviy qismlarini o'rganish Geostrofik oqim Global Ocean Data Analysis Loyihasi Gulf Stream Galotermik qon aylanishi Gumboldt oqimi Gidrotermal qon aylanishi Langmuirning aylanishi Longhore drift Oqim oqimi Modulli okean modeli Okean oqimi Okean dinamikasi Okean gyre Princeton okean modeli Rip oqimi Yer osti oqimlari Sverdrup balansi Termohalin aylanishi o'chirish; yopish Upwelling Shamol hosil bo'lgan oqim Girdob Jahon okeanining aylanma eksperimenti
Tides	Amfidromik nuqta Yer to'lqini Tide rahbari Ichki oqim Lunitidal interval Perigean bahor fasllari Kelgusi to'lqin O'n ikkinchi qoidalar Sekin suv G'alati tuynuk Gelgit kuchi Gelgit kuchi Gelgit poygasi Tidal oralig'i Gelgit rezonansi Tide gauge Vaqt chizig'i Suv oqimlari nazariyasi
Yer shakllari	Abissal muxlisi Abyssal tekisligi Atoll Bimetrik jadval Sohil geografiyasi Sovuq oqim Qit'a chegarasi Kontinental ko'tarilish Kontinental tokcha Konturit Yigit Gidrografiya Okean havzasi Okean platosi Okean xandagi Passiv marj Dengiz tubi Seamount Dengiz osti kanyoni Dengiz osti vulqoni
Plitalar tektonika	Konvergent chegara Turli xil chegara Singan zonasi Gidrotermal shamollatish Dengiz geologiyasi O'rta okean tizmasi Mohorovichichni to'xtatish Vine-Matthews-Morley gipotezasi Okean qobig'i Tashqi xandaq shishadi Ridge surish Dengiz tubining tarqalishi Plitani tortib olish Plitani emdirish Plitalar oynasi Subduktsiya Transformatsiya xatosi Vulkanik yoy
Okean zonalari	Bentik Chuqur okean suvi Chuqur dengiz Littoral Mesopelagik Okean Pelagik Fotosurat Sörf Swash
Dengiz sathi	Tsunamilar haqida chuqur okeanni baholash va hisobot Kelajakdagi dengiz sathi Global dengiz sathini kuzatish tizimi Shimoliy G'arbiy tokcha operatsion okeanografik tizim Dengiz sathining egri chizig'i Dengiz sathining ko'tarilishi Jahon geodezik tizimi
Akustika	Chuqur tarqalgan qatlam Gidroakustika Okean akustik tomografiyasi Sofar bombasi SOFAR kanali Suv osti akustikasi
Sun'iy yo'ldoshlar	Jeyson-1 Jeyson-2 (Okean yuzasi topografiyasi missiyasi) Jeyson-3
Bog'liq	Argo Bentik qo'nish Suvning rangi DSV Alvin Marginal dengiz Dengiz energiyasi Dengiz ifloslanishi Bog'lanish Milliy Okeanografik ma'lumotlar markazi Okean Okeanni o'rganish Okean kuzatuvlari Okeanni qayta tahlil qilish Okean yuzasi relyefi Okeanning issiqlik energiyasini konversiyasi Okeanografiya Pelagik cho'kindi Dengiz yuzasi mikro qatlami Dengiz sathining harorati Dengiz suvi Sferadagi fan Termoklin Suv osti planeri Suv ustuni Jahon okean atlasi
Okeanlar portali Turkum Umumiy