Yashillar qonuni - Greens law - Wikipedia

Ochiq kanal uchun to'lqin tenglamasi

Boshlanish nuqtasi chiziqlangan bir o'lchovli Sen-Venant tenglamalari uchun ochiq kanal to'rtburchaklar kesma bilan (vertikal yon devorlar). Ushbu tenglamalar bilan to'lqinning evolyutsiyasini tavsiflaydi erkin sirt balandlik ${ displaystyle eta (x, t)}$ va gorizontal oqim tezligi ${ displaystyle u (x, t),}$ bilan ${ displaystyle x}$ kanal o'qi bo'ylab gorizontal koordinata va ${ displaystyle t}$ vaqt:

${ displaystyle { begin {aligned} & b , { frac { qismli eta} { qismli t}} + { frac { qismli (b , h , u)} { qisman x}} = 0, & { frac { qismli u} { qismli t}} + g , { frac { qismli eta} { qismli x}} = 0, end {hizalangan}}}$

qayerda ${ displaystyle g}$ bo'ladi Yerning tortishish kuchi (doimiy sifatida qabul qilingan), ${ displaystyle h}$ bo'ladi anglatadi suv chuqurligi, ${ displaystyle b}$ kanal kengligi va ${ displaystyle kısmi / qisman t}$ va ${ displaystyle kısmi / qisman x}$ belgilaydi qisman hosilalar makon va vaqtga nisbatan. Kenglikning sekin o'zgarishi ${ displaystyle b}$ va chuqurlik ${ displaystyle h}$ masofa bilan ${ displaystyle x}$ kanal o'qi bo'ylab ularni quyidagicha belgilash orqali hisobga olinadi ${ displaystyle b ( mu x)}$ va ${ displaystyle h ( mu x),}$ qayerda ${ displaystyle mu}$ kichik parametr: ${ displaystyle mu ll 1.}$ Yuqoridagi ikkita tenglama bittaga birlashtirilishi mumkin to'lqin tenglamasi sirt balandligi uchun:

${ displaystyle { frac { kısmi ^ {2} eta} { qismli t ^ {2}}} - { frac {g} {b}} , { frac { qismli} { qismli x }} chap (b , h , { frac { qismli eta} { qismli x}} o'ng) = 0,}$   va quyidagi tezlik bilan  ${ displaystyle u = -g int { frac { qismli eta} { qismli x}} ; mathrm {d} t.}$

(1)

Liovil-Yashil usulida yuqoridagi to'lqin tenglamasini bilan konvertatsiya qilish kerak bir hil bo'lmagan koeffitsientlar bir hilga aylanadi (ba'zi kichik qoldiqlarni hisobga olmaganda ${ displaystyle mu}$).

Mustaqil o'zgaruvchi sifatida to'lqin fazasiga o'tish

Keyingi qadam a ni qo'llashdir koordinatali transformatsiya, sayohat vaqtini tanishtirish (yoki to'lqin fazasi ) ${ displaystyle tau}$ tomonidan berilgan

${ displaystyle { frac { mathrm {d} x} { mathrm {d} tau}} = { sqrt {g , h}},}$   shunday   ${ displaystyle tau = int _ {x_ {0}} ^ {x} { frac {1} { sqrt {g , h ( mu s)}}}}; mathrm {d} s}$

va ${ displaystyle x}$ orqali bog'langan tezkorlik ${ displaystyle c = { sqrt {gh}}.}$ Bilan tanishtirish sekin o'zgaruvchi ${ displaystyle X = mu x}$ va ning hosilalarini bildiruvchi ${ displaystyle b (X)}$ va ${ displaystyle h (X)}$ munosabat bilan ${ displaystyle X}$ asosiy bilan, masalan. ${ displaystyle b '= mathrm {d} b / mathrm {d} X,}$ The ${ displaystyle x}$-to'lqin tenglamasidagi hosilalar, tenglama. (1), bo'lish:

${ displaystyle { begin {aligned} & { frac { qismli eta} { qismli x}} = chap ({ frac { mathrm {d} x} { mathrm {d} tau}} o'ng) ^ {- 1} , { frac { qismli eta} { qismli tau}} = { frac {1} { sqrt {g , h}}} , { frac { kısmi eta} { qismli tau}} qquad { text {va}} & { frac { qismli} { qisman x}} chap (b , h , { frac { qism eta} { qismli x}} o'ng) = b , h , { frac { qismli ^ {2} eta} { qisman x ^ {2}}} + mu chap ( b ', h + b , h' o'ng) , { frac { qismli eta} { qisman x}} = { frac {b} {g}} , { frac { qism ^ {2} eta} { kısmi tau ^ {2}}} + mu , { frac {b ', h + { tfrac {1} {2}} , b , h'} { sqrt {gh}}} , { frac { qismli eta} { qismli tau}}. end {hizalanmış}}}$

Endi to'lqin tenglamasi (1) quyidagilarga aylanadi:

${ displaystyle { frac { kısalt ^ {2} eta} { qismli t ^ {2}}} - { frac { qismli ^ {2} eta} { qismli tau ^ {2}} } - mu , { sqrt {g , h}} , chap ({ frac {b '} {b}} + { tfrac {1} {2}} , { frac {h '} {h}} o'ng) , { frac { qismli eta} { qismli tau}} = 0.}$

(2)

Keyingi qadam tenglamani shunday o'zgartiradiki, ikkinchisida faqat bir hillikdan og'ish bo'ladi yaqinlashtirish tartibi qoladi, ya'ni mutanosib ${ displaystyle mu ^ {2}.}$

Keyinchalik bir hillikka o'tish

Bir hil to'lqin tenglamasi (ya'ni tenglama (2) qachon ${ displaystyle mu}$ nolga teng) echimlarga ega ${ displaystyle eta = F (t pm tau)}$ uchun sayohat to'lqinlari doimiy yoki salbiy yoki ijobiy tomonga tarqaladigan shakl ${ displaystyle x}$- yo'nalish. Bir hil bo'lmagan holat uchun, musbat tarqaladigan to'lqinlarni hisobga olgan holda ${ displaystyle x}$- yo'nalish, Green taxminiy echimni taklif qiladi:

${ displaystyle eta ( tau, t) = Theta (X) , F (t- tau).}$

(3)

Keyin

${ displaystyle { begin {aligned} { frac { kısmi ^ {2} eta} { qismli t ^ {2}}} & = Theta , { frac { mathrm {d} ^ {2 } F} { mathrm {d} tau ^ {2}}}, { frac { kısmi eta} { qismli tau}} & = Theta , { frac { mathrm {d } F} { mathrm {d} tau}} + mu , { sqrt {g , h}} , Theta ', F qquad { text {and}} { frac { kısmi ^ {2} eta} { qismli tau ^ {2}}} & = Theta , { frac { mathrm {d} ^ {2} F} { mathrm {d} tau ^ {2}}} + 2 , mu , { sqrt {g , h}} , Theta ', { frac { mathrm {d} F} { mathrm {d} tau }} + mu ^ {2} , g , h , Theta '' , F. end {hizalangan}}}$

Endi chap tomon tenglamaning (2) bo'ladi:

${ displaystyle mu , { sqrt {g , h}} , chap (2 , { frac { Theta '} { Theta}} + { frac {b'} {b}} + { tfrac {1} {2}} , { frac {h '} {h}} right) , Theta , { frac { mathrm {d} F} { mathrm {d} tau}} + mu ^ {2} , g , h , chap ({ frac { Theta ''} { Theta '}} + { frac {b'} {b}} + { tfrac {1} {2}} , { frac {h '} {h}} right) , Theta' , F.}$

Shunday qilib, tenglamada taklif qilingan echim (3) tenglamani qondiradi (2), va shuning uchun ham tenglama. (1) yuqoridagi ikki atamadan tashqari mutanosib ${ displaystyle mu}$ va ${ displaystyle mu ^ {2}}$, bilan ${ displaystyle mu ll 1.}$ Yechimdagi xato buyurtma asosida amalga oshirilishi mumkin ${ displaystyle { mathcal {O}} ( mu ^ {2})}$ taqdim etilgan

${ displaystyle 2 , { frac { Theta '} { Theta}} + { frac {b'} {b}} + { tfrac {1} {2}} , { frac {h ' } {h}} = 0.}$

Buning echimi bor:

${ displaystyle Theta (X) = alfa , b ^ {- { tfrac {1} {2}}} , h ^ {- { tfrac {1} {4}}}.}$

Tenglamadan foydalanish. (3) dan transformatsiya ${ displaystyle x}$ ga ${ displaystyle tau}$, sirt balandligi uchun taxminiy echim ${ displaystyle eta (x, t)}$ bu

${ displaystyle eta (x, t) = b ^ {- { tfrac {1} {2}}} (x) ; h ^ {- { tfrac {1} {4}}} (x) ; F chap (t- int _ {x_ {0}} ^ {x} { frac {1} { sqrt {g , h (s)}}} ; mathrm {d} s right ) + { mathcal {O}} ( mu ^ {2}),}$

(4)

qaerda doimiy ${ displaystyle alpha}$ biriga o'rnatildi, umumiylikni yo'qotmasdan. Salbiy yo'nalishda harakatlanadigan to'lqinlar ${ displaystyle x}$- yo'nalish funktsiya argumentida minus belgisiga ega ${ displaystyle F}$ plyus belgisiga qaytarildi. Nazariya chiziqli bo'lgani uchun, chunki echimlarni qo'shish mumkin superpozitsiya printsipi.

Sinusoidal to'lqinlar va Grin qonuni

To'lqinlar har xil sinusoidal vaqtida, bilan davr ${ displaystyle T,}$ hisobga olinadi. Anavi

${ displaystyle eta (x, t) = a (x) , sin ( omega , t- phi (x)) = { tfrac {1} {2}} , H (x) , sin ( omega , t- phi (x)),}$

qayerda ${ displaystyle a}$ bo'ladi amplituda, ${ displaystyle H = 2a}$ bo'ladi to'lqin balandligi, ${ displaystyle omega = 2 pi / T}$ bo'ladi burchak chastotasi va ${ displaystyle phi (x)}$ bo'ladi to'lqin fazasi. Binobarin, shuningdek ${ displaystyle F}$ tenglamada (4) sinus to'lqin bo'lishi kerak, masalan. ${ displaystyle F = beta sin ( omega t- phi (x))}$ bilan ${ displaystyle beta}$ doimiy.

Ushbu shakllarini qo'llash ${ displaystyle eta}$ va ${ displaystyle F}$ tenglamada (4) beradi:

${ displaystyle H , b ^ { tfrac {1} {2}} , h ^ { tfrac {1} {4}} = beta,}$

qaysi Yashil qonun.

Oqim tezligi

Gorizontal oqim tezligi ${ displaystyle x}$- yo'nalish to'g'ridan-to'g'ri sirt balandligi uchun eritmani almashtirishdan kelib chiqadi ${ displaystyle eta (x, t)}$ tenglamadan (4) uchun ifodaga ${ displaystyle u (x, t)}$ tenglamada (1):^[10]

${ displaystyle { begin {aligned} u (x, t) & = g ^ { tfrac {1} {2}} ; b ^ {- { tfrac {1} {2}}} (x) ; h ^ {- { tfrac {3} {4}}} (x) ; F chap (t- int _ {x_ {0}} ^ {x} { frac {1} { sqrt { g , h (s)}}} ; mathrm {d} s right) & + mu , { tfrac {1} {2}} , g , b ^ {- { tfrac {1} {2}}} (x) ; h ^ {- { tfrac {1} {4}}} (x) ; { frac {(b , { sqrt {h}}) '} {b , { sqrt {h}}}} , Phi (x, t) + { frac {Q} {b (x) , h (x)}} + { mathcal {O }} chap ( mu ^ {2} o'ng), & qquad { text {with}} qquad Phi (x, t) = int _ {t_ {0}} ^ {t} F chap ( sigma - int _ {x_ {0}} ^ {x} { frac {1} { sqrt {g , h (s)}}} ; mathrm {d} s right ) ; mathrm {d} sigma end {aligned}}}$

va ${ displaystyle Q}$ qo'shimcha doimiy tushirish.

E'tibor bering - qachon kengligi ${ displaystyle b}$ va chuqurlik ${ displaystyle h}$ doimiy emas - atama mutanosib atama ${ displaystyle Phi (x, t)}$ degan ma'noni anglatadi ${ displaystyle { mathcal {O}} ( mu)}$ (kichik) balandlik o'rtasidagi o'zgarishlar farqi ${ displaystyle eta}$ va tezlik ${ displaystyle u}$.

Tezlik amplituda bo'lgan sinusoidal to'lqinlar uchun ${ displaystyle V,}$ oqim tezligi etakchi buyurtma kabi^[8]

${ displaystyle V , b ^ { tfrac {1} {2}} , h ^ { tfrac {3} {4}} = { text {constant}}.}$

Buni gorizontal karavot uchun kutish mumkin edi ${ displaystyle V = { sqrt {g , h}} , (a / h) = { sqrt {g / h}} , a}$ bilan ${ displaystyle a}$ to'lqin amplitudasi.