Knoidal to'lqin - Cnoidal wave

O'lchovsizlashtirish

Barcha miqdorlarni bajarish mumkin o'lchovsiz tortishish tezlanishidan foydalangan holda g va suv chuqurligi h:

${ displaystyle { tilde { eta}} = { frac { eta} {h}},}$   ${ displaystyle { tilde {x}} = { frac {x} {h}}}$   va   ${ displaystyle { tilde {t}} = { sqrt { frac {g} {h}}} , t.}$

Natijada hosil bo'lgan KdV tenglamasining o'lchovsiz shakli^[17]

${ displaystyle kısalt _ { tilde {t}} { tilde { eta}} + qismli _ { tilde {x}} { tilde { eta}} + { tfrac {3} {2} } , { tilde { eta}} , kısalt _ { tilde {x}} { tilde { eta}} + { tfrac {1} {6}} , qismli _ { tilde {x}} ^ {3} { tilde { eta}} = 0,}$

Qolgan qismida tillar yozuvlar qulayligi uchun tashlanadi.

Standart shaklga aloqadorlik

Shakl

${ displaystyle kısalt _ { hat {t}} phi +6 , phi qismli _ { hat {x}} phi + kısalt _ { hat {x}} ^ {3} phi = 0}$

transformatsiya orqali olinadi

${ displaystyle { hat {t}} = { tfrac {1} {6}} , t, ,}$   ${ displaystyle { hat {x}} = x-t ,}$   va   ${ displaystyle phi = { tfrac {3} {2}} , eta, ,}$

ammo ushbu shakl bundan keyin ushbu hosilada ishlatilmaydi.

Ruxsat etilgan shaklda tarqaladigan to'lqinlar

Vaqti-vaqti bilan to'lqinli echimlar, bilan sayohat qilish o'zgarishlar tezligi v, qidirilmoqda. Ushbu doimiy to'lqinlar quyidagilardan iborat bo'lishi kerak:

${ displaystyle eta = eta ( xi) ,}$   bilan ${ displaystyle xi}$ The to'lqin fazasi:   ${ displaystyle xi = x-c , t. ,}$

Natijada, makon va vaqtga nisbatan qisman hosilalar quyidagicha bo'ladi:

${ displaystyle kısalt _ {x} eta = eta ',}$   va   ${ displaystyle kısalt _ {t} eta = -c , eta ', ,}$

qayerda η ' belgisini bildiradi oddiy lotin ning η(ξ) ga nisbatan dalil ξ.

KdV tenglamasida ulardan foydalanib, quyidagi uchinchi tartib oddiy differentsial tenglama olinadi:^[18]

${ displaystyle { tfrac {1} {6}} , eta '' '+ chap (1-c o'ng) , eta' + { tfrac {3} {2}} , eta , eta '= 0. ,}$

Birinchi tartibli oddiy differentsial tenglamaga integratsiya

Bu bo'lishi mumkin birlashtirilgan bir marta olish uchun:^[18]

${ displaystyle { tfrac {1} {6}} eta '' + chap (1-c right) , eta + { tfrac {3} {4}} , eta ^ {2} = { tfrac {1} {4}} r, ,}$

bilan r an integratsiya doimiysi. 4 bilan ko'paytirilgandan so'ngη 'va yana bir bor integratsiya^[18]

${ displaystyle { tfrac {1} {3}} chap ( eta ' o'ng) ^ {2} +2 , chap (1-c o'ng) , eta ^ {2} + eta ^ {3} = r , eta + s, ,}$

Kubik polinom f (η) ning davriy to'lqinli eritmalarida uchraydigan kabi Korteweg – de Fris tenglamasi va Benjamin - Bona - Maaxoni tenglamasi.

bilan s boshqa integratsiya doimiysi. Bu shaklda yozilgan

${ displaystyle { tfrac {1} {3}} chap ( eta ' o'ng) ^ {2} = f ( eta) ,}$   bilan   ${ displaystyle f ( eta) = - eta ^ {3} +2 , left (c-1 right) , eta ^ {2} + r , eta + s. ,}$

(A)

Kubik polinom f(η) ning katta ijobiy qiymatlari uchun salbiy bo'ladi η, ning katta salbiy qiymatlari uchun ijobiy η. Sirt balandligidan η bu haqiqiy qadrlanadi, shuningdek, integratsiya barqarorlari r va s haqiqiydir. Polinom f bilan ifodalanishi mumkin ildizlar η₁, η₂ va η₃:^[7]

${ displaystyle f ( eta) = - chap ( eta - eta _ {1} right) , left ( eta - eta _ {2} right) , left ( eta - eta _ {3} o'ng).}$

(B)

Chunki f(η) haqiqiy qadrlanadi, uchta ildiz η₁, η₂ va η₃ yoki uchalasi ham haqiqiydir, aks holda bittasi haqiqiy, qolgan ikkitasi esa juftlik murakkab konjugatlar. Ikkinchi holatda, faqat bitta haqiqiy qiymatga ega ildiz bilan bitta balandlik mavjud η unda f(η) nolga teng. Binobarin, sirt faqat bitta balandlik Nishab η ' nolga teng. Biroq, biz to'lqinlarni ikkita balandlik bilan to'lqinlar kabi qidirmoqdamiz tepalik va truba (fizika) - bu erda sirt qiyaligi nolga teng. Xulosa shuki, uchta ildiz ham f(η) haqiqiy qiymatga ega bo'lishi kerak.

Umumiylikni yo'qotmasdan, uchta haqiqiy ildiz quyidagicha tartiblangan deb taxmin qilinadi.

${ displaystyle eta _ {1} geq eta _ {2} geq eta _ {3}. ,}$

Birinchi tartibli oddiy-differentsial tenglamaning echimi

Endi, tenglamadan (A) faqat qiyalik uchun haqiqiy qiymatlar mavjudligini ko'rish mumkin, agar f(η) ijobiy. Bu bilan mos keladi η₂ ≤ η≤ η₁, shuning uchun bu sirt balandligi tebranadigan oraliqdir, shuningdek, ning grafigiga qarang f (η). Ushbu holat balandlikning quyidagi tasviri bilan qondiriladi η(ξ):^[7]

${ displaystyle eta ( xi) = eta _ {1} ; cos ^ {2} , psi ( xi) + eta _ {2} , sin ^ {2} , psi ( xi),}$

(C)

izlanayotgan to'lqin echimlarining davriy xarakteriga muvofiq va ψ(ξ) bosqichi trigonometrik funktsiyalar gunoh va cos. Ushbu shakldan, turli xil atamalarning quyidagi tavsiflari tenglamalarda (A) va (B) olish mumkin:

${ displaystyle { begin {aligned} eta - eta _ {1} & = - left ( eta _ {1} - eta _ {2} right) ; sin ^ {2} , psi ( xi), eta - eta _ {2} & = + chap ( eta _ {1} - eta _ {2} right) ; cos ^ {2} , psi ( xi), eta - eta _ {3} & = chap ( eta _ {1} - eta _ {3} o'ng) - chap ( eta _ {1} - eta _ {2} right) ; sin ^ {2} , psi ( xi), && { text {and}} eta '& = - 2 , left ( eta _ {1} - eta _ {2} o'ng) ; sin , psi ( xi) ; cos , psi ( xi) ; ; psi '( xi) && { text {with}} quad psi '( xi) = { frac {{ text {d}} psi ( xi)} {{ text {d}} xi}}. end {moslashtirilgan}}}$

Bularni tenglamalarda ishlatish (A) va (B), quyidagi oddiy differentsial tenglama ψ va ξ ba'zi manipulyatsiyalardan so'ng olinadi:^[7]

${ displaystyle { frac {4} {3}} , chap ({ frac {{ text {d}} psi} {{ text {d}} xi}} right) ^ {2 } = chap ( eta _ {1} - eta _ {3} o'ng) - chap ( eta _ {1} - eta _ {2} o'ng) ; sin ^ {2} , psi ( xi),}$

chunki o'ng qo'li hali ham ijobiy, chunki η₁ − η₃ ≥ η₁ − η₂. Umumiylikni yo'qotmasdan, biz buni taxmin qilishimiz mumkin ψ(ξ) - bu monoton funktsiya, chunki f(η) oralig'ida nolga ega emas η₂ < η < η₁. Demak, yuqoridagi oddiy differentsial tenglama ham nuqtai nazaridan echilishi mumkin ξ(ψ) ning funktsiyasi bo'lish ψ:^[7]

${ displaystyle { frac {1} { Delta}} , { frac {{ text {d}} xi} {{ text {d}} psi}} = pm , { frac {1} { sqrt {1-m sin ^ {2} , psi}}},}$

bilan:

${ displaystyle Delta ^ {2} = { frac {4} {3}} , { frac {1} { eta _ {1} - eta _ {3}}}}$   va   ${ displaystyle m = { frac { eta _ {1} - eta _ {2}} { eta _ {1} - eta _ {3}}},}$

qayerda m - elliptik parametr,^[19][20] qoniqarli 0 ≤ m ≤ 1 (chunki η₃ ≤ η₂ ≤ η₁). Agar ξ = 0 to'lqin tepasida tanlanadi η(0) = η₁ integratsiya beradi^[7]

${ displaystyle xi = pm , Delta , int _ {0} ^ { psi} { frac {{ text {d}} { hat { psi}}} { sqrt {1 -m , sin ^ {2} { hat { psi}}}}} = pm , Delta , F ( psi | m),}$

(D.)

bilan F(ψ|m) birinchi turdagi to'liq bo'lmagan elliptik integral. The Jakobi elliptik funktsiyalari cn va sn ning teskari tomonlari F(ψ|m) tomonidan berilgan

${ displaystyle cos , psi = operatorname {cn} left ({ begin {array} {c | c} displaystyle { frac { xi} { Delta}} & m end {array}} o'ng)}$   va   ${ displaystyle sin , psi = operatorname {sn} left ({ begin {array} {c | c} displaystyle { frac { xi} { Delta}} & m end {array}} o'ng).}$

Tenglama yordamida (C), natijada KdV tenglamasining knoidal to'lqinli eritmasi topildi^[7]

${ displaystyle eta ( xi) = eta _ {2} + chap ( eta _ {1} - eta _ {2} right) , operatorname {cn} ^ {2} left ( { begin {array} {c | c} displaystyle { frac { xi} { Delta}} & m end {array}} right).}$

Qolgan narsa, parametrlarni aniqlash: η₁, η₂, Δ va m.

Knoidal-to'lqin parametrlari o'rtasidagi munosabatlar

Birinchidan, beri η₁ tepalik balandligi va η₂ truba balandligi, uni joriy etish qulay to'lqin balandligi sifatida belgilanadi H = η₁ − η₂. Binobarin, biz buni topamiz m va uchun Δ:

${ displaystyle m = { frac {H} { eta _ {1} - eta _ {3}}}}$   va   ${ displaystyle { frac { Delta ^ {2}} {m}} = { frac {4} {3 , H}}}$   shunday   ${ displaystyle Delta = { sqrt {{ frac {4} {3}} { frac {m} {H}}}}.}$

Knoidal to'lqin eritmasi quyidagicha yozilishi mumkin:

${ displaystyle eta ( xi) = eta _ {2} + H , operator nomi {cn} ^ {2} left ({ begin {array} {c | c} displaystyle { frac { xi} { Delta}} & m end {array}} o'ng).}$

Ikkinchidan, truba joylashgan ψ = ½ π, shuning uchun orasidagi masofa ξ = 0 va ξ = ½ λ bilan, bilan λ The to'lqin uzunligi, tenglamadan (D.):

${ displaystyle { tfrac {1} {2}} , lambda = Delta , F left ({ begin {array} {c | c} { tfrac {1} {2}} , pi & m end {massivi}} o'ng) = Delta , K (m),}$   berib   ${ displaystyle lambda = 2 , Delta , K (m) = { sqrt {{ frac {16} {3}} { frac {m} {H}}}} ; K (m) ,}$

qayerda K(m) bo'ladi birinchi turdagi to'liq elliptik integral. Uchinchidan, to'lqin suvning o'rtacha chuqurligi atrofida tebranishi sababli o'rtacha qiymati η(ξ) nolga teng bo'lishi kerak. Shunday qilib^[7]

${ displaystyle { begin {aligned} 0 & = int _ {0} ^ { lambda} eta ( xi) ; { text {d}} xi = 2 , int _ {0} ^ {{ tfrac {1} {2}} lambda} left [ eta _ {2} + left ( eta _ {1} - eta _ {2} right) , operatorname {cn} ^ {2} , left ({ begin {array} {c | c} displaystyle { frac { xi} { Delta}} & m end {array}} right) right] ; { text {d}} xi & = 2 , int _ {0} ^ {{ tfrac {1} {2}} pi} { Bigl [} eta _ {2} + left ( eta _ {1} - eta _ {2} o'ng) , cos ^ {2} , psi { Bigr]} , { frac {{ text {d}} xi} {{ text {d}} psi}} ; { text {d}} psi = 2 , Delta , int _ {0} ^ {{ tfrac {1} {2}} pi} { frac { eta _ {1} - chap ( eta _ {1} - eta _ {2} right) , sin ^ {2} , psi} { sqrt {1 -m , sin ^ {2} , psi}}} ; { text {d}} psi & = 2 , Delta , int _ {0} ^ {{ tfrac {1} {2}} pi} { frac { eta _ {1} -m , chap ( eta _ {1} - eta _ {3} right) , sin ^ {2 } , psi} { sqrt {1-m , sin ^ {2} , psi}}} ; { text {d}} psi = 2 , Delta , int _ {0} ^ {{ tfrac {1} {2}} pi} left [{ frac { eta _ {3}} { sqrt {1-m , sin ^ {2} , psi}}} + chap ( eta _ {1} - eta _ {3} o'ng) , { sqrt {1-m , sin ^ {2} , psi}} o'ng] ; { text {d}} psi & = 2 , Delta , { Bigl [} eta _ {3} , K (m) + chap ( eta _ {1} - eta _ {3} o'ng) , E (m ) { Bigr]} = 2 , Delta , { Bigl [} eta _ {3} , K (m) + { frac {H} {m}} , E (m) { Bigr]}, end {aligned}}}$

qayerda E(m) bo'ladi ikkinchi turdagi to'liq elliptik integral. Uchun quyidagi iboralar η₁, η₂ va η₃ elliptik parametr funktsiyasi sifatida m va to'lqin balandligi H natija:^[7]

${ displaystyle eta _ {3} = - , { frac {H} {m}} , { frac {E (m)} {K (m)}},}$   ${ displaystyle eta _ {1} = { frac {H} {m}} , chap (1 - { frac {E (m)} {K (m)}} o'ng)}$   va   ${ displaystyle eta _ {2} = { frac {H} {m}} , chap (1-m - { frac {E (m)} {K (m)}} o'ng).}$

To'rtinchidan, tenglamalardan (A) va (B) o'rtasida munosabatlar o'rnatilishi mumkin o'zgarishlar tezligi v va ildizlar η₁, η₂ va η₃:^[7]

${ displaystyle c = 1 + { tfrac {1} {2}} , left ( eta _ {1} + eta _ {2} + eta _ {3} right) = 1 + { frac {H} {m}} , chap (1 - { frac {1} {2}} , m - { frac {3} {2}} , { frac {E (m)} {K (m)}} o'ng).}$

Nisbatan faza tezligining o'zgarishi quyidagi rasmda tasvirlangan. Ko'rinib turibdiki, uchun m > 0,96 (shuning uchun 1 - uchunm <0.04) faza tezligi to'lqin balandligi oshishi bilan ortadi H. Bu uzunroq va ko'proq chiziqsiz to'lqinlarga mos keladi. Faza tezligining chiziqli bo'lmagan o'zgarishi, sobit uchun m, to'lqin balandligi bilan mutanosib H. Faza tezligini unutmang v to'lqin uzunligi bilan bog'liq λ va davr τ kabi:

${ displaystyle c = { frac { lambda} { tau}}.}$

Eritmaning xulosasi

Bu erdagi barcha miqdorlar, ularning amal qilishlari uchun o'lchovli shakllarida beriladi sirt tortishish to'lqinlari oldin o'lchovsizlashtirish.

Hosil qilish

Chiqish KdV tenglamasi uchun o'xshashdir.^[22] O'lchamsiz BBM tenglamasi o'rtacha suv chuqurligidan foydalanib o'lchovsiz h va tortishish tezlashishi g:^[21]

${ displaystyle kısalt _ {t} eta + qismli _ {x} eta + { tfrac {3} {2}} , eta , kısalt _ {x} eta - { tfrac { 1} {6}} , kısalt _ {t} , qismli _ {x} ^ {2} eta = 0.}$

Bu standart shaklga keltirilishi mumkin

${ displaystyle kısalt _ { hat {t}} varphi + qismli _ { hat {x}} varphi + varphi , kısalt _ { hat {x}} varphi - qismli _ { hat {t}} , kısalt _ { hat {x}} ^ {2} varphi = 0 ,}$

o'zgartirish orqali:

${ displaystyle { hat {t}} = { sqrt {6}} , t,}$   ${ displaystyle { hat {x}} = { sqrt {6}} , x}$   va   ${ displaystyle varphi = { tfrac {3} {2}} , eta,}$

ammo bu standart shakl bu erda ishlatilmaydi.

KdV tenglamasi uchun knoidal to'lqin eritmasining chiqarilish analogi, davriy to'lqin eritmalari η(ξ) bilan ξ = x−ct Bu holda BBM tenglamasi uchinchi darajali oddiy differentsial tenglamaga aylanadi, uni ikki marta integrallash mumkin:

${ displaystyle { tfrac {1} {3}} , c , left ( eta ' right) ^ {2} = f ( eta) ,}$   bilan   ${ displaystyle f ( eta) = - eta ^ {3} +2 , left (c-1 right) , eta ^ {2} + r , eta + s. ,}$

Bu faqat KdV tenglamasi uchun tenglamadan faktor orqali farq qiladi v ni oldida (η ′)² chap tomonda. Koordinatali transformatsiya orqali β = ξ / ${ displaystyle scriptstyle { sqrt {c}}}$ omil v olib tashlanishi mumkin, natijada KdV va BBM tenglamalari uchun bir xil birinchi darajali oddiy differentsial tenglama bo'ladi. Biroq, bu erda oldingi tenglamada berilgan shakl ishlatiladi. Buning uchun boshqa formulalar paydo bo'ladi Δ KdV tenglamasi uchun topilgan:

${ displaystyle Delta = { sqrt {{ frac {4} {3}} { frac {m , c} {H}}}}.}$

To'lqin uzunligining aloqasi λfunktsiyasi sifatida H va m, o'zgarishi ta'sir qiladi ${ displaystyle Delta:}$

${ displaystyle lambda = { sqrt {{ frac {16} {3}} , { frac {m , c} {H}}}} ; K (m).}$

Qolganlari uchun, KdV tenglamasi uchun o'xshashdir va bu erda takrorlanmaydi.

Rezyume; qayta boshlash

Natijalar chuqurlikdagi suyuq qatlamda suv to'lqinlari uchun o'lchovli shaklda keltirilgan h.

The Jakobi elliptik funktsiyasi cn ni a ga kengaytirish mumkin Fourier seriyasi^[26]

${ displaystyle operator nomi {cn} (z | m) = { frac { pi} {{ sqrt {m}} , K (m)}} , sum _ {n = 0} ^ { infty} , operator nomi {sech} chap ((2n + 1) , { frac { pi , K '(m)} {2 , K (m)}} right) ; cos chap ((2n + 1) , { frac { pi , z} {2 , K (m)}} o'ng).}$

K '(m) xayoliy chorak davri sifatida tanilgan, while K(m) Jakobi elliptik funktsiyasining haqiqiy chorak davri deb ham ataladi. Ular quyidagilar bilan bog'liq: K '(m) = K(1−m)^[27]

Bu erda qiziqish kichik parametrga mos keladigan kichik to'lqin balandligida m ≪ 1, ni ko'rib chiqish qulay Maklaurin seriyasi tegishli parametrlar uchun bilan boshlash kerak to'liq elliptik integrallar K va E:^[28][29]

${ displaystyle { begin {aligned} K (m) & = { frac { pi} {2}} , left [1+ left ({ frac {1} {2}} right) ^ {2} , m + chap ({ frac {1 , cdot , 3} {2 , cdot , 4}} o'ng) ^ {2} , m ^ {2} + chap ({ frac {1 , cdot , 3 , cdot , 5} {2 , cdot , 4 , cdot , 6}} o'ng) ^ {2} , m ^ {3} + cdots right], E (m) & = { frac { pi} {2}} , left [1- chap ({ frac {1} {2}} ) o'ng) ^ {2} , { frac {m} {1}} - chap ({ frac {1 , cdot , 3} {2 , cdot , 4}} o'ng) ^ {2} , { frac {m ^ {2}} {3}} - chap ({ frac {1 , cdot , 3 , cdot , 5} {2 , cdot , 4 , cdot , 6}} o'ng) ^ {2} , { frac {m ^ {3}} {5}} - cdots right]. End {hizalangan}}}$

Keyin Furye qatorida paydo bo'ladigan giperbolik-kosinus atamalari kichraytirishi mumkin m ≪ 1 quyidagicha:^[26]

${ displaystyle operator nomi {sech} chap ((2n + 1) , { frac { pi , K '(m)} {2 , K (m)}} o'ng) = 2 , { frac {q ^ {n + { tfrac {1} {2}}}} {1 + q ^ {2n + 1}}}}$   nome bilan q tomonidan berilgan   ${ displaystyle q = exp chap (- pi , { frac {K '(m)} {K (m)}} o'ng).}$

Nome q kichik uchun quyidagi xatti-harakatlarga ega m:^[30]

${ displaystyle q = { frac {m} {16}} + 8 , chap ({ frac {m} {16}} o'ng) ^ {2} +84 , chap ({ frac { m} {16}} o'ng) ^ {3} +992 , chap ({ frac {m} {16}} o'ng) ^ {4} + cdots.}$

Binobarin, amplitudalar Furye seriyasidagi birinchi atamalardan:

${ displaystyle n = 0 ,}$	:	${ displaystyle { frac { pi} {{ sqrt {m}} , K (m)}} , operatorname {sech} , left ({ frac { pi , K '(m) )} {2 , K (m)}} o'ng) = 1 - { tfrac {1} {16}} , m - { tfrac {9} {16}} , m ^ {2} + cdots,}$
${ displaystyle n = 1 ,}$	:	${ displaystyle { frac { pi} {{ sqrt {m}} , K (m)}} , operatorname {sech} , left ({ frac {3 , pi , K '(m)} {2 , K (m)}} o'ng) = { tfrac {1} {16}} , m + { tfrac {1} {32}} , m ^ {2} + cdots,}$
${ displaystyle n = 2 ,}$	:	${ displaystyle { frac { pi} {{ sqrt {m}} , K (m)}} , operatorname {sech} , left ({ frac {5 , pi , K '(m)} {2 , K (m)}} o'ng) = { tfrac {1} {256}} , m ^ {2} + cdots.}$

Shunday qilib, uchun m ≪ 1 Jakobi elliptik funktsiyasida birinchi Furye seriyasining birinchi shartlari mavjud:

${ displaystyle { begin {aligned} operatorname {cn} , (z | m) & = { Bigl (} 1 - { tfrac {1} {16}} , m - { tfrac {9} {16}} , m ^ {2} + cdots && { Bigr)} ; cos , alpha , z ; & + ; { Bigl (} { tfrac {1} {16}} , m + { tfrac {1} {32}} , m ^ {2} + cdots && { Bigr)} ; cos , 2 , alfa , z ; & + ; { Bigl (} { tfrac {1} {256}} , m ^ {2} + cdots && { Bigr)} ; cos , 3 , alfa , z ; + ; cdots, end {aligned}}}$   bilan   ${ displaystyle alpha equiv { frac { pi} {2 , K (m)}}.}$

Va uning maydoni

${ displaystyle { begin {aligned} operatorname {cn} ^ {2} , (z | m) & = { Bigl (} { tfrac {1} {2}} - { tfrac {1} { 16}} , m - { tfrac {1} {32}} , m ^ {2} + cdots && { Bigr)} & + ; { Bigl (} { tfrac {1} {2}} - { tfrac {3} {512}} , m ^ {2} + cdots && { Bigr)} ; cos , 2 , alfa , z ; & + ; { Bigl (} { tfrac {1} {16}} , m + { tfrac {1} {32}} , m ^ {2} + cdots && { Bigr)} ; cos , 4 , alpha , z ; & + ; { Bigl (} { tfrac {3} {512}} , m ^ {2} + cdots && { Bigr)} ; cos , 6 , alfa , z ; + ; cdots. end {aligned}}}$

Erkin sirt η(x,t) knoidal to'lqinning elliptik parametrining kichik qiymatlari uchun uning Furye qatorida ifodalanadi m. Birinchidan, cn funktsiyasining argumenti ekanligini unutmang ξ/Δva bu to'lqin uzunligi λ = 2 Δ K(m), shuning uchun:

${ displaystyle theta equiv { frac { pi , xi} {K (m)}} , { frac { xi} { Delta}} = 2 , pi , { frac { xi} { lambda}}.}$  

Bundan tashqari, o'rtacha erkin sirt balandligi nolga teng. Shuning uchun kichik amplituda to'lqinlarning sirt balandligi

${ displaystyle eta (x, t) = ; H , { Bigl (} { tfrac {1} {2}} - { tfrac {3} {512}} , m ^ {2} + cdots { Bigr)} , cos , theta ; + ; H , { Bigl (} { tfrac {1} {16}} , m + { tfrac {1} {32} } , m ^ {2} + cdots { Bigr)} , cos , 2 theta ; + ; H , { Bigl (} { tfrac {3} {512}} , m ^ {2} + cdots { Bigr)} , cos , 3 theta ; + ; cdots.}$

Shuningdek, to'lqin uzunligi λ elliptik parametrning Maclaurin seriyasiga kengaytirilishi mumkin m, KdV va BBM tenglamasi uchun boshqacha, ammo bu hozirgi maqsad uchun zarur emas.

Eslatma: Nolga cheklovchi xatti-harakatlar mTo'lqinning cheksiz kichik balandligida - quyidagilarni ham ko'rish mumkin.[31]

${ displaystyle operator nomi {cn} (z | m) approx cos (z) + { tfrac {1} {4}} , m , { bigl (} z- sin (z) , cos (z) { bigr)} , sin (z) + cdots,}$

lekin yuqori tartibli muddat mutanosib m bu taxminiy tarkibida a mavjud dunyoviy atama, cn davrining mos kelmasligi tufayli (z|m), bu 4 ga tengK(m) va davr 2π kosinus uchun cos (z). Yuqoridagi Fourier seriyasi kichik uchun m bu kamchilikka ega emas va yordamida topilgan shakllarga mos keladi Lindstedt-Puankare usuli yilda bezovtalanish nazariyasi.

Knoidal to'lqinning fazaviy tezligi, ham KdV, ham BBM tenglamasi uchun quyidagicha berilgan.^[7][22]

${ displaystyle c = { sqrt {gh}} , left [1 + { frac {H} {m , h}} , left (1 - { frac {1} {2}} ) , m - { frac {3} {2}} , { frac {E (m)} {K (m)}} right) right].}$

Ushbu formulada fazaning tezligi quyidagicha funktsiya hisoblanadi to'lqin balandligi H va parametr m. Shu bilan birga, cheksiz kichik balandlikdagi to'lqinlar uchun to'lqin tarqalishini aniqlash uchun doimiy tezlikda faza tezligini harakatini aniqlash kerak. to'lqin uzunligi λ parametr chegarasida m nolga yaqinlashadi. Buni KdV va BBM tenglamalari uchun farq qiladigan to'lqin uzunligi tenglamasidan foydalanish orqali amalga oshirish mumkin:^[7][22]

KdV:	${displaystyle lambda =h,{sqrt {{frac {16}{3}},{frac {mh}{H}}}},K(m),}$
BBM :	${displaystyle lambda =h,{sqrt {{frac {16}{3}},{frac {mh}{H}},{frac {c}{sqrt {g,h}}}}},K(m),}$

Introducing the relative gulchambar κh:

${displaystyle kappa ,h={frac {2,pi }{lambda }},h,}$

and using the above equations for the phase speed and wavelength, the factor H / m in the phase speed can be replaced by κh va m. The resulting phase speeds are:

KdV :	${displaystyle c={sqrt {gh}},left[1+(kappa ,h)^{2},{frac {4}{3,pi ^{2}}},K^{2}(m),left(1-{frac {1}{2}},m-{frac {3}{2}},{frac {E(m)}{K(m)}} ight) ight],}$
BBM :	${displaystyle c={sqrt {gh}},{frac {1}{displaystyle 1-(kappa ,h)^{2},{frac {4}{3,pi ^{2}}},K^{2}(m),left(1-{frac {1}{2}},m-{frac {3}{2}},{frac {E(m)}{K(m)}} ight)}}.}$

The limiting behaviour for small m can be analysed through the use of the Maklaurin seriyasi uchun K(m) va E(m),^[28] resulting in the following expression for the common factor in both formulas for v:

${displaystyle gamma ={frac {4}{3,pi ^{2}}},K^{2}(m),left(1-{frac {1}{2}},m-,{frac {3}{2}},{frac {E(m)}{K(m)}} ight)=-{ frac {1}{6}}+{ frac {1}{64}},m^{2}+{ frac {1}{64}},m^{3}+cdots ,}$

so in the limit m → 0, the factor γ → −​¹⁄₆. The limiting value of the phase speed for m ≪ 1 directly results.