Yumshoq nishabli tenglama - Mild-slope equation

Qachon ${displaystyle eta = a {mbox {}} exp (i heta)}$ yumshoq qiyalik tenglamasida ishlatiladi, natija faktordan tashqari ${displaystyle exp (i heta)}$:

${displaystyle c_ {p}, c_ {g}, chapda (Delta a, +, 2i, abla acdot abla heta, -, a, abla heta cdot abla heta, +, i, a, Delta heta ight), +, abla chap (c_ {p}, c_ {g} ight) cdot chap (abla a, +, i, a, abla heta ight), +, k ^ {2}, c_ {p}, c_ {g}, a, =, 0.}$

Endi bu tenglamaning haqiqiy qismi ham, xayoliy qismi ham nolga teng bo'lishi kerak:

${displaystyle {egin {aligned} & c_ {p}, c_ {g}, Delta a, -, c_ {p}, c_ {g}, a, abla heta cdot abla heta, +, abla left (c_ {p}, c_ {g} ight) cdot abla a, +, k ^ {2}, c_ {p}, c_ {g}, a, =, 0quad {ext {and}} & 2, c_ {p}, c_ {g }, abla acdot abla heta, +, c_ {p}, c_ {g}, a, Delta heta, +, abla chap (c_ {p}, c_ {g} ight) cdot chap (a, abla heta ight), =, 0.end {aligned}}}$

Tugatishning samarali vektori ${displaystyle {oldsymbol {kappa}}}$ bu belgilangan to'lqin fazasining gradyenti sifatida:

${displaystyle {oldsymbol {kappa}}, =, abla heta}$ va uning vektor uzunligi bu ${displaystyle kappa = | {oldsymbol {kappa}} |.}$

Yozib oling ${displaystyle {oldsymbol {kappa}}}$ bu irrotatsion maydon, chunki gradientning burmasi nolga teng:

${displaystyle abla, imes, {oldsymbol {kappa}}, =, 0.}$

Endi o'zgartirilgan yumshoq qiyalik tenglamasining haqiqiy va xayoliy qismlari aylanib, avval xayoliy qismni ko'paytirmoqda ${displaystyle a}$:

${displaystyle {egin {aligned} & kappa ^ {2}, =, k ^ {2}, +, {frac {abla (c_ {p}, c_ {g})} {c_ {p}, c_ {g}} } cdot {frac {abla a} {a}}, +, {frac {Delta a} {a}} quad {ext {and}} & c_ {p}, c_ {g}, abla chap (a ^ {2) } ight) cdot {oldsymbol {kappa}}, +, c_ {p}, c_ {g}, abla cdot {oldsymbol {kappa}}, +, a ^ {2}, {oldsymbol {kappa}} cdot abla chap ( c_ {p}, c_ {g} ight), =, 0.end {hizalanmış}}}$

Birinchi tenglama to'g'ridan-to'g'ri yuqoridagi eikonal tenglamaga olib keladi ${displaystyle kappa,}$, ikkinchisi esa:

${displaystyle abla cdot chapda ({oldsymbol {kappa}}, c_ {p}, c_ {g}, a ^ {2} ight), =, 0,}$

qaysi - buni ta'kidlab ${displaystyle c_ {p} = omega / k}$ unda burchak chastotasi ${displaystyle omega}$ vaqt uchun doimiyharmonik harakat - to'lqin-energiyani tejash tenglamasiga olib keladi.

Luqoning variatsion printsipi

Luqoning Lagrangian formulyatsiya uchun variatsion formulani beradi chiziqli emas sirt tortishish to'lqinlari.^[9]Doimiy ravishda gorizontal ravishda chegaralanmagan domen uchun zichlik ${displaystyle ho}$, bo'sh suyuqlik yuzasi ${displaystyle z = zeta (x, y, t)}$ va sobit dengiz tubi ${displaystyle z = -h (x, y),}$ Luqoning variatsion printsipi ${displaystyle delta {mathcal {L}} = 0}$ dan foydalanadi Lagrangian

${displaystyle {mathcal {L}} = int _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} iint L; {ext {d}} x; {ext {d}} y; {ext {d}} t ,}$

qayerda ${displaystyle L}$ gorizontal Lagranj zichligi, tomonidan berilgan:

${displaystyle L = -ho, chap {int _ {- h (x, y)} ^ {zeta (x, y, t)} chap [{frac {qisman Phi} {qisman t}} +, {frac {1 } {2}} chap (chap ({frac {qisman Phi} {qisman x}} tun) ^ {2} + chap ({frac {qisman Phi} {qisman y}} tun) ^ {2} + chap ({ frac {qisman Phi} {qisman z}} ight) ^ {2} ight) ight]; {ext {d}} z; +, {frac {1} {2}}, g, (zeta ^ {2}, -, h ^ {2}) ight},}$

qayerda ${displaystyle Phi (x, y, z, t)}$ bo'ladi tezlik potentsiali, bilan oqim tezligi tarkibiy qismlar ${displaystyle qisman Phi / qisman {x},}$ ${displaystyle qisman Phi / qisman {y}}$ va ${displaystyle qisman Phi / qisman {z}}$ ichida ${displaystyle x}$, ${displaystyle y}$ va ${displaystyle z}$ Lyukning Lagranj formulasini a ga qayta tiklash mumkin Gamilton formulasi erkin sirtdagi sirt balandligi va tezlik potentsiali bo'yicha.^[10]Ning o'zgarishini hisobga olgan holda ${displaystyle {mathcal {L}} (Phi, zeta)}$ salohiyatga nisbatan ${displaystyle Phi (x, y, z, t)}$ va sirt balandligi ${displaystyle zeta (x, y, t)}$ ga olib keladi Laplas tenglamasi uchun ${displaystyle Phi}$ suyuqlik ichkarisida, shuningdek erkin sirtdagi barcha chegara sharoitlari ${displaystyle z = zeta (x, y, t)}$ to'shakda bo'lgani kabi ${displaystyle z = -h (x, y).}$

Lineer to'lqin nazariyasi

Chiziqli to'lqinlar nazariyasida, Lagranj zichligida vertikal integral ${displaystyle L}$ yotoqdan bir qismga bo'linadi ${displaystyle z = -h}$ at o'rtacha sirtiga ${displaystyle z = 0,}$ va ikkinchi qismi ${displaystyle z = 0}$ erkin yuzaga ${displaystyle z = zeta}$. A dan foydalanish Teylor seriyasi o'rtacha erkin sirt balandligi atrofida ikkinchi integral uchun kengayish ${displaystyle z = 0,}$ va faqat kvadratik atamalarni saqlab qolish ${displaystyle Phi}$ va ${displaystyle zeta,}$ Lagrangiya zichligi ${displaystyle L_ {0}}$ chunki chiziqli to'lqin harakati bo'ladi

${displaystyle L_ {0} = - ho, chap {zeta, chap [{frac {qisman Phi} {qisman t}} ight] _ {z = 0}, +, int _ {- h} ^ {0} {frac {1} {2}} chap [chap ({frac {qisman Phi} {qisman x}} tun) ^ {2} + chap ({frac {qisman Phi} {qisman y}} tun) ^ {2} + chap ({frac {kısmi Phi} {qisman z}} kechasi) ^ {2} ight]; {ext {d}} z; +, {frac {1} {2}}, g, zeta ^ {2}, ight }.}$

Atama ${displaystyle qisman Phi / qisman {t}}$ vertikal integral, chunki u dinamik ravishda qiziq bo'lmaydigan bo'lib qoldi: u ga nol hissa qo'shadi Eyler-Lagranj tenglamalari, endi yuqori integratsiya chegarasi o'rnatildi. Xuddi shu narsa e'tiborsiz bo'lgan pastki muddatga mutanosiblikka nisbatan ham amal qiladi ${displaystyle h ^ {2}}$ potentsial energiyada.

To'lqinlar gorizontal ravishda tarqaladi ${displaystyle (x, y)}$ potentsialning tuzilishi bo'lsa, tekislik ${displaystyle Phi}$ vertikalda to'lqinga o'xshash emas ${displaystyle z}$- yo'nalish. Bu potentsial shaklida quyidagi taxminlardan foydalanishni taklif qiladi ${displaystyle Phi:}$

${displaystyle Phi (x, y, z, t) = f (z; x, y), varphi (x, y, t)}$ normalizatsiya bilan ${displaystyle f (0; x, y) = 1}$ o'rtacha erkin sirt ko'tarilishida ${displaystyle z = 0.}$

Bu yerda ${displaystyle varphi (x, y, t)}$ o'rtacha erkin sirt darajasida tezlik potentsiali ${displaystyle z = 0.}$ Keyinchalik, vertikal shakl vazifasini bajaradigan yumshoq qiyalik taxmin qilinadi ${displaystyle f}$ sekin o'zgaradi ${displaystyle (x, y)}$-ning samolyot va gorizontal hosilalari ${displaystyle f}$ oqim tezligida beparvo bo'lishi mumkin. Shunday qilib:

${displaystyle {egin {pmatrix} displaystyle {frac {qisman Phi} {qisman {x}}} [2ex] displaystyle {frac {qisman Phi} {qisman {y}}} [2ex] displaystyle {frac {qisman Phi} {qisman {z}}} oxiri {pmatrix}}, taxminan, {egin {pmatrix} displaystyle f, {frac {qisman varphi} {qisman {x}}} [2ex] displaystyle f, {frac {qismli varphi} { qisman {y}}} [2ex] displaystyle {frac {qisman {f}} {qisman {z}}}, varphi end {pmatrix}}.}$

Natijada:

${displaystyle L_ {0} = - ho, chap {zeta, {frac {qisman varphi} {qisman t}}, +, {frac {1} {2}}, F, chap [chap ({frac {qisman varphi}) {qisman {x}}} tun) ^ {2}, +, chap ({frac {qisman varphi} {qisman {y}}} tun) ^ {2} kechayu], +, {frac {1} {2} }, G, varphi ^ {2}, +, {frac {1} {2}}, g, zeta ^ {2}, ight},}$ bilan ${displaystyle F, =, int _ {- h} ^ {0} f ^ {2}; {ext {d}} z}$ va ${displaystyle G, =, int _ {- h} ^ {0} chap ({frac {{ext {d}} f} {{ext {d}} z}} ight) ^ {2}; {ext {d }} z.}$

The Eyler-Lagranj tenglamalari bu Lagrangian zichligi uchun ${displaystyle L_ {0}}$ bilan, bilan ${displaystyle xi (x, y, t)}$ ikkalasini ham ifodalaydi ${displaystyle varphi}$ yoki ${displaystyle zeta:}$

${displaystyle {frac {qisman {L_ {0}}} {qisman xi}} - {frac {qisman} {qisman {t}}} chap ({frac {qisman {L_ {0}}} {qisman (qisman xi / qisman {t})}} kechasi) - {frac {qisman} {qisman {x}}} chap ({frac {qisman {L_ {0}}} {qisman (qisman xi / qisman {x})}} tun - {frac {qisman} {qisman {y}}} chap ({frac {qisman {L_ {0}}} {qisman (qisman xi / qisman {y})}} bo'sh) = 0.}$

Endi ${displaystyle xi}$ avvaliga teng olinadi ${displaystyle varphi}$ va keyin ${displaystyle zeta.}$ Natijada to'lqin harakati evolyutsiyasi tenglamalari quyidagicha bo'ladi.^[4]

${displaystyle {egin {hizalanmış} {frac {qisman zeta} {qisman t}}, va + abla cdot chap (F, abla varphi ight), -, G, varphi, =, 0quad {ext {and}} {frac {qisman varphi} {qisman t}}, & +, g, zeta, =, 0, oxiri {hizalanmış}}}$

g bilan gorizontal gradient operatori: ∇ ≡ (∂ / ∂)x ∂/∂y)^T bu erda T-ni bildiradi ko'chirish.

Keyingi qadam shakl vazifasini tanlashdir ${displaystyle f}$ va aniqlash uchun ${displaystyle F}$ va ${displaystyle G.}$

Airy to'lqinlari nazariyasidan vertikal shakl funktsiyasi

Maqsad mayin qiyalikdagi karavotlar ustidagi to'lqinlarni tavsiflash bo'lgani uchun, shakl vazifasi ${displaystyle f (z)}$ ga ko'ra tanlanadi Havo to'lqinlari nazariyasi. Bu doimiy chuqurlikda tarqaladigan to'lqinlarning chiziqli nazariyasi ${displaystyle h.}$ Shakl funktsiyasining shakli:^[4]

${displaystyle f = {frac {cosh, {igl (} k, (z + h) {igr)}} {cosh, (kh)}},}$

bilan ${displaystyle k (x, y)}$ Endi umuman doimiy emas, balki o'zgarib turadigan tanlangan ${displaystyle x}$ va ${displaystyle y}$ mahalliy chuqurlik bo'yicha ${displaystyle h (x, y)}$ va chiziqli dispersiya munosabati:^[4]

${displaystyle omega _ {0} ^ {2}, =, g, k, anh, (kh).}$

Bu yerda ${displaystyle omega _ {0}}$ o'rganilayotgan to'lqin maydonining xususiyatlariga muvofiq tanlangan doimiy burchak chastotasi. Binobarin, integrallar ${displaystyle F}$ va ${displaystyle G}$ bo'lish:^[4]

${displaystyle {egin {aligned} F & = int _ {h} ^ {0} f ^ {2}; {ext {d}} z = {frac {1} {g}}, c_ {p}, c_ {g } quad {ext {and}} G & = int _ {h} ^ {0} chap ({frac {kısalt {f}} {qisman {z}}} ight) ^ {2}; {ext {d}} z = {frac {1} {g}} chap (omega _ {0} ^ {2}, -, k ^ {2}, c_ {p}, c_ {g} ight) .end {aligned}}}$