Bussinesqga yaqinlashish (suv to'lqinlari) - Boussinesq approximation (water waves)

Suv ostidagi davriy to'lqinlarni simulyatsiya qilish shoal Boussinesq tipidagi model bilan. To'lqinlar samolyot plyajidagi elliptik shakldagi suv osti qirg'og'i bo'ylab tarqaladi. Ushbu misol bir nechta effektlarni birlashtiradi to'lqinlar va sayoz suvlar, shu jumladan sinish, difraktsiya, shoaling va zaif chiziqli emas.

Yilda suyuqlik dinamikasi, Bussinesqga yaqinlashish uchun suv to'lqinlari bu taxminiy zaif uchun amal qiladi chiziqli emas va juda uzun to'lqinlar. Taxminan nomlangan Jozef Bussinesq tomonidan kuzatuvga javoban ularni birinchi bo'lib kim chiqargan Jon Skott Rassel ning tarjima to'lqini (shuningdek, nomi bilan tanilgan yolg'iz to'lqin yoki soliton ). Boussinesqning 1872 yildagi maqolasida endi tenglama mavjud Bussinesq tenglamalari.^[1]

Boussinesq taxminiy qiymati suv to'lqinlari gorizontal va vertikal vertikal tuzilishini hisobga oladi oqim tezligi. Buning natijasi chiziqli emas qisman differentsial tenglamalar, deb nomlangan Bussinesq tipidagi tenglamalaro'z ichiga olgan chastotali dispersiya (ga qarama-qarshi sifatida sayoz suv tenglamalari, ular chastotali-dispersiv emas). Yilda qirg'oq muhandisligi, Bussinesq tipidagi tenglamalar tez-tez ishlatiladi kompyuter modellari uchun simulyatsiya ning suv to'lqinlari yilda sayoz dengizlar va portlar.

Boussinesq yaqinlashishi ancha uzun to'lqinlarga taalluqli bo'lsa, ya'ni to'lqin uzunligi suv chuqurligi bilan solishtirganda katta Stoklarning kengayishi qisqa to'lqinlar uchun ko'proq mos keladi (to'lqin uzunligi suv chuqurligi bilan bir xil tartibda yoki undan qisqaroq bo'lsa).

Bussinesqga yaqinlashish

Vertikalda ko'rsatilgan Boussinesq yaqinlashuvidagi davriy to'lqinlar ko'ndalang kesim ichida to'lqinlarning tarqalishi yo'nalish. Kvartiraga e'tibor bering oluklar va o'tkir tepaliklar, to'lqinning notekisligi tufayli. Ushbu holat (chizilgan o'lchov ) bilan to'lqinni ko'rsatadi to'lqin uzunligi 39.1 ga tengm, to'lqin balandligi 1,8 m (ya'ni suv sathining balandligi va balandligi orasidagi farq), suvning o'rtacha chuqurligi esa 5 m tortishish tezlashishi 9,81 m / s ni tashkil qiladi².

Boussinesq yaqinlashuvidagi asosiy g'oya vertikalni yo'q qilishdir muvofiqlashtirish ostidagi oqimning vertikal tuzilishining ba'zi ta'sirlarini saqlab qolgan holda, oqim tenglamalaridan suv to'lqinlari. Bu foydalidir, chunki to'lqinlar gorizontal tekislikda tarqaladi va vertikal yo'nalishda boshqacha (to'lqinga o'xshash emas) harakatga ega. Ko'pincha, Bussinesq singari, qiziqish birinchi navbatda to'lqin tarqalishiga bog'liq.

Vertikal koordinatani bu tarzda yo'q qilish birinchi bo'lib amalga oshirildi Jozef Bussinesq 1871 yilda yakka to'lqin uchun taxminiy echimni qurish uchun (yoki tarjima to'lqini ). Keyinchalik, 1872 yilda Boussinesq bugungi kunda Bussinesq tenglamalari deb nomlangan tenglamalarni keltirib chiqardi.

Boussinesq yaqinlashishidagi qadamlar:

• a Teylorning kengayishi gorizontal va vertikaldan qilingan oqim tezligi (yoki tezlik potentsiali ) ma'lum atrofida balandlik,
• bu Teylorning kengayishi a ga qisqartiriladi cheklangan shartlar soni,
• massani saqlash (qarang uzluksizlik tenglamasi ) uchun siqilmaydigan oqim va nol-burish uchun shart irrotatsion oqim vertikalni almashtirish uchun ishlatiladi qisman hosilalar miqdoridagi Teylorning kengayishi gorizontal bilan qisman hosilalar.

Keyinchalik, vertikal koordinataga bog'liqlikni yo'qotish uchun Boussinesq yaqinlashuvi qolgan oqim tenglamalariga qo'llaniladi. qisman differentsial tenglamalar jihatidan funktsiyalari gorizontal koordinatalar (va vaqt ).

Misol tariqasida ko'rib chiqing potentsial oqim gorizontal karavot ustida (x, z) samolyot, bilan x gorizontal va z vertikal muvofiqlashtirish. To'shak joylashgan z = −h, qayerda h bo'ladi anglatadi suv chuqurligi. A Teylorning kengayishi yasalgan tezlik potentsiali φ (x, z, t) yotoq sathi atrofida z = −h:^[2]

${displaystyle {egin {aligned} varphi, =, & varphi _ {b}, +, (z + h), chap [{frac {qisman varphi} {qisman z}} ight] _ {z = -h}, +, {frac {1} {2}}, (z + h) ^ {2}, chap [{frac {qisman ^ {2} varphi} {qisman z ^ {2}}} ight] _ {z = -h} , & +, {frac {1} {6}}, (z + h) ^ {3}, chap [{frac {kısmi ^ {3} varphi} {qisman z ^ {3}}} ight] _ { z = -h}, +, {frac {1} {24}}, (z + h) ^ {4}, chap [{frac {qisman ^ {4} varphi} {qisman z ^ {4}}} tun ] _ {z = -h}, +, cdots, end {hizalangan}}}$

qayerda φ_b(x, t) yotoqdagi tezlik potentsiali. Qo'ng'iroq qilish Laplas tenglamasi uchun φuchun amal qiladi siqilmaydigan oqim, beradi:

${displaystyle {egin {aligned} varphi, =, & left {, varphi _ {b}, -, {frac {1} {2}}, (z + h) ^ {2}, {frac {qismli ^ {2} varphi _ {b}} {qisman x ^ {2}}}, +, {frac {1} {24}}, (z + h) ^ {4}, {frac {qisman ^ {4} varphi _ {b }} {qisman x ^ {4}}}, +, cdots, ight}, & +, chap {, (z + h), chap [{frac {qisman varphi} {qisman z}} ight] _ {z = -h}, -, {frac {1} {6}}, (z + h) ^ {3}, {frac {qisman ^ {2}} {qisman x ^ {2}}} chap [{frac { qisman varphi} {qisman z}} ight] _ {z = -h}, +, cdots, ight} =, & left {, varphi _ {b}, -, {frac {1} {2}}, (z + h) ^ {2}, {frac {qisman ^ {2} varphi _ {b}} {qisman x ^ {2}}}, +, {frac {1} {24}}, (z + h) ^ {4}, {frac {kısmi ^ {4} varphi _ {b}} {qisman x ^ {4}}}, +, cdots, ight}, oxiri {hizalanmış}}}$

chunki vertikal tezlik ∂φ / ∂z o'tkazmaydigan - gorizontal yotoqda nolga teng z = −h. Keyinchalik ushbu seriya cheklangan miqdordagi atamalar bilan qisqartirilishi mumkin.

Boussinesqning asl tenglamalari

Hosil qilish

Uchun suv to'lqinlari bo'yicha siqilmaydigan suyuqlik va irrotatsion oqim ichida (x,z) samolyot, chegara shartlari da erkin sirt balandlik z = η(x,t) ular:^[3]

${displaystyle {egin {hizalanmış} {frac {qisman eta} {qisman t}}, & +, u, {frac {qisman eta} {qisman x}}, -, w, =, 0 {frac {qisman varphi} {qisman t}}, & +, {frac {1} {2}}, chap (u ^ {2} + w ^ {2} ight), +, g, eta, =, 0, oxiri {hizalangan}} }$

qaerda:

siz gorizontal oqim tezligi komponent: siz = ∂φ / ∂x,

w vertikaldir oqim tezligi komponent: w = ∂φ / ∂z,

g bo'ladi tezlashtirish tomonidan tortishish kuchi.

Endi uchun Bussinesq taxminiy tezlik potentsiali φyuqorida aytib o'tilganidek, bularda qo'llaniladi chegara shartlari. Natijada, hosil bo'lgan tenglamalarda faqat chiziqli va kvadratik nisbatan atamalar η va siz_b saqlanadi (bilan siz_b = ∂φ_b / ∂x yotoqda gorizontal tezlik z = −h). The kub va undan yuqori buyurtma shartlari ahamiyatsiz deb hisoblanadi. Keyin, quyidagilar qisman differentsial tenglamalar olingan:

A to'plam - Boussinesq (1872), tenglama (25)

${displaystyle {egin {hizalanmış} {frac {qisman eta} {qisman t}}, & +, {frac {qisman} {qisman x}}, chap [chap (h + eta ight), u_ {b} ight], =, {frac {1} {6}}, h ^ {3}, {frac {qisman ^ {3} u_ {b}} {qisman x ^ {3}}}, {frac {qisman u_ {b} } {qisman t}}, & +, u_ {b}, {frac {qisman u_ {b}} {qisman x}}, +, g, {frac {qisman eta} {qisman x}}, =, {frac {1} {2}}, h ^ {2}, {frac {qisman ^ {3} u_ {b}} {qisman t, qisman x ^ {2}}}. Oxiri {hizalanmış}}}$

Ushbu tenglamalar to'plami tekis gorizontal yotoq uchun olingan, ya'ni o'rtacha chuqurlik h pozitsiyadan doimiy mustaqil x. Yuqoridagi tenglamalarning o'ng tomonlari nolga o'rnatilganda, ular ga kamayadi sayoz suv tenglamalari.

Ba'zi qo'shimcha taxminlar bo'yicha, lekin xuddi shu aniqlik tartibida yuqoridagi to'plam A bitta qilib qisqartirilishi mumkin qisman differentsial tenglama uchun erkin sirt balandlik η:

B to'plami - Boussinesq (1872), tenglama (26)

${displaystyle {frac {qisman ^ {2} eta} {qisman t ^ {2}}}, -, gh, {frac {qisman ^ {2} eta} {qisman x ^ {2}}}, -, gh, {frac {kısalt ^ {2}} {qisman x ^ {2}}} chap ({frac {3} {2}}, {frac {eta ^ {2}} {h}}, +, {frac {1) } {3}}, h ^ {2}, {frac {kısmi ^ {2} eta} {qisman x ^ {2}}} ight), =, 0.}$

Qavslar orasidagi atamalardan tenglamaning nochiziqligi muhimligini Ursell raqami.In o'lchovsiz miqdorlar, suv chuqurligidan foydalangan holda h va tortishish tezlashishi g o'lchovsizlashtirish uchun ushbu tenglama, keyin o'qiydi normalizatsiya:^[4]

${displaystyle {frac {qisman ^ {2} psi} {qisman au ^ {2}}}, -, {frac {qisman ^ {2} psi} {qisman xi ^ {2}}}, -, {frac {qisman ^ {2}} {qisman xi ^ {2}}} chap (, 3, psi ^ {2}, +, {frac {qisman ^ {2} psi} {qisman xi ^ {2}}}, ight), =, 0,}$

bilan:

${displaystyle psi, =, {frac {1} {2}}, {frac {eta} {h}}}$	: o'lchamsiz sirt balandligi,
${displaystyle au, =, {sqrt {3}}, t, {sqrt {frac {g} {h}}}}$	: o'lchovsiz vaqt va
${displaystyle xi, =, {sqrt {3}}, {frac {x} {h}}}$	: o'lchamsiz gorizontal holat.

Chiziqli faza tezligi kvadrat v²/(gh) nisbiy to'lqin sonining funktsiyasi sifatida x.
A = Bussinesq (1872), tenglama (25),
B = Bussinesq (1872), tenglama (26),
C = to'liq chiziqli to'lqin nazariyasi, qarang dispersiya (suv to'lqinlari)

Chiziqli chastotali dispersiya

Suv to'lqinlari turli xil to'lqin uzunligi turli xil sayohat o'zgarishlar tezligi, deb nomlanuvchi hodisa chastotali dispersiya. Ishi uchun cheksiz to'lqin amplituda, atamashunoslik chiziqli chastotali dispersiya. Boussinesq tipidagi tenglamaning chastotali dispersiya xarakteristikalaridan to'lqin uzunliklari oralig'ini aniqlash uchun foydalanish mumkin, buning uchun u amal qiladi taxminiy.

Chiziqli chastotali dispersiya yuqoridagi to'plam uchun xususiyatlar A tenglamalar:^[5]

${displaystyle c ^ {2}, =; gh, {frac {1, +, {frac {1} {6}}, k ^ {2} h ^ {2}} {1, +, {frac {1} {2}}, k ^ {2} h ^ {2}}},}$

bilan:

• v The o'zgarishlar tezligi,
• k The to'lqin raqami (k = 2π / λ, bilan λ The to'lqin uzunligi ).

The nisbiy xato o'zgarishlar tezligida v to'plam uchun Abilan solishtirganda suv to'lqinlari uchun chiziqli nazariya, nisbiy to'lqin soni uchun 4% dan kam x <½ π. Shunday qilib, ichida muhandislik ilovalar, o'rnatilgan A to'lqin uzunliklari uchun amal qiladi λ suv chuqurligidan 4 baravar katta h.

Chiziqli chastotali dispersiya tenglamaning xususiyatlari B ular:^[5]

${displaystyle c ^ {2}, =, gh, chap (1, -, {frac {1} {3}}, k ^ {2} h ^ {2} ight).}$

Tenglama uchun faza tezligidagi nisbiy xato B uchun 4% dan kam x <2π / 7, to'lqin uzunliklariga teng λ suv chuqurligidan 7 baravar ko'p h, deb nomlangan juda uzun to'lqinlar.^[6]

Bilan qisqa to'lqinlar uchun k² h² > 3 tenglama B jismonan ma'nosiz bo'lib qoling, chunki endi yo'q haqiqiy qadrli echimlar ning o'zgarishlar tezligi. Ikkita asl to'plam qisman differentsial tenglamalar (Boussinesq, 1872, tenglama 25, to'plamga qarang A yuqorida) bu kamchilikka ega emas.

The sayoz suv tenglamalari to'lqin uzunliklari uchun faza tezligida 4% dan kam nisbiy xatoga ega λ suv chuqurligidan 13 baravar ortiq h.

Bussinesq tipidagi tenglamalar va kengaytmalar

Ularning ko'pligi bor matematik modellar ular Bussinesq tenglamalari deb ataladi. Bu osonlikcha chalkashliklarni keltirib chiqarishi mumkin, chunki ko'pincha ular erkin tarzda tilga olinadi The Bussinesq tenglamalari, aslida uning bir varianti ko'rib chiqilmoqda. Shuning uchun ularni chaqirish maqsadga muvofiqdir Bussinesq tipidagi tenglamalar. To'liq aytganda, The Bussinesq tenglamalari - yuqorida qayd etilgan to'plam B, chunki bu uning 1872 yilgi qog'ozining qolgan qismida tahlilda ishlatilgan.

Bussinesq tenglamalari kengaytirilgan ba'zi yo'nalishlar:

• turli xil batimetriya,
• yaxshilandi chastotali dispersiya,
• yaxshilandi chiziqli emas xulq-atvor,
• qilish Teylorning kengayishi atrofida turli xil vertikal balandliklar,
• suyuqlik domenini qatlamlarga bo'lish va Boussinesq yaqinlashishini har bir qatlamda alohida qo'llash,
• qo'shilishi to'lqin sindirish,
• qo'shilishi sirt tarangligi,
• ga kengaytirish ichki to'lqinlar bo'yicha interfeys har xil suyuqlik domenlari o'rtasida massa zichligi,
• a dan olingan variatsion printsip.

Bir tomonlama to'lqin tarqalishi uchun qo'shimcha taxminlar

Boussinesq tenglamalari bir vaqtning o'zida qarama-qarshi yo'nalishlarda harakatlanishiga imkon beradigan bo'lsa, ko'pincha faqat bitta yo'nalishda harakatlanadigan to'lqinlarni ko'rib chiqish foydali bo'ladi. Boussinesq tenglamalari kichik qo'shimcha taxminlarga ko'ra quyidagicha kamayadi:

• The Korteweg – de Fris tenglamasi uchun to'lqinlarning tarqalishi bitta gorizontalda o'lchov,
• The Kadomtsev-Petviashvili tenglamasi uchun (bir yo'nalishli yaqinda) to'lqinlarning tarqalishi ikkita gorizontal holda o'lchamlari,
• The chiziqli bo'lmagan Shredinger tenglamasi Uchun (NLS tenglamasi) kompleks qiymatli amplituda ning tor tarmoqli to'lqinlar (asta-sekin) modulyatsiya qilingan to'lqinlar).

Yagona to'lqinli eritmalardan tashqari, Korteweg-de-Vriz tenglamasida davriy va aniq echimlar ham mavjud knoidal to'lqinlar. Bular Bussinesq tenglamasining taxminiy echimlari.

Raqamli modellar

Boussinesq tipidagi to'lqin modeli bilan portga kirish tomon harakatlanadigan yaqin qirg'oq to'lqinlarining simulyatsiyasi. Simulyatsiya BOUSS-2D moduli bilan SMS.

Celerisning Boussinesq moduli bilan real vaqtda simulyatsiyadan ko'ra tezroq, plyaj yaqinidagi to'lqinlarning sinishi va sinishi. Model interaktiv muhitni ta'minlaydi.

Sohil va bandargohlar yaqinidagi to'lqin harakatini simulyatsiya qilish uchun Boussinesq tipidagi tenglamalardan foydalanadigan raqamli modellar - ham savdo, ham akademik mavjud. Ba'zi tijorat misollari Bussinesq tipidagi to'lqin modullari MIKE 21 va SMS. Boussinesq-ning ba'zi bepul modellari Celeris,^[7] KULVAVV,^[8] va FUNWAVE.^[9] Ko'p sonli modellar ishlaydi chekli farq, cheklangan hajm yoki cheklangan element uchun texnikalar diskretizatsiya model tenglamalari. Bussinesq tipidagi bir nechta tenglamalarning ilmiy sharhlari va interkomparizonlari, ularning sonli yaqinlashishi va ishlashi. Kirbi (2003), Dingemans (1997), 2-qism, 5-bob) va Xamm, Madsen va Peregrin (1993).

Izohlar

Adabiyotlar

• Boussinesq, J. (1871). "Théorie de l'intumescence fluidide, applelée onde solitaire ou de translation, se propageant dans un canal rectangulaire". Comptes Rendus de l'Académie des Sciences. 72: 755–759.
• Boussinesq, J. (1872). "Théorie des ondes et des remous qui se propagent le long d'un channel rectangulaire horizontal, en Communiquant au liquide contenu dans ce canal des vitesses sensiblement pareilles de la sirt au fond". Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. Deuxiéme Série. 17: 55–108.
• Dingemans, MW (1997). To'lqinlarning tekis bo'lmagan pastki qismida tarqalishi. Okean muhandisligi bo'yicha ilg'or seriyalar 13. Jahon ilmiy, Singapur. ISBN  978-981-02-0427-3. Arxivlandi asl nusxasi 2012-02-08 da. Olingan 2008-01-21.CS1 maint: ref = harv (havola) 2-qism, 5-bobga qarang.
• Xemm, L .; Madsen, P.A .; Peregrin, D.X. (1993). "Yaqin qirg'oq zonasidagi to'lqinlarning o'zgarishi: sharh". Sohil muhandisligi. 21 (1–3): 5–39. doi:10.1016/0378-3839(93)90044-9.CS1 maint: ref = harv (havola)
• Jonson, R.S. (1997). Suv to'lqinlarining matematik nazariyasiga zamonaviy kirish. Amaliy matematikadagi Kembrij matnlari. 19. Kembrij universiteti matbuoti. ISBN  0-521-59832-X.
• Kirbi, J.T. (2003). "Boussinesq modellari va sohil bo'yidagi tarqalish sohalari, sörf zonasi jarayonlari va to'lqinlarni keltirib chiqaradigan oqimlari". Laxanda V.C. (tahrir). Sohillarni modellashtirish sohasidagi yutuqlar. Elsevier okeanografiya seriyasi. 67. Elsevier. 1-41 betlar. ISBN  0-444-51149-0.CS1 maint: ref = harv (havola)
• Peregrin, D.X. (1967). "Plyajdagi uzun to'lqinlar". Suyuqlik mexanikasi jurnali. 27 (4): 815–827. Bibcode:1967JFM .... 27..815P. doi:10.1017 / S0022112067002605.
• Peregrin, D.X. (1972). "Suv to'lqinlari uchun tenglamalar va ularning ortidagi taxminlar". Meyerda R.E. (tahrir). Plyajlardagi to'lqinlar va natijada cho'kindi tashish. Akademik matbuot. 95-122 betlar. ISBN  0-12-493250-9.