Koshi taqsimoti - Cauchy distribution

Koshi

Ehtimollar zichligi funktsiyasi Binafsharang egri standart Koshi taqsimotidir
Kümülatif taqsimlash funktsiyasi
Parametrlar	${displaystyle x_ {0}!}$ Manzil (haqiqiy ) ${displaystyle gamma> 0}$ o'lchov (haqiqiy)
Qo'llab-quvvatlash	${displaystyle displaystyle xin (-finty, + infty)!}$
PDF	${displaystyle {frac {1} {pi gamma, chap [1 + chap ({frac {x-x_ {0}} {gamma}} ight) ^ {2} ight]}}!}$
CDF	${displaystyle {frac {1} {pi}} arktan chapda ({frac {x-x_ {0}} {gamma}} ight) + {frac {1} {2}}!}$
Quantile	${displaystyle x_ {0} + gamma, [pi (F- {frac {1} {2}})]}$
Anglatadi	aniqlanmagan
Median	${displaystyle x_ {0}!}$
Rejim	${displaystyle x_ {0}!}$
Varians	aniqlanmagan
Noqulaylik	aniqlanmagan
Ex. kurtoz	aniqlanmagan
Entropiya	${displaystyle log (4pi gamma)!}$
MGF	mavjud emas
CF	${displaystyle displaystyle exp (x_ {0}, i, t-gamma, | t |)!}$
Fisher haqida ma'lumot	${displaystyle {frac {1} {2gamma ^ {2}}}}$

The Koshi taqsimotinomi bilan nomlangan Augustin Koshi, a doimiy ehtimollik taqsimoti. Bu, shuningdek, ayniqsa, orasida ma'lum fiziklar kabi Lorents taqsimoti (keyin Xendrik Lorents ), Koshi-Lorents taqsimoti, Lorents (ian) funktsiyasi, yoki Breit-Wigner tarqatish. Koshi taqsimoti ${displaystyle f (x; x_ {0}, gamma)}$ ning taqsimoti x- dan chiqadigan nurni ushlab turish ${displaystyle (x_ {0}, gamma)}$ bir tekis taqsimlangan burchak bilan. Shuningdek, bu ikkitasining nisbati mustaqil odatda taqsimlanadi o'rtacha nolga teng tasodifiy o'zgaruvchilar.

Koshi taqsimoti ko'pincha statistikada "ning" kanonik misoli sifatida ishlatiladi.patologik "ikkalasidan beri tarqatish kutilayotgan qiymat va uning dispersiya aniqlanmagan (lekin qarang § Aniqlanmagan lahzalarni tushuntirish quyida). Koshi taqsimoti cheklangan emas lahzalar bittadan katta yoki unga teng tartib; faqat kasrli mutloq momentlar mavjud.^[1] Koshi taqsimotida yo'q moment hosil qiluvchi funktsiya.

Yilda matematika, u bilan chambarchas bog'liq Poisson yadrosi, bu asosiy echim uchun Laplas tenglamasi ichida yuqori yarim tekislik.

Bu bir nechta tarqatishlardan biridir barqaror va analitik tarzda ifodalanishi mumkin bo'lgan zichlik funktsiyasiga ega, boshqalari esa normal taqsimot va Levi tarqatish.

Tarix

Koshi taqsimotidan namunalar orqali o'rtacha va standart og'ishni baholash (pastki qismida) ko'proq namunalar bilan birlashmaydi, xuddi normal taqsimot (tepada). Pastdagi grafikalarda ko'rinib turganidek, taxminlarda o'zboshimchalik bilan katta sakrashlar bo'lishi mumkin. (Kengaytirish uchun bosing)

Koshi taqsimotining zichlik funktsiyasi shaklidagi funktsiyalar 17-asrda matematiklar tomonidan o'rganilgan, ammo boshqa sharoitda va Agnesining jodugari. Nomiga qaramay, Koshi taqsimotining xususiyatlarini birinchi aniq tahlilini frantsuz matematikasi nashr etdi Poisson 1824 yilda, Koshi u bilan faqat 1853 yilda bo'lib o'tgan akademik tortishuv paytida bog'liq bo'lgan.^[2] Shunday qilib, tarqatish nomi quyidagicha bo'ladi Stiglerning eponimiya qonuni. Poisson ta'kidlaganidek, agar bunday taqsimotdan so'ng kuzatuvlar o'rtacha qiymati olingan bo'lsa, o'rtacha xato hech qanday sonli songa yaqinlashmadi. Bunaqa, Laplasniki dan foydalanish Markaziy chegara teoremasi bunday taqsimot noo'rin edi, chunki u cheklangan o'rtacha va dispersiyani qabul qildi. Shunga qaramay, Poisson, aksincha, bu masalani muhim deb hisoblamadi Bienayme, Koshini kim bu masala bo'yicha uzoq tortishuvga jalb qilishi kerak edi.

Xarakteristikasi

Ehtimollar zichligi funktsiyasi

Koshi taqsimotida quyidagilar mavjud ehtimollik zichligi funktsiyasi (PDF)^[1][3]

${displaystyle f (x; x_ {0}, gamma) = {frac {1} {pi gamma left [1 + left ({frac {x-x_ {0}} {gamma}} ight) ^ {2} ight] }} = {1 over pi gamma} chap [{gamma ^ {2} over (x-x_ {0}) ^ {2} + gamma ^ {2}} ight],}$

qayerda ${displaystyle x_ {0}}$ bo'ladi joylashish parametri, tarqatish cho'qqisi joylashgan joyni belgilash va ${displaystyle gamma}$ bo'ladi o'lchov parametri muqobil ravishda yarim kenglikni yarim maksimal darajada (HWHM) belgilaydi ${displaystyle 2gamma}$ bu maksimal kenglikning to'liq yarmi (FWHM). ${displaystyle gamma}$ shuningdek, yarmining yarmiga teng kvartallar oralig'i va ba'zida mumkin bo'lgan xato. Avgustin-Lui Koshi bunday zichlik funktsiyasidan 1827 yilda an bilan foydalangan cheksiz endi a deb nomlanadigan narsani belgilaydigan shkala parametri Dirac delta funktsiyasi.

Koshi PDF-ning maksimal qiymati yoki amplitudasi ${displaystyle {frac {1} {pi gamma}}}$, joylashgan ${displaystyle x = x_ {0}}$.

Ba'zan PDF-ni murakkab parametr bo'yicha ifodalash qulay ${displaystyle psi = x_ {0} + igamma}$

${displaystyle f (x; psi) = {frac {1} {pi}}, {extrm {Im}} chap ({frac {1} {x-psi}} ight) = {frac {1} {pi}} , {extrm {Re}} chap ({frac {-i} {x-psi}} ight)}$

Qachon maxsus holat ${displaystyle x_ {0} = 0}$ va ${displaystyle gamma = 1}$ deyiladi standart Koshi taqsimoti ehtimollik zichligi funktsiyasi bilan^[4][5]

${displaystyle f (x; 0,1) = {frac {1} {pi (1 + x ^ {2})}}.!}$

Fizikada uch parametrli Lorentsiya funktsiyasi ko'pincha ishlatiladi:

${displaystyle f (x; x_ {0}, gamma, I) = {frac {I} {left [1 + left ({frac {x-x_ {0}} {gamma}} ight) ^ {2} ight] }} = Ileft [{gamma ^ {2} (x-x_ {0}) ^ {2} + gamma ^ {2}} ight],}$

qayerda ${displaystyle I}$ bu cho'qqining balandligi. Ko'rsatilgan uch parametrli Lorentsiya funktsiyasi, ehtimol, ehtimollik zichligi funktsiyasi emas, chunki u 1 ga qo'shilmaydi, faqat maxsus holat bundan mustasno. ${displaystyle I = {frac {1} {pi gamma}}.!}$

Kümülatif taqsimlash funktsiyasi

The kümülatif taqsimlash funktsiyasi Koshi taqsimoti:

${displaystyle F (x; x_ {0}, gamma) = {frac {1} {pi}} arctan left ({frac {x-x_ {0}} {gamma}} ight) + {frac {1} {2 }}}$

va miqdoriy funktsiya (teskari CDF ) Koshi taqsimoti

${displaystyle Q (p; x_ {0}, gamma) = x_ {0} + gamma, chap [pi chap (p- {frac {1} {2}} ight) tun].}$

Bundan kelib chiqadiki, birinchi va uchinchi kvartillar ${displaystyle (x_ {0} -gamma, x_ {0} + gamma)}$va shuning uchun kvartallar oralig'i bu ${displaystyle 2gamma}$.

Standart taqsimot uchun kümülatif taqsimlash funktsiyasi arktangens funktsiyasi ${displaystyle arctan (x)}$:

${displaystyle F (x; 0,1) = {frac {1} {pi}} arktan chap (xight) + {frac {1} {2}}}$

Entropiya

Koshi taqsimotining entropiyasi quyidagicha:

${displaystyle {egin {aligned} H (gamma) & = - int _ {- infty} ^ {infty} f (x; x_ {0}, gamma) log (f (x; x_ {0}, gamma)), dx [6pt] & = log (4pi gamma) oxiri {hizalanmış}}}$

Ning hosilasi miqdoriy funktsiya, miqdoriy zichlik funktsiyasi, Koshi taqsimoti uchun:

${displaystyle Q '(p; gamma) = gamma, pi, {sec} ^ {2} chap [pi chap (p- {frac {1} {2}} ight) ight].!}$

The differentsial entropiya taqsimotning miqdoriy zichligi bo'yicha aniqlanishi mumkin,^[6] xususan:

${displaystyle H (gamma) = int _ {0} ^ {1} log, (Q '(p; gamma)), mathrm {d} p = log (4pi gamma)}$

Koshi taqsimoti entropiya ehtimoli maksimal taqsimoti tasodifiy o'zgarish uchun ${displaystyle X}$ buning uchun

${displaystyle operator nomi {E} [log (1+ (X-x_ {0}) ^ {2} / gamma ^ {2})] = log 4}$

yoki, muqobil ravishda, tasodifiy o'zgarish uchun ${displaystyle X}$ buning uchun

${displaystyle operator nomi {E} [log (1+ (X-x_ {0}) ^ {2})] = 2log (1 + gamma).}$

Uning standart shaklida u entropiya ehtimoli maksimal taqsimoti tasodifiy o'zgarish uchun ${displaystyle X}$ buning uchun^[7]

${displaystyle operator nomi {E}! left [ln (1 + X ^ {2}) ight] = ln 4.}$

Kullback-Leyblerning ajralib chiqishi

The Kullback-Leyblerning ajralib chiqishi Koshi taqsimotlari o'rtasida quyidagi nosimmetrik yopiq formulalar mavjud:^[8]

${displaystyle mathrm {KL} chap (p_ {l_ {1}, s_ {1}}: p_ {l_ {2}, s_ {2}} ight) = log {frac {left (s_ {1} + s_ {2) } ight) ^ {2} + chap (l_ {1} -l_ {2} ight) ^ {2}} {4s_ {1} s_ {2}}}.}$

Xususiyatlari

Koshi taqsimoti - yo'q ga taqsimotning misoli anglatadi, dispersiya yoki undan yuqori lahzalar belgilangan. Uning rejimi va o'rtacha aniq belgilangan va ikkalasi ham teng ${displaystyle x_ {0}}$.

Qachon ${displaystyle U}$ va ${displaystyle V}$ ikkitasi mustaqil odatda taqsimlanadi tasodifiy o'zgaruvchilar bilan kutilayotgan qiymat 0 va dispersiya 1, keyin nisbat ${displaystyle U / V}$ standart Koshi taqsimotiga ega.

Agar ${displaystyle Sigma}$ a ${displaystyle p imes p}$ qat'iy ijobiy diagonal yozuvlari bo'lgan ijobiy yarim semiz kovaryans matritsasi, keyin uchun mustaqil va bir xil taqsimlangan ${displaystyle X, Ysim N (0, Sigma)}$ va har qanday tasodifiy ${displaystyle p}$-vektor ${displaystyle w}$ mustaqil ${displaystyle X}$ va ${displaystyle Y}$ shu kabi ${displaystyle w_ {1} + cdots + w_ {p} = 1}$ va ${displaystyle w_ {i} geq 0, i = 1, ldots, p,}$ (belgilaydigan a kategorik taqsimot ) buni ushlab turadi

${displaystyle sum _ {j = 1} ^ {p} w_ {j} {frac {X_ {j}} {Y_ {j}}} sim mathrm {Cauchy} (0,1).}$^[9]

Agar ${displaystyle X_ {1}, ldots, X_ {n}}$ bor mustaqil va bir xil taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchilar, ularning har biri standart Koshi taqsimotiga ega, keyin namuna o'rtacha ${displaystyle (X_ {1} + cdots + X_ {n}) / n}$ bir xil standart Koshi taqsimotiga ega. Buning to'g'riligini ko'rish uchun xarakterli funktsiya namunaning ma'nosi:

${displaystyle varphi _ {overline {X}} (t) = mathrm {E} left [e ^ {i {overline {X}} t} ight]}$

qayerda ${displaystyle {overline {X}}}$ o'rtacha namunadir. Ushbu misol ichida sonli dispersiya holati markaziy chegara teoremasi tashlab bo'lmaydi. Bu shuningdek, barchaga xos bo'lgan markaziy chegara teoremasining yanada umumlashtirilgan versiyasiga misoldir barqaror taqsimotlar, ulardan Koshi taqsimoti alohida holat.

Koshi taqsimoti cheksiz bo'linadigan ehtimollik taqsimoti. Bundan tashqari, bu qat'iy barqaror tarqatish.^[10]

Koshining standart taqsimoti bilan mos keladi Talaba t- tarqatish bir daraja erkinlik bilan.

Barcha barqaror taqsimotlar singari joylashuv miqyosidagi oila Qo'shma taqsimot tegishli bo'lgan yopiq chiziqli transformatsiyalar bilan haqiqiy koeffitsientlar. Bundan tashqari, Koshi taqsimoti ostida yopiq chiziqli kasrli transformatsiyalar haqiqiy koeffitsientlar bilan.^[11] Shu munosabat bilan, shuningdek qarang Makkullagning Koshi taqsimotlarini parametrlashi.

Xarakterli funktsiya

Ruxsat bering ${displaystyle X}$ Koshi taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchini belgilang. The xarakterli funktsiya Koshi taqsimotining qiymati quyidagicha berilgan

${displaystyle varphi _ {X} (t; x_ {0}, gamma) = operator nomi {E} left [e ^ {iXt} ight] = int _ {- infty} ^ {infty} f (x; x_ {0} , gamma) e ^ {ixt}, dx = e ^ {ix_ {0} t-gamma | t |}.}$

bu shunchaki Furye konvertatsiyasi ehtimollik zichligi. Dastlabki ehtimollik zichligi, xususan, teskari Furye konvertatsiyasi yordamida xarakterli funktsiya bilan ifodalanishi mumkin:

${displaystyle f (x; x_ {0}, gamma) = {frac {1} {2pi}} int _ {- infty} ^ {infty} varphi _ {X} (t; x_ {0}, gamma) e ^ {-ixt}, dt!}$

The ntarqatish momenti - bu nda baholangan xarakterli funktsiyalarning hosilasi ${displaystyle t = 0}$. Xarakterli funktsiya emasligiga e'tibor bering farqlanadigan kelib chiqishi bo'yicha: bu Koshi taqsimotida nol momentidan yuqori aniqlangan momentlarga ega emasligiga mos keladi.

Aniqlanmagan daqiqalarni tushuntirish

Anglatadi

Agar a ehtimollik taqsimoti bor zichlik funktsiyasi ${displaystyle f (x)}$, keyin o'rtacha, agar mavjud bo'lsa, tomonidan beriladi

${displaystyle int _ {- infty} ^ {infty} xf (x), dx.qquad qquad (1)!}$

Biz buni ikki tomonlama baholashimiz mumkin noto'g'ri integral ikkita bir tomonlama noto'g'ri integrallarning yig'indisini hisoblash orqali. Anavi,

${displaystyle int _ {a} ^ {infty} xf (x), dx + int _ {- infty} ^ {a} xf (x), dx.qquad qquad (2)!}$

ixtiyoriy haqiqiy son uchun ${displaystyle a}$.

Integral mavjud bo'lishi uchun (hatto cheksiz qiymat kabi), ushbu yig'indagi hech bo'lmaganda bittasi cheklangan bo'lishi kerak yoki ikkalasi ham cheksiz va bir xil belgiga ega bo'lishi kerak. Ammo Koshi taqsimotida ushbu yig'indidagi (2) ikkala atama ham cheksiz va qarama-qarshi belgiga ega. Demak (1) aniqlanmagan, shuning uchun ham o'rtacha.^[12]

E'tibor bering Koshining asosiy qiymati Koshi taqsimotining o'rtacha qiymati

${displaystyle lim _ {a o infty} int _ {- a} ^ {a} xf (x), dx ,!}$

bu nolga teng. Boshqa tomondan, tegishli integral

${displaystyle lim _ {a o infty} int _ {- 2a} ^ {a} xf (x), dx ,!}$

bu emas nol, buni integralni hisoblash orqali osongina ko'rish mumkin. Bu yana o'rtacha (1) mavjud bo'lmasligini ko'rsatadi.

Ehtimollar nazariyasidagi turli xil natijalar kutilgan qiymatlar kabi katta sonlarning kuchli qonuni, Koshi taqsimotini ushlab turing.^[12]

Kichik lahzalar

Uchun mutlaq lahzalar ${displaystyle pin (-1,1)}$ belgilangan ${displaystyle Xsim mathrm {Cauchy} (0, gamma)}$ bizda ... bor

${displaystyle operator nomi {E} [| X | ^ {p}] = gamma ^ {p} mathrm {sec} (pi p / 2).}$

Yuqori lahzalar

Koshi taqsimotida har qanday tartibli cheklangan momentlar mavjud emas. Ba'zi yuqori xom lahzalar mavjud va cheksiz qiymatga ega, masalan, xom ikkinchi moment:

${displaystyle {egin {aligned} operatorname {E} [X ^ {2}] & propto int _ {- infty} ^ {infty} {frac {x ^ {2}} {1 + x ^ {2}}}, dx = int _ {- infty} ^ {infty} 1- {frac {1} {1 + x ^ {2}}}, dx [8pt] & = int _ {- infty} ^ {infty} dx-int _ {-infty} ^ {infty} {frac {1} {1 + x ^ {2}}}, dx = int _ {- infty} ^ {infty} dx-pi = infty .end {aligned}}}$

Formulani qayta tartibga solib, ikkinchi moment mohiyatan doimiyning cheksiz integrali ekanligini ko'rish mumkin (bu erda 1). Hatto yuqori quvvatga ega bo'lgan xom lahzalar ham abadiylikka baho beradi. G'alati quvvatga ega bo'lgan xom lahzalar aniqlanmagan, bu abadiylik qiymati bilan mavjudlikdan aniq farq qiladi. G'alati kuchga ega bo'lgan xom lahzalar aniqlanmagan, chunki ularning qiymatlari asosan tengdir ${displaystyle infty -infty}$ chunki integralning ikkala yarmi ikkiga bo'linadi va qarama-qarshi belgilarga ega. Birinchi xom moment, g'alati bo'lsa ham, mavjud bo'lmagan o'rtacha qiymatdir. (Shuningdek, yuqoridagi munozaraga qarang.) Bu o'z navbatida demakdir markaziy daqiqalar va standartlashtirilgan daqiqalar aniqlanmagan, chunki ularning barchasi o'rtacha qiymatga asoslangan. Ikkinchi markaziy moment bo'lgan dispersiya ham mavjud emas (xom ikkinchi moment cheksiz qiymat bilan mavjud bo'lishiga qaramay).

Keyinchalik yuqori daqiqalar natijalari quyidagicha Xolderning tengsizligi Bu shuni anglatadiki, agar pastroq bo'lsa, yuqori momentlar (yoki momentlarning yarmi) ajralib chiqadi.

Qisqartirilgan tarqatish momentlari

Ni ko'rib chiqing qisqartirilgan tarqatish standart Koshi taqsimotini intervalgacha cheklash bilan belgilanadi [−10¹⁰⁰, 10¹⁰⁰]. Bunday qisqartirilgan taqsimot barcha momentlarga ega (va markaziy limit teoremasi amal qiladi) i.i.d. undan kuzatuvlar); ammo deyarli barcha amaliy maqsadlarda u Koshi taqsimotiga o'xshaydi.^[13]

Parametrlarni baholash

Koshi taqsimotining parametrlari o'rtacha va dispersiyaga mos kelmasligi sababli, Koshi taqsimotining parametrlarini o'rtacha namuna va namunaviy dispersiya yordamida baholashga urinish natija bermaydi.^[14] Masalan, agar i.i.d. o'lchov namunasi n Koshi taqsimotidan olingan bo'lib, o'rtacha namunani quyidagicha hisoblash mumkin:

${displaystyle {ar {x}} = {frac {1} {n}} sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i}}$

Namuna qiymatlari bo'lsa ham ${displaystyle x_ {i}}$ markaziy qiymat haqida jamlangan bo'ladi ${displaystyle x_ {0}}$, absolyut qiymati katta bo'lgan namunaviy nuqtalarga duch kelish ehtimoli oshgani uchun ko'proq kuzatuvlar olib borilgandan so'ng, o'rtacha tanlanganlik tobora o'zgarib boradi. Aslida, o'rtacha tanlovning taqsimlanishi kuzatuvlarning o'zlarining taqsimlanishiga teng bo'ladi; Ya'ni, katta namunaning o'rtacha tanlangan bahosi bundan yaxshiroq (yoki yomonroq) emas ${displaystyle x_ {0}}$ namunadagi har qanday kuzatuvdan ko'ra. Xuddi shunday, namunaviy farqni hisoblash ko'proq kuzatuvlar olib borilgandan so'ng kattalashadigan qiymatlarni keltirib chiqaradi.

Shuning uchun markaziy qiymatni baholashning yanada ishonchli vositalari ${displaystyle x_ {0}}$ va o'lchov parametri ${displaystyle gamma}$ kerak. Oddiy usullardan biri - bu taxminiy sifatida namunaning o'rtacha qiymatini olish ${displaystyle x_ {0}}$ va namunaning yarmi kvartallar oralig'i ning taxminchisi sifatida ${displaystyle gamma}$. Boshqa, aniqroq va mustahkam usullar ishlab chiqilgan ^[15][16] Masalan, qisqartirilgan o'rtacha namunaning o'rtacha 24% buyurtma statistikasi uchun smeta ishlab chiqaradi ${displaystyle x_ {0}}$ bu o'rtacha namunani yoki to'liq o'rtacha qiymatni ishlatishdan ko'ra samaraliroq.^[17][18] Ammo, chunki semiz quyruq Koshi taqsimotida, agar namunaning 24 foizidan ko'prog'i ishlatilsa, taxmin qiluvchining samaradorligi pasayadi.^[17][18]

Maksimal ehtimollik parametrlarni taxmin qilish uchun ham foydalanish mumkin ${displaystyle x_ {0}}$ va ${displaystyle gamma}$. Biroq, bu yuqori darajadagi polinomning ildizlarini topishni talab qilishi va mahalliy maksimumni ifodalovchi bir nechta ildiz bo'lishi mumkinligi bilan murakkablashadi.^[19] Shuningdek, ehtimollikni maksimal darajada baholash asimptotik jihatdan samarali bo'lsa-da, kichik namunalar uchun nisbatan samarasiz.^[20][21] Namunaning kattaligi uchun Koshi taqsimoti uchun jurnalga o'xshashlik funktsiyasi ${displaystyle n}$ bu:

${displaystyle {hat {ell}} (x_ {1}, dotsc, x_ {n} mid! x_ {0}, gamma) = - nlog (gamma pi) -sum _ {i = 1} ^ {n} log chap (1 + chap ({frac {x_ {i} -x_ {0}} {gamma}} ight) ^ {2} ight)}$

Jurnal ehtimolligi funktsiyasini maksimal darajada oshirish ${displaystyle x_ {0}}$ va ${displaystyle gamma}$ quyidagi tenglamalar tizimini hosil qiladi:

${displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} {frac {x_ {i} -x_ {0}} {gamma ^ {2} + left (x_ {i} -! x_ {0} ight) ^ {2 }}} = 0}$

${displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} {frac {left (x_ {i} -x_ {0} ight) ^ {2}} {gamma ^ {2} + left (x_ {i} -x_ {) 0} tun) ^ {2}}} - {frac {n} {2}} = 0}$

Yozib oling

${displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} {frac {left (x_ {i} -x_ {0} ight) ^ {2}} {gamma ^ {2} + left (x_ {i} -x_ {) 0} tun) ^ {2}}}}$

ichida monoton funktsiya ${displaystyle gamma}$ va bu echim ${displaystyle gamma}$ qoniqtirishi kerak

${displaystyle min | x_ {i} -x_ {0} | leq gamma leq max | x_ {i} -x_ {0} |.}$

Faqat uchun hal qilish ${displaystyle x_ {0}}$ daraja polinomini echishni talab qiladi ${displaystyle 2n-1}$,^[19] va faqat uchun hal qilish ${displaystyle,! gamma}$ daraja polinomini echishni talab qiladi ${displaystyle 2n}$. Shuning uchun, bitta parametr uchun yoki har ikkala parametr uchun bir vaqtning o'zida hal qilish, a raqamli kompyuterda echim odatda talab qilinadi. Ehtimollarni maksimal darajada baholashning foydasi asimptotik samaradorlikdir; taxmin qilish ${displaystyle x_ {0}}$ namuna medianasidan foydalanish taxminan 81% ni taxmin qilish kabi asimptotik jihatdan samaralidir ${displaystyle x_ {0}}$ maksimal ehtimollik bilan.^[18][22] O'rtacha 24% buyurtma statistikasidan foydalangan holda qisqartirilgan namuna o'rtacha 88% ni asimptotik jihatdan samaralidir ${displaystyle x_ {0}}$ maksimal taxminiy taxmin sifatida.^[18] Qachon Nyuton usuli maksimal taxminiy baho uchun echim topish uchun ishlatiladi, o'rtacha 24% buyurtma statistikasi uchun dastlabki echim sifatida foydalanish mumkin ${displaystyle x_ {0}}$.

Shaklni mutloq qiymatlar medianasi yordamida baholash mumkin, chunki joylashish uchun 0 Koshi o'zgaruvchisi ${displaystyle Xsim mathrm {Cauchy} (0, gamma)}$, ${displaystyle mathrm {median} (| X |) = gamma}$ shakl parametri.

Ko'p o'zgaruvchan Koshi taqsimoti

A tasodifiy vektor ${displaystyle X = (X_ {1}, ldots, X_ {k}) ^ {T}}$ komponentlarining har bir chiziqli birikmasi bo'lsa, ko'p o'zgaruvchan Koshi taqsimotiga ega deyiladi ${displaystyle Y = a_ {1} X_ {1} + cdots + a_ {k} X_ {k}}$ Koshi taqsimotiga ega. Ya'ni har qanday doimiy vektor uchun ${displaystyle ain mathbb {R} ^ {k}}$, tasodifiy o'zgaruvchi ${displaystyle Y = a ^ {T} X}$ bir o'zgaruvchili Koshi taqsimotiga ega bo'lishi kerak.^[23] Ko'p o'zgaruvchan Koshi taqsimotining xarakterli vazifasi quyidagicha:

${displaystyle varphi _ {X} (t) = e ^ {ix_ {0} (t) -gamma (t)} ,!}$

qayerda ${displaystyle x_ {0} (t)}$ va ${displaystyle gamma (t)}$ bilan haqiqiy funktsiyalar ${displaystyle x_ {0} (t)}$ a bir hil funktsiya birinchi darajali va ${displaystyle gamma (t)}$ birinchi darajadagi ijobiy bir hil funktsiya.^[23] Rasmiy ravishda:^[23]

${displaystyle x_ {0} (at) = ax_ {0} (t),}$

${displaystyle gamma (at) = | a | gamma (t),}$

Barcha uchun ${displaystyle t}$.

Ikki o'zgaruvchan Koshi taqsimotiga misol:^[24]

${displaystyle f (x, y; x_ {0}, y_ {0}, gamma) = {1 dan 2pi} gacha chap {{gamma ustidan ((x-x_ {0}) ^ {2} + (y-y_ { 0}) ^ {2} + gamma ^ {2}) ^ {3/2}} ight].}$

Ushbu misolda, kovaryans matritsasining analogi bo'lmasa ham, ${displaystyle x}$ va ${displaystyle y}$ emas statistik jihatdan mustaqil.^[24]

Bundan tashqari, ushbu formulani murakkab o'zgaruvchiga yozishimiz mumkin. Keyinchalik murakkab koshining ehtimollik zichligi funktsiyasi:

${displaystyle f (z; z_ {0}, gamma) = {1 dan 2pi} gacha chap {{gamma ustidan (| z-z_ {0} | ^ {2} + gamma ^ {2}) ^ {3/2} } kechasi].}$

Bir o'lchovli zichlikka o'xshash, ko'p o'lchovli Koshi zichligi ham bilan bog'liq ko'p o'zgaruvchan talabalarni tarqatish. Erkinlik darajalari parametri biriga teng bo'lganda ular tengdir. A zichligi ${displaystyle k}$ o'lchov talabalarning bir daraja erkinlik bilan taqsimlanishi quyidagicha bo'ladi:

${displaystyle f ({mathbf {x}}; {mathbf {mu}}, {mathbf {Sigma}}, k) = {frac {Gamma chap ({frac {1 + k} {2}} ight)} {Gamma ({frac {1} {2}}) pi ^ {frac {k} {2}} chap | {mathbf {Sigma}} ight | ^ {frac {1} {2}} chap [1 + ({mathbf {) x}} - {mathbf {mu}}) ^ {T} {mathbf {Sigma}} ^ {- 1} ({mathbf {x}} - {mathbf {mu}}) ight] ^ {frac {1 + k } {2}}}}.}$

Ushbu zichlik uchun xususiyatlar va tafsilotlarni uni ko'p o'zgaruvchan talabalar zichligi holati sifatida qabul qilish orqali olish mumkin.

Transformatsiya xususiyatlari

• Agar ${displaystyle Xsim operator nomi {Cauchy} (x_ {0}, gamma),}$ keyin ${displaystyle kX + ell sim {extrm {Cauchy}} (x_ {0} k + ell, gamma | k |)}$^[25]
• Agar ${displaystyle Xsim operator nomi {Cauchy} (x_ {0}, gamma _ {0}),}$ va ${displaystyle Ysim operator nomi {Cauchy} (x_ {1}, gamma _ {1}),}$ mustaqil ${displaystyle X + Ysim operator nomi {Cauchy} (x_ {0} + x_ {1}, gamma _ {0} + gamma _ {1}),}$ va ${displaystyle X-Ysim operator nomi {Cauchy} (x_ {0} -x_ {1}, gamma _ {0} + gamma _ {1}),}$
• Agar ${displaystyle Xsim operator nomi {Cauchy} (0, gamma),}$ keyin ${displaystyle {frac {1} {X}} sim operatorname {Cauchy} (0, {frac {1} {gamma}}),}$
• Makkullagning Koshi taqsimotlarini parametrlashi:^[26] Koshi taqsimotini bitta murakkab parametr bo'yicha ifodalash ${displaystyle psi = x_ {0} + igamma}$, aniqlang ${displaystyle Xsim operator nomi {Cauchy} (psi)}$ anglatmoq ${displaystyle Xsim operator nomi {Cauchy} (x_ {0}, | gamma |)}$. Agar ${displaystyle Xsim operator nomi {Cauchy} (psi)}$ keyin:

${displaystyle {frac {aX + b} {cX + d}} sim operatorname {Cauchy} chap ({frac {apsi + b} {cpsi + d}} ight)}$

qayerda ${displaystyle a}$, ${displaystyle b}$, ${displaystyle c}$ va ${displaystyle d}$ haqiqiy sonlar.

• Yuqoridagi kabi konventsiyadan foydalanish, agar ${displaystyle Xsim operator nomi {Cauchy} (psi)}$ keyin:^[26]

${displaystyle {frac {X-i} {X + i}} sim operatorname {CCauchy} chap ({frac {psi -i} {psi + i}} ight)}$

qayerda ${displaystyle operator nomi {CCauchy}}$ bo'ladi Koshi doiraviy taqsimoti.

Levi o'lchovi

Koshi taqsimoti barqaror taqsimot indeks 1. The Levi-Xintchinning namoyishi parametrning bunday barqaror taqsimoti ${displaystyle gamma}$ uchun berilgan ${displaystyle Xsim operator nomi {Barqaror} (gamma, 0,0),}$ tomonidan:

${displaystyle operatorname {E} left (e ^ {ixX} ight) = exp left (int _ {mathbb {R}} (e ^ {ixy} -1) Pi _ {gamma} (dy) ight)}$

qayerda

${displaystyle Pi _ {gamma} (dy) = left (c_ {1, gamma} {frac {1} {y ^ {1 + gamma}}} 1_ {left {y> 0ight}} + c_ {2, gamma} {frac {1} {| y | ^ {1 + gamma}}} 1_ {left {y <0ight}} ight), dy}$

va ${displaystyle c_ {1, gamma}, c_ {2, gamma}}$ aniq ifodalanishi mumkin.^[27] Bunday holda ${displaystyle gamma = 1}$ Koshi taqsimotining bittasi bor ${displaystyle c_ {1, gamma} = c_ {2, gamma}}$.

Ushbu so'nggi vakillik formulaning natijasidir

${displaystyle | x | = int _ {mathbb {R}} (1-e ^ {ixy}), {frac {dy} {y ^ {2}}}}$

Tegishli tarqatishlar

• ${displaystyle operator nomi {Cauchy} (0,1) sim {extrm {t}} (mathrm {df} = 1),}$ Talaba t tarqatish
• ${displaystyle operator nomi {Cauchy} (mu, sigma) sim {extrm {t}} _ {(mathrm {df} = 1)} (mu, sigma),}$ nostandart talabalar t tarqatish
• Agar ${displaystyle X, Ysim {extrm {N}} (0,1), X, Y}$ mustaqil, keyin ${displaystyle {frac {X} {Y}} sim {extrm {Cauchy}} (0,1),}$
• Agar ${displaystyle Xsim {extrm {U}} (0,1),}$ keyin ${displaystyle a left (pi chap (X- {frac {1} {2}} ight) ight) sim {extrm {Cauchy}} (0,1),}$
• Agar ${displaystyle Xsim operator nomi {Log-Cauchy} (0,1)}$ keyin ${displaystyle ln (X) sim {extrm {Cauchy}} (0,1)}$
• Agar ${displaystyle Xsim operator nomi {Cauchy} (x_ {0}, gamma)}$ keyin ${displaystyle {frac {1} {X}} sim operatorname {Cauchy} chap ({frac {x_ {0}} {x_ {0} ^ {2} + gamma ^ {2}}}, {frac {gamma} { x_ {0} ^ {2} + gamma ^ {2}}} tungi)}$
• Koshi taqsimoti $ a $ ning cheklangan holatidir Pearson taqsimoti 4-turdagi^{[iqtibos kerak ]}
• Koshi taqsimoti $ a $ ning alohida holatidir Pearson taqsimoti 7-turdagi.^[1]
• Koshi taqsimoti a barqaror taqsimot: agar ${displaystyle Xsim {extrm {Stable}} (1,0, gamma, mu)}$, keyin ${displaystyle Xsim operator nomi {Cauchy} (mu, gamma)}$.
• Koshi taqsimoti $ a $ ning yagona chegarasi giperbolik taqsimot^{[iqtibos kerak ]}
• The o'ralgan Koshi taqsimoti, doiradagi qiymatlarni qabul qilish, Koshi taqsimotidan aylana bo'ylab o'ralgan holda olinadi.
• Agar ${displaystyle Xsim {extrm {N}} (0,1)}$, ${displaystyle Zsim operator nomi {Teskari-Gamma} (1/2, s ^ ​​{2} / 2)}$, keyin ${displaystyle Y = mu + X {sqrt {Z}} sim operator nomi {Cauchy} (mu, s)}$. Yarim Koshi taqsimotlari uchun o'zaro bog'liqlik o'rnatiladi ${displaystyle Xsim {extrm {N}} (0,1) I {X> = 0}}$.

Relativistik Breit-Wigner taqsimoti

Yilda yadroviy va zarralar fizikasi, a ning energiya profili rezonans tomonidan tasvirlangan Breyt-Wigner relyativistik taqsimoti, Koshi taqsimoti Breit-Vigner taqsimoti (relyativistik bo'lmagan).^{[iqtibos kerak ]}

Vujudga kelishi va qo'llanilishi

• Yilda spektroskopiya, Koshi taqsimoti shaklini tavsiflaydi spektral chiziqlar bo'ysunadigan bir hil kengayish unda barcha atomlar chiziq shaklida joylashgan chastota diapazoni bilan bir xil ta'sir o'tkazadilar. Ko'pgina mexanizmlar bir hil kengayishni keltirib chiqaradi, eng muhimi to'qnashuvni kengaytirish.^[28] Hayot davomida yoki tabiiy ravishda kengayish shuningdek, Koshi taqsimoti bilan tavsiflangan chiziq shaklini keltirib chiqaradi.

• Koshi taqsimotining qo'llanilishini yoki uning o'zgarishini eksponent o'sish bilan ishlaydigan sohalarda topish mumkin. Uaytning 1958 yilgi qog'ozi ^[29] ning taxminchilari uchun test statistikasini keltirib chiqardi ${displaystyle {hat {eta}}}$ tenglama uchun ${displaystyle x_ {t + 1} = eta {x} _ {t} + varepsilon _ {t + 1}, eta> 1}$ va oddiy kichkina kvadratchalar yordamida maksimal ehtimollik tahmini topilgan joyda statistikaning namunaviy taqsimoti Koshi taqsimoti ko'rsatilgan.

Koshining maksimal bir kunlik yog'ingarchilik miqdoriga qadar taqsimlanishi CumFreq, Shuningdek qarang tarqatish moslamasi ^[30]

• Koshi taqsimoti - bu ko'pincha aylanayotgan ob'ektlar uchun kuzatuvlarni taqsimlash. Buning mumtoz ma'lumotnomasi "Gull" ning dengiz chiroqlari muammosi deb ataladi^[31] va yuqoridagi bo'limdagi kabi zarralar fizikasida Breit-Wigner taqsimoti.

• Yilda gidrologiya Koshi taqsimoti har yilgi maksimal bir kunlik yog'ingarchilik va daryo suvlari kabi haddan tashqari hodisalarga nisbatan qo'llaniladi. Moviy rasmda Koshi taqsimotini eng yuqori oylik bir kunlik yog'ingarchilik darajasiga moslashtirishning misoli ko'rsatilgan, shuningdek 90% ishonch kamari asosida binomial taqsimot. Yomg'ir ma'lumotlari quyidagicha ifodalanadi pozitsiyalarni chizish qismi sifatida kümülatif chastota tahlili.

• Kompleksning xayoliy qismi uchun ifoda elektr o'tkazuvchanligi Lorents modeli bo'yicha Koshi taqsimoti.

• Modelga qo'shimcha tarqatish sifatida semiz quyruq yilda hisoblash moliya, Koshi taqsimotlari VARni modellashtirish uchun ishlatilishi mumkin (xavf ostida bo'lgan qiymat ) nisbatan o'ta katta xavfni keltirib chiqaradi Gauss tarqatish. ^[32]

Shuningdek qarang

• Levi parvozi va Levi jarayoni
• Koshi jarayoni
• Barqaror jarayon
• Slash taqsimoti

Adabiyotlar

Tashqi havolalar

• "Koshi taqsimoti", Matematika entsiklopediyasi, EMS Press, 2001 [1994]
• Dastlabki foydalanish: Koshi taqsimotida ba'zi tarixiy ma'lumotlar mavjud.
• Vayshteyn, Erik V. "Koshi taqsimoti". MathWorld.
• GNU ilmiy kutubxonasi - qo'llanma
• Jorj Marsalya tomonidan normal o'zgaruvchilarning nisbati