Ko'p o'zgaruvchan barqaror taqsimot - Multivariate stable distribution

ko'p o'zgaruvchan barqaror

Ehtimollar zichligi funktsiyasi Bilan ko'p o'zgaruvchan (ikki o'zgaruvchan) barqaror taqsimotni ko'rsatadigan issiqlik xaritasia = 1.1
Parametrlar	${ displaystyle alpha in (0,2]}$ — ko'rsatkich ${ displaystyle delta in mathbb {R} ^ {d}}$ - siljish / joylashish vektori ${ displaystyle Lambda (lar)}$ - sferadagi spektral cheklangan o'lchov
Qo'llab-quvvatlash	${ displaystyle u in mathbb {R} ^ {d}}$
PDF	(analitik ifoda yo'q)
CDF	(analitik ifoda yo'q)
Varians	Cheksiz qachon ${ displaystyle alfa <2}$
CF	matnni ko'ring

The ko'p o'zgaruvchan barqaror taqsimot ko'p o'zgaruvchidir ehtimollik taqsimoti bu bir o'zgaruvchining ko'p o'zgaruvchan umumlashtirilishi barqaror taqsimot. Ko'p o'zgaruvchan barqaror taqsimot o'rtasidagi chiziqli munosabatlarni belgilaydi barqaror taqsimot marginallar.^{[tushuntirish kerak ]} Xuddi bir xil holatga o'xshash tarzda, taqsimot uning nuqtai nazaridan aniqlanadi xarakterli funktsiya.

Ko'p o'zgaruvchan barqaror taqsimotni kengaytmasi deb ham hisoblash mumkin ko'p o'zgaruvchan normal taqsimot. Bu parametrga ega,a, bu 0 a ≤ 2, va ish qaerdaa = 2 ko'p o'zgaruvchan normal taqsimotga teng. Unda nosimmetrik taqsimotlarga imkon beradigan qo'shimcha skew parametri mavjud, bu erda ko'p o'zgaruvchan normal taqsimot nosimmetrikdir.

Ta'rif

Ruxsat bering ${ displaystyle mathbb {S}}$ birlik shar bo'lishi ${ displaystyle mathbb {R} ^ {d} colon mathbb {S} = {u in mathbb {R} ^ {d} colon | u | = 1 }}$. A tasodifiy vektor, ${ displaystyle X}$, ko'p o'zgaruvchan barqaror taqsimotga ega - sifatida belgilanadi ${ displaystyle X sim S ( alfa, Lambda, delta)}$ - ning qo'shma xarakterli funktsiyasi bo'lsa ${ displaystyle X}$ bu^[1]

${ displaystyle operator nomi {E} exp (iu ^ {T} X) = exp left {- int limits _ {s in mathbb {S}} left {| u ^ {T } s | ^ { alfa} + i nu (u ^ {T} s, alfa) o'ng } , Lambda (ds) + iu ^ {T} delta right }}$

bu erda 0 <a <2 va uchun ${ displaystyle y in mathbb {R}}$

${ displaystyle nu (y, alpha) = { begin {case} - mathbf {sign} (y) tan ( pi alpha / 2) | y | ^ { alpha} & alpha neq 1, (2 / pi) y ln | y | & alfa = 1. End {holatlar}}}$

Bu aslida Feldxaym natijasidir,^[2] har qanday barqaror tasodifiy vektor spektral o'lchov bilan tavsiflanishi mumkin ${ displaystyle Lambda}$ (cheklangan o'lchov ${ displaystyle mathbb {S}}$) va siljish vektori ${ displaystyle delta in mathbb {R} ^ {d}}$.

Proektsiyalar yordamida parametrlash

Barqaror tasodifiy vektorni tavsiflashning yana bir usuli proektsiyalar nuqtai nazaridan. Har qanday vektor uchun ${ displaystyle u}$, proektsiya ${ displaystyle u ^ {T} X}$ bir o'zgaruvchidir ${ displaystyle alfa -}$biroz chayqalish bilan barqaror ${ displaystyle beta (u)}$, o'lchov ${ displaystyle gamma (u)}$ va ba'zi bir o'zgarish ${ displaystyle delta (u)}$. Notation ${ displaystyle X sim S ( alfa, beta ( cdot), gamma ( cdot), delta ( cdot))}$ agar X barqaror bo'lsa ishlatiladi${ displaystyle u ^ {T} X sim s ( alfa, beta ( cdot), gamma ( cdot), delta ( cdot))}$har bir kishi uchun ${ displaystyle u in mathbb {R} ^ {d}}$. Bunga proektsiyani parametrlash deyiladi.

Spektral o'lchov proektsion parametr funktsiyalarini quyidagicha aniqlaydi:

${ displaystyle gamma (u) = { Bigl (} int _ {s in mathbb {S}} | u ^ {T} s | ^ { alpha} Lambda (ds) { Bigr)} ^ {1 / alfa}}$

${ displaystyle beta (u) = int _ {s in mathbb {S}} | u ^ {T} s | ^ { alpha} mathbf {sign} (u ^ {T} s) Lambda (ds) / gamma (u) ^ { alfa}}$

${ displaystyle delta (u) = { begin {case} u ^ {T} delta & alpha neq 1 u ^ {T} delta - int _ {s in mathbb {S} } { tfrac { pi} {2}} u ^ {T} s ln | u ^ {T} s | Lambda (ds) & alfa = 1 end {case}}}$

Maxsus holatlar

Ko'p o'zgaruvchan bo'lgan maxsus holatlar mavjud xarakterli funktsiya oddiyroq shaklga ega. Sifatida barqaror marginalning xarakterli funktsiyasini aniqlang

${ displaystyle omega (y | alfa, beta) = { boshlanadi {holatlar | | y | ^ { alfa} chap [1-i beta ( tan { tfrac { pi alpha} { 2}}) mathbf {sign} (y) right] & alpha neq 1 | y | left [1 + i beta { tfrac {2} { pi}} mathbf {sign} (y) ln | y | right] & alfa = 1 end {case}}}$

Izotropik ko'p o'zgaruvchan barqaror taqsimot

Xarakterli funktsiya${ displaystyle E exp (iu ^ {T} X) = exp {- gamma _ {0} ^ { alpha} | u | ^ { alpha} + iu ^ {T} delta) } }$ Spektral o'lchov doimiy va bir xil bo'lib, radial / izotropik simmetriyaga olib keladi.^[3]Multinormal holat uchun ${ displaystyle alpha = 2}$, bu mustaqil tarkibiy qismlarga mos keladi, ammo qachon bo'lsa shunday emas ${ displaystyle alfa <2}$. Izotropiya - bu elliptikaning alohida holatidir (keyingi xatboshiga qarang) - shunchaki oling ${ displaystyle Sigma}$ identifikatsiya matritsasining ko'paytmasi bo'lish.

Elliptik konturli ko'p o'zgaruvchan barqaror taqsimot

The elliptik tarzda konturlangan ko'p o'zgaruvchan barqaror taqsimot - bu ko'p o'zgaruvchan barqaror taqsimotning maxsus nosimmetrik holati X bu a- barqaror va elliptik konturli, keyin u qo'shma xarakterli funktsiya ${ displaystyle E exp (iu ^ {T} X) = exp {- (u ^ {T} Sigma u) ^ { alpha / 2} + iu ^ {T} delta) }}$ ba'zi bir o'zgarish vektori uchun $R {d}} dagi { displaystyle delta$ (mavjud bo'lganda o'rtacha) va ba'zi ijobiy aniq matritsa ${ displaystyle Sigma}$ (korrelyatsiya matritsasiga o'xshash, garchi odatdagi korrelyatsiya ta'rifi mazmunli bo'lmasa ham). ko'p o'zgaruvchan normal taqsimot: ${ displaystyle E exp (iu ^ {T} X) = exp {- (u ^ {T} Sigma u) + iu ^ {T} delta) }}$ qachon olingan a = 2.

Mustaqil komponentlar

Marginallar mustaqil ${ displaystyle X_ {j} sim S ( alfa, beta _ {j}, gamma _ {j}, delta _ {j})}$, keyin xarakterli funktsiya

${ displaystyle E exp (iu ^ {T} X) = exp left {- sum _ {j = 1} ^ {m} omega (u_ {j} | alfa, beta _ {j }) gamma _ {j} ^ { alpha} + iu ^ {T} delta) right }}$

Shunga e'tibor bering a = 2 bu yana ko'p o'zgaruvchan normalgacha kamayadi; iid holati va izotropik holat qachon to'g'ri kelmasligini unutmang a <2. Mustaqil komponentlar - bu spektral o'lchov standart birlik vektorlari tomonidan qo'llab-quvvatlanadigan alohida spektral o'lchovning alohida holati (keyingi xatboshiga qarang).

Bilan ko'p o'zgaruvchan (ikki o'zgaruvchan) mustaqil barqaror taqsimotni ko'rsatadigan issiqlik xaritasia = 1

Bilan ko'p o'zgaruvchan (ikki o'zgaruvchan) mustaqil barqaror taqsimotni ko'rsatadigan issiqlik xaritasia = 2

Diskret

Agar spektral o'lchov massa bilan diskret bo'lsa ${ displaystyle lambda _ {j}}$ da ${ displaystyle s_ {j} in mathbb {S}, j = 1, ldots, m}$xarakterli funktsiya

${ displaystyle E exp (iu ^ {T} X) = exp left {- sum _ {j = 1} ^ {m} omega (u ^ {T} s_ {j} | alfa, 1) lambda _ {j} ^ { alpha} + iu ^ {T} delta) right }}$

Lineer xususiyatlar

Agar ${ displaystyle X sim S ( alfa, beta ( cdot), gamma ( cdot), delta ( cdot))}$ bu d- o'lchovli, A bu m x d matritsa va ${ displaystyle b in mathbb {R} ^ {m},}$ keyin AX + b bu m- o'lchovli ${ displaystyle alpha}$- shkala funktsiyasi bilan barqaror ${ displaystyle gamma (A ^ {T} cdot),}$ qiyshiqlik funktsiyasi ${ displaystyle beta (A ^ {T} cdot),}$ va joylashish funktsiyasi ${ displaystyle delta (A ^ {T} cdot) + b ^ {T}.}$

Mustaqil komponent modelidagi xulosa

Yaqinda^[4] chiziqli modelda yopiq shaklda xulosa qanday hisoblash mumkinligi ko'rsatilgan (yoki unga teng keladigan a omillarni tahlil qilish mustaqil komponent modellarini o'z ichiga olgan model).

Aniqrog'i, ruxsat bering ${ displaystyle X_ {i} sim S ( alfa, beta _ {x_ {i}}, gamma _ {x_ {i}}, delta _ {x_ {i}}), i = 1, ldots, n}$ i.i.d to'plami bo'lishi a-dan tortib olingan kuzatilmaydigan birvarakat barqaror taqsimot. O'lchamning ma'lum bo'lgan A chiziqli munosabatlar matritsasi berilgan ${ displaystyle n times n}$, kuzatish ${ displaystyle Y_ {i} = sum _ {i = 1} ^ {n} A_ {ij} X_ {j}}$ yashirin omillarning konvolyutsiyasi sifatida taqsimlangan deb taxmin qilinadi ${ displaystyle X_ {i}}$. ${ displaystyle Y_ {i} = S ( alfa, beta _ {y_ {i}}, gamma _ {y_ {i}}, delta _ {y_ {i}})}$. Xulosa qilish vazifasi eng ehtimolni hisoblashdir ${ displaystyle X_ {i}}$, A chiziqli munosabatlar matritsasi va kuzatishlar berilgan ${ displaystyle Y_ {i}}$. Ushbu vazifani yopiq shaklda O (n³).

Ushbu qurilish uchun ariza ko'p foydalanuvchini aniqlash barqaror, Gauss bo'lmagan shovqin bilan.

Shuningdek qarang

• Ko'p o'zgaruvchan Koshi taqsimoti
• Ko'p o'zgaruvchan normal taqsimot

Resurslar

• Mark Veillette-ning barqaror tarqatiladigan matlab to'plami http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/37514
• Matlab paketidagi chiziqli barqaror modeldagi Denni Biksonning xulosasi yordamida chizilgan ushbu sahifadagi uchastkalar: https://www.cs.cmu.edu/~bickson/stable

Izohlar