Yo'naltirilgan statistika - Directional statistics

Yo'naltirilgan statistika (shuningdek dairesel statistika yoki sferik statistika) ning subdiplinasi hisoblanadi statistika bilan shug'ullanadigan ko'rsatmalar (birlik vektorlari yilda Rⁿ), o'qlar (chiziqlar kelib chiqishi orqali Rⁿ) yoki aylanishlar yilda Rⁿ. Umuman olganda, yo'naltirilgan statistika ixcham kuzatuvlar bilan shug'ullanadi Riemann manifoldlari.

A-ning umumiy shakli oqsil birlikdagi nuqtalar ketma-ketligi sifatida parametrlanishi mumkin soha. Sharsimonning ikkita ko'rinishi ko'rsatilgan gistogramma oqsil tuzilmalarining katta to'plami uchun bunday nuqtalardan. Bunday ma'lumotlarning statistik muomalasi yo'naltirilgan statistika sohasida.^[1]

0 haqiqat daraja va 360 daraja bir xil burchakka ega, shuning uchun masalan 180 daraja sezgir bo'lmaydi anglatadi 2 daraja va 358 daraja, ba'zi bir ma'lumot turlarini (bu holda burchakli ma'lumotlarni) tahlil qilish uchun maxsus statistik usullar zarurligini ko'rsatadigan bitta rasmni taqdim etadi. Yo'naltirilgan deb hisoblanishi mumkin bo'lgan boshqa ma'lumotlarga vaqtinchalik davrlar (masalan, kun, hafta, oy, yil va hokazo), kompas yo'nalishlari, dihedral burchaklar molekulalarda, yo'nalishlarda, aylanishlarda va boshqalarda.

Dairesel va yuqori o'lchovli taqsimotlar

Ushbu bo'lim bo'lishi tavsiya etilgan Split sarlavhali boshqa maqolada Dairesel tarqatish. (Muhokama qiling) (Sentyabr 2020)

Har qanday ehtimollik zichligi funktsiyasi (pdf) ${ displaystyle p (x)}$ chiziqda bo'lishi mumkin "o'ralgan" birlik radiusi aylanasi atrofida.^[2] Ya'ni o'ralgan o'zgaruvchining pdf

${ displaystyle theta = x_ {w} = x { bmod {2}} pi in (- pi, pi]}$

bu

${ displaystyle p_ {w} ( theta) = sum _ {k = - infty} ^ { infty} {p ( theta +2 pi k)}.}$

Ushbu kontseptsiyani oddiy o'zgaruvchini soniga kengaytirish orqali ko'p o'zgaruvchan kontekstga etkazish mumkin ${ displaystyle F}$ xususiyatlar maydonidagi barcha o'lchamlarni qamrab oluvchi summalar:

${ displaystyle p_ {w} ({ vec { theta}}) = sum _ {k_ {1} = - infty} ^ { infty} cdots sum _ {k_ {F} = - infty } ^ { infty} {p ({ vec { theta}} + 2 pi k_ {1} mathbf {e} _ {1} + dots +2 pi k_ {F} mathbf {e} _ {F})}}$

qayerda ${ displaystyle mathbf {e} _ {k} = (0, nuqta, 0,1,0, nuqta, 0) ^ { mathsf {T}}}$ bo'ladi ${ displaystyle k}$Evklid asoslari vektori.

Keyingi bo'limlarda ba'zi tegishli dumaloq tarqatmalar ko'rsatilgan.

von Misesning dairesel tarqalishi

The fon Mises tarqatish - bu boshqa har qanday aylanma taqsimot singari, ma'lum bir chiziqli ehtimollik taqsimotini aylana atrofida o'ralgan deb hisoblash mumkin bo'lgan aylanma taqsimot. Fon Mizz taqsimotining asosiy chiziqli ehtimollik taqsimoti matematik jihatdan oson emas; ammo, statistik maqsadlarda, asosiy chiziqli taqsimot bilan shug'ullanishga hojat yo'q. Fon Mizz taqsimotining foydaliligi ikki xil: u oddiyroq statistik tahlilga imkon beradigan barcha dumaloq taqsimotlarning eng matematik ravishda boshqariladigan qismidir va bu normal o'ralgan taqsimot, xuddi shunga o'xshash chiziqli normal taqsimot uchun juda muhimdir, chunki bu ko'p sonli kichik burchakli og'ishlarning yig'indisi. Darhaqiqat, fon Mises taqsimoti, uni ishlatish qulayligi va o'ralgan normal taqsimot bilan chambarchas bog'liqligi sababli, ko'pincha "aylanma normal" taqsimot sifatida tanilgan (Fisher, 1993).

Von Mises tarqatilishining pdf:

${ displaystyle f ( theta; mu, kappa) = { frac {e ^ { kappa cos ( theta - mu)}} {2 pi I_ {0} ( kappa)}}}$

qayerda ${ displaystyle I_ {0}}$ o'zgartirilgan Bessel funktsiyasi buyurtma 0.

Dumaloq bir xil taqsimot

Ning ehtimollik zichligi funktsiyasi (pdf) dairesel bir xil taqsimot tomonidan berilgan

${ displaystyle U ( theta) = 1 / (2 pi). ,}$

Bundan tashqari, deb o'ylash mumkin ${ displaystyle kappa = 0}$ yuqoridagi fon Misesning.

Oddiy tarqatish bilan o'ralgan

Pdf o'ralgan normal taqsimot (WN) bu:

${ displaystyle WN ( theta; mu, sigma) = { frac {1} { sigma { sqrt {2 pi}}}} sum _ {k = - infty} ^ { infty} exp left [{ frac {- ( theta - mu -2 pi k) ^ {2}} {2 sigma ^ {2}}} right] = { frac {1} {2 pi}} varteta chap ({ frac { theta - mu} {2 pi}}, { frac {i sigma ^ {2}} {2 pi}} o'ng)}$

bu erda m va respectively navbati bilan taqsimlanmagan taqsimotning o'rtacha va standart og'ishi ${ displaystyle vartheta ( theta, tau)}$ bo'ladi Jacobi theta funktsiyasi:

${ displaystyle vartheta ( theta, tau) = sum _ {n = - infty} ^ { infty} (w ^ {2}) ^ {n} q ^ {n ^ {2}}}$ qayerda ${ displaystyle w equiv e ^ {i pi theta}}$ va ${ displaystyle q equiv e ^ {i pi tau}.}$

Koshi taqsimoti

Pdf o'ralgan Koshi taqsimoti (WC) bu:

${ displaystyle WC ( theta; theta _ {0}, gamma) = sum _ {n = - infty} ^ { infty} { frac { gamma} { pi ( gamma ^ {2 } + ( theta +2 pi n- theta _ {0}) ^ {2})}} = { frac {1} {2 pi}} , , { frac { sinh gamma } { cosh gamma - cos ( theta - theta _ {0})}}}$

qayerda ${ displaystyle gamma}$ bu o'lchov omili va ${ displaystyle theta _ {0}}$ eng yuqori pozitsiyadir.

Levi tarqatish bilan o'ralgan

Pdf o'ralgan Levi tarqatish (WL) bu:

${ displaystyle f_ {WL} ( theta; mu, c) = sum _ {n = - infty} ^ { infty} { sqrt { frac {c} {2 pi}}} , { frac {e ^ {- c / 2 ( theta +2 pi n- mu)}} {( theta +2 pi n- mu) ^ {3/2}}}}$

bu erda summaning qiymati nolga teng bo'lganda olinadi ${ displaystyle theta +2 pi n- mu leq 0}$, ${ displaystyle c}$ bu o'lchov omili va ${ displaystyle mu}$ joylashuv parametridir.

Yuqori o'lchovli manifoldlarda taqsimlanish

Sferadagi Kentning turli xil taqsimotlaridan olingan uchta nuqta to'plamlari.

Shuningdek, tarqatish mavjud ikki o'lchovli shar (masalan Kentning tarqalishi^[3]), the No'lchovli soha (the fon Mises-Fisher tarqatish^[4]) yoki torus (the bivariate von Mises tarqatish^[5]).

The matrisa fon Mises-Fisher taqsimoti ning taqsimoti Stiefel kollektori, va ehtimollik taqsimotlarini tuzishda foydalanish mumkin aylanish matritsalari.^[6]

The Bingem tarqatish ning o'qlari bo'yicha taqsimoti N o'lchamlari yoki teng ravishda, (N - 1) antipodlar aniqlangan o'lchovli shar.^[7] Masalan, agar N = 2, o'qlar tekislikdagi kelib chiqishi orqali yo'naltirilmagan chiziqlardir. Bunday holda, har bir eksa tekislikdagi birlik doirasini (bu bir o'lchovli shar) bir-birining antipodlari bo'lgan ikkita nuqtada kesadi. Uchun N = 4, Bingem taqsimoti birlik oralig'idagi taqsimotdir kvaternionlar. Birlik kvaternion aylanish matritsasiga to'g'ri kelganligi sababli, uchun Bingem taqsimoti N = 4, xuddi Matritsa-fon Mises-Fisher taqsimoti singari, aylanish fazosi bo'yicha ehtimollik taqsimotini tuzishda ishlatilishi mumkin.

Ushbu tarqatmalar, masalan, ishlatilgan geologiya,^[8] kristallografiya^[9] va bioinformatika.^[1][10][11]

Lahzalar

Dumaloq taqsimotning xom vektor (yoki trigonometrik) momentlari quyidagicha aniqlanadi

${ displaystyle m_ {n} = operator nomi {E} (z ^ {n}) = int _ { Gamma} P ( theta) z ^ {n} , d theta}$

qayerda ${ displaystyle Gamma}$ har qanday uzunlik oralig'i ${ displaystyle 2 pi}$, ${ displaystyle P ( theta)}$ dumaloq tarqatishning PDF-si va ${ displaystyle z = e ^ {i theta}}$. Integraldan beri ${ displaystyle P ( theta)}$ bu birlik, va integratsiya oralig'i cheklangan, shundan kelib chiqadiki, har qanday dumaloq taqsimot momentlari har doim cheklangan va yaxshi aniqlangan.

Namuna momentlari o'xshash tarzda aniqlanadi:

${ displaystyle { overline {m}} _ {n} = { frac {1} {N}} sum _ {i = 1} ^ {N} z_ {i} ^ {n}.}$

Populyatsiyaning natijaviy vektori, uzunligi va o'rtacha burchagi mos keladigan parametr parametrlariga o'xshash tarzda aniqlanadi.

${ displaystyle rho = m_ {1}}$

${ displaystyle R = | m_ {1} |}$

${ displaystyle theta _ {n} = operator nomi {Arg} (m_ {n}).}$

Bundan tashqari, yuqori momentlarning uzunligi quyidagicha aniqlanadi:

${ displaystyle R_ {n} = | m_ {n} |}$

yuqori lahzalarning burchak qismlari esa adolatli ${ displaystyle (n theta _ {n}) { bmod {2}} pi}$. Barcha momentlarning uzunligi 0 dan 1 gacha bo'ladi.

Joylashuv va tarqalish choralari

Ham aholi uchun, ham shu populyatsiyadan olingan namuna uchun joylashish va tarqalishning turli o'lchovlari belgilanishi mumkin.^[12] Joylashuvning eng keng tarqalgan o'lchovi - bu dumaloq o'rtacha. Populyatsiyaning o'rtacha doirasi shunchaki taqsimlanishning birinchi momenti, tanlangan o'rtacha esa tanlanishning birinchi momentidir. Namunaviy o'rtacha aholi o'rtacha qiymatini xolis baholovchi bo'lib xizmat qiladi.

Ma'lumotlar konsentratsiyalangan bo'lsa, o'rtacha va rejim chiziqli holatga o'xshashlik bilan aniqlanishi mumkin, ammo ko'proq tarqalgan yoki ko'p modali ma'lumotlar uchun bu tushunchalar foydali emas.

Dumaloq tarqalishning eng keng tarqalgan choralari:

• The dumaloq dispersiya. Namuna uchun dumaloq dispersiya quyidagicha aniqlanadi:

${ displaystyle { overline { operatorname {Var} (z)}} = 1 - { overline {R}} ,}$

va aholi uchun

${ displaystyle operatorname {Var} (z) = 1-R ,}$

Ikkalasi ham 0 dan 1 gacha qiymatlarga ega bo'ladi.

• The dumaloq standart og'ish

${ displaystyle S (z) = { sqrt { ln (1 / R ^ {2})}} = { sqrt {-2 ln (R)}} ,}$

${ displaystyle { overline {S}} (z) = { sqrt { ln (1 / { overline {R}} ^ {2})}}} = { sqrt {-2 ln ({ overline {R}})}} ,}$

0 va cheksizlik orasidagi qiymatlar bilan. Standart og'ishning ushbu ta'rifi (dispersiyaning kvadrat ildizidan ko'ra) foydalidir, chunki o'ralgan normal taqsimot uchun u asosiy normal taqsimotning standart og'ishini baholovchi hisoblanadi. Shuning uchun bu dumaloq taqsimotni standart og'ishning kichik qiymatlari uchun chiziqli holatda bo'lgani kabi standartlashtirishga imkon beradi. Bu, shuningdek, o'ralgan normal taqsimotga yaqin keladigan fon Mises taqsimotiga ham tegishli. E'tibor bering, kichik uchun ${ displaystyle S (z)}$, bizda ... bor ${ displaystyle S (z) ^ {2} = 2 operator nomi {Var} (z)}$.

• The dairesel dispersiya

${ displaystyle delta = { frac {1-R_ {2}} {2R ^ {2}}}}$

${ displaystyle { overline { delta}} = { frac {1 - {{ overline {R}} _ {2}}} {2 { overline {R}} ^ {2}}}}$

0 va cheksizlik orasidagi qiymatlar bilan. Ushbu tarqalish o'lchovi dispersiyani statistik tahlilida foydalidir.

O'rtacha taqsimot

To'plami berilgan N o'lchovlar ${ displaystyle z_ {n} = e ^ {i theta _ {n}}}$ ning o'rtacha qiymati z quyidagicha aniqlanadi:

${ displaystyle { overline {z}} = { frac {1} {N}} sum _ {n = 1} ^ {N} z_ {n}}$

sifatida ifodalanishi mumkin

${ displaystyle { overline {z}} = { overline {C}} + i { overline {S}}}$

qayerda

${ displaystyle { overline {C}} = { frac {1} {N}} sum _ {n = 1} ^ {N} cos ( theta _ {n}) { text {and}} { overline {S}} = { frac {1} {N}} sum _ {n = 1} ^ {N} sin ( theta _ {n})}$

yoki, muqobil ravishda:

${ displaystyle { overline {z}} = { overline {R}} e ^ {i { overline { theta}}}}$

qayerda

${ displaystyle { overline {R}} = { sqrt {{ overline {C}} ^ {2} + { overline {S}} ^ {2}}} { text {and}} { overline { theta}} = arctan ({ overline {S}}, { overline {C}}).}$

O'rtacha taqsimot (${ displaystyle { overline { theta}}}$) dumaloq pdf uchun P(θ) quyidagilar tomonidan beriladi:

${ displaystyle P ({ overline {C}}, { overline {S}}) , d { overline {C}} , d { overline {S}} = P ({ overline {R}) }, { overline { theta}}) , d { overline {R}} , d { overline { theta}} = int _ { Gamma} cdots int _ { Gamma} prod _ {n = 1} ^ {N} chap [P ( theta _ {n}) , d theta _ {n} right]}$

qayerda ${ displaystyle Gamma}$ har qanday uzunlik oralig'ida ${ displaystyle 2 pi}$ va integral bu cheklovga bo'ysunadi ${ displaystyle { overline {S}}}$ va ${ displaystyle { overline {C}}}$ doimiy, yoki, muqobil ravishda, shu ${ displaystyle { overline {R}}}$ va ${ displaystyle { overline { theta}}}$ doimiydir.

Ko'pgina dumaloq taqsimotlar uchun o'rtacha taqsimotni hisoblash analitik jihatdan mumkin emas va dispersiyani tahlil qilish uchun raqamli yoki matematik yaqinlashuvlar zarur.^[13]

The markaziy chegara teoremasi namunaviy vositalarni taqsimlashda qo'llanilishi mumkin. (asosiy maqola: Yo'naltirilgan statistika uchun markaziy chegara teoremasi ). Buni ko'rsatish mumkin^[13] ning taqsimlanishi ${ displaystyle [{ overline {C}}, { overline {S}}]}$ yaqinlashadi a normal taqsimotning ikki o'zgaruvchanligi katta namuna hajmi chegarasida.

Muvofiqlik va ahamiyatlilikni sinash

Tsiklik ma'lumotlar uchun - (masalan, u bir xil taqsimlanganmi):

• Rayleigh testi unimodal klaster uchun
• Kuyperning sinovi ehtimol multimodal ma'lumotlar uchun.

Shuningdek qarang

• Murakkab normal taqsimot
• Yamartino usuli
• O'ralgan tarqatish

Adabiyotlar

Yo'naltirilgan statistika bo'yicha kitoblar

• Batschelet, E. Biologiyada doiraviy statistika, Academic Press, London, 1981 yil. ISBN  0-12-081050-6.
• Fisher, NI., Doiraviy ma'lumotlarning statistik tahlili, Kembrij universiteti matbuoti, 1993 y. ISBN  0-521-35018-2
• Fisher, NI., Lyuis, T., Embleton, BJJ. Sferik ma'lumotlarning statistik tahlili, Kembrij universiteti matbuoti, 1993 y. ISBN  0-521-45699-1
• Jammalamadaka S. Rao va SenGupta A. Doiraviy statistikadagi mavzular, World Scientific, 2001 yil. ISBN  981-02-3778-2
• Mardiya, KV. va Yupp P., Yo'nalishli statistika (ikkinchi nashr), John Wiley and Sons Ltd., 2000 yil. ISBN  0-471-95333-4
• Ley, C. va Verdebout, T., Zamonaviy yo'naltirilgan statistika, CRC Press Taylor & Francis Group, 2017 yil. ISBN  978-1-4987-0664-3