Skellam tarqatish - Skellam distribution

Skellam
Ehtimollik massasi funktsiyasi
Skellam taqsimoti uchun massa funktsiyasi ehtimolligi misollari.
Skellam taqsimoti uchun massa funktsiyasi ehtimolligi misollari. Gorizontal o'q - bu indeks k. (Funktsiya faqat ning tamsayı qiymatlarida aniqlanadi k. Bog'lanish chiziqlari uzluksizligini ko'rsatmaydi.)
Parametrlar
Qo'llab-quvvatlash
PMF
Anglatadi
MedianYo'q
Varians
Noqulaylik
Ex. kurtoz
MGF
CF

The Skellam tarqatish bo'ladi diskret ehtimollik taqsimoti farq ikkitadan statistik jihatdan mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar va har biri Puasson tarqatildi tegishli ravishda kutilgan qiymatlar va . Ikkita rasm farqining statistikasini oddiy bilan tavsiflashda foydalidir foton shovqini, shuningdek tavsiflovchi nuqta tarqalishi kabi barcha to'plangan ochkolar teng bo'lgan sport turlari bo'yicha taqsimlash beysbol, xokkey va futbol.

Tarqatish, shuningdek, o'ziga bog'liq bo'lgan Poisson tasodifiy o'zgaruvchilar farqining maxsus holatiga ham tegishli, ammo ikkala o'zgaruvchining umumiy qo'shimchali tasodifiy hissasi bo'lgan aniq holat, bu farqlanish bilan bekor qilinadi: batafsil ma'lumot uchun Karlis & Ntzoufras (2003) ga qarang va ariza.

The ehtimollik massasi funktsiyasi farq uchun Skellam tarqatish uchun vositalari bilan ikkita mustaqil Puasson taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchilar o'rtasida va tomonidan berilgan:

qayerda Menk(z) bo'ladi o'zgartirilgan Bessel funktsiyasi birinchi turdagi. Beri k bizda mavjud bo'lgan butun son Menk(z)=Men| k |(z).

Hosil qilish

The ehtimollik massasi funktsiyasi a Puasson tarqatildi o'rtacha m bo'lgan tasodifiy o'zgaruvchi tomonidan berilgan

uchun (va aks holda nol). Ikki mustaqil sonning farqi uchun Skellam ehtimollik massasi funktsiyasi bo'ladi konversiya ikkita Puasson tarqatishidan: (Skellam, 1946)

Pusson taqsimoti hisoblashning salbiy qiymatlari uchun nolga teng , ikkinchi yig'indisi faqat shu shartlar uchun olinadi va . Yuqoridagi summa shuni anglatishini ko'rsatishi mumkin

Shuning uchun; ... uchun; ... natijasida:

qayerda Men k(z) bu o'zgartirilgan Bessel funktsiyasi birinchi turdagi. Uchun maxsus ish Irvin (1937) tomonidan berilgan:

O'zgartirilgan Bessel funktsiyasining kichik argumentlar uchun chegara qiymatlaridan foydalanib, biz Puellon taqsimotini Skellam taqsimotining maxsus holati sifatida tiklashimiz mumkin. .

Xususiyatlari

Bu diskret ehtimollik funktsiyasi bo'lgani uchun Skellam ehtimollik massasi funktsiyasi normallashtirilgan:

Biz bilamizki ehtimollik yaratish funktsiyasi (pgf) uchun a Poissonning tarqalishi bu:

Bundan kelib chiqadiki, pgf, , Skellam uchun massa funktsiyasi quyidagicha bo'ladi:

Shakliga e'tibor bering ehtimollik hosil qiluvchi funktsiya yig'indilarning taqsimlanishi yoki har qanday mustaqil Skellam-taqsimlangan o'zgaruvchilarning farqlari yana Skellam-taqsimlanganligini anglatadi. Ba'zida ikkita Skellam taqsimlangan o'zgaruvchilarining har qanday chiziqli birikmasi yana Skellam-taqsimlangan deb da'vo qilinadi, ammo bu aniq emas, chunki har qanday ko'paytuvchidan tashqari ni o'zgartiradi qo'llab-quvvatlash taqsimotini va naqshini o'zgartiradi lahzalar hech qanday Skellam tarqatilishini qondira olmaydigan tarzda.

The moment hosil qiluvchi funktsiya tomonidan berilgan:

bu xom lahzalarni keltirib chiqaradi mk . Belgilang:

Keyin xom lahzalar mk bor

The markaziy daqiqalar M k bor

The anglatadi, dispersiya, qiyshiqlik va kurtoz ortiqcha tegishlicha:

The kumulyant hosil qiluvchi funktsiya tomonidan berilgan:

qaysi hosil beradi kumulyantlar:

M bo'lgan maxsus holat uchun1 = m2, anasimptotik kengayish ning birinchi turdagi o'zgartirilgan Bessel funktsiyasi katta m uchun hosil:

(Abramowitz & Stegun 1972, p. 377). Bundan tashqari, ushbu maxsus ish uchun, qachon k ham katta va of buyurtma 2m kvadrat ildizning taqsimoti a ga intiladi normal taqsimot:

Ushbu maxsus natijalar osongina turli xil vositalarning umumiy holatiga etkazilishi mumkin.

Og'irligi noldan yuqori

Agar , bilan , keyin

Tafsilotlarni bu erda topishingiz mumkin Poisson tarqatish # Poisson poyga

Adabiyotlar

  • Abramovits, Milton; Stegun, Irene A., nashr. (Iyun 1965). Matematik funktsiyalar bo'yicha formulalar, grafikalar va matematik jadvallar bilan qo'llanma (Tasdiqlanmagan va o'zgartirilmagan qayta nashr. [Der Ausg.] 1964, 5. Dover printing ed.). Dover nashrlari. 374-378 betlar. ISBN  0486612724. Olingan 27 sentyabr 2012.
  • Irwin, J. O. (1937) "Bir xil Puasson taqsimotidan keyin ikkita mustaqil o'zgaruvchining farqining chastotali taqsimoti." Qirollik statistika jamiyati jurnali: A seriyasi, 100 (3), 415–416. JSTOR  2980526
  • Karlis, D. va Ntzoufras, I. (2003) "Ikki tomonlama Puasson modellari yordamida sport ma'lumotlarini tahlil qilish". Qirollik statistika jamiyati jurnali, D seriyasi, 52 (3), 381–393. doi:10.1111/1467-9884.00366
  • Karlis D. va Ntzoufras I. (2006). Sanoq ma'lumotlarining farqlarini Bayes tahlili. Tibbiyotdagi statistika, 25, 1885–1905. [1]
  • Skellam, J. G. (1946) "Ikkala Puasson o'rtasidagi farqning chastota taqsimoti turli populyatsiyalarga tegishli". Qirollik statistika jamiyati jurnali, A seriyasi, 109 (3), 296. JSTOR  2981372