Teskari Gauss taqsimoti - Inverse Gaussian distribution

Teskari Gausscha

Ehtimollar zichligi funktsiyasi
Kümülatif taqsimlash funktsiyasi
Notation	${displaystyle operator nomi {IG} chap (mu, lambda ight)}$
Parametrlar	${displaystyle mu> 0}$ ${displaystyle lambda> 0}$
Qo'llab-quvvatlash	${displaystyle xin (0, infty)}$
PDF	${displaystyle {sqrt {frac {lambda} {2pi x ^ {3}}}} exp left [- {frac {lambda (x-mu) ^ {2}} {2mu ^ {2} x}} ight]}$
CDF	${displaystyle Phi chap ({sqrt {frac {lambda} {x}}} chap ({frac {x} {mu}} - 1ight) ight)}$ ${displaystyle {} + exp chap ({frac {2lambda} {mu}} ight) Phi chap (- {sqrt {frac {lambda} {x}}} chap ({frac {x} {mu}} + 1ight) kecha )}$ qayerda ${displaystyle Phi}$ bo'ladi standart normal (standart Gauss) taqsimoti c.d.f.
Anglatadi	${displaystyle operator nomi {E} [X] = mu}$ ${displaystyle operator nomi {E} [{frac {1} {X}}] = {frac {1} {mu}} + {frac {1} {lambda}}}$
Rejim	${displaystyle mu chap [chap (1+ {frac {9mu ^ {2}} {4lambda ^ {2}}} ight) ^ {frac {1} {2}} - {frac {3mu} {2lambda}} ight] }$
Varians	${displaystyle operator nomi {Var} [X] = {frac {mu ^ {3}} {lambda}}}$ ${displaystyle operatorname {Var} [{frac {1} {X}}] = {frac {1} {mu lambda}} + {frac {2} {lambda ^ {2}}}}$
Noqulaylik	${displaystyle 3left ({frac {mu} {lambda}} ight) ^ {1/2}}$
Ex. kurtoz	${displaystyle {frac {15mu} {lambda}}}$
MGF	${displaystyle exp left [{{frac {lambda} {mu}} left (1- {sqrt {1- {frac {2mu ^ {2} t} {lambda}}}} tight)} ight]}$
CF	${displaystyle exp left [{{frac {lambda} {mu}} left (1- {sqrt {1- {frac {2mu ^ {2} mathrm {i} t} {lambda}}}} ight)} ight]}$

Yilda ehtimollik nazariyasi, teskari Gauss taqsimoti (shuningdek,. nomi bilan ham tanilgan Wald tarqatish) ikki parametrli oiladir doimiy ehtimolliklar taqsimoti bilan qo'llab-quvvatlash yoqilgan (0, ∞).

Uning ehtimollik zichligi funktsiyasi tomonidan berilgan

${displaystyle f (x; mu, lambda) = {sqrt {frac {lambda} {2pi x ^ {3}}}} exp {iggl (} - {frac {lambda (x-mu) ^ {2}} {2mu ^ {2} x}} {iggr)}}$

uchun x > 0, qaerda ${displaystyle mu> 0}$ o'rtacha va ${displaystyle lambda> 0}$ shakl parametridir.^[1]

$ Delta $ cheksizlikka intilganda, teskari Gauss taqsimoti $ a $ ga o'xshaydi normal (Gauss) taqsimoti. Teskari Gauss taqsimoti Gauss taqsimotiga o'xshash bir nechta xususiyatlarga ega. Ism chalg'itishi mumkin: bu faqat "teskari", Gauss esa a ni ta'riflaydi Braun harakati teskari Gausscha sobit siljish bilan Braun harakati belgilangan sobit darajaga erishish uchun vaqt taqsimotini tavsiflaydi.

Uning kumulyant hosil qiluvchi funktsiyasi (xarakterli funktsiya logarifmi) Gauss tasodifiy o'zgaruvchisining kumulyant hosil qilish funktsiyasiga teskari.

Shuni ko'rsatish uchun a tasodifiy o'zgaruvchi X teskari Gauss-ga taqsimlangan, o'rtacha m va shakl parametrlari bilan yozamiz ${displaystyle Xsim operator nomi {IG} (mu, lambda) ,!}$.

Xususiyatlari

Bitta parametr shakli

Teskari Gauss taqsimotining ehtimollik zichligi funktsiyasi (pdf) tomonidan berilgan bitta parametr shakli mavjud

${displaystyle f (x; mu, mu ^ {2}) = {frac {mu} {sqrt {2pi x ^ {3}}}} exp {iggl (} - {frac {(x-mu) ^ {2} } {2x}} {iggr)}.}$

Ushbu shaklda taqsimotning o'rtacha va dispersiyasi teng, ${displaystyle mathbb {E} [X] = {ext {Var}} (X).}$

Yagona parametr teskari Gauss taqsimotining kümülatif taqsimlash funktsiyasi (cdf) standart normal taqsimot bilan bog'liq

${displaystyle {egin {aligned} Pr (X x) & = Phi (-z_ {1}) - e ^ {mu} Phi (z_ {2}), & {ext {for}} & quad xgeq mu .end {aligned}}}$

qayerda ${displaystyle z_ {1} = {frac {mu} {x ^ {1/2}}} - x ^ {1/2}}$ va ${displaystyle z_ {2} = {frac {mu} {x ^ {1/2}}} + x ^ {1/2},}$ qaerda ${displaystyle Phi}$ standart normal taqsimotning CDFidir. O'zgaruvchilar ${displaystyle z_ {1}}$ va ${displaystyle z_ {2}}$ bir-biri bilan o'ziga xosligi bilan bog'liq ${displaystyle z_ {2} ^ {2} = z_ {1} ^ {2} + 4mu.}$

Bitta parametr shaklida MGF-ni soddalashtiradi

${displaystyle M (t) = exp [mu (1- {sqrt {1-2t}})].}$

Ikki parametrli shaklda teskari Gauss taqsimoti ${displaystyle f (x; mu, lambda)}$ bitta parametr shakliga aylantirilishi mumkin ${displaystyle f (y; mu _ {0}, mu _ {0} ^ {2})}$ tegishli o'lchov bilan ${displaystyle y = {frac {mu ^ {2} x} {lambda}},}$ qayerda ${displaystyle mu _ {0} = mu ^ {3} / lambda.}$

Teskari Gauss taqsimotining standart shakli bu

${displaystyle f (x; 1,1) = {frac {1} {sqrt {2pi x ^ {3}}}} exp {iggl (} - {frac {(x-1) ^ {2}} {2x} } {iggr)}.}$

Xulosa

Agar X_men bor ${displaystyle operator nomi {IG} (mu _ {0} w_ {i}, lambda _ {0} w_ {i} ^ {2}) ,!}$ uchun tarqatish men = 1, 2, ..., nva barchasi X_men bor mustaqil, keyin

${displaystyle S = sum _ {i = 1} ^ {n} X_ {i} sim operatorname {IG} left (mu _ {0} sum w_ {i}, lambda _ {0} left (sum w_ {i} ight ) ^ {2} tun).}$

Yozib oling

${displaystyle {frac {operator nomi {Var} (X_ {i})} {operator nomi {E} (X_ {i})}} = {frac {mu _ {0} ^ {2} w_ {i} ^ {2} } {lambda _ {0} w_ {i} ^ {2}}} = {frac {mu _ {0} ^ {2}} {lambda _ {0}}}}$

hamma uchun doimiydir men. Bu zarur shart jamlash uchun. Aks holda S Teskari Gauss taqsimlanmagan bo'lar edi.

O'lchov

Har qanday kishi uchun t > 0 buni ushlab turadi

${displaystyle Xsim operator nomi {IG} (mu, lambda) ,,,,,, Rightarrow ,,,,,, tXsim operator nomi {IG} (tmu, tlambda).}$

Eksponent oilasi

Teskari Gauss taqsimoti ikki parametrdir eksponent oilasi bilan tabiiy parametrlar −λ/(2m²) va -λ/ 2 va tabiiy statistika X va 1 /X.

Braun harakati bilan aloqasi

Ruxsat bering stoxastik jarayon X_t tomonidan berilgan

${displaystyle X_ {0} = 0quad}$

${displaystyle X_ {t} = u t + sigma W_ {t} to'rtta to'rtburchak}$

qayerda V_t standart hisoblanadi Braun harakati. Anavi, X_t bu drift bilan braun harakati ${displaystyle u> 0}$.

Keyin birinchi o'tish vaqti belgilangan daraja uchun ${displaystyle alfa> 0}$ tomonidan X_t teskari-Gauss bo'yicha taqsimlanadi:

${displaystyle T_ {alfa} = inf {t> 0mid X_ {t} = alfa} sim operator nomi {IG} chap ({frac {alfa} {u}}, chap ({frac {alfa} {sigma}} ight) ^ {2} ight) = {frac {alfa} {sigma {sqrt {2pi x ^ {3}}}}} exp {iggl (} - {frac {(alfa -ux) ^ {2}} {2sigma ^ {2 } x}} {iggr)}}$

(qarama-qarshi Schrödinger)^[2] tenglama 19, Smoluchovskiy^[3], tenglama 8 va Xalq^[4], tenglama 1).

Drift nolga teng bo'lganda

Yuqorida keltirilgan odatiy hodisa Braun harakati hech qanday siljishsiz yuzaga keladi. Bunday holda, parametr m cheksizlikka intiladi va sobit darajadagi birinchi o'tish vaqti a ehtimollik zichligi funktsiyasiga ega

${displaystyle fleft (x; 0, chap ({frac {alpha} {sigma}} ight) ^ {2} ight) = {frac {alfa} {sigma {sqrt {2pi x ^ {3}}}}} exp chap (- {frac {alfa ^ {2}} {2sigma ^ {2} x}} ight)}$

(yana qarang Bachelier^[5]:74[6]:39). Bu Levi tarqatish parametrlari bilan ${displaystyle c = chap ({frac {alfa} {sigma}} ight) ^ {2}}$ va ${displaystyle mu = 0}$.

Maksimal ehtimollik

Model qaerda

${displaystyle X_ {i} sim operator nomi {IG} (mu, lambda w_ {i}) ,,,,,,, i = 1,2, ldots, n}$

hamma bilan w_men ma'lum, (m, λ) noma'lum va barchasi X_men mustaqil quyidagi ehtimollik funktsiyasiga ega

${displaystyle L (mu, lambda) = left ({frac {lambda} {2pi}} ight) ^ {frac {n} {2}} left (prod _ {i = 1} ^ {n} {frac {w_ { i}} {X_ {i} ^ {3}}} kech) ^ {frac {1} {2}} exp chap ({frac {lambda} {mu}} sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} - {frac {lambda} {2mu ^ {2}}} sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} X_ {i} - {frac {lambda} {2}} sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} {frac {1} {X_ {i}}} ight).}$

Ehtimollar tenglamasini echish quyidagi maksimal ehtimollik taxminlarini keltirib chiqaradi

${displaystyle {widehat {mu}} = {frac {sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} X_ {i}} {sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i}}} ,,,,,,,,, {frac {1} {widehat {lambda}}} = {frac {1} {n}} sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} chap ({frac) {1} {X_ {i}}} - {frac {1} {widehat {mu}}} ight).}$

${displaystyle {widehat {mu}}}$ va ${displaystyle {widehat {lambda}}}$ mustaqil va

${displaystyle {widehat {mu}} sim operatorname {IG} chap (mu, lambda sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} ight), qquad {frac {n} {widehat {lambda}}} sim {frac {1} {lambda}} chi _ {n-1} ^ {2}.}$

Teskari-Gauss taqsimotidan namuna olish

Quyidagi algoritmdan foydalanish mumkin.^[7]

Oddiy taqsimotdan o'rtacha 0 va standart og'ish 1 ga teng bo'lgan tasodifiy o'zgarishni hosil qiling

${displaystyle displaystyle u sim N (0,1).}$

Qiymatni kvadratga soling

${displaystyle displaystyle y = u ^ {2}}$

va munosabatdan foydalaning

${displaystyle x = mu + {frac {mu ^ {2} y} {2lambda}} - {frac {mu} {2lambda}} {sqrt {4mu lambda y + mu ^ {2} y ^ {2}}}. }$

Boshqa tasodifiy o'zgarishni yarating, bu safar 0 dan 1 gacha bo'lgan teng taqsimotdan namuna olindi

${displaystyle displaystyle zsim U (0,1).}$

Agar${displaystyle zleq {frac {mu} {mu + x}}}$keyin qaytib keling${displaystyle displaystyle x}$aks holda qayt${displaystyle {frac {mu ^ {2}} {x}}.}$

Namuna kodi Java:

jamoat ikki baravar teskari Guss(ikki baravar mu, ikki baravar lambda) {    Tasodifiy rand = yangi Tasodifiy();    ikki baravar v = rand.keyingiGaussiya();  // O'rtacha 0 va 1 standart og'ish bilan normal taqsimotdan namuna    ikki baravar y = v * v;    ikki baravar x = mu + (mu * mu * y) / (2 * lambda) - (mu / (2 * lambda)) * Matematika.kv(4 * mu * lambda * y + mu * mu * y * y);    ikki baravar sinov = rand.nextDouble();  // 0 dan 1 gacha bo'lgan yagona taqsimotdan namuna    agar (sinov <= (mu) / (mu + x))        qaytish x;    boshqa        qaytish (mu * mu) / x;}

Matplotlib va ​​NumPy yordamida Python yordamida Wald tarqatish

Va Wald tarqatilishini rejalashtirish Python foydalanish matplotlib va NumPy:

Import matplotlib.pyplot kabi pltImport achchiq kabi nph = plt.tarix(np.tasodifiy.Wald(3, 2, 100000), axlat qutilari=200, zichlik=To'g'ri)plt.ko'rsatish()

Tegishli tarqatishlar

• Agar ${displaystyle Xsim operator nomi {IG} (mu, lambda)}$, keyin ${displaystyle kXsim operator nomi {IG} (kmu, klambda)}$ har qanday raqam uchun ${displaystyle k> 0.}$^[1]
• Agar ${displaystyle X_ {i} sim operator nomi {IG} (mu, lambda),}$ keyin ${displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} X_ {i} sim operator nomi {IG} (nmu, n ^ {2} lambda),}$
• Agar ${displaystyle X_ {i} sim operator nomi {IG} (mu, lambda),}$ uchun ${displaystyle i = 1, ldots, n,}$ keyin ${displaystyle {ar {X}} sim operator nomi {IG} (mu, nlambda),}$
• Agar ${displaystyle X_ {i} sim operator nomi {IG} (mu _ {i}, 2mu _ {i} ^ {2}),}$ keyin ${displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} X_ {i} sim operatorname {IG} chap (sum _ {i = 1} ^ {n} mu _ {i}, 2left (sum _ {i = 1} ^ {n} mu _ {i} ight) ^ {2} ight),}$
• Agar ${displaystyle Xsim operator nomi {IG} (mu, lambda)}$, keyin ${displaystyle lambda (X-mu) ^ {2} / mu ^ {2} Xsim chi ^ {2} (1)}$.^[8]

Teskari Gauss taqsimotining konversiyasi (Wald taqsimoti) va eksponent (sobiq Wald taqsimoti) psixologiyada javob vaqtlari uchun namuna sifatida ishlatiladi,^[9] bitta misol sifatida vizual qidiruv bilan.^[10]

Tarix

Ushbu tarqatish birinchi marta 1900 yilda ishlab chiqarilgan ko'rinadi Louis Bachelier^[5][6] aktsiya birinchi marta ma'lum bir narxga yetgan vaqt. 1915 yilda u tomonidan mustaqil ravishda foydalanilgan Ervin Shredinger^[2] va Marian va Smoluchovskiy^[3] Braun harakatining birinchi o'tish vaqti. Reproduktiv modellashtirish sohasida Hadviger funktsiyasi deb nomlanadi Ugo Xadviger buni 1940 yilda kim tasvirlab bergan.^[11] Ibrohim Uold 1944 yilda ushbu taqsimotni qayta ishlab chiqdi^[12] ketma-ketlik ehtimoli nisbati sinovida namunaning cheklovchi shakli sifatida. Teskari Gauss nomi taklif qilingan Moris Tvidi 1945 yilda.^[13] Tvidi ushbu tarqatishni 1956 yilda tekshirgan^[14] va 1957 yil^[15][16] va uning ba'zi statistik xususiyatlarini o'rnatdi. 1978 yilda tarqatish Folks va Chxara tomonidan keng ko'rib chiqilgan.^[4]

Raqamli hisoblash va dasturiy ta'minot

Ehtimollik zichligi funktsiyasining sodda formulasiga qaramay, teskari Gauss taqsimoti uchun raqamli ehtimollik hisob-kitoblari, shunga qaramay, barcha parametr qiymatlari uchun suzuvchi nuqta arifmetikasida mashinaning to'liq aniqligiga erishish uchun alohida e'tibor talab etiladi.^[17] Teskari Gauss taqsimotining funktsiyalari R dasturlash tili rmutil, shu jumladan bir nechta paketlar tomonidan^[18][19] SuppDistlar,^[20] YULDUZ,^[21] invGauss,^[22] LaplacesDemon,^[23] va statmod.^[24]

Shuningdek qarang

• Umumlashtirilgan teskari Gauss taqsimoti
• Tweedie tarqatish - Teskari Gauss taqsimoti Tvidi oilasining a'zosi eksponentli dispersiya modellari
• Vaqtni to'xtatish

Adabiyotlar

Qo'shimcha o'qish

• Xoyland, Arnlyot; Rausand, Marvin (1994). Tizimning ishonchliligi nazariyasi. Nyu-York: Vili. ISBN  978-0-471-59397-3.
• Seshadri, V. (1993). Teskari Gauss taqsimoti. Oksford universiteti matbuoti. ISBN  978-0-19-852243-0.

Tashqi havolalar

• Teskari Gauss taqsimoti Wolfram veb-saytida.