Relativistik Breit-Wigner taqsimoti - Relativistic Breit–Wigner distribution

The Breyt-Wigner relyativistik taqsimoti (1936 yildagi yadro rezonansi formulasidan keyin^[1] ning Gregori Breit va Evgeniya Vigner ) doimiy ehtimollik taqsimoti quyidagilar bilan ehtimollik zichligi funktsiyasi,^[2]

${ displaystyle f (E) = { frac {k} { chap (E ^ {2} -M ^ {2} o'ng) ^ {2} + M ^ {2} Gamma ^ {2}}} ~,}$

qayerda k mutanosiblikning doimiyligi, ga teng

${ displaystyle k = { frac {2 { sqrt {2}} M Gamma gamma} { pi { sqrt {M ^ {2} + gamma}}}} ~~~~}$ bilan ${ displaystyle ~~~~ gamma = { sqrt {M ^ {2} chap (M ^ {2} + Gamma ^ {2} o'ng)}} ~.}$

(Ushbu tenglama yordamida yozilgan tabiiy birliklar, ħ = v = 1.)

Bu ko'pincha modellashtirish uchun ishlatiladi rezonanslar (beqaror zarralar) in yuqori energiya fizikasi. Ushbu holatda, E bo'ladi massa markazi energiya rezonansni keltirib chiqaradi, M bo'ladi massa rezonansning, va Γ - rezonans kengligi (yoki parchalanish kengligi ) bilan bog'liq umrni anglatadi ga binoan τ = 1 / Γ. (Birlik kiritilgan bo'lsa, formula quyidagicha τ = ħ/ Γ.)

Foydalanish

Berilgan energiyada rezonans paydo bo'lish ehtimoli E ga mutanosib f (E)Shunday qilib, beqaror zarrachani ishlab chiqarish tezligi chizig'i energiya funktsiyasi sifatida Breyt-Vigner nisbiy taqsimotining shaklini aniqlaydi. Ning qiymatlari uchun ekanligini unutmang E maksimal off da M shu kabi |E² − M²| = MΓ, (shu sababli |E − M| = Γ / 2 uchun M ≫ Γ), tarqatish f maksimal qiymatining yarmiga qadar susaytirdi, bu esa Γ uchun nomni oqlaydi, kengligi maksimal yarmida.

Yo'qolish kengligi chegarasida, Γ → 0, zarracha Lorentsiya taqsimotida barqaror bo'ladi f ga cheksiz darajada keskinlashadi 2Mδ(E² − M²).

Umuman olganda, Γ ning funktsiyasi ham bo'lishi mumkin E; bu qaramlik odatda Γ ga nisbatan kichik bo'lmaganda muhim ahamiyatga ega M va fazaviy bo'shliq - kenglikning bog'liqligini hisobga olish kerak. (Masalan, ning yemirilishida rho meson juftiga pionlar.) Omil M² ko'paytiradi Γ² bilan almashtirilishi kerak E² (yoki E ⁴/M²va boshqalar) rezonans keng bo'lganda.^[3]

Breyt-Wigner relyativistik taqsimotining shakli quyidagilardan kelib chiqadi targ'ibotchi beqaror zarrachadan,^[4] shaklning maxrajiga ega bo'lgan p² − M² + iMΓ. (Bu yerda, p² ning kvadratidir to'rt momentum Daraxtdagi Feynman diagrammasidagi ushbu zarracha bilan olib boriladi.) Keyin uning qolgan doirasidagi ko'paytiruvchi. ga mutanosib bo'ladi kvant-mexanik amplituda bu rezonansni tiklash uchun ishlatilgan parchalanish uchun,

${ displaystyle { frac { sqrt {k}} { chap (E ^ {2} -M ^ {2} o'ng) + iM Gamma}} ~.}$

Natijada yuzaga keladigan ehtimollik taqsimoti amplituda mutlaq kvadratiga mutanosib bo'ladi, shuning uchun ehtimollik zichligi funktsiyasi uchun yuqoridagi relyativistik Breit-Vigner taqsimoti.

Ushbu taqsimot shakli a uchun harakatning klassik tenglamasiga yechim amplitudasiga o'xshaydi garmonik osilator namlangan va boshqariladigan a sinusoidal tashqi kuch. Uning standarti bor rezonans Lorentsning shakli yoki Koshi taqsimoti, lekin relyativistik o'zgaruvchilarni o'z ichiga oladi s = p², bu erda =E². Tarqatish w.r.t amplituda kvadrati uchun differentsial tenglamaning echimi. energiya klassikasi (chastota), bunday klassik majburiy osilatorda,

${ displaystyle f '({ text {E}}) left ( left ({ text {E}} ^ {2} -M ^ {2} right) ^ {2} + Gamma ^ {2 } M ^ {2} o'ng) -4 { matn {E}} f ({ text {E}}) (M - { text {E}}) ({ text {E}} + M) = 0,}$

bilan

${ displaystyle f (M) = { frac {k} { Gamma ^ {2} M ^ {2}}}. ~}$

Gauss kengayishi

Eksperimentda rezonans hosil qiluvchi hodisa har doim markaziy qiymat atrofida energiyaning bir oz tarqalishiga ega. Odatda, bu Gauss / normal taqsimot. Natijada paydo bo'ladigan rezonans shakli bu bilan berilgan konversiya Breit-Wigner va Gauss taqsimoti,

${ displaystyle V_ {2} (E; M, Gamma, k, sigma) = int _ {- infty} ^ { infty} { frac {k} {(E '^ {2} -M ^ {2}) ^ {2} + (M Gamma) ^ {2}}} { frac {1} { sigma { sqrt {2 pi}}}} e ^ {- { frac {( E'-E) ^ {2}} {2 sigma ^ {2}}}} dE '.}$

Ushbu funktsiyani soddalashtirish mumkin ^[5] yangi o'zgaruvchilarni kiritish orqali,

${ displaystyle t = { frac {E-E '} {{ sqrt {2}} sigma}}, quad u_ {1} = { frac {EM} {{ sqrt {2}} sigma }}, quad u_ {2} = { frac {E + M} {{ sqrt {2}} sigma}}, quad a = { frac {k pi} {2 sigma ^ {2 }}},}$

olish

${ displaystyle V_ {2} (E; M, Gamma, k, sigma) = { frac {H_ {2} (a, u_ {1}, u_ {2})} { sigma ^ {2} 2 { sqrt { pi}}}},}$

bu erda relyativistik chiziqni kengaytirish funktsiyasi ^[5] quyidagi ta'rifga ega,

${ displaystyle H_ {2} (a, u_ {1}, u_ {2}) = { frac {a} { pi}} int _ {- infty} ^ { infty} { frac {e ^ {- t ^ {2}}} {(u_ {1} -t) ^ {2} (u_ {2} -t) ^ {2} + a ^ {2}}} dt.}$

${ displaystyle H_ {2}}$ shunga o'xshash chiziqlarni kengaytirish funktsiyasining relyativistik hamkori ^[6] uchun Voigt profili spektroskopiyada ishlatiladi (shuningdek, 7.19-bo'limga qarang ^[7]).

Adabiyotlar