Koshi taqsimoti - Wrapped Cauchy distribution

Koshi o'ralgan

Ehtimollar zichligi funktsiyasi Qo'llab-quvvatlash sifatida tanlangan [-π, π)
Kümülatif taqsimlash funktsiyasi Qo'llab-quvvatlash sifatida tanlangan [-π, π)
Parametrlar	${ displaystyle mu}$ Haqiqiy ${ displaystyle gamma> 0}$
Qo'llab-quvvatlash	${ displaystyle - pi leq theta < pi}$
PDF	${ displaystyle { frac {1} {2 pi}} , { frac { sinh ( gamma)} { cosh ( gamma) - cos ( theta - mu)}}}$
CDF	${ displaystyle ,}$
Anglatadi	${ displaystyle mu}$ (dumaloq)
Varians	${ displaystyle 1-e ^ {- gamma}}$ (dumaloq)
Entropiya	${ displaystyle ln (2 pi (1-e ^ {- 2 gamma}))}$ (differentsial)
CF	${ displaystyle e ^ {in mu - | n | gamma}}$

Yilda ehtimollik nazariyasi va yo'naltirilgan statistika, a o'ralgan Koshi taqsimoti a o'ralgan ehtimollik taqsimoti bu "o'rash" natijasida kelib chiqadi Koshi taqsimoti atrofida birlik doirasi. Koshi taqsimoti ba'zida Lorentsiya taqsimoti deb ataladi va o'ralgan Koshi taqsimoti ba'zan o'ralgan Lorentsiya taqsimoti deb atalishi mumkin.

Qo'shilgan Koshi taqsimoti ko'pincha difraktsiya naqshlarini tahlil qilish uchun ishlatiladigan spektroskopiya sohasida uchraydi (masalan, qarang. Fabry-Perot interferometri ).

Tavsif

The ehtimollik zichligi funktsiyasi o'ralgan Koshi taqsimoti bu:^[1]

${ displaystyle f_ {WC} ( theta; mu, gamma) = sum _ {n = - infty} ^ { infty} { frac { gamma} { pi ( gamma ^ {2} + ( theta - mu +2 pi n) ^ {2})}}}$

qayerda ${ displaystyle gamma}$ bu o'lchov omili va ${ displaystyle mu}$ "ochilmagan" tarqatishning eng yuqori pozitsiyasidir. Ekspres jihatidan yuqoridagi pdf xarakterli funktsiya Koshi taqsimotining hosilasi:

${ displaystyle f_ {WC} ( theta; mu, gamma) = { frac {1} {2 pi}} sum _ {n = - infty} ^ { infty} e ^ {in ( theta - mu) - | n | gamma} = { frac {1} {2 pi}} , , { frac { sinh gamma} { cosh gamma - cos ( theta - mu)}}}$

PDF shuningdek aylana o'zgaruvchisi ko'rinishida ifodalanishi mumkin z = e ^{i θ} va murakkab parametr b = e ^{i (m + i γ)}

${ displaystyle f_ {WC} (z; zeta) = { frac {1} {2 pi}} , , { frac {1- | zeta | ^ {2}} {| z- zeta | ^ {2}}}}$

quyida ko'rsatilganidek, b = .

Dairesel o'zgaruvchiga nisbatan ${ displaystyle z = e ^ {i theta}}$ o'ralgan Koshi taqsimotining aylana momentlari butun sonli argumentlarda baholanadigan Koshi taqsimotining o'ziga xos xususiyati:

${ displaystyle langle z ^ {n} rangle = int _ { Gamma} e ^ {in theta} , f_ {WC} ( theta; mu, gamma) , d theta = e ^ {in mu - | n | gamma}.}$

qayerda ${ displaystyle Gamma ,}$ uzunlikning ba'zi bir oralig'i ${ displaystyle 2 pi}$. Birinchi lahza keyin o'rtacha qiymati z, shuningdek, o'rtacha natijaviy yoki o'rtacha natijaviy vektor sifatida ham tanilgan:

${ displaystyle langle z rangle = e ^ {i mu - gamma}}$

O'rtacha burchak

${ displaystyle langle theta rangle = mathrm {Arg} langle z rangle = mu}$

va o'rtacha natijaning uzunligi

${ displaystyle R = | langle z rangle | = e ^ {- gamma}}$

ning dairesel dispersiyasini keltirib chiqaradi 1-R.

Parametrlarni baholash

Bir qator N o'lchovlar ${ displaystyle z_ {n} = e ^ {i theta _ {n}}}$ Koshi taqsimotidan o'ralgan holda taqsimotning ba'zi parametrlarini baholash uchun foydalanish mumkin. Seriyalarning o'rtacha qiymati ${ displaystyle { overline {z}}}$ sifatida belgilanadi

${ displaystyle { overline {z}} = { frac {1} {N}} sum _ {n = 1} ^ {N} z_ {n}}$

va uning kutish qiymati faqat birinchi lahza bo'ladi:

${ displaystyle langle { overline {z}} rangle = e ^ {i mu - gamma}}$

Boshqa so'zlar bilan aytganda, ${ displaystyle { overline {z}}}$ birinchi lahzani xolis baholovchi hisoblanadi. Agar biz eng yuqori mavqega ega deb hisoblasak ${ displaystyle mu}$ oralig'ida yotadi ${ displaystyle [- pi, pi)}$, keyin Arg${ displaystyle ({ overline {z}})}$ eng yuqori pozitsiyani baholovchi (noaniq) bo'ladi ${ displaystyle mu}$.

Ko'rish ${ displaystyle z_ {n}}$ murakkab tekislikdagi vektorlar to'plami sifatida ${ displaystyle { overline {R}} ^ {2}}$ statistik - bu o'rtacha vektorning uzunligi:

${ displaystyle { overline {R}} ^ {2} = { overline {z}} , { overline {z ^ {*}}} = chap ({ frac {1} {N}} ) sum _ {n = 1} ^ {N} cos theta _ {n} right) ^ {2} + left ({ frac {1} {N}} sum _ {n = 1} ^ { N} sin theta _ {n} o'ng) ^ {2}}$

va uning kutish qiymati

${ displaystyle langle { overline {R}} ^ {2} rangle = { frac {1} {N}} + { frac {N-1} {N}} e ^ {- 2 gamma} .}$

Boshqacha qilib aytganda, statistika

${ displaystyle R_ {e} ^ {2} = { frac {N} {N-1}} chap ({ overline {R}} ^ {2} - { frac {1} {N}} o'ngda)}$

ning xolis bahochisi bo'ladi ${ displaystyle e ^ {- 2 gamma}}$va ${ displaystyle ln (1 / R_ {e} ^ {2}) / 2}$ ning (noaniq) taxminchisi bo'ladi ${ displaystyle gamma}$.

Entropiya

The axborot entropiyasi o'ralgan Koshi taqsimoti quyidagicha aniqlanadi:^[1]

${ displaystyle H = - int _ { Gamma} f_ {WC} ( theta; mu, gamma) , ln (f_ {WC} ( theta; mu, gamma)) , d theta}$

qayerda ${ displaystyle Gamma}$ har qanday uzunlik oralig'i ${ displaystyle 2 pi}$. O'ralgan Koshi taqsimotining zichligi logarifmasi a shaklida yozilishi mumkin Fourier seriyasi yilda ${ displaystyle theta ,}$:

${ displaystyle ln (f_ {WC} ( theta; mu, gamma)) = c_ {0} +2 sum _ {m = 1} ^ { infty} c_ {m} cos (m ) teta)}$

qayerda

${ displaystyle c_ {m} = { frac {1} {2 pi}} int _ { Gamma} ln left ({ frac { sinh gamma} {2 pi ( cosh gamma) - cos theta)}} o'ng) cos (m theta) , d theta}$

qaysi hosil:

${ displaystyle c_ {0} = ln chap ({ frac {1-e ^ {- 2 gamma}} {2 pi}} o'ng)}$

(c.f. Gradshteyn va Rijik^[2] 4.224.15) va

${ displaystyle c_ {m} = { frac {e ^ {- m gamma}} {m}} qquad mathrm {for} , m> 0}$

(c.f. Gradshteyn va Rijik^[2] 4.397.6). Integralning chap tomonidagi o'ralgan Koshi taqsimotining xarakterli funktsiyalari quyidagicha:

${ displaystyle f_ {WC} ( theta; mu, gamma) = { frac {1} {2 pi}} left (1 + 2 sum _ {n = 1} ^ { infty} phi _ {n} cos (n theta) o'ng)}$

qayerda ${ displaystyle phi _ {n} = e ^ {- | n | gamma}}$. Ushbu ifodalarni entropiya integraliga almashtirish, integratsiya va yig'indining tartibini almashtirish va kosinuslarning ortogonalligidan foydalanib, entropiya yozilishi mumkin:

${ displaystyle H = -c_ {0} -2 sum _ {m = 1} ^ { infty} phi _ {m} c_ {m} = - ln chap ({ frac {1-e ^ {-2 gamma}} {2 pi}} right) -2 sum _ {m = 1} ^ { infty} { frac {e ^ {- 2n gamma}} {n}}}$

Serial shunchaki Teylorning kengayishi ning logarifmi uchun ${ displaystyle (1-e ^ {- 2 gamma})}$ shuning uchun entropiya yozilishi mumkin yopiq shakl kabi:

${ displaystyle H = ln (2 pi (1-e ^ {- 2 gamma})) ,}$

Koshi doiraviy taqsimoti

Agar X Koshi m m va masshtab parametrlari bilan taqsimlangan, keyin kompleks o'zgaruvchiga taqsimlanadi

${ displaystyle Z = { frac {X-i} {X + i}}}$

birlik moduliga ega va zichlik bilan birlik doirasiga taqsimlanadi:^[3]

${ displaystyle f_ {CC} ( theta, mu, gamma) = { frac {1} {2 pi}} { frac {1- | zeta | ^ {2}} {| e ^ { i theta} - zeta | ^ {2}}}}$

qayerda

${ displaystyle zeta = { frac { psi -i} { psi + i}}}$

va ψ bog'liq bo'lgan Koshi taqsimotining ikkita parametrini ifodalaydi x murakkab raqam sifatida:

${ displaystyle psi = mu + i gamma ,}$

Ko'rinib turibdiki, Koshi dumaloq taqsimoti xuddi o'ralgan Koshi taqsimoti bilan bir xil funktsional shaklga ega z va ζ (ya'ni f_Hojatxona(z, ζ)). Dairesel Koshi taqsimoti - bu o'zgargan holda o'ralgan Koshi taqsimoti:

${ displaystyle f_ {CC} ( theta, m, gamma) = f_ {WC} chap (e ^ {i theta}, , { frac {m + i gamma -i} {m + i gamma + i}} o'ng)}$

Tarqatish ${ displaystyle f_ {CC} ( theta; mu, gamma)}$ dumaloq Koshi taqsimoti deyiladi^[3][4] (shuningdek, murakkab Koshi taqsimoti^[3]) m va parameters parametrlari bilan. (Shuningdek qarang Makkullagning Koshi taqsimotlarini parametrlashi va Poisson yadrosi tegishli tushunchalar uchun.)

Murakkab shaklda ifodalangan Koshi doiraviy taqsimoti barcha tartiblarning cheklangan momentlariga ega

${ displaystyle operator nomi {E} [Z ^ {n}] = zeta ^ {n}, quad operator nomi {E} [{ bar {Z}} ^ {n}] = { bar { zeta }} ^ {n}}$

butun son uchun n ≥ 1. Uchun | φ | <1, transformatsiya

${ displaystyle U (z, phi) = { frac {z- phi} {1 - { bar { phi}} z}}}$

bu holomorfik birlik diskida va o'zgartirilgan o'zgaruvchida U(Z, φ) parametr bilan murakkab Koshi sifatida taqsimlanadi U(ζ, φ).

Namuna berilgan z₁, ..., z_n hajmi n > 2, maksimal ehtimollik tenglamasi

${ displaystyle n ^ {- 1} U chap (z, { hat { zeta}} o'ng) = n ^ {- 1} sum U chap (z_ {j}, { hat { zeta }} o'ng) = 0}$

oddiy sobit nuqtali iteratsiya bilan echilishi mumkin:

${ displaystyle zeta ^ {(r + 1)} = U chap (n ^ {- 1} U (z, zeta ^ {(r)}), , - zeta ^ {(r)} o'ng) ,}$

ζ bilan boshlangan⁽⁰⁾ = 0. Ehtimollik qiymatlarining ketma-ketligi kamaymaydi va kamida uchta aniq qiymatni o'z ichiga olgan namunalar uchun yechim noyobdir.^[5]

Median uchun maksimal ehtimollik darajasi (${ displaystyle { hat { mu}}}$) va o'lchov parametri (${ displaystyle { hat { gamma}}}$) haqiqiy Koshi namunasining teskari o'zgarishi bilan olinadi:

${ displaystyle { hat { mu}} pm i { hat { gamma}} = i { frac {1 + { hat { zeta}}} {1 - { hat { zeta}} }}.}$

Uchun n ≤ 4, yopiq shakldagi iboralar ma'lum ${ displaystyle { hat { zeta}}}$.^[6] Maksimal ehtimollik tahminlagichining zichligi t birlik diskida albatta quyidagi shakl mavjud:

${ displaystyle { frac {1} {4 pi}} { frac {p_ {n} ( chi (t, zeta))} {(1- | t | ^ {2}) ^ {2} }},}$

qayerda

${ displaystyle chi (t, zeta) = { frac {| t- zeta | ^ {2}} {4 (1- | t | ^ {2}) (1- | zeta | ^ {2 })}}}$.

Uchun formulalar p₃ va p₄ mavjud.^[7]

Shuningdek qarang

• O'ralgan tarqatish
• Dirak tarağı
• Oddiy tarqatish bilan o'ralgan
• Dumaloq bir xil taqsimot
• Makkullagning Koshi taqsimotlarini parametrlashi

Adabiyotlar

• Borradaile, Graham (2003). Yer haqidagi statistik ma'lumotlar. Springer. ISBN  978-3-540-43603-4. Olingan 31 dekabr 2009.
• Fisher, N. I. (1996). Doiraviy ma'lumotlarning statistik tahlili. Kembrij universiteti matbuoti. ISBN  978-0-521-56890-6. Olingan 2010-02-09.