Murakkab Puasson taqsimoti - Compound Poisson distribution

Yilda ehtimollik nazariyasi, a aralash Puasson tarqalishi bo'ladi ehtimollik taqsimoti soni yig'indisidan mustaqil bir xil taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchilar, bu erda qo'shiladigan atamalar soni o'zi a Puasson tarqatildi o'zgaruvchan. Eng oddiy holatlarda natija ham bo'lishi mumkin davomiy yoki a diskret tarqatish.

Ta'rif

Aytaylik

${ displaystyle N sim operatorname {Poisson} ( lambda),}$

ya'ni, N a tasodifiy o'zgaruvchi uning taqsimoti a Poissonning tarqalishi bilan kutilayotgan qiymat λ va bu

${ displaystyle X_ {1}, X_ {2}, X_ {3}, dots}$

o'zaro mustaqil va bir-biridan mustaqil bo'lgan bir xil taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchilar N. Keyin yig'indining ehtimollik taqsimoti ${ displaystyle N}$ i.i.d. tasodifiy o'zgaruvchilar

${ displaystyle Y = sum _ {n = 1} ^ {N} X_ {n}}$

aralash Pouisson taqsimotidir.

Bunday holda N = 0, demak bu 0 atamaning yig'indisi, demak ning qiymati Y ga tengdir 0. Demak, ning shartli taqsimlanishi Y sharti bilan; inobatga olgan holda N = 0 - bu degenerativ taqsimot.

Murakkab Puasson taqsimoti () ning qo'shma taqsimotini marginallashtirish yo'li bilan olinadi.Y,N) ustida N, va bu qo'shma taqsimotni shartli taqsimotni birlashtirish orqali olish mumkin Y | N ning marginal taqsimoti bilan N.

Xususiyatlari

The kutilayotgan qiymat va dispersiya birikma taqsimotini oddiy usulda olish mumkin umumiy kutish qonuni va umumiy dispersiya qonuni. Shunday qilib

${ displaystyle operator nomi {E} (Y) = operator nomi {E} chap [ operator nomi {E} (Y o'rta N) o'ng] = operator nomi {E} chap [N operator nomi {E} ( X) o'ng] = operator nomi {E} (N) operator nomi {E} (X),}$

${ displaystyle { begin {aligned} operatorname {Var} (Y) & = operatorname {E} left [ operatorname {Var} (Y mid N) right] + operatorname {Var} left [ operatorname {E} (Y mid N) right] = operatorname {E} left [N operatorname {Var} (X) right] + operatorname {Var} left [N operatorname {E} (X) o'ng], [6pt] & = operator nomi {E} (N) operator nomi {Var} (X) + chap ( operator nomi {E} (X) o'ng) ^ {2} operator nomi {Var} (N). end {hizalangan}}}$

Keyin, E (N) = Var (N) agar N Poisson, bu formulalarni kamaytirish mumkin

${ displaystyle operator nomi {E} (Y) = operator nomi {E} (N) operator nomi {E} (X),}$

${ displaystyle operator nomi {Var} (Y) = operator nomi {E} (N) ( operator nomi {Var} (X) + { operator nomi {E} (X)} ^ {2}) = 2 operator nomi { E} (N) { operator nomi {E} (X ^ {2})}.}$

Ehtimollik taqsimoti Y jihatidan aniqlanishi mumkin xarakterli funktsiyalar:

${ displaystyle varphi _ {Y} (t) = operator nomi {E} (e ^ {itY}) = operator nomi {E} _ {N} ( chap ( operator nomi {E} (e ^ {itX}) )) ^ {N} right) = operatorname {E} (( varphi _ {X} (t)) ^ {N}), ,}$

va shuning uchun ehtimollik hosil qiluvchi funktsiya Puasson taqsimotida bizda mavjud

${ displaystyle varphi _ {Y} (t) = { textrm {e}} ^ { lambda ( varphi _ {X} (t) -1)}. ,}$

Muqobil yondashuv orqali kumulyant hosil qiluvchi funktsiyalar:

${ displaystyle K_ {Y} (t) = ln operator nomi {E} [e ^ {tY}] = ln operator nomi {E} [ operator nomi {E} [e ^ {tY} o'rta N]] = ln operator nomi {E} [e ^ {NK_ {X} (t)}] = K_ {N} (K_ {X} (t)). ,}$

Orqali umumiy yig'ilish qonuni agar Puasson taqsimotining o'rtacha qiymati bo'lsa, buni ko'rsatish mumkin λ = 1, the kumulyantlar ning Y bilan bir xil lahzalar ning X₁.^{[iqtibos kerak ]}

Buni har kim ko'rsatishi mumkin cheksiz bo'linadigan ehtimollik taqsimoti - bu Puasson birikmalarining taqsimoti chegarasi.^[1] Va Poissonning aralash taqsimoti cheksiz bo'linadigan ta'rifi bo'yicha.

Poissonning diskret birikmasi

Qachon ${ displaystyle X_ {1}, X_ {2}, X_ {3}, dots}$ manfiy bo'lmagan butun sonli i.i.d tasodifiy o'zgaruvchilar bilan ${ displaystyle P (X_ {1} = k) = alfa _ {k}, (k = 1,2, ldots)}$, keyin bu birikma Puasson taqsimoti nomlanadi Poissonning diskret birikmasi^[2][3][4] (yoki duduqlanish - Poisson tarqatish^[5]). Biz diskret tasodifiy o'zgaruvchi deymiz ${ displaystyle Y}$ qoniqarli ehtimollik yaratish funktsiyasi tavsiflash

${ displaystyle P_ {Y} (z) = sum limitlar _ {i = 0} ^ { infty} P (Y = i) z ^ {i} = exp left ( sum limitlar _ {k = 1} ^ { infty} alfa _ {k} lambda (z ^ {k} -1) o'ng), quad (| z | leq 1)}$

parametrlari bilan diskret birikma Poisson (DCP) taqsimotiga ega ${ displaystyle ( alpha _ {1} lambda, alfa _ {2} lambda, ldots) in mathbb {R} ^ { infty} left ( sum _ {i = 1} ^ { infty} alfa _ {i} = 1, alfa _ {i} geq 0, lambda> 0 o'ng)}$bilan belgilanadi

${ displaystyle X sim { text {DCP}} ( lambda { alpha _ {1}}, lambda { alpha _ {r}}, ldots)}$

Bundan tashqari, agar ${ displaystyle X sim { operatorname {DCP}} ( lambda { alpha _ {1}}, ldots, lambda { alpha _ {r}})}$, deymiz ${ displaystyle X}$ tartibning diskret birikmasiga ega Pouisson taqsimoti ${ displaystyle r}$ . Qachon ${ displaystyle r = 1,2}$, DCP bo'ladi Poissonning tarqalishi va Germitlarning tarqalishi navbati bilan. Qachon ${ displaystyle r = 3,4}$, DCP navbati bilan uch karra kekirishni-Poisson taqsimoti va to'rt karra kekirishni-Poisson taqsimotiga aylanadi.^[6] Boshqa maxsus holatlarga quyidagilar kiradi: smenageometrik taqsimot, binomial manfiy taqsimot, Poissonning geometrik taqsimoti, Neyman A tipidagi taqsimot, Luriya – Delbruk taqsimoti Luriya - Delbruk tajribasi. DCPning maxsus holati uchun sharhlar qog'oziga qarang^[7] va ulardagi ma'lumotnomalar.

Fellerning birikma Puasson taqsimotini tavsiflashida manfiy bo'lmagan butun r.v. ${ displaystyle X}$ bu cheksiz bo'linadigan agar va faqat uning taqsimoti Poissonning diskret birikmasi bo'lsa.^[8] Bu ko'rsatilishi mumkin binomial manfiy taqsimot diskret cheksiz bo'linadigan, ya'ni, agar X har qanday musbat butun son uchun salbiy binomial taqsimotga ega n, diskret i.i.d mavjud tasodifiy o'zgaruvchilar X₁, ..., X_n uning yig'indisi shu taqsimotga ega X bor. Shift geometrik taqsimot bu diskret birikma Puassonning tarqalishi, chunki bu ahamiyatsiz holat binomial manfiy taqsimot.

Ushbu tarqatish ommaviy kelganlarni modellashtirishi mumkin (masalan, a ommaviy navbat^[5][9]). Poissonning diskret birikmasi ham keng tarqalgan aktuar fan talabning umumiy miqdorini taqsimlashni modellashtirish uchun.^[3]

Qachonki ${ displaystyle alpha _ {k}}$ manfiy emas, bu diskret soxta birikma Poissonning tarqalishi.^[3] Biz har qanday diskret tasodifiy miqdorni aniqlaymiz ${ displaystyle Y}$ qoniqarli ehtimollik yaratish funktsiyasi tavsiflash

${ displaystyle G_ {Y} (z) = sum limitlar _ {n = 0} ^ { infty} P (Y = n) z ^ {n} = exp left ( sum limitlar _ {k = 1} ^ { infty} alfa _ {k} lambda (z ^ {k} -1) o'ng), quad (| z | leq 1)}$

parametrlari bilan diskret soxta birikma Poisson taqsimotiga ega ${ displaystyle ( lambda _ {1}, lambda _ {2}, ldots) =: ( alfa _ {1} lambda, alpha _ {2} lambda, ldots) in mathbb { R} ^ { infty} chap ({ sum limitlar _ {k = 1} ^ { infty} { alfa _ {k}} = 1, sum limitlar _ {k = 1} ^ { infty} { left | { alpha _ {k}} right |} < infty, { alfa _ {k}} in { mathbb {R}}, lambda> 0} right)}$.

Murakkab Poisson Gamma taqsimoti

Agar X bor gamma taqsimoti, ulardan eksponensial taqsimot bu alohida holat, keyin esa shartli taqsimoti Y | N yana gamma tarqatish hisoblanadi. Ning marginal taqsimoti Y bo'lishi mumkin Tweedie tarqatish^[10] dispersiya kuchi bilan 1

(solishtirish orqali isbot xarakterli funktsiya (ehtimollar nazariyasi) ). Agar aniqroq bo'lsa

${ displaystyle N sim operatorname {Poisson} ( lambda),}$

va

${ displaystyle X_ {i} sim operatorname { Gamma} ( alfa, beta)}$

i.i.d., keyin tarqatish

${ displaystyle Y = sum _ {i = 1} ^ {N} X_ {i}}$

reproduktiv hisoblanadi eksponentli dispersiya modeli ${ displaystyle ED ( mu, sigma ^ {2})}$ bilan

${ displaystyle { begin {aligned} operatorname {E} [Y] & = lambda { frac { alpha} { beta}} =: mu, operatorname {Var} [Y] & = lambda { frac { alpha (1+ alfa)} { beta ^ {2}}} =: sigma ^ {2} mu ^ {p}. end {aligned}}}$

Tweedie parametri parametrlarini xaritalash ${ displaystyle mu, sigma ^ {2}, p}$ Poisson va Gamma parametrlariga ${ displaystyle lambda, alfa, beta}$ quyidagilar:

${ displaystyle { begin {aligned} lambda & = { frac { mu ^ {2-p}} {(2-p) sigma ^ {2}}}, alfa & = { frac {2-p} {p-1}}, beta & = { frac { mu ^ {1-p}} {(p-1) sigma ^ {2}}}. End {hizalangan }}}$

Murakkab Poisson jarayonlari