Eksponent-logarifmik taqsimot - Exponential-logarithmic distribution

Eksponent-logaritmik taqsimot (EL)

Ehtimollar zichligi funktsiyasi
Parametrlar	${ displaystyle p in (0,1)}$ ${ displaystyle beta> 0}$
Qo'llab-quvvatlash	${ displaystyle x in [0, infty)}$
PDF	${ displaystyle { frac {1} {- ln p}} times { frac { beta (1-p) e ^ {- beta x}} {1- (1-p) e ^ {- beta x}}}}$
CDF	${ displaystyle 1 - { frac { ln (1- (1-p) e ^ {- beta x})} { ln p}}}$
Anglatadi	${ displaystyle - { frac {{ text {polylog}} (2,1-p)} { beta ln p}}}$
Median	${ displaystyle { frac { ln (1 + { sqrt {p}})} { beta}}}$
Rejim	0
Varians	${ displaystyle - { frac {2 { text {polylog}} (3,1-p)} { beta ^ {2} ln p}}}$ ${ displaystyle - { frac {{ text {polylog}} ^ {2} (2,1-p)} { beta ^ {2} ln ^ {2} p}}}$
MGF	${ displaystyle - { frac { beta (1-p)} { ln p ( beta -t)}} { text {hypergeom}} _ {2,1}}$ ${ displaystyle ([1, { frac { beta -t} { beta}}], [{ frac {2 beta -t} { beta}}], 1-p)}$

Yilda ehtimollik nazariyasi va statistika, Eksponent-logaritmik (EL) tarqatish - bu umr bo'yi oila tarqatish chekinish qobiliyatsizlik darajasi, [0, ∞) oralig'ida aniqlangan. Ushbu tarqatish parametrlangan ikkita parametr bo'yicha ${ displaystyle p in (0,1)}$ va ${ displaystyle beta> 0}$.

Kirish

Organizmlarning hayoti, asboblari, materiallari va boshqalarni o'rganish katta ahamiyatga ega biologik va muhandislik fanlar. Umuman olganda, uning ishlash muddati vaqt o'tishi bilan "ishda qattiqlashish" (muhandislik nuqtai nazaridan) yoki "immunitet" (biologik nuqtai nazardan) bilan tavsiflangan bo'lsa, uning ishlash muddati pasayib ketadigan ishlamay qolish darajasini (DFR) namoyon qilishi kutilmoqda.

Eksponent-logaritmik model turli xil xususiyatlari bilan birgalikda Tahmasbi va Rizaiy tomonidan o'rganilgan (2008).^[1]Ushbu model populyatsiyaning bir xil emasligi kontseptsiyasi asosida olingan (birikma jarayoni orqali).

Tarqatish xususiyatlari

Tarqatish

The ehtimollik zichligi funktsiyasi EL tarqatishining (pdf) Tahmasbi va Rezaei tomonidan berilgan (2008)^[1]

${ displaystyle f (x; p, beta): = chap ({ frac {1} {- ln p}} right) { frac { beta (1-p) e ^ {- beta x}} {1- (1-p) e ^ {- beta x}}}}$

qayerda ${ displaystyle p in (0,1)}$ va ${ displaystyle beta> 0}$. Ushbu funktsiya keskin kamayib bormoqda ${ displaystyle x}$ va kabi nolga intiladi ${ displaystyle x rightarrow infty}$. EL taqsimoti o'ziga xosdir modal qiymat zichligi x = 0 da, tomonidan berilgan

${ displaystyle { frac { beta (1-p)} {- p ln p}}}$

EL kamayadi eksponensial taqsimot tezlik parametri bilan ${ displaystyle beta}$, kabi ${ displaystyle p rightarrow 1}$.

The kümülatif taqsimlash funktsiyasi tomonidan berilgan

${ displaystyle F (x; p, beta) = 1 - { frac { ln (1- (1-p) e ^ {- beta x})} { ln p}},}$

va shuning uchun o'rtacha tomonidan berilgan

${ displaystyle x _ { text {median}} = { frac { ln (1 + { sqrt {p}})} { beta}}}$.

Lahzalar

The moment hosil qiluvchi funktsiya ning ${ displaystyle X}$ pdf-dan to'g'ridan-to'g'ri integratsiya orqali aniqlanishi mumkin va tomonidan berilgan

${ displaystyle M_ {X} (t) = E (e ^ {tX}) = - { frac { beta (1-p)} { ln p ( beta -t)}} F_ {2,1 } chap ( chap [1, { frac { beta -t} { beta}} o'ng], chap [{ frac {2 beta -t} { beta}} o'ng], 1 -p o'ng),}$

qayerda ${ displaystyle F_ {2,1}}$ a gipergeometrik funktsiya. Ushbu funktsiya shuningdek sifatida tanilgan Barnesning kengaytirilgan gipergeometrik funktsiyasi. Ning ta'rifi ${ displaystyle F_ {N, D} ({n, d}, z)}$ bu

${ displaystyle F_ {N, D} (n, d, z): = sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {z ^ {k} prod _ {i = 1} ^ { p} Gamma (n_ {i} + k) Gamma ^ {- 1} (n_ {i})} { Gamma (k + 1) prod _ {i = 1} ^ {q} Gamma (d_ {i} + k) Gamma ^ {- 1} (d_ {i})}}}$

qayerda ${ displaystyle n = [n_ {1}, n_ {2}, nuqta, n_ {N}]}$ va ${ displaystyle {d} = [d_ {1}, d_ {2}, nuqta, d_ {D}]}$.

Lahzalari ${ displaystyle X}$ dan olinishi mumkin ${ displaystyle M_ {X} (t)}$. Uchun${ displaystyle r in mathbb {N}}$, xom lahzalar tomonidan berilgan

${ displaystyle E (X ^ {r}; p, beta) = - r! { frac { operatorname {Li} _ {r + 1} (1-p)} { beta ^ {r} ln p}},}$

qayerda ${ displaystyle operatorname {Li} _ {a} (z)}$ bo'ladi polilogarifma quyidagicha ta'riflangan funktsiya:^[2]

${ displaystyle operator nomi {Li} _ {a} (z) = sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac {z ^ {k}} {k ^ {a}}}.}$

Shuning uchun anglatadi va dispersiya berilgan EL taqsimotining navbati bilan

${ displaystyle E (X) = - { frac { operatorname {Li} _ {2} (1-p)} { beta ln p}},}$

${ displaystyle operator nomi {Var} (X) = - { frac {2 operator nomi {Li} _ {3} (1-p)} { beta ^ {2} ln p}} - chap ({ frac { operatorname {Li} _ {2} (1-p)} { beta ln p}} right) ^ {2}.}$

Tirik qolish, xavfli va o'rtacha qoldiq funktsiyalari

Xavf funktsiyasi

The omon qolish funktsiyasi (ishonchlilik funktsiyasi deb ham ataladi) va xavf funktsiyasi (shuningdek, ishlamay qolish darajasi funktsiyasi deb ham ataladi) EL taqsimotining navbati bilan, tomonidan berilgan

${ displaystyle s (x) = { frac { ln (1- (1-p) e ^ {- beta x})} { ln p}},}$

${ displaystyle h (x) = { frac {- beta (1-p) e ^ {- beta x}} {(1- (1-p) e ^ {- beta x}) ln ( 1- (1-p) e ^ {- beta x})}}.}$

EL taqsimotining o'rtacha qoldiq muddati quyidagicha berilgan

${ displaystyle m (x_ {0}; p, beta) = E (X-x_ {0} | X geq x_ {0}; beta, p) = - { frac { operatorname {Li} _ {2} (1- (1-p) e ^ {- beta x_ {0}})} { beta ln (1- (1-p) e ^ {- beta x_ {0}})} }}$

qayerda ${ displaystyle operator nomi {Li} _ {2}}$ bo'ladi dilogaritma funktsiya

Tasodifiy son yaratish

Ruxsat bering U bo'lishi a tasodifiy o'zgaruvchan standartdan bir xil taqsimlash.Shundan keyin U parametrlari bilan EL taqsimotiga ega p vaβ:

${ displaystyle X = { frac {1} { beta}} ln chap ({ frac {1-p} {1-p ^ {U}}} o'ng).}$

Parametrlarni baholash

Parametrlarni taxmin qilish uchun EM algoritmi ishlatilgan. Ushbu usul Taxmasbi va Rezaei tomonidan muhokama qilingan (2008).^[1] EM takrorlanishi tomonidan berilgan

${ displaystyle beta ^ {(h + 1)} = n chap ( sum _ {i = 1} ^ {n} { frac {x_ {i}} {1- (1-p ^ {(h )}) e ^ {- beta ^ {(h)} x_ {i}}}} o'ng) ^ {- 1},}$

${ displaystyle p ^ {(h + 1)} = { frac {-n (1-p ^ {(h + 1)})} { ln (p ^ {(h + 1)}) sum _ {i = 1} ^ {n} {1- (1-p ^ {(h)}) e ^ {- beta ^ {(h)} x_ {i}} } ^ {- 1}}} .}$

Tegishli tarqatishlar

Vaybul-logaritmik taqsimotni hosil qilish uchun EL taqsimoti umumlashtirildi.^[3]

Agar X deb belgilanadi tasodifiy o'zgaruvchi bu minimal N dan mustaqil ravishda amalga oshirish eksponensial taqsimot tezlik parametri bilan βva agar bo'lsa N dan amalga oshirish logaritmik taqsimot (bu erda parametr p odatdagi parametrlash bilan almashtiriladi (1 − p)), keyin X yuqorida ishlatilgan parametrlashda eksponent-logaritmik taqsimotga ega.

Adabiyotlar